CHAMPS & PARTICULES. Mécanique Quantique. Alain Bouquet. Laboratoire AstroParticule & Cosmologie

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1 CHAMPS & PARTICULES Mécanique Quantique Alain Bouquet Laboratoire AstroParticule & Cosmologie Université Denis Diderot Paris 7, CNRS, Observatoire de Paris & CEA

2 Les axiomes de la mécanique quantique 1 Les états d un système quantique forment un espace vectoriel complexe. 2 Les quantités observables sont représentées par des opérateurs linéaires hermitiens agissant sur cet espace vectoriel. 3 La mesure de l une de ces quantités donne l une des valeurs propres (réelles) de l opérateur correspondant. 4 Si l état du système avant la mesure est une combinaison linéaire des états propres de l opérateur, la mesure donne une des valeurs propres avec une amplitude de probabilité égale au poids du vecteur propre correspondant dans la combinaison linéaire. 5 L état du système après la mesure est l état propre correspondant à la valeur propre mesurée. 6 En dehors de la mesure, l évolution temporelle est donnée par l opérateur hamiltonien. 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 2

3 Du ket Iψ> à la fonction d onde ψ(x) Opérateur position X états propres de position Ix> X Ix> = x Ix> Opérateur hermitien valeurs propres réelles et états propres = base État Iψ> quelconque décomposition Iψ> = Σ x α x Ix> avec α x = <xiψ> Si les positions ont des valeurs continues [cas général] Σ x dx et α x α(x) Mais pourquoi ne pas plutôt écrire ψ(x) au lieu de α(x)? ψ(x) <xiψ> Particule au point x onde s étalant autour du point x fonction d onde donnant l amplitude de probabilité de trouver une particule au point x état Iψ> On peut faire de même avec l opérateur impulsion P P Ip> = p Ip> ~ ψ(p) <piψ> [transformée de Fourier de ψ(x)] 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 3

4 Évolution Au cours du temps 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 4

5 Évolution au cours du temps d un système quantique Système quantique espace vectoriel E État au temps t 1 vecteur Iψ(t 1 )> État au temps t 2 vecteur Iψ(t 2 )> il doit exister un opérateur U tel que U Iψ(t 1 )> = Iψ(t 2 )> Il s avère que cet opérateur U (qui dépend des temps t 1 et t 2 ) doit être 1. linéaire 2. unitaire [U U = I] 3. identique pour tous les vecteurs sinon on se heurte à des difficultés avec la causalité, avec l interprétation probabiliste, ou avec les observations U unitaire <φ(t 2 )Iψ(t 2 )> = <φ(t 1 )Iψ(t 1 ) > en particulier des états orthogonaux (= physiquement distincts) demeurent orthogonaux 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 5

6 Opérateur hamiltonien Soit un système dans l état Iψ(0)> au temps t 1 = 0, et dans l état Iψ(t)> au temps t Iψ(t)> = U(t) Iψ(0)> Pour un temps t = ε infinitésimalement près de t = 0, U(t) peut se développer en série : U(ε) = U(0) + ε opérateur + ε 2 opérateur + U(0) = I, et pour des raisons historiques J on écrit la série comme: U(ε) = I i/ħ ε H + U (ε) = I + i/ħ ε H + U (ε) U(ε) = [ I + i/ħ ε H + ] [I i/ħ ε H + ] = I + i/ħ ε [ H H ] + = I H H = 0 H est un opérateur hermitien Par comparaison avec la physique classique, cet opérateur correspond à l hamiltonien et ses valeurs propres sont les énergies possibles du système 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 6

7 Équation de Schrödinger Partons de Iψ(t)> = U(t) Iψ(0)> Iψ(ε)> = U(ε) Iψ(0)> = [ I i/ħ ε H ] Iψ(0)> = Iψ(0)> i/ħ ε H Iψ(0)> [Iψ(ε)> Iψ(0)>]/ε d/dt Iψ(0)> = i/ħ H Iψ(0)> Mais t = 0 ne jouait pas de rôle particulier d/dt Iψ(t)> = i/ħ H Iψ(t)> ce qui est l équation de Schrödinger L opérateur hamiltonien H est le même pour tous les états Tout ce qui reste à faire est d écrire cet hamiltonien H = K + V Terme cinétique K (= P 2 /2m dans le cas non relativiste sans spin) pour chaque quanton Terme potentiel V décrivant l interaction des quantons entre eux, et avec l extérieur et de résoudre l équation différentielle 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 7

8 Représentations de Schrödinger et de Heisenberg Représentation de Schrödinger Les opérateurs O ne dépendent pas du temps Les états Iψ(t)> dépendent du temps : Iψ(t)> = U(t, t 0 ) Iψ(t 0 )> Ils évoluent suivant l équation de Schrödinger iħ / t Iψ(t)> = H Iψ(t)> U(t, t 0 ) = exp{ -i/ħ H (t-t 0 ) } Représentation de Heisenberg Les états Iψ> ne dépendent pas du temps Les opérateurs O dépendent du temps : O(t) = U 1 (t, t 0 ) O(t 0 ) U(t, t 0 ) U(t, t 0 ) = exp{ -i/ħ H (t-t 0 ) } Dans les deux cas, les observations sont identiques (par exemple les valeurs moyennes des opérateurs) Représentation d interaction Décomposition de l hamiltonien en deux parties : H = H libre + H interaction Les opérateurs évoluent avec H libre Les états «d interaction» Iψ int (t)> évoluent avec H int iħ / t Iψ int (t)> = H int Iψ int (t)> L état «complet» Iψ(t)> = U libre Iψ int (t)> 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 8

9 L équation de Schrödinger 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 9

10 Équation de Schrödinger i ħ d/dt Iψ(t)> = H Iψ(t)> Procédure standard se donner un opérateur H si H ne dépend pas du temps [cas très fréquent] résoudre l équation aux valeurs propres H Iψ> = E Iψ> [dite équation de Schrödinger indépendante du temps] valeurs propres (énergies) E i indépendantes du temps et états propres correspondants IE i > indépendants du temps [ pas tout à fait : à une phase e i/ħ E i t près ] état quelconque Iψ(t)> = Σ i α i (t) IE i > = Σ i α i (0) e i/ħ Ei t IE i > 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 10

11 Évolution temporelle d un état Opérateur hamiltonien H indépendant du temps valeurs propres (énergie) E i et états propres IE i > donnés par H IE i > = E i IE i > Équation de Schrödinger d/dt IE i )> = i/ħ H Iψ(t)> = i/ħ E i IE i > IE i (t)> = e i/ħ E i t IE i (0)> les deux vecteurs IE i (t)> et IE i (0)> ne diffèrent que par une phase e i/ħ E i t ils décrivent le même état physique un état d énergie définie est stationnaire (il ne change pas au cours du temps) état quelconque Iψ(t)> = Σ i α i (t)i E i > = Σ i α i (0) e i/ħ E i t I E i > 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 11

12 ( A) ψ = ψ ψ A 2 ψ ψ A ψ 2 (6.2) 6.2 Exemple : l ion H + 2 Nous voudrions maintenant appliquer les postulats énoncés à une situation concrète. Malheureusement, le traitement rigoureux des situations même les plus simples entraîne le plus souvent l utilisation d espaces d états de dimension infinie, et nous voudrions démarrer avec un exemple où l on puisse tout calculer à l aide de l algèbre linéaire élémentaire. Il existe un système très important qui répond à ce besoin : la description des états de spin d une particule telle que l électron. Cependant nous n avons pas encore parlé de spin, et nous ne voulons pas introduire maintenant cette nouvelle difficulté. C est pourquoi nous optons pour l étude d un système qui peut, en première approximation, se traiter à l aide d un espace des é t a t s d e d i m e n s i o n 2 ( o n d i t p a r f o i s un système à deux niveaux ). Il s agit de l ion positif H 2 +.Notre Application à un qubit Système traitement quantique suit essentiellement à deux [10] états p I1> Voir et aussi I2> [8],, p. vecteurs propres d un opérateur (la position X par exemple, dans une description élémentaire de l ion H 2+ ) e - e - e - e - Supposons que l hamiltonien H ait la forme : puisque H est hermitien, E est réel de même que ε Les valeurs propres et les vecteurs propres de cet hamiltonien sont λ = E + ε I+> = [ e iϑ I1> + I2> ]/ 2 λ = E ε I > = [ e iϑ I1> I2> ]/ 2 État I1> État I2> d + p+ p+ 1 p+ 2 d p+ p 1 1 p+ 2 2 p+ 1 p+ 2! H = # " H 11 H 12 $! & = # E ε e iϑ # % " ε e iϑ E Figure 6.1 Figure Les6.1 deux Les états deux l ion étatsh de + l ion H Ce système Ceest système constitué est constitué de deux protons de deuxp protons + p H et p+ 2 et d un et p+ 2 électron et d un e électron.noussupposonsqueladistance e d entre les d entre deux les protons deux n évolue protons n évolue pas au cours pas au ducours temps, duettemps, qu au et niveau qu aud approximation niveau d approximation où nous où nous nous plaçons, nous l ion plaçons, H l ion H puisse être puisse observé être 22 dans observé l undans des deux l un des états deux suivants états : suivants H H+ : H ou H H+ + ou H. H La + H. La signification signification précise deprécise cet énoncé de cetest énoncé la suivante est la : suivante si l on mesure : si l onla mesure position la de position l électron, de l électron, trouvera on trouvera qu il est soit qu il proche est soit deproche p + p + 1,soitprochedep+ 1,soitprochedep+ 2. Àcesdeuxétatsnousassocionsrespectivementdesvecteurs 2. d états notés d états 1 notés et 2, 1 formant et 2, une formant baseune baseorthonormée d unespace d unde espace Hilbert de de Hilbert dimension dedimension Cette démarche Cette démarche respecte les respecte postulats les postulats que nous que avons nous énoncés. avons En énoncés. effet, En ce que effet, nous ce que affirmons nous affirmons en réalitéen réalité c est que c est nous que considérons nous considérons que le système que leest système entièrement est entièrement décritparunevariabledynamique,laposition x de l électron x de l électron par rapport parau rapport centreau decentre masse desmasse deux des protons, deux ne protons, pouvant ne prendre pouvantque prendre deuxque valeurs. deux À valeurs. À cette variable cettedynamique variable dynamique est associée estune associée observable une observable X conformément X conformément au postulat au 3. postulat Les résultats 3. Les résultats d une d une mesure demesure x donnent de x toujours donnent d/2 toujours oud/2 d/2selonnotrehypothèse.ilenrésultequelespectredex oud/2 ( ( est ) est ) d/2 0 d/2 0 constitué constitué de ces deux valeurs. ces deuxl opérateur valeurs. L opérateur le plus simple plus ayant simple ce spectre ayant cea spectre pour matricea pour matrice 0 d/20 d/2 si ε dans = 0, une les dans base deux une vecteurs base valeurs de vecteurs propres. propres. L état de 1 L état l hamiltonien introduit 1 introduit plus haut sont plus est haut simplement dégénérées est simplement un vecteur et toute unpropre vecteur combinaison propre normalisé normalisé de X associé de Xà associé la valeur à la propre valeur d/2, propre et d/2, 2 estet un 2 vecteur est unpropre vecteur normalisé propre normalisé associé à associé l autre à l autre linéaire de I+> et de I > (ou de I1> et de I2>) est vecteur propre valeur propre. valeurle propre. point sur Le point lequelsur nous lequel voulons nousinsister voulonsest insister le suivant est le: suivant quand nous : quand disons nous que disons le système que le système ne peut s observer ne peut s observer dans l undans ou l autre l un oudel autre deux états de deux lorsque étatsl on lorsque regarde l onoù regarde se trouve où se l électron, trouve l électron, nousne nousne voulons pas voulons dire que pas le dire système que lene système peut pas ne peut ê t r e dans pas ê un t r e autre dans un état. autre En fait, état. leen principe fait, le de principe superposition de superposition quantique quantique indique indique toutes que lestoutes combinaisons les combinaisons linéaires complexes linéaires complexes du type α 1 du type + β 2, α 1 c est-à-diretous + β 2, c est-à-diretous 28/01/13 les éléments les éléments de l espace devectoriel l espace vectoriel complexe complexe engendré engendré par 1 et par 2, 1 représentent et 2, représentent desétatsdes duétats système. dusystème. Simplement, Alain Bouquet Particules 12 Simplement, dans un état dans un superposé état superposé la position la de position l électron de l électron n est pasn est déterminée. pas déterminée. Elle ne l est Elleque ne l est que 12 si α ou βsi est α nul ou β(le est vecteur nul (led état vecteur estd état alors un est vecteur alors unpropre vecteur depropre X). de X). Nous nous Nous demandons nous demandons maintenant maintenant ce qui sece passe qui si se nous passemesurons si nous mesurons l énergie l énergie du système. du système. On sait que On sait que $ & & % ce terme-ci assure une transition de l état I1> à l état I2>

13 Évolution temporelle du qubit Supposons que l état initial soit l état I1> (par exemple parce que la position a été mesurée) Ce n est pas un des états propres de l hamiltonien (sauf dégénénérescence) I1> = e iϑ / 2 [ I+> + I > ] I2> = 1/ 2 [ I+> I > ] Iψ(t)> = e iϑ / 2 [e i/ħ (E+ε) t I+> + e i/ħ (E ε) t I >] Quelle est la probabilité qu une mesure de position au temps t donne I1> ou I2>? p 1 (t) <1Iψ(t)> = e +iϑ / 2 [ <+I + < I ] e iϑ / 2 [e i/ħ (E+ε) t I+> + e i/ħ (E ε) t I >] p 1 (t) = e i/ħ Et [e i/ħ ε t + e + i/ħ ε t ]/2 = e i/ħ Et cos[εt/ħ] probabilité P 1 (t) = p 1 (t) 2 = cos 2 [εt/ħ] et P 2 (t) = 1 P 1 (t) = sin 2 [εt/ħ] le système oscille périodiquement entre les états I1> et I2> avec une fréquence d oscillation ν = ε/2πħ = ε/h ε = hν 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 13

14 Application : les mésons K 0 Ǩ 0 et K L K S Les mésons K, des particules étranges : rapides à produire (collisions proton-méson π) mais longues à se désintégrer nouveau nombre quantique, l étrangeté S production = interaction forte conservant S production par paires particules «V» désintégration = interaction faible violant S K 0 : masse 498 MeV formé d un quark d et d un antiquark s étrangeté S = +1 Ǩ 0 : masse 498 MeV formé d un antiquark d et d un quark s étrangeté S = 1 Mais deux durées de vie très différentes combinaisons K L et K S Pais et Gell-Mann (1955) K 0 et Ǩ 0 états propres de l interaction forte K L K S états propres de l interaction faible hamiltonien avec ε << E conservation de CP K S 2 π et K L 3 π durées de vie très différentes K 0 = K S + K L K L par disparition de K S mais «régénération» possible : K L = K 0 + Ǩ 0 interactions (fortes) différentes dans la matière changement des proportions de K 0 et Ǩ 0 réapparition de K S H =! # " E ε ε E $ & % 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 14

15 Puits et Barrières de potentiel 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 15

16 Potentiel constant V(x) = V < E Potentiel constant équation de Schrödinger ħ 2 /2m 2 ψ(x)/ x 2 + V ψ(x) = E ψ(x) Équation d onde banale, de la forme ψ + ω 2 ψ = 0 avec ω 2 = 2m/ħ 2 [E V] ψ(x) = A cos ωx + B sin ωx (A et B sont des nombres complexes) ψ(x) = ψ 1 e i ω x + ψ 2 e i ω x [ ψ(x) 2 dx = Heisenberg ] Longueur d onde λ = 2π/ω = 2π ħ / [2m(E V)] ½ = h / [2m ½ mv 2 ] ½ = h/mv = λ de Broglie E V x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 16

17 Diffusion par un potentiel En une dimension : «particule» approchant du «puits de potentiel» et accélérée par lui ( augmentation d énergie cinétique augmentation de fréquence), puis s en éloignant et revenant à son état antérieur ω ext = 2π/h [2m(E V ext )] ½ ω int = 2π/h [2m(E V int )] ½ Très schématiquement : E V ext V int x 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 17

18 Diffusion par un potentiel En deux ou trois dimensions, la direction du mouvement peut aussi changer Très schématiquement : 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 18

19 Potentiel constant V(x) = V > E Et si V > E? Classiquement impossible (E = ½ mv 2 + V) mais quantiquement permis ω 2 = 2m/ħ 2 [E V] < 0 ω est imaginaire pur ω = i ω = i [2m/ħ 2 (V E)] ½ ψ(x) = ψ 0 e i ω x = ψ 0 e ω x exponentielle décroissante Si E < V pour tout x, la solution est ψ(x) 0 ce qui n est pas très intéressant Si E < V pour x > x 0 seulement, la solution est sinusoïdale pour x < x 0 et décroît exponentiellement pour x > x 0, avec une échelle de décroissance λ = 1/ ω V E x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 19

20 Puits carré : une particule dans une boîte L amplitude de la fonction d onde décroît exponentiellement en dehors du puits ψ int (x) = ψ 0 e i ω int x ψ ext (x) = ψ 1 e ω ext x avec ω int = 2π/h [2m(E V int )] ½ et ω ext = 2π/h [2m(V ext E)] ½ Pour un puits très profond (V ext ) la fonction d onde s annule aux bords confinement V ext E V int L x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 20

21 Puits carré : une particule dans une boîte Prenons V ext et (sans perte de généralité) V int = 0 ω = 2π/h [2mE] ½ La fonction d onde ψ(x) = ψ 0 e i ω x s annule aux bords ω = π n/l Largeur L = multiple entier de ( ½ ) longueurs d onde ω = π n/l = 2π/h [2mE] ½ E = n 2 h 2 /8mL 2 les énergies sont quantifiées : E n = n 2 E 1 avec E 1 = h 2 /8mL 2 il existe une énergie minimale non-nulle, E 1 plus le confinement est important, plus l énergie minimale est élevée E L 0 E 1 [ inégalité de Heisenberg] plus la masse m est petite, plus l énergie minimale est élevée m 0 E 1 [ inégalité de Heisenberg] L x 28/01/13 Alain Bouquet Particules

22 Application : atome et noyau de carbone E = h 2 /8mL 2 Atome Densité du carbone et nombre d Avogadro diamètre d un atome ~ 1.5 Å = 1.5x10-10 m E e = 2.67x10-18 J = 16.7 ev observé : 11.3 ev ordre de grandeur correct E p = 1.46x10-21 J = ev << énergie thermique ~ 0.04 ev Noyau Expériences de diffusion diamètre du noyau de carbone ~ 5.8 fm = 5.8x10-15 m E e = 1.78x10-9 J = 11.2 GeV il ne peut pas y avoir d électron dans le noyau E e = 9.75x10-13 J = 6.1 MeV observé : 7.5 MeV ordre de grandeur correct Le puits carré n a aucune raison d être une bonne approximation d un atome (ni d un noyau) car la forme d un potentiel coulombien est très différente (et tridimensionnelle) Constante de Planck : h = 6.62x10-34 J.s 1 ev = 1.60x10-19 J Masse de l électron : m = 9.11x10-31 kg Masse du proton : m = 1.67x10-27 kg 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 22

23 Le double puits Cas, par exemple, d une molécule ayant deux configurations équivalentes comme l ammoniac NH 3, séparées par une barrière de potentiel Classiquement, elle ne peut pas passer d une configuration à l autre Quantiquement, cela est possible oscillation d un état à l autre V E V=0 x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 23

24 Barrière carrée Passer la barrière (une particule classique ne peut pas franchir la barrière si E < V barrière ) réduit l amplitude de la fonction d onde probabilité d autant plus faible que la barrière est large et que V E est grand ψ 1 e i ω ext x ψ 2 e i ω ext x avec ψ 2 = ψ 1 e ω int Largeur mais ne change pas son énergie ( ω ext = [2m/ħ 2 (E V ext )] ½ est le même de chaque côté ) V barrière E V ext x 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 24

25 Effet tunnel Effet tunnel Fonction d onde Onde arrivant devant une barrière de potentiel Avant : sinusoïde (e ipx ) Pendant : exponentielle (e px ) L essentiel est réfléchi Une partie est transmise J.C. Benoist 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 25

26 Émission alpha George Gamow ( ) Zur Quantentheorie des Atomkernes (1928) décroissance exponentielle de la fonction d onde Énergie Fonction d onde α intérieur extérieur Position L alpha préexiste dans le noyau Il est retenu par une barrière de potentiel Il traverse la barrière par effet tunnel loi empirique de Geiger et Nuttall (1911) 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 26

27 Loi de Geiger-Nuttall : demi-vie ~ exp{z/ E} La demi-vie T ½ par transmutation alpha d un élément radioactif diminue très vite quand l énergie de l alpha augmente : Demi-vie T ½ (années) Log[T ½ (s)] Z=94 Z=92 Z=88 Énergie E de l alpha (MeV) Z=84 1/ E 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 27

28 Et dans l autre sens : les fusions nucléaires Fusion : noyau de charge Z 1 q + noyau Z 2 q barrière coulombienne de hauteur E = Z 1 Z 2 q 2 /r noyau V(r) r noyau Répulsion coulombienne Attraction nucléaire (interaction forte) Z 1 = Z 2 = 1 E = 200 kev T = 2x10 9 K r Probabilité de fusion Effet tunnel probabilité fusion dès 10 7 K Énergie cinétique température 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 28

29 Atomes 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 29

30 Équation de Schrödinger en 3 dimensions On cherche des états stationnaires, solutions de H Iψ> = E Iψ> Pour un seul quanton H = P 2 /2m e + V(r) avec potentiel de Coulomb V(r) = q 2 /r En trois dimensions spatiales (et en passant aux fonctions d onde) H = ħ 2 /2m e + V(r) où est le laplacien f = 2 f/ x f/ y f/ z 2 On passe en coordonnées sphériques et on utilise la séparation des variables ψ(r,θ,φ) = R(r) Y(θ,φ) une équation différentielle pour Y(θ,φ) qui ne dépend que de θ et φ mais pas de r la solution doit être invariante sous φ φ + 2π périodicité e imφ nombre quantique m la solution doit être régulière en θ = 0 et θ = π polynôme de Legendre de degré l > m en cos θ et sin θ harmoniques sphériques Y lm (θ,φ) pour l donné, il y a 2l + 1 harmoniques sphériques (de m = l à m = +l ) et une équation différentielle pour R(r) qui dépend de V(r) mais pas de θ ni φ 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 30

31 Harmoniques sphériques Y lm (θ,φ) l, m 1 Y 00 = (4π) 1/2 ( ) 3 1/2 Y 10 = cos θ 4π ( ) 3 1/2 Y 1±1 = sin θe ±iφ 8π ( ) 5 1/2 Y 20 = (3cos 2 θ 1) 16π ( ) 15 1/2 Y 2±1 = cos θ sin θe ±iφ 8π ( ) 15 1/2 Y 2±2 = sin 2 θe ±2iφ 32π 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 31

32 L atome d hydrogène Équation différentielle radiale pour R(r) 2 2m e 1 r 2 d dr des solutions dépendant de l = ( r 2 dr ) [ ] l(l + 1) 2 + V (r) + dr 2m e r 2 R = ER énergie laplacien Coulomb = laplacien moment angulaire et d un nombre quantique n > l R nl (r) correspondant à des énergies E n E n = m e q 4 /2ħ 2 n 2 ce qui est la forme de Bohr R 10 = e r/r 0 avec r 0 = ħ 2 /m e q 2 = 0.53x10-10 m (rayon de Bohr) R 20 = [1 r/2r 0 ] e r/2r 0 orbites mais des orbitales étendues dans l espace R 21 = r/2r 0 e r/2r 0 29/01/13 Alain Bouquet Particules 12 32

33 Orbitales de l hydrogène l s p d f g Orbitales de l atome d hydrogène n s l = 0 p l = 1 d l = 2 f l = 3 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 33

34 Les autres atomes Presque pareil sauf que la partie (énergie) cinétique de l hamiltonien devient ħ/2m e Σ i i avec un laplacien pour chaque électron i la partie potentiel devient V(r 1, r 2 ) = Σ i Zq 2 /r i + Σ i j q 2 / r i r j Potentiel de Coulomb avec le noyau Z Potentiel de Coulomb entre électrons il faut tenir compte du spin des électrons (et du noyau) matrices de Pauli il faut tenir compte de l antisymétrisation de la fonction d onde (les électrons sont des fermions) induit un «couplage spin-orbite» entre composantes de spin et fonctions d onde spatiales par ex. l atome d hélium a une énergie plus basse quand les spins de ses deux électrons sont inverses (état singulet) que lorsqu ils sont identiques (état triplet) il faut tenir compte des corrections relativistes approximations (Wentzel Kramers Brillouin, Hartree-Fock ) résolution numérique 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 34

35 L opérateur Permutation et les symétries quantiques Opérateur permutation P pour un état à deux quanta (Jules et Jim) IJules dans l état A, Jim dans l état B> = IA,B> IJules dans l état B, Jim dans l état A> = IB,A> Permutation PIA,B> = IB,A> et PIB,A> = IA,B> (très général: permutation de positions spatiales, de nombres quantiques, etc. selon ce qui est défini comme état A et comme état B) Quelles sont les valeurs propres λ de P? Et les états propres Iλ>? PIλ> = λ Iλ> P 2 Iλ> = λ 2 Iλ> = Iλ> (puisque P 2 = I = Identité) λ 2 = 1 λ = ±1 Iλ> = α IA,B> + β IB,A> PIλ> = α IB,A> + β IA,B> = ±1 {α IA,B> + β IB,A> } I+1> = IA,B> + IB,A> (car α = β = 1/ 2) état symétrique I 1> = IA,B> IB,A> (car α = β = 1/ 2) état antisymétrique Sous l échange de deux quanta, les «bons» états quantiques sont soit symétriques ( bosons) soit antisymétriques ( fermions principe d exclusion de Pauli) 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 35

36 Wolfgang Pauli et structure atomique Permutations et statistiques quantiques Bose-Einstein Iψ> = (I1,2> + I2,1>)/ 2 Fermi-Dirac Iψ> = (I1,2> I2,1>)/ 2 principe de Pauli (1925) : 2 fermions ne se trouvent jamais dans le même état quantique Énergie Ionisation Explication de la structure atomique les électrons ne peuvent pas tous être dans l état d énergie minimale ils occupent des orbitales d énergie de plus en plus élevée explication du tableau de Mendeleiev n = 3 l = 0 m = 0 n = 2 l = 0 m = 0 Sodium n = 2 l = 1 m = -1, 0, 1 Fondamental n = 1 Néon Avec un nombre quantique à deux valeurs, et par exemple, le spin (Pauli 1924) 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 36

37 Merci de votre attention! 28/01/13 Alain Bouquet Particules 12 37

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