MATHÉMATIQUES II. et x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "MATHÉMATIQUES II. et x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ;"

Transcription

1 MATHÉMATIQUES II Dans ce problème, nous éudions les propriéés de ceraines classes de marices carrées à coefficiens réels e cerains sysèmes linéaires de la forme Ax = b d inconnue x IR n, A éan une marice à coefficiens réels, b un veceur de IR n Cee éude fai l obje des paries I à IV, e les marices A considérées on la paricularié d avoir beaucoup de ermes nuls Au cours de la dernière parie, on monre commen la recherche de soluions approchées d une équaion différenielle peu conduire à de els sysèmes linéaires Dépendance enre les quesions On peu aborder les paries II à V sans avoir raié enièremen la parie I Le préambule de la parie III reprend les résulas de la parie II qui son nécessaires pour la raier Les résulas des premières quesions de la parie III serven dans la parie IV Le débu de la parie V peu êre abordé direcemen Noaions du problème Dans ou le problème n désigne un enier supérieur ou égal à 2 e I n désigne la marice unié d ordre n Si M es une marice (carrée ou non), M désigne la marice ransposée de M On idenifie un veceur x IR n e la marice à n lignes e 1 colonne, x 1 x = x 2 M x n e x désigne alors la marice à 1 ligne e n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ; e k es l élémen de IR n don ous les coefficiens son nuls sauf le k -ième, égal à 1 ; S n ( IR) es l espace vecoriel des marices carrées symériques, à coefficiens réels, d ordre n (c es-à-dire à n lignes e n colonnes) ; O n ( IR) es le groupe des marices orhogonales d ordre n Concours Cenrale-Supélec /8

2 Parie I - Une famille de marices symériques Soien n un enier naurel el que n 2, e α un réel sricemen posiif On considère dans cee parie les marices carrées A n = ( a i, j ) d ordre n, elles que, pour 1 i, j n, a ii, = 1 a i, j = α, si i j = 1 a i, j = 0, dans les aures cas Ainsi, pour n prenan respecivemen les valeurs 2, 3, 4 : 1 α α 0 A = 1 α 2 α 1, A 3 = α 1 α A 4 = α 1 α 0 0 α 1 α 0 α α 1 On noe P n ( X ) le polynôme caracérisique de la marice A n : P n ( X ) = de ( A n XI n ) IA - À propos des élémens propres de A n IA1) Calculer les polynômes P 2 ( X ) e P 3 ( X ) Déerminer les valeurs propres e les sous-espaces propres de A 2 e de A 3 IA2) Monrer que P 4 ( X ) = ( 1 X ) P 3 ( X ) α 2 P 2 ( X ) IA3) De façon plus générale, exprimer P n + 2 ( X ) en foncion de P n + 1 ( X ) e de P n ( X ) pour ou n 2 IA4) Démonrer que 1 es valeur propre de A n si e seulemen si n es impair IB - On suppose que n es un enier supérieur ou égal à 3 e que x IR n es un veceur propre de A n associé à la valeur propre λ IB1) Exprimer x 2 en foncion de x 1 IB2) Exprimer x 3 en foncion de x 1 e x 2 En déduire P 2 ( λ) x 3 = x 1 α 2 Concours Cenrale-Supélec /8

3 IB3) Donner une relaion enre x k 1, x k e x k + 1 lorsque 2 k n 1 Avec la convenion P 1 ( X ) = 1 X, démonrer que, pour ou k el que 1 k n 1, P k ( λ) x k + 1 = x 1 α k IB4) Monrer que les sous-espaces propres Ker( A n λi n ) de la marice A n son des droies vecorielles, puis que A n adme n valeurs propres deux à deux disinces Parie II - Marices définies posiives On di qu une marice symérique A S n ( IR) es définie posiive lorsque pour ou x IR n non nul, x Ax > 0 On noe S n ( IR) l ensemble de ces marices Dans les quesions qui suiven, A = ( a ) i, j, désigne une marice de 1 i, j n S n ( IR) e k es un enier el que 1 k n IIA - En calculan ek Ae k, monrer que a kk, > 0 IIB - Soi λ une valeur propre de A e x un veceur propre associé Calculer x Ax e en déduire que λ > 0 Jusifier que de ( A) > 0 IIC - On suppose que 1 k< n e on écri A sous la forme de blocs A = A B, où A S ( IR ) k B A Préciser la aille des blocs A, A, B, B Soi u un élémen de IR n el que u j = 0 si j > k En calculan u Au en foncion de A e de u = ( u 1,, u k ), monrer que la sous-marice A es elle-même symérique e définie posiive IID - Marices symériques à valeurs propres sricemen posiives IID1) Soien M 1 e M 2 deux marices symériques d ordre n On suppose qu il exise une marice orhogonale Q O n ( IR) elle que M 2 = QM 1 Q Monrer que M 1 es définie posiive si e seulemen si M 2 es elle-même définie posiive IID2) Monrer qu une marice diagonale d ordre n, à coefficiens réels, es définie posiive si e seulemen si ses coefficiens diagonaux son ous sricemen posiifs IID3) Monrer qu une marice M S n ( IR) es définie posiive si e seulemen si oues ses valeurs propres son sricemen posiives Concours Cenrale-Supélec /8

4 IIE - Soi A n la marice symérique définie dans la parie I Nous allons monrer que, sous ceraines condiions, A n S n ( IR) Supposons que x soi un veceur propre de A n associé à la valeur propre λ e désignons par i 0 un indice pour lequel sup x i = x i0 1 i n IIE1) Monrer que si i 0 = 1 ou i 0 = n alors 1 λ α (indicaion : écrire la ligne 1 ou la ligne n du sysème A n x = λx ) IIE2) Monrer que si 2 i 0 n 1, alors 1 λ 2α IIE3) En déduire que si α < 1 2, la marice A n es définie posiive Parie III - Décomposiion des marices définies posiives Préambule : On cherche à démonrer dans cee parie la propriéé P : Pour oue marice M S n ( IR), il exise une unique marice carrée L d ordre n, riangulaire inférieure e à coefficiens diagonaux sricemen posiifs elle que M = L L On pourra uiliser ici les résulas de la parie II, en pariculier le fai que, si M S n ( IR), ses ermes diagonaux son sricemen posiifs ; son déerminan es sricemen posiif ; les sous-marices formées des ermes d indices i, j, els que 1 i, j k, où k n, son elles-mêmes symériques e définies posiives IIIA - Monrer la propriéé P pour n = 2 En noan M = ab e L = r 0, bd s donner les expressions de r, s, en foncion de a, b, d IIIB - On suppose la propriéé P vraie au rang n 1 (avec n 3 ), e on considère une marice M S n ( IR), que l on écrira en 4 blocs : M M 1 x =, x m où M 1 es une marice carrée d ordre n 1, m un réel e x un veceur de IR n 1, x désignan la ligne ransposée de x, à savoir : x = [ x 1 x 2 x n 1 ] IIIB1) Monrer que es inversible M 1 Concours Cenrale-Supélec /8

5 IIIB2) Soien µ > 0, w IR n 1 e L une marice riangulaire inférieure, d ordre n 1, à coefficiens diagonaux sricemen posiifs elle que M 1 = L L Monrer que la marice carrée d ordre n L 0 L =, où 0 désigne le veceur nul de IR n 1, w µ vérifie M = L L si e seulemen si : L w = x (1) µ 2 m 1 = xm 1 x IIIB3) En admean que m 1 xm 1 x > 0, (2) monrer que la propriéé P es vraie au rang n IIIC - Preuve de (2) e fin de la démonsraion IIIC1) x x I Soi A n 1 x 2 = = M M, d ordre 0 M n 3 y m x n 1 y 1 y 2 y n 1 m Calculer de ( A) en foncion de m, des x i e des y i IIIC2) Soi M S n ( IR) une marice symérique définie posiive que l on écri par blocs : M M 1 x = x m a) Calculer le produi de deux marices : I n 1 x 1 xm 1 m M b) Monrer, par un calcul de déerminans, que M vérifie la relaion (2) IIID - Décrire un algorihme de calcul de la marice L Concours Cenrale-Supélec /8

6 Parie IV - Marices ridiagonales IVA - Soi M = ( m i, j ) une marice symérique définie posiive d ordre n On suppose que M es de plus ridiagonale, c es-à-dire qu elle vérifie m i, j = 0 si i j 2 IVA1) On suppose n 3 Soien x IR n 1, el que x i = 0 si 1 i n 2, e L = ( l i, j ), une marice d ordre n 1, riangulaire inférieure don les ermes diagonaux son non nuls Résoudre l équaion L w = x IVA2) L désigne encore la marice riangulaire inférieure à coefficiens diagonaux sricemen posiifs, elle que L L = M Démonrer, en raisonnan par récurrence e en uilisan la quesion IIIB2), que L es ridiagonale IVB - On reprend les noaions de la parie I e on suppose α < 1 2 On noe L n la marice riangulaire inférieure à coefficiens diagonaux sricemen posiifs elle que A n = L n Ln IVB1) Calculer L 2 e L 3 IVB2) On s inéresse au sysème linéaire A n x = b où b IR n a) Monrer qu il possède une unique soluion b) Monrer que la résoluion de ce sysème es équivalene à la résoluion successive des sysèmes L n y = b e Ln x = y c) Dénombrer avec soin les addiions, les sousracions, les muliplicaions e les divisions que nécessie la résoluion successive de ces deux sysèmes Monrer que seules 23n ( 2) de ces opéraions son nécessaires pour obenir x Parie V - Soluions approchées d une équaion différenielle VA - Quesion préliminaire : approximaion d une dérivée seconde On pose I = [ ab, ] Soi φ : I IR une foncion de classe C 4 On rappelle que pour z e θ els que z, z+ θ I, on peu écrire la formule de Taylor avec rese inégral sous la forme : φ( z + θ) = 3 k = 0 φ ( k) z ( ) θ k θ ( θ )3 φ ( 4) ( z+ ) d k! 3! 0 Concours Cenrale-Supélec /8

7 On noe M 4 = sup φ 4) ( x) VA1) Jusifier l exisence de M 4 e donner une majoraion de la valeur absolue du rese inégral en foncion de θ e de M 4 On pourra commencer par le cas où θ > 0 VA2) Monrer que si z θ, z + θ I, φ( z + θ) 2φ( z) + φ( z θ) φ ( z) = R z ( θ), (3) avec R z ( θ) x [ a, b] M 4 θ θ 2 Dans oue la suie du problème, on se donne ω > 0, deux réels a 0 e a 1, une foncion g sur [ 01, ], à valeurs réelles, de classe C 2 On s inéresse au problème suivan : u ω 2 u = g, sur [ 0, 1] u( 0) = a 0 u( 1) = a 1 (4) VB - VB1) H Donner l expression générale des soluions de l équaion différenielle ( ) : u ω 2 u = 0 VB2) On noe u 0 une soluion pariculière de l équaion différenielle ( E) : u ω 2 u = g Donner l expression générale des soluions de l équaion ( E) Monrer que le problème (4) adme une soluion e une seule VB3) Monrer que cee soluion es de classe C 4 VC - On se propose d approcher la soluion du problème (4) On subdivise l inervalle [ 01, ] en considéran les poins k k = , k { 0,, n + 1} n + 1 Concours Cenrale-Supélec /8

8 Pour 1 k n, on remplace l équaion : u ( k ) ω 2 u ( k ) = g ( k ) par l équaion approchée : u ( k + 1 ) 2u( k ) + u ( k 1 ) ω 2 u ( k ) = g ( k ), (5) dans laquelle : 1 θ = n + 1 On noe θ 2 x x 1 = M = x n u ( 1 ) M IR n u ( n ) VC1) Monrer que l on peu choisir un réel α > 0, que l on exprimera en foncion de θ e de ω, qui perme de réécrire le sysème formé des n équaions (5) sous la forme A n x = b où A n es la marice éudiée dans la parie I e b un veceur de IR n que l on précisera VC2) Monrer que le sysème linéaire A n x = b possède une unique soluion VC3) Dans cee quesion on choisi ω = 4, a 0 = 0, a 1 = 1 e n = 3, e on considère la foncion g définie par 4 g () = Donner les valeurs numériques de α, A 3, L 3 e b Donner les expressions approchées de u( 1 4), u( 2 4), u( 3 4) obenues en mean en œuvre la démarche proposée dans les paries IV e V du problème FIN Concours Cenrale-Supélec /8

Équations différentielles.

Équations différentielles. IS BTP, 2 année NNÉE UNIVERSITIRE 205-206 CONTRÔLE CONTINU Équaions différenielles. Durée : h30 Les calcularices son auorisées. Tous les exercices son indépendans. Il sera enu compe de la rédacion e de

Plus en détail

Épreuve de Mathématiques

Épreuve de Mathématiques Épreuve de Mahémaiques La claré des raisonnemens e la qualié de la rédacion inerviendron pour une par imporane dans l appréciaion des copies. L usage d un insrumen de calcul e du formulaire officiel de

Plus en détail

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices Triangularisaion, jordanisaion, exponenielle de marices 1 Triangularisaion Soien E un espace vecoriel de dimension n e ϕ un endomorphisme de E de marice A dans une base donnée. On suppose que le polynôme

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Fiabilité

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Fiabilité BTS Mécanique e Auomaismes Indusriels Fiabilié Lcée Louis Armand, Poiiers, Année scolaire 23 24 . Premières noions de fiabilié Fiabilié Dans ou ce paragraphe, nous nous inéressons à un disposiif choisi

Plus en détail

PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proportionnalité

PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proportionnalité PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proporionnalié -Acivié préparaoire n : Suies de nombres proporionnelles -l indicaion «0,88 /L» perme de calculer les pri manquans dans le ableau ci-dessous. Indiquer

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Rappels, notations et objectifs du problème

MATHÉMATIQUES II. Rappels, notations et objectifs du problème MATHÉMATIQUES II Rappels, notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et M n ( IC ) l ensemble des matrices carrées complexes d ordre n De

Plus en détail

INTÉGRALES DÉPENDANT DE

INTÉGRALES DÉPENDANT DE 7 décembre 8 7 décembre 8 INTÉGRALES DÉPENDANT DE PARAMÈTRES Table des maières JPB 7 décembre 8 I Rappels e noaions Noaions 3 Rappels 3. Sur les foncions d une variable................. 3 II Inerversion

Plus en détail

Algèbre linéaire (révisions de sup).

Algèbre linéaire (révisions de sup). Algèbre linéaire (révisions de sup) Chap 4 : noes de cours Espaces vecoriels réels ou complexes Définiions e héorèmes généraux liés aux espaces vecoriels : K-espace vecoriel e corps de base, lois de composiion

Plus en détail

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

EQUATIONS DIFFERENTIELLES EQUATIONS DIFFERENTIELLES PC Dae de créaion 006 Cours, Exercices, Aueur (s) de la ressource pédagogique : FACK Hélène [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. Sommaire EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Plus en détail

Nombre dérivé et interprétation graphique. h valeurs approchées du nombre dérivé de la fonction f en t 0

Nombre dérivé et interprétation graphique. h valeurs approchées du nombre dérivé de la fonction f en t 0 DÉRIVONS EN VITESSE Objecif Ouils Comparer deux approximaions du nombre dérivé d une foncion numérique en un poin, l une issue de la définiion maémaique usuelle, l aure uilisée par les calcularices. Nombre

Plus en détail

TD 4 : correction. L3 Intégration Exercice 1. Fonctions presque nulles. On considère la suite d ensembles mesurables A n = x R f(x) 1.

TD 4 : correction. L3 Intégration Exercice 1. Fonctions presque nulles. On considère la suite d ensembles mesurables A n = x R f(x) 1. L3 Inégraion 1 212-213 TD 4 : correcion Eercice 1. Foncions presque nulles } On considère la suie d ensembles mesurables A n = Rf( 1. n Par hypohèse, ils son ous de mesure nulle : = f dλ 1 A n n µ(a n.

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. 2 2 à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S 2 formé des matrices symétriques.

MATHÉMATIQUES II. 2 2 à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S 2 formé des matrices symétriques. MATHÉMATIQUES II Dans tout le problème, M désigne le IR -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S le sous-espace vectoriel de M formé des matrices

Plus en détail

MATHÉMATIQUES I. Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme

MATHÉMATIQUES I. Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme MATHÉMATIQUES I Les calculatrices sont autorisées Le problème porte sur l étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme a n --------------------------------------------------------------

Plus en détail

Recueil d exercices d analyse pour une remise à niveau

Recueil d exercices d analyse pour une remise à niveau Recueil d exercices d analyse pour une remise à niveau Suies e Séries numériques Exercice (Cesaro e sinus iéré). Théorème de Cesaro Soi (u n ) n une suie réelle convergene de limie l. Monrer que la suie

Plus en détail

La définition naturelle de la transformée de Fourier d une distribution T, devrait

La définition naturelle de la transformée de Fourier d une distribution T, devrait Chapire 12 Transformée de Fourier des disribuions 12.1 Inroducion La définiion naurelle de la ransformée de Fourier d une disribuion T, devrai êre ϕ D, < F(T ), ϕ >= < T, F(ϕ) > Mais il y a un problème

Plus en détail

Corrigé du problème. e ikt. 1 eint. sin(n + 1/2)t sin(t/2) + sin(t/2) 2 sin(t/2)

Corrigé du problème. e ikt. 1 eint. sin(n + 1/2)t sin(t/2) + sin(t/2) 2 sin(t/2) Parie I. 1. a) Soi / πz. On a alors : Corrigé du problème S n () + ic n () = 1 + n Si πz, S n () + ic n () = n + 1. b) Ainsi, si / πz : = 1 e ik 1 ein + ei = 1 sin(n/) + 1 e i ei(n+1)/ sin(/) S n () =

Plus en détail

) 2) Les prix unitaires de chaque matériau sont représentés pour le premier semestre par la matrice P 1 :

) 2) Les prix unitaires de chaque matériau sont représentés pour le premier semestre par la matrice P 1 : Exercice 1 Opéraions sur les marices Pour la réalisaion de ses chaniers, une enreprise de gros-œuvre du bâimen achèe, auprès de deux fournisseurs A e B, le béon (en m 3, les briques (en nombre de palees

Plus en détail

Exercices sur les équations diérentielles : corrigé

Exercices sur les équations diérentielles : corrigé Eercices sur les équaions diérenielles : corrigé PCSI Lycée Paseur ocobre 7 Eercice. On résou l'équaion sur R. L'équaion homogène associée y y = a pour soluions les foncions de le forme y h () = Ke, avec

Plus en détail

Fonction définie par une intégrale

Fonction définie par une intégrale [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Foncion définie par une inégrale Eude de foncions définies par une inégrale Exercice [ 53 ] [correcion] Soi f : x d + x 3 + 3 a) Monrer que f es définie

Plus en détail

UNIVERSITE PARIS OUEST, NANTERRE LA DEFENSE UFR SEGMI

UNIVERSITE PARIS OUEST, NANTERRE LA DEFENSE UFR SEGMI UNIVERSIE PARIS OUES, NANERRE LA DEFENSE UFR SEGMI Année universiaire 202 203 Cours d économérie L3 Economie Cours de Valérie MIGNON D de Benoî CHEZE e David GUERREIRO Exercice : Données en coupe D Inroducion

Plus en détail

PROPORTIONNALITE. Quatre nombres a, b, c et d étant non nuls, on dit que

PROPORTIONNALITE. Quatre nombres a, b, c et d étant non nuls, on dit que PROPORTIONNALITE a) Définiion d une proporion a Quare nombres a, b, c e d éan non nuls, on di que c l une des condiions suivanes (équivalenes) es vérifiée : b d es une proporion lorsque Condiion 1 : Les

Plus en détail

EC 4 Circuits linéaires du second ordre en régime transitoire

EC 4 Circuits linéaires du second ordre en régime transitoire 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire PSI 016 017 I Réponse d un circui RL série à un échelon de ension 1. ircui R L i() u G () +q ¹ 1 u R () u L () u () On ferme l inerrupeur K à = 0,

Plus en détail

2 t +t+ et. et on applique le principe de superposition , où (C 1,C 2 ) R 2. tet, où (C 1,C 2 ) R i = i 16 e2it =Re 1/??

2 t +t+ et. et on applique le principe de superposition , où (C 1,C 2 ) R 2. tet, où (C 1,C 2 ) R i = i 16 e2it =Re 1/?? PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 Eercice ENTRAINEMENT PERSONNEL R R Déerminer les soluions y: de chacune des équaions différenielles suivanes : y(). y +y +y=++e Soluion. (E c ): r +r+=, soluions complees,

Plus en détail

Cinétique de l oxydation du sulfite de cuivre

Cinétique de l oxydation du sulfite de cuivre Cinéique de l oxydaion du sulfie de cuivre Grégory Vial 11 avril 2006 Résumé On s inéresse à l oxydaion du sulfie de cuivre : il s agi d une réacion d auocaalyse don l éude cinéique condui à un problème

Plus en détail

Probabilités 5 : Loi normale centée réduite N (0 ; 1)

Probabilités 5 : Loi normale centée réduite N (0 ; 1) «I» : Théorème définiion / Théorème admis Probabiliés 5 : Loi normale cenée réduie N ( ; ) La foncion f définie sur R par f ()= π e es une densié de probabilié sur R Il es clair que f es coninue e posiive

Plus en détail

Mathématiques 1. Matrices positives (im)primitives

Mathématiques 1. Matrices positives (im)primitives Mathématiques 1 MP 4 heures Calculatrices autorisées Matrices positives (im)primitives 2016 Ce problème étudie diverses propriétés des matrices primitives et des matrices irréductibles, définies dans les

Plus en détail

au taux d intérêt court. Pour cette raison, on applique souvent des modèles explicites

au taux d intérêt court. Pour cette raison, on applique souvent des modèles explicites Chapire 5 Modèles d Inensié Les deux approches dans la modélisaion de risque de crédi approche srucurel e approche d inensié ne son pas compaibles : dans les modèles d inensié, l exisence de l inensié

Plus en détail

Unité 6 : La proportionnalité numérique 3 ème ESO

Unité 6 : La proportionnalité numérique 3 ème ESO UITÉ 6 : LA PROPORTIOALITÉ UMÉRIQUE POUR DÉBUTER Il fau rappeler - Définiion de grandeur : Une grandeur es une caracérisique qui es mesurée, e la valeur es exprimée par un nombre. Le concep de grandeur

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Objectif du problème

MATHÉMATIQUES II. Objectif du problème MATHÉMATIQUES II Objectif du problème Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème Ce dernier ne commence qu à partir du I Dans la démonstration en 1994 du

Plus en détail

Systèmes différentiels linéaire d ordre 1 à coefficients constants

Systèmes différentiels linéaire d ordre 1 à coefficients constants [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Enoncés Sysèms différnils linéair d ordr à cofficins consans Exrcic [ 89 ] [corrcion] x = 4x y y = x + y Exrcic [ 49 ] [corrcion] x = x + x + Exrcic 6 [ 9 ] [corrcion]

Plus en détail

2nde FICHE n 8 Utiliser les différents types de pourcentage

2nde FICHE n 8 Utiliser les différents types de pourcentage 2nde FICHE n 8 Uiliser les différens ypes de pourcenage Lorsque l on éudie un problème avec des pourcenages, il convien d abord de se poser la quesion du ype de pourcenage uilisé dans ce problème : le

Plus en détail

VIII Les gaz, partie F

VIII Les gaz, partie F VIII Les gaz, parie F Exercices de niveau A Le premier exercice de niveau A s appuie sur une analyse dimensionnelle vue dans le cours pour esimer une durée de diffusion. Le deuxième aide à apprendre l

Plus en détail

L bien comment traduire cette définition informelle dans le cas d une variable aléatoire discrète X en posant :

L bien comment traduire cette définition informelle dans le cas d une variable aléatoire discrète X en posant : Chapire 7 Espérance 7. Inroducion espérance d une variable aléaoire es, lorsqu elle exise, la moyenne des valeurs de cee variable, pondérées par leurs probabiliés de réalisaion. On voi L bien commen raduire

Plus en détail

Exercice 7. Soitf : R R + croissante telle que. Montrer que. Exercice 8. b. lim(f(x 0 +h) f(x 0 h)) = 0. lim. Exercice 3.

Exercice 7. Soitf : R R + croissante telle que. Montrer que. Exercice 8. b. lim(f(x 0 +h) f(x 0 h)) = 0. lim. Exercice 3. Mahémaiques 05-06 Colle n o 5 Limies Lcée Charlemagne PCSI Eercice Eercice 5 Soi(u n) n 0 R N elle que les suies (u n) n 0, (u n+) n 0 e (u 3n) n 0 convergen Prouver que(u n) n 0 converge Eercice On considère

Plus en détail

EXAMEN FINAL Économie Monétaire Internationale 27 janvier heures

EXAMEN FINAL Économie Monétaire Internationale 27 janvier heures niversié de Paris X Nanerre École Docorale MP DA conomie Inernaionale, Modélisaion e Analyse des Poliiques Économiques Année 2004-2005 XAMN FINAL Économie Monéaire Inernaionale 27 janvier 2005 2 heures

Plus en détail

Problème d'examen (Représentation triangulaire, ACP et élections)

Problème d'examen (Représentation triangulaire, ACP et élections) ISFA 2 année 2-21 Problème d'examen (Représenaion riangulaire, ACP e élecions) D. Chessel Les exercices (17-2) son indépendans du problème (1-16). 1. Quesions On considère la marice A à n = 14 lignes e

Plus en détail

Le théorème des nombres premiers

Le théorème des nombres premiers Le héorème des nombres premiers A Inroducion On sai depuis Euclide que l'ensemble des nombres premiers es inni. En effe, si p es premier, le plus pei diviseur premier de + p! dépasse p. La répariion des

Plus en détail

Balistique. Nous étudions dans ce qui suit, le mouvement d'un projectile lancé à une vitesse initiale de norme v 0

Balistique. Nous étudions dans ce qui suit, le mouvement d'un projectile lancé à une vitesse initiale de norme v 0 Balisique Inroducion La balisique es l'éude du mouvemen des mobiles soumis à la force raviaionnelle. Galilée (1564-164) a éé le premier à décrire de façon adéquae le mouvemen des projeciles e à démonrer

Plus en détail

Représentations multiples d un signal électrique triphasé

Représentations multiples d un signal électrique triphasé Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé Les analyseurs de puissance e d énergie Qualisar+ permeen de visualiser insananémen les caracérisiques d un réseau élecrique riphasé. Les Qualisar+

Plus en détail

Fonctions numériques Proportionnalité

Fonctions numériques Proportionnalité Foncions numériques Proporionnalié I Foncions numériques 1 ) Définiion e noaions Définir une foncion f qui à x associe y c es donner une formule mahémaique qui perme pour oue valeur donnée de x soi de

Plus en détail

Chapitre 3. Pourcentages. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. relier évolutions et pourcentages

Chapitre 3. Pourcentages. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. relier évolutions et pourcentages Chapire 3 Pourcenages Objecifs du chapire : iem références auo évaluaion relier évoluions e pourcenages éudier des évoluions successives calculer le aux d évoluion réciproque 19 I lien enre une évoluion

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS. Fonctions de plusieurs variables

Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS. Fonctions de plusieurