CHAMPS & PARTICULES. Mécanique Quantique. Alain Bouquet. Laboratoire AstroParticule & Cosmologie
|
|
- Zoé Mélançon
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 CHAMPS & PARTICULES Mécanique Quantique Alain Bouquet Laboratoire AstroParticule & Cosmologie Université Denis Diderot Paris 7, CNRS, Observatoire de Paris & CEA
2 Les axiomes de la mécanique quantique 1 Les états d un système quantique forment un espace vectoriel complexe. 2 Les quantités observables sont représentées par des opérateurs linéaires hermitiens agissant sur cet espace vectoriel. 3 La mesure de l une de ces quantités donne l une des valeurs propres (réelles) de l opérateur correspondant. 4 Si l état du système avant la mesure est une combinaison linéaire des états propres de l opérateur, la mesure donne une des valeurs propres avec une amplitude de probabilité égale au poids du vecteur propre correspondant dans la combinaison linéaire. 5 L état du système après la mesure est l état propre correspondant à la valeur propre mesurée. 6 En dehors de la mesure, l évolution temporelle est donnée par l opérateur hamiltonien. 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 2
3 Du ket Iψ> à la fonction d onde ψ(x) Opérateur position X états propres de position Ix> X Ix> = x Ix> Opérateur hermitien valeurs propres réelles et états propres = base État Iψ> quelconque décomposition Iψ> = Σ x α x Ix> avec α x = <xiψ> Si les positions ont des valeurs continues [cas général] Σ x dx et α x α(x) Mais pourquoi ne pas plutôt écrire ψ(x) au lieu de α(x)? ψ(x) <xiψ> Particule au point x onde s étalant autour du point x fonction d onde donnant l amplitude de probabilité de trouver une particule au point x état Iψ> On peut faire de même avec l opérateur impulsion P P Ip> = p Ip> ~ ψ(p) <piψ> [transformée de Fourier de ψ(x)] 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 3
4 Évolution Au cours du temps 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 4
5 Évolution au cours du temps d un système quantique Système quantique espace vectoriel E État au temps t 1 vecteur Iψ(t 1 )> État au temps t 2 vecteur Iψ(t 2 )> il doit exister un opérateur U tel que U Iψ(t 1 )> = Iψ(t 2 )> Il s avère que cet opérateur U (qui dépend des temps t 1 et t 2 ) doit être 1. linéaire 2. unitaire [U U = I] 3. identique pour tous les vecteurs sinon on se heurte à des difficultés avec la causalité, avec l interprétation probabiliste, ou avec les observations U unitaire <φ(t 2 )Iψ(t 2 )> = <φ(t 1 )Iψ(t 1 ) > en particulier des états orthogonaux (= physiquement distincts) demeurent orthogonaux 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 5
6 Opérateur hamiltonien Soit un système dans l état Iψ(0)> au temps t 1 = 0, et dans l état Iψ(t)> au temps t Iψ(t)> = U(t) Iψ(0)> Pour un temps t = ε infinitésimalement près de t = 0, U(t) peut se développer en série : U(ε) = U(0) + ε opérateur + ε 2 opérateur + U(0) = I, et pour des raisons historiques J on écrit la série comme: U(ε) = I i/ħ ε H + U (ε) = I + i/ħ ε H + U (ε) U(ε) = [ I + i/ħ ε H + ] [I i/ħ ε H + ] = I + i/ħ ε [ H H ] + = I H H = 0 H est un opérateur hermitien Par comparaison avec la physique classique, cet opérateur correspond à l hamiltonien et ses valeurs propres sont les énergies possibles du système 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 6
7 Équation de Schrödinger Partons de Iψ(t)> = U(t) Iψ(0)> Iψ(ε)> = U(ε) Iψ(0)> = [ I i/ħ ε H ] Iψ(0)> = Iψ(0)> i/ħ ε H Iψ(0)> [Iψ(ε)> Iψ(0)>]/ε d/dt Iψ(0)> = i/ħ H Iψ(0)> Mais t = 0 ne jouait pas de rôle particulier d/dt Iψ(t)> = i/ħ H Iψ(t)> ce qui est l équation de Schrödinger L opérateur hamiltonien H est le même pour tous les états Tout ce qui reste à faire est d écrire cet hamiltonien H = K + V Terme cinétique K (= P 2 /2m dans le cas non relativiste sans spin) pour chaque quanton Terme potentiel V décrivant l interaction des quantons entre eux, et avec l extérieur et de résoudre l équation différentielle 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 7
8 Représentations de Schrödinger et de Heisenberg Représentation de Schrödinger Les opérateurs O ne dépendent pas du temps Les états Iψ(t)> dépendent du temps : Iψ(t)> = U(t, t 0 ) Iψ(t 0 )> Ils évoluent suivant l équation de Schrödinger iħ / t Iψ(t)> = H Iψ(t)> U(t, t 0 ) = exp{ -i/ħ H (t-t 0 ) } Représentation de Heisenberg Les états Iψ> ne dépendent pas du temps Les opérateurs O dépendent du temps : O(t) = U 1 (t, t 0 ) O(t 0 ) U(t, t 0 ) U(t, t 0 ) = exp{ -i/ħ H (t-t 0 ) } Dans les deux cas, les observations sont identiques (par exemple les valeurs moyennes des opérateurs) Représentation d interaction Décomposition de l hamiltonien en deux parties : H = H libre + H interaction Les opérateurs évoluent avec H libre Les états «d interaction» Iψ int (t)> évoluent avec H int iħ / t Iψ int (t)> = H int Iψ int (t)> L état «complet» Iψ(t)> = U libre Iψ int (t)> 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 8
9 L équation de Schrödinger 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 9
10 Équation de Schrödinger i ħ d/dt Iψ(t)> = H Iψ(t)> Procédure standard se donner un opérateur H si H ne dépend pas du temps [cas très fréquent] résoudre l équation aux valeurs propres H Iψ> = E Iψ> [dite équation de Schrödinger indépendante du temps] valeurs propres (énergies) E i indépendantes du temps et états propres correspondants IE i > indépendants du temps [ pas tout à fait : à une phase e i/ħ E i t près ] état quelconque Iψ(t)> = Σ i α i (t) IE i > = Σ i α i (0) e i/ħ Ei t IE i > 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 10
11 Évolution temporelle d un état Opérateur hamiltonien H indépendant du temps valeurs propres (énergie) E i et états propres IE i > donnés par H IE i > = E i IE i > Équation de Schrödinger d/dt IE i )> = i/ħ H Iψ(t)> = i/ħ E i IE i > IE i (t)> = e i/ħ E i t IE i (0)> les deux vecteurs IE i (t)> et IE i (0)> ne diffèrent que par une phase e i/ħ E i t ils décrivent le même état physique un état d énergie définie est stationnaire (il ne change pas au cours du temps) état quelconque Iψ(t)> = Σ i α i (t)i E i > = Σ i α i (0) e i/ħ E i t I E i > 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 11
12 ( A) ψ = ψ ψ A 2 ψ ψ A ψ 2 (6.2) 6.2 Exemple : l ion H + 2 Nous voudrions maintenant appliquer les postulats énoncés à une situation concrète. Malheureusement, le traitement rigoureux des situations même les plus simples entraîne le plus souvent l utilisation d espaces d états de dimension infinie, et nous voudrions démarrer avec un exemple où l on puisse tout calculer à l aide de l algèbre linéaire élémentaire. Il existe un système très important qui répond à ce besoin : la description des états de spin d une particule telle que l électron. Cependant nous n avons pas encore parlé de spin, et nous ne voulons pas introduire maintenant cette nouvelle difficulté. C est pourquoi nous optons pour l étude d un système qui peut, en première approximation, se traiter à l aide d un espace des é t a t s d e d i m e n s i o n 2 ( o n d i t p a r f o i s un système à deux niveaux ). Il s agit de l ion positif H 2 +.Notre Application à un qubit Système traitement quantique suit essentiellement à deux [10] états p I1> Voir et aussi I2> [8],, p. vecteurs propres d un opérateur (la position X par exemple, dans une description élémentaire de l ion H 2+ ) e - e - e - e - Supposons que l hamiltonien H ait la forme : puisque H est hermitien, E est réel de même que ε Les valeurs propres et les vecteurs propres de cet hamiltonien sont λ = E + ε I+> = [ e iϑ I1> + I2> ]/ 2 λ = E ε I > = [ e iϑ I1> I2> ]/ 2 État I1> État I2> d + p+ p+ 1 p+ 2 d p+ p 1 1 p+ 2 2 p+ 1 p+ 2! H = # " H 11 H 12 $! & = # E ε e iϑ # % " ε e iϑ E Figure 6.1 Figure Les6.1 deux Les états deux l ion étatsh de + l ion H Ce système Ceest système constitué est constitué de deux protons de deuxp protons + p H et p+ 2 et d un et p+ 2 électron et d un e électron.noussupposonsqueladistance e d entre les d entre deux les protons deux n évolue protons n évolue pas au cours pas au ducours temps, duettemps, qu au et niveau qu aud approximation niveau d approximation où nous où nous nous plaçons, nous l ion plaçons, H l ion H puisse être puisse observé être 22 dans observé l undans des deux l un des états deux suivants états : suivants H H+ : H ou H H+ + ou H. H La + H. La signification signification précise deprécise cet énoncé de cetest énoncé la suivante est la : suivante si l on mesure : si l onla mesure position la de position l électron, de l électron, trouvera on trouvera qu il est soit qu il proche est soit deproche p + p + 1,soitprochedep+ 1,soitprochedep+ 2. Àcesdeuxétatsnousassocionsrespectivementdesvecteurs 2. d états notés d états 1 notés et 2, 1 formant et 2, une formant baseune baseorthonormée d unespace d unde espace Hilbert de de Hilbert dimension dedimension Cette démarche Cette démarche respecte les respecte postulats les postulats que nous que avons nous énoncés. avons En énoncés. effet, En ce que effet, nous ce que affirmons nous affirmons en réalitéen réalité c est que c est nous que considérons nous considérons que le système que leest système entièrement est entièrement décritparunevariabledynamique,laposition x de l électron x de l électron par rapport parau rapport centreau decentre masse desmasse deux des protons, deux ne protons, pouvant ne prendre pouvantque prendre deuxque valeurs. deux À valeurs. À cette variable cettedynamique variable dynamique est associée estune associée observable une observable X conformément X conformément au postulat au 3. postulat Les résultats 3. Les résultats d une d une mesure demesure x donnent de x toujours donnent d/2 toujours oud/2 d/2selonnotrehypothèse.ilenrésultequelespectredex oud/2 ( ( est ) est ) d/2 0 d/2 0 constitué constitué de ces deux valeurs. ces deuxl opérateur valeurs. L opérateur le plus simple plus ayant simple ce spectre ayant cea spectre pour matricea pour matrice 0 d/20 d/2 si ε dans = 0, une les dans base deux une vecteurs base valeurs de vecteurs propres. propres. L état de 1 L état l hamiltonien introduit 1 introduit plus haut sont plus est haut simplement dégénérées est simplement un vecteur et toute unpropre vecteur combinaison propre normalisé normalisé de X associé de Xà associé la valeur à la propre valeur d/2, propre et d/2, 2 estet un 2 vecteur est unpropre vecteur normalisé propre normalisé associé à associé l autre à l autre linéaire de I+> et de I > (ou de I1> et de I2>) est vecteur propre valeur propre. valeurle propre. point sur Le point lequelsur nous lequel voulons nousinsister voulonsest insister le suivant est le: suivant quand nous : quand disons nous que disons le système que le système ne peut s observer ne peut s observer dans l undans ou l autre l un oudel autre deux états de deux lorsque étatsl on lorsque regarde l onoù regarde se trouve où se l électron, trouve l électron, nousne nousne voulons pas voulons dire que pas le dire système que lene système peut pas ne peut ê t r e dans pas ê un t r e autre dans un état. autre En fait, état. leen principe fait, le de principe superposition de superposition quantique quantique indique indique toutes que lestoutes combinaisons les combinaisons linéaires complexes linéaires complexes du type α 1 du type + β 2, α 1 c est-à-diretous + β 2, c est-à-diretous 28/01/13 les éléments les éléments de l espace devectoriel l espace vectoriel complexe complexe engendré engendré par 1 et par 2, 1 représentent et 2, représentent desétatsdes duétats système. dusystème. Simplement, Alain Bouquet Particules 12 Simplement, dans un état dans un superposé état superposé la position la de position l électron de l électron n est pasn est déterminée. pas déterminée. Elle ne l est Elleque ne l est que 12 si α ou βsi est α nul ou β(le est vecteur nul (led état vecteur estd état alors un est vecteur alors unpropre vecteur depropre X). de X). Nous nous Nous demandons nous demandons maintenant maintenant ce qui sece passe qui si se nous passemesurons si nous mesurons l énergie l énergie du système. du système. On sait que On sait que $ & & % ce terme-ci assure une transition de l état I1> à l état I2>
13 Évolution temporelle du qubit Supposons que l état initial soit l état I1> (par exemple parce que la position a été mesurée) Ce n est pas un des états propres de l hamiltonien (sauf dégénénérescence) I1> = e iϑ / 2 [ I+> + I > ] I2> = 1/ 2 [ I+> I > ] Iψ(t)> = e iϑ / 2 [e i/ħ (E+ε) t I+> + e i/ħ (E ε) t I >] Quelle est la probabilité qu une mesure de position au temps t donne I1> ou I2>? p 1 (t) <1Iψ(t)> = e +iϑ / 2 [ <+I + < I ] e iϑ / 2 [e i/ħ (E+ε) t I+> + e i/ħ (E ε) t I >] p 1 (t) = e i/ħ Et [e i/ħ ε t + e + i/ħ ε t ]/2 = e i/ħ Et cos[εt/ħ] probabilité P 1 (t) = p 1 (t) 2 = cos 2 [εt/ħ] et P 2 (t) = 1 P 1 (t) = sin 2 [εt/ħ] le système oscille périodiquement entre les états I1> et I2> avec une fréquence d oscillation ν = ε/2πħ = ε/h ε = hν 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 13
14 Application : les mésons K 0 Ǩ 0 et K L K S Les mésons K, des particules étranges : rapides à produire (collisions proton-méson π) mais longues à se désintégrer nouveau nombre quantique, l étrangeté S production = interaction forte conservant S production par paires particules «V» désintégration = interaction faible violant S K 0 : masse 498 MeV formé d un quark d et d un antiquark s étrangeté S = +1 Ǩ 0 : masse 498 MeV formé d un antiquark d et d un quark s étrangeté S = 1 Mais deux durées de vie très différentes combinaisons K L et K S Pais et Gell-Mann (1955) K 0 et Ǩ 0 états propres de l interaction forte K L K S états propres de l interaction faible hamiltonien avec ε << E conservation de CP K S 2 π et K L 3 π durées de vie très différentes K 0 = K S + K L K L par disparition de K S mais «régénération» possible : K L = K 0 + Ǩ 0 interactions (fortes) différentes dans la matière changement des proportions de K 0 et Ǩ 0 réapparition de K S H =! # " E ε ε E $ & % 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 14
15 Puits et Barrières de potentiel 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 15
16 Potentiel constant V(x) = V < E Potentiel constant équation de Schrödinger ħ 2 /2m 2 ψ(x)/ x 2 + V ψ(x) = E ψ(x) Équation d onde banale, de la forme ψ + ω 2 ψ = 0 avec ω 2 = 2m/ħ 2 [E V] ψ(x) = A cos ωx + B sin ωx (A et B sont des nombres complexes) ψ(x) = ψ 1 e i ω x + ψ 2 e i ω x [ ψ(x) 2 dx = Heisenberg ] Longueur d onde λ = 2π/ω = 2π ħ / [2m(E V)] ½ = h / [2m ½ mv 2 ] ½ = h/mv = λ de Broglie E V x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 16
17 Diffusion par un potentiel En une dimension : «particule» approchant du «puits de potentiel» et accélérée par lui ( augmentation d énergie cinétique augmentation de fréquence), puis s en éloignant et revenant à son état antérieur ω ext = 2π/h [2m(E V ext )] ½ ω int = 2π/h [2m(E V int )] ½ Très schématiquement : E V ext V int x 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 17
18 Diffusion par un potentiel En deux ou trois dimensions, la direction du mouvement peut aussi changer Très schématiquement : 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 18
19 Potentiel constant V(x) = V > E Et si V > E? Classiquement impossible (E = ½ mv 2 + V) mais quantiquement permis ω 2 = 2m/ħ 2 [E V] < 0 ω est imaginaire pur ω = i ω = i [2m/ħ 2 (V E)] ½ ψ(x) = ψ 0 e i ω x = ψ 0 e ω x exponentielle décroissante Si E < V pour tout x, la solution est ψ(x) 0 ce qui n est pas très intéressant Si E < V pour x > x 0 seulement, la solution est sinusoïdale pour x < x 0 et décroît exponentiellement pour x > x 0, avec une échelle de décroissance λ = 1/ ω V E x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 19
20 Puits carré : une particule dans une boîte L amplitude de la fonction d onde décroît exponentiellement en dehors du puits ψ int (x) = ψ 0 e i ω int x ψ ext (x) = ψ 1 e ω ext x avec ω int = 2π/h [2m(E V int )] ½ et ω ext = 2π/h [2m(V ext E)] ½ Pour un puits très profond (V ext ) la fonction d onde s annule aux bords confinement V ext E V int L x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 20
21 Puits carré : une particule dans une boîte Prenons V ext et (sans perte de généralité) V int = 0 ω = 2π/h [2mE] ½ La fonction d onde ψ(x) = ψ 0 e i ω x s annule aux bords ω = π n/l Largeur L = multiple entier de ( ½ ) longueurs d onde ω = π n/l = 2π/h [2mE] ½ E = n 2 h 2 /8mL 2 les énergies sont quantifiées : E n = n 2 E 1 avec E 1 = h 2 /8mL 2 il existe une énergie minimale non-nulle, E 1 plus le confinement est important, plus l énergie minimale est élevée E L 0 E 1 [ inégalité de Heisenberg] plus la masse m est petite, plus l énergie minimale est élevée m 0 E 1 [ inégalité de Heisenberg] L x 28/01/13 Alain Bouquet Particules
22 Application : atome et noyau de carbone E = h 2 /8mL 2 Atome Densité du carbone et nombre d Avogadro diamètre d un atome ~ 1.5 Å = 1.5x10-10 m E e = 2.67x10-18 J = 16.7 ev observé : 11.3 ev ordre de grandeur correct E p = 1.46x10-21 J = ev << énergie thermique ~ 0.04 ev Noyau Expériences de diffusion diamètre du noyau de carbone ~ 5.8 fm = 5.8x10-15 m E e = 1.78x10-9 J = 11.2 GeV il ne peut pas y avoir d électron dans le noyau E e = 9.75x10-13 J = 6.1 MeV observé : 7.5 MeV ordre de grandeur correct Le puits carré n a aucune raison d être une bonne approximation d un atome (ni d un noyau) car la forme d un potentiel coulombien est très différente (et tridimensionnelle) Constante de Planck : h = 6.62x10-34 J.s 1 ev = 1.60x10-19 J Masse de l électron : m = 9.11x10-31 kg Masse du proton : m = 1.67x10-27 kg 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 22
23 Le double puits Cas, par exemple, d une molécule ayant deux configurations équivalentes comme l ammoniac NH 3, séparées par une barrière de potentiel Classiquement, elle ne peut pas passer d une configuration à l autre Quantiquement, cela est possible oscillation d un état à l autre V E V=0 x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 23
24 Barrière carrée Passer la barrière (une particule classique ne peut pas franchir la barrière si E < V barrière ) réduit l amplitude de la fonction d onde probabilité d autant plus faible que la barrière est large et que V E est grand ψ 1 e i ω ext x ψ 2 e i ω ext x avec ψ 2 = ψ 1 e ω int Largeur mais ne change pas son énergie ( ω ext = [2m/ħ 2 (E V ext )] ½ est le même de chaque côté ) V barrière E V ext x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 24
25 Effet tunnel Effet tunnel Fonction d onde Onde arrivant devant une barrière de potentiel Avant : sinusoïde (e ipx ) Pendant : exponentielle (e px ) L essentiel est réfléchi Une partie est transmise J.C. Benoist 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 25
26 Émission alpha George Gamow ( ) Zur Quantentheorie des Atomkernes (1928) décroissance exponentielle de la fonction d onde Énergie Fonction d onde α intérieur extérieur Position L alpha préexiste dans le noyau Il est retenu par une barrière de potentiel Il traverse la barrière par effet tunnel loi empirique de Geiger et Nuttall (1911) 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 26
27 Loi de Geiger-Nuttall : demi-vie ~ exp{z/ E} La demi-vie T ½ par transmutation alpha d un élément radioactif diminue très vite quand l énergie de l alpha augmente : Demi-vie T ½ (années) Log[T ½ (s)] Z=94 Z=92 Z=88 Énergie E de l alpha (MeV) Z=84 1/ E 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 27
28 Et dans l autre sens : les fusions nucléaires Fusion : noyau de charge Z 1 q + noyau Z 2 q barrière coulombienne de hauteur E = Z 1 Z 2 q 2 /r noyau V(r) r noyau Répulsion coulombienne Attraction nucléaire (interaction forte) Z 1 = Z 2 = 1 E = 200 kev T = 2x10 9 K r Probabilité de fusion Effet tunnel probabilité fusion dès 10 7 K Énergie cinétique température 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 28
29 Atomes 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 29
30 Équation de Schrödinger en 3 dimensions On cherche des états stationnaires, solutions de H Iψ> = E Iψ> Pour un seul quanton H = P 2 /2m e + V(r) avec potentiel de Coulomb V(r) = q 2 /r En trois dimensions spatiales (et en passant aux fonctions d onde) H = ħ 2 /2m e + V(r) où est le laplacien f = 2 f/ x f/ y f/ z 2 On passe en coordonnées sphériques et on utilise la séparation des variables ψ(r,θ,φ) = R(r) Y(θ,φ) une équation différentielle pour Y(θ,φ) qui ne dépend que de θ et φ mais pas de r la solution doit être invariante sous φ φ + 2π périodicité e imφ nombre quantique m la solution doit être régulière en θ = 0 et θ = π polynôme de Legendre de degré l > m en cos θ et sin θ harmoniques sphériques Y lm (θ,φ) pour l donné, il y a 2l + 1 harmoniques sphériques (de m = l à m = +l ) et une équation différentielle pour R(r) qui dépend de V(r) mais pas de θ ni φ 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 30
31 Harmoniques sphériques Y lm (θ,φ) l, m 1 Y 00 = (4π) 1/2 ( ) 3 1/2 Y 10 = cos θ 4π ( ) 3 1/2 Y 1±1 = sin θe ±iφ 8π ( ) 5 1/2 Y 20 = (3cos 2 θ 1) 16π ( ) 15 1/2 Y 2±1 = cos θ sin θe ±iφ 8π ( ) 15 1/2 Y 2±2 = sin 2 θe ±2iφ 32π 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 31
32 L atome d hydrogène Équation différentielle radiale pour R(r) 2 2m e 1 r 2 d dr des solutions dépendant de l = ( r 2 dr ) [ ] l(l + 1) 2 + V (r) + dr 2m e r 2 R = ER énergie laplacien Coulomb = laplacien moment angulaire et d un nombre quantique n > l R nl (r) correspondant à des énergies E n E n = m e q 4 /2ħ 2 n 2 ce qui est la forme de Bohr R 10 = e r/r 0 avec r 0 = ħ 2 /m e q 2 = 0.53x10-10 m (rayon de Bohr) R 20 = [1 r/2r 0 ] e r/2r 0 orbites mais des orbitales étendues dans l espace R 21 = r/2r 0 e r/2r 0 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 32
33 Orbitales de l hydrogène l s p d f g Orbitales de l atome d hydrogène n s l = 0 p l = 1 d l = 2 f l = 3 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 33
34 Les autres atomes Presque pareil sauf que la partie (énergie) cinétique de l hamiltonien devient ħ/2m e Σ i i avec un laplacien pour chaque électron i la partie potentiel devient V(r 1, r 2 ) = Σ i Zq 2 /r i + Σ i j q 2 / r i r j Potentiel de Coulomb avec le noyau Z Potentiel de Coulomb entre électrons il faut tenir compte du spin des électrons (et du noyau) matrices de Pauli il faut tenir compte de l antisymétrisation de la fonction d onde (les électrons sont des fermions) induit un «couplage spin-orbite» entre composantes de spin et fonctions d onde spatiales par ex. l atome d hélium a une énergie plus basse quand les spins de ses deux électrons sont inverses (état singulet) que lorsqu ils sont identiques (état triplet) il faut tenir compte des corrections relativistes approximations (Wentzel Kramers Brillouin, Hartree-Fock ) résolution numérique 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 34
35 L opérateur Permutation et les symétries quantiques Opérateur permutation P pour un état à deux quanta (Jules et Jim) IJules dans l état A, Jim dans l état B> = IA,B> IJules dans l état B, Jim dans l état A> = IB,A> Permutation PIA,B> = IB,A> et PIB,A> = IA,B> (très général: permutation de positions spatiales, de nombres quantiques, etc. selon ce qui est défini comme état A et comme état B) Quelles sont les valeurs propres λ de P? Et les états propres Iλ>? PIλ> = λ Iλ> P 2 Iλ> = λ 2 Iλ> = Iλ> (puisque P 2 = I = Identité) λ 2 = 1 λ = ±1 Iλ> = α IA,B> + β IB,A> PIλ> = α IB,A> + β IA,B> = ±1 {α IA,B> + β IB,A> } I+1> = IA,B> + IB,A> (car α = β = 1/ 2) état symétrique I 1> = IA,B> IB,A> (car α = β = 1/ 2) état antisymétrique Sous l échange de deux quanta, les «bons» états quantiques sont soit symétriques ( bosons) soit antisymétriques ( fermions principe d exclusion de Pauli) 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 35
36 Wolfgang Pauli et structure atomique Permutations et statistiques quantiques Bose-Einstein Iψ> = (I1,2> + I2,1>)/ 2 Fermi-Dirac Iψ> = (I1,2> I2,1>)/ 2 principe de Pauli (1925) : 2 fermions ne se trouvent jamais dans le même état quantique Énergie Ionisation Explication de la structure atomique les électrons ne peuvent pas tous être dans l état d énergie minimale ils occupent des orbitales d énergie de plus en plus élevée explication du tableau de Mendeleiev n = 3 l = 0 m = 0 n = 2 l = 0 m = 0 Sodium n = 2 l = 1 m = -1, 0, 1 Fondamental n = 1 Néon Avec un nombre quantique à deux valeurs, et par exemple, le spin (Pauli 1924) 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 36
37 Merci de votre attention! 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 37
La fonction d onde et l équation de Schrödinger
Chapitre 1 La fonction d onde et l équation de Schrödinger 1.1 Introduction En physique classique, une particule est décrite par sa position r(t). L évolution de sa position (la trajectoire de la particule)
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. Les quanta s invitent
TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS III CHAPITRE I Les quanta s invitent I-1. L Univers est en constante évolution 2 I-2. L âge de l Univers 4 I-2.1. Le rayonnement fossile témoigne 4 I-2.2. Les amas globulaires
Plus en détailTD 9 Problème à deux corps
PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013 TD 9 Problème à deux corps 1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l étude des étoiles doubles Une étoile
Plus en détailPhysique quantique et physique statistique
Physique quantique et physique statistique 7 blocs 11 blocs Manuel Joffre Jean-Philippe Bouchaud, Gilles Montambaux et Rémi Monasson nist.gov Crédits : J. Bobroff, F. Bouquet, J. Quilliam www.orolia.com
Plus en détailProfesseur Eva PEBAY-PEYROULA
3-1 : Physique Chapitre 8 : Le noyau et les réactions nucléaires Professeur Eva PEBAY-PEYROULA Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Finalité du chapitre
Plus en détailLycée Galilée Gennevilliers. chap. 6. JALLU Laurent. I. Introduction... 2 La source d énergie nucléaire... 2
Lycée Galilée Gennevilliers L'énergie nucléaire : fusion et fission chap. 6 JALLU Laurent I. Introduction... 2 La source d énergie nucléaire... 2 II. Équivalence masse-énergie... 3 Bilan de masse de la
Plus en détailPhotons, expériences de pensée et chat de Schrödinger: une promenade quantique
Photons, expériences de pensée et chat de Schrödinger: une promenade quantique J.M. Raimond Université Pierre et Marie Curie Institut Universitaire de France Laboratoire Kastler Brossel Département de
Plus en détailQu est-ce qu un ordinateur quantique et à quoi pourrait-il servir?
exposé UE SCI, Valence Qu est-ce qu un ordinateur quantique et à quoi pourrait-il servir? Dominique Spehner Institut Fourier et Laboratoire de Physique et Modélisation des Milieux Condensés Université
Plus en détail= b j a i φ ai,b j. = ˆBa i φ ai,b j. = a i b j φ ai,b j. Par conséquent = 0 (6.3)
I Commutation d opérateurs Chapitre VI Les relations d incertitude I Commutation d opérateurs Un des résultats importants établis dans les chapitres précédents concerne la mesure d une observable  : une
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailÉquivalence masse-énergie
CHPITRE 5 NOYUX, MSSE ET ÉNERGIE Équivalence masse-énergie. Équivalence masse-énergie Einstein a montré que la masse constitue une forme d énergie appelée énergie de masse. La relation entre la masse (en
Plus en détailChapitre 5 : Noyaux, masse et énergie
Chapitre 5 : Noyaux, masse et énergie Connaissances et savoir-faire exigibles : () () (3) () (5) (6) (7) (8) Définir et calculer un défaut de masse et une énergie de liaison. Définir et calculer l énergie
Plus en détailA retenir : A Z m n. m noyau MASSE ET ÉNERGIE RÉACTIONS NUCLÉAIRES I) EQUIVALENCE MASSE-ÉNERGIE
CP7 MASSE ET ÉNERGIE RÉACTIONS NUCLÉAIRES I) EQUIVALENCE MASSE-ÉNERGIE 1 ) Relation d'équivalence entre la masse et l'énergie -énergie de liaison 2 ) Une unité d énergie mieux adaptée 3 ) application 4
Plus en détailLa physique quantique couvre plus de 60 ordres de grandeur!
La physique quantique couvre plus de 60 ordres de grandeur! 10-35 Mètre Super cordes (constituants élémentaires hypothétiques de l univers) 10 +26 Mètre Carte des fluctuations du rayonnement thermique
Plus en détailPOLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif -
POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - 1 Suite énoncé des exos du Chapitre 14 : Noyaux-masse-énergie I. Fission nucléaire induite (provoquée)
Plus en détailChapitre n 6 MASSE ET ÉNERGIE DES NOYAUX
Chapitre n 6 MASSE ET ÉNERGIE DES NOYAUX T ale S Introduction : Une réaction nucléaire est Une réaction nucléaire provoquée est L'unité de masse atomique est une unité permettant de manipuler aisément
Plus en détailInteractions des rayonnements avec la matière
UE3-1 : Biophysique Chapitre 2 : Interactions des rayonnements avec la matière Professeur Jean-Philippe VUILLEZ Année universitaire 2011/2012 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
Plus en détailPHYSIQUE QUANTIQUE ET STATISTIQUE PHYS-H-200
UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES Faculté des sciences appliquées Bachelier en sciences de l ingénieur, orientation ingénieur civil Deuxième année PHYSIQUE QUANTIQUE ET STATISTIQUE PHYS-H-200 Daniel Baye revu
Plus en détailStructure quantique cohérente et incohérente de l eau liquide
Structure quantique cohérente et incohérente de l eau liquide Prof. Marc HENRY Chimie Moléculaire du Solide Institut Le Bel, 4, Rue Blaise Pascal 67070 Strasbourg Cedex, France Tél: 03.68.85.15.00 e-mail:
Plus en détailRésonance Magnétique Nucléaire : RMN
21 Résonance Magnétique Nucléaire : RMN Salle de TP de Génie Analytique Ce document résume les principaux aspects de la RMN nécessaires à la réalisation des TP de Génie Analytique de 2ème année d IUT de
Plus en détailChapitre 11: Réactions nucléaires, radioactivité et fission
1re B et C 11 Réactions nucléaires, radioactivité et fission 129 Chapitre 11: Réactions nucléaires, radioactivité et fission 1. Définitions a) Nucléides (= noyaux atomiques) Les nucléides renferment les
Plus en détailComment réaliser physiquement un ordinateur quantique. Yves LEROYER
Comment réaliser physiquement un ordinateur quantique Yves LEROYER Enjeu: réaliser physiquement -un système quantique à deux états 0 > ou 1 > -une porte à un qubitconduisant à l état générique α 0 > +
Plus en détailOscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à
Plus en détaila. Fusion et énergie de liaison des noyaux b. La barrière Coulombienne c. Effet tunnel & pic de Gamov
V. Les réactions r thermonucléaires 1. Principes a. Fusion et énergie de liaison des noyaux b. La barrière Coulombienne c. Effet tunnel & pic de Gamov 2. Taux de réactions r thermonucléaires a. Les sections
Plus en détailLa physique nucléaire et ses applications
La physique nucléaire et ses applications I. Rappels et compléments sur les noyaux. Sa constitution La représentation symbolique d'un noyau est, dans laquelle : o X est le symbole du noyau et par extension
Plus en détailContenu pédagogique des unités d enseignement Semestre 1(1 ère année) Domaine : Sciences et techniques et Sciences de la matière
Contenu pédagogique des unités d enseignement Semestre 1(1 ère année) Domaine : Sciences et techniques et Sciences de la matière Algèbre 1 : (Volume horaire total : 63 heures) UE1 : Analyse et algèbre
Plus en détailAtelier : L énergie nucléaire en Astrophysique
Atelier : L énergie nucléaire en Astrophysique Elisabeth Vangioni Institut d Astrophysique de Paris Fleurance, 8 Août 2005 Une calculatrice, une règle et du papier quadrillé sont nécessaires au bon fonctionnement
Plus en détailQuantité de mouvement et moment cinétique
6 Quantité de mouvement et moment cinétique v7 p = mv L = r p 1 Impulsion et quantité de mouvement Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt. La vitesse du corps varie de Δv = v f -
Plus en détailModule d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
Module d Electricité 2 ème partie : Electrostatique Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1 Introduction Principaux constituants de la matière : - protons : charge
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailEtrangeté et paradoxe du monde quantique
Etrangeté et paradoxe du monde quantique Serge Haroche La physique quantique nous a donné les clés du monde microscopique des atomes et a conduit au développement de la technologie moderne qui a révolutionné
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailLes Prix Nobel de Physique
Revue des Questions Scientifiques, 2013, 184 (3) : 231-258 Les Prix Nobel de Physique Plongée au cœur du monde quantique Bernard Piraux et André Nauts Institut de la Matière Condensée et des Nanosciences
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailTHEME 2. LE SPORT CHAP 1. MESURER LA MATIERE: LA MOLE
THEME 2. LE SPORT CHAP 1. MESURER LA MATIERE: LA MOLE 1. RAPPEL: L ATOME CONSTITUANT DE LA MATIERE Toute la matière de l univers, toute substance, vivante ou inerte, est constituée à partir de particules
Plus en détailTransformations nucléaires
I Introduction Activité p286 du livre Transformations nucléaires II Les transformations nucléaires II.a Définition La désintégration radioactive d un noyau est une transformation nucléaire particulière
Plus en détailChapitre I- Le champ électrostatique. I.1.1- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique
Chapitre I- Le champ électrostatique I.- Notions générales I..- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique Quiconque a déjà vécu l expérience désagréable d une «décharge électrique» lors
Plus en détailStabilité et Réactivité Nucléaire
Chapitre 1 Stabilité et Réactivité Nucléaire Les expériences, maintes fois répétées, montraient chaque fois que les déflexions subies par les particules chargées en interaction avec les noyaux ne correspondaient
Plus en détailMécanique Quantique EL OUARDI EL MOKHTAR LABORATOIRE MÉCANIQUE & ÉNERGÉTIQUE SPÉCIALITÉ : PROCÈDES & ÉNERGÉTIQUE. E-MAIL : dataelouardi@yahoo.
Mécanique Quantique EL OUARDI EL MOKHTAR LABORATOIRE MÉCANIQUE & ÉNERGÉTIQUE SPÉCIALITÉ : PROCÈDES & ÉNERGÉTIQUE E-MAIL : dataelouardi@yahoo.fr Site Web : dataelouardi.jimdo.com La physique en deux mots
Plus en détailChapitre 1. Une particule quantique sans spin, à 1 dimension (I) 1.1 Espace des états : les fonctions d'ondes
Chapitre 1 Une particule quantique sans spin, à 1 dimension (I) Dans ce chapitre il y a beaucoup de rappels du cours de licence, mais avec une présentation aussi un peu plus formelle. Nous allons étudier
Plus en détailEquations de Dirac et fermions fondamentaux ( Première partie )
Annales de la Fondation Louis de Broglie, Volume 24, 1999 175 Equations de Dirac et fermions fondamentaux ( Première partie ) Claude Daviau La Lande, 44522 Pouillé-les-coteaux, France email : cdaviau@worldnet.fr
Plus en détailPanorama de l astronomie
Panorama de l astronomie 7. Les étoiles : évolution et constitution des éléments chimiques Karl-Ludwig Klein, Observatoire de Paris Gaël Cessateur & Gilles Theureau, Lab Phys. & Chimie de l Environnement
Plus en détailPuissance et étrangeté du quantique Serge Haroche Collège de France et Ecole Normale Supérieure (Paris)
Puissance et étrangeté du quantique Serge Haroche Collège de France et Ecole Normale Supérieure (Paris) La physique quantique nous a donné les clés du monde microscopique des atomes et a conduit au développement
Plus en détailSYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières
Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) TRAN Minh Tâm Table des matières Applications de la loi de Newton pour la rotation 93 Le gyroscope........................ 93 L orbite
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailLE PHYSICIEN FRANCAIS SERGE HAROCHE RECOIT CONJOINTEMENT LE PRIX NOBEL DE PHYSIQUE 2012 AVEC LE PHYSICIEN AMERCAIN DAVID WINELAND
LE PHYSICIEN FRANCAIS SERGE HAROCHE RECOIT CONJOINTEMENT LE PRIX NOBEL DE PHYSIQUE 0 AVEC LE PHYSICIEN AMERCAIN DAVID WINELAND SERGE HAROCHE DAVID WINELAND Le physicien français Serge Haroche, professeur
Plus en détailErratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2
Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailC4: Réactions nucléaires, radioactivité et fission
1re B et C C4 Réactions nucléaires, radioactivité et fission 30 C4: Réactions nucléaires, radioactivité et fission 1. Définitions a) Nucléides (= noyaux atomiques) Les nucléides renferment les nucléons:
Plus en détailCompléments - Chapitre 5 Spectroscopie
ompléments - hapitre 5 Spectroscopie Spectroscopie par résonance magnétique nucléaire (RMN 13 ) Tandis que la spectroscopie RMN 1 H fournit des données sur la disposition des atomes d'hydrogène dans une
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailPROBLÈMES DE RELATIVITÉ RESTREINTE (L2-L3) Christian Carimalo
PROBLÈMES DE RELATIVITÉ RESTREINTE (L2-L3) Christian Carimalo I - La transformation de Lorentz Dans tout ce qui suit, R(O, x, y, z, t) et R (O, x, y, z, t ) sont deux référentiels galiléens dont les axes
Plus en détailCalculateur quantique: factorisation des entiers
Calculateur quantique: factorisation des entiers Plan Introduction Difficulté de la factorisation des entiers Cryptographie et la factorisation Exemple RSA L'informatique quantique L'algorithme quantique
Plus en détailVoir un photon sans le détruire
Voir un photon sans le détruire J.M. Raimond Université Pierre et Marie Curie UPMC sept 2011 1 Un siècle de mécanique quantique: 1900-2010 Planck (1900) et Einstein (1905): Quanta lumineux la lumière est
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailDM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique
DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 200, avec une fusée Ariane, un satellite
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailTechniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité
Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité Andreea Grigoriu avec Jean-Michel Coron, Cătălin Lefter and Gabriel Turinici CEREMADE-Université Paris Dauphine
Plus en détailChapitre II PHÉNOMÈNES RADIATIFS: PROPRIÉTÉS D EMISSION. f AB = mc 2 e 2. β 1 k(υ)dυ N
1 Chapitre II PHÉNOMÈNES RADIATIFS: PROPRIÉTÉS D EMISSION Compte tenu des règles de sélection une émission peut être observée si un gap d énergie important existe entre l état fondamental et un des états
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailTransformations nucléaires
Transformations nucléaires Stabilité et instabilité des noyaux : Le noyau d un atome associé à un élément est représenté par le symbole A : nombre de masse = nombre de nucléons (protons + neutrons) Z :
Plus en détail5. Les conducteurs électriques
5. Les conducteurs électriques 5.1. Introduction Un conducteur électrique est un milieu dans lequel des charges électriques sont libres de se déplacer. Ces charges sont des électrons ou des ions. Les métaux,
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détail1.2 Coordinence. Notion de liaison de coordinence : Cas de NH 3. et NH 4+ , 3 liaisons covalentes + 1 liaison de coordinence.
Règle de l octet : tendance qu on les atomes à s entourer de 8 électrons dans l édifice moléculaire. Ce n est pas une règle générale. Composés respectant la règle de l octet Composés ne respectant pas
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailÀ propos d ITER. 1- Principe de la fusion thermonucléaire
À propos d ITER Le projet ITER est un projet international destiné à montrer la faisabilité scientifique et technique de la fusion thermonucléaire contrôlée. Le 8 juin 005, les pays engagés dans le projet
Plus en détailPHYSIQUE-CHIMIE. Partie I - Spectrophotomètre à réseau
PHYSIQUE-CHIMIE L absorption des radiations lumineuses par la matière dans le domaine s étendant du proche ultraviolet au très proche infrarouge a beaucoup d applications en analyse chimique quantitative
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailIntroduction à la physique nucléaire et aux réacteurs nucléaires
Introduction à la physique nucléaire et aux réacteurs nucléaires Nassiba Tabti A.E.S.S. Physique (A.E.S.S. Physique) 5 mai 2010 1 / 47 Plan de l exposé 1 La Radioactivité Découverte de la radioactivité
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailEnergie nucléaire. Quelques éléments de physique
Energie nucléaire Quelques éléments de physique Comment produire 1 GW électrique Nucléaire (rendement 33%) Thermique (38%) Hydraulique (85%) Solaire (10%) Vent : 27t d uranium par an : 170 t de fuel par
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailAucune frontière entre. Jean-Louis Aimar
Jean-Louis Aimar Aucune frontière entre la Vie et la Mort 2 2 «Deux systèmes qui se retrouvent dans un état quantique ne forment plus qu un seul système.» 2 3 42 Le chat de Schrödinger L expérience du
Plus en détailtitre.dsf - Page : 1 Ordinateur quantique: rêves et réalité 1 + 2 J.M. Raimond Laboratoire Kastler Brossel
titre.dsf - Page : Ordinateur quantique: rêves et réalité b + g 2 J.M. Raimond Laboratoire Kastler Brossel intro.dsf - Page : Il existe des superpositions d'états logiques b 2 +, g n n valeurs Un ordinateur
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailAndrei A. Pomeransky pour obtenir le grade de Docteur de l Université Paul Sabatier. Intrication et Imperfections dans le Calcul Quantique
THÈSE présentée par Andrei A. Pomeransky pour obtenir le grade de Docteur de l Université Paul Sabatier Intrication et Imperfections dans le Calcul Quantique Directeur de thèse : Dima L. Shepelyansky Co-directeur
Plus en détailStabilité et instabilité des systèmes quantiques à petit nombre de corps, applications en physique atomique, nucléaire et hadronique
Stabilité et instabilité des systèmes quantiques à petit nombre de corps, applications en physique atomique, nucléaire et hadronique Jean-Marc Richard Laboratoire de Physique Subatomique et Cosmologie
Plus en détailChapitre 6. Réactions nucléaires. 6.1 Généralités. 6.1.1 Définitions. 6.1.2 Lois de conservation
Chapitre 6 Réactions nucléaires 6.1 Généralités 6.1.1 Définitions Un atome est constitué d électrons et d un noyau, lui-même constitué de nucléons (protons et neutrons). Le nombre de masse, noté, est le
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailLes rayons X. Olivier Ernst
Les rayons X Olivier Ernst Lille La physique pour les nuls 1 Une onde est caractérisée par : Sa fréquence F en Hertz (Hz) : nombre de cycle par seconde Sa longueur λ : distance entre 2 maximum Sa vitesse
Plus en détailI - Quelques propriétés des étoiles à neutrons
Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est
Plus en détailPHY113 : Cours de Radioactivité 2009-2010
Cours de Radioactivité Le but de ce cours est de permettre aux étudiants qui seront amenés à utiliser des sources radioactives d acquérir les bases de la radioactivité. Aussi bien au niveau du vocabulaire
Plus en détail8/10/10. Les réactions nucléaires
Les réactions nucléaires En 1900, à Montréal, Rutherford observa un effet curieux, lors de mesures de l'intensité du rayonnement d'une source de thorium [...]. L'intensité n'était pas la même selon que
Plus en détailEnergie Nucléaire. Principes, Applications & Enjeux. 6 ème - 2014/2015
Energie Nucléaire Principes, Applications & Enjeux 6 ème - 2014/2015 Quelques constats Le belge consomme 3 fois plus d énergie que le terrien moyen; (0,56% de la consommation mondiale pour 0,17% de la
Plus en détailLes machines de traitement automatique de l information
L ordinateur quantique : un défi pour les epérimentateurs Fonder un système de traitement de l information sur la logique quantique plutôt que sur la logique classique permettrait de résoudre infiniment
Plus en détailDM 10 : La fusion nucléaire, l énergie de l avenir? CORRECTION
Physique Chapitre 4 Masse, énergie, et transformations nucléaires DM 10 : La fusion nucléaire, l énergie de l avenir? CORRECTION Date :. Le 28 juin 2005, le site de Cadarache (dans les bouches du Rhône)
Plus en détailStructure et Evolution des étoiles
Structure et Evolution des étoiles Rayon = 0.697 10 6 km Luminosité = 3.826 10 26 W Notre Soleil Mesurable connaissant : - Sa distance d (mesure de parallaxe) - Son diamètre angulaire θ R = d tg θ/2 Mesurable
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailCaractéristiques des ondes
Caractéristiques des ondes Chapitre Activités 1 Ondes progressives à une dimension (p 38) A Analyse qualitative d une onde b Fin de la Début de la 1 L onde est progressive puisque la perturbation se déplace
Plus en détail5 >L énergie nucléaire: fusion et fission
LA COLLECTION > 1 > L atome 2 > La radioactivité 3 > L homme et les rayonnements 4 > L énergie 6 > Le fonctionnement d un réacteur nucléaire 7 > Le cycle du combustible nucléaire 8 > La microélectronique
Plus en détailComprendre l Univers grâce aux messages de la lumière
Seconde / P4 Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière 1/ EXPLORATION DE L UNIVERS Dans notre environnement quotidien, les dimensions, les distances sont à l échelle humaine : quelques mètres,
Plus en détailOù est passée l antimatière?
Où est passée l antimatière? CNRS-IN2P3 et CEA-DSM-DAPNIA - T1 Lors du big-bang, à partir de l énergie disponible, il se crée autant de matière que d antimatière. Alors, où est passée l antimatière? Existe-t-il
Plus en détailINTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE
INTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE Le schéma synoptique ci-dessous décrit les différentes étapes du traitement numérique
Plus en détail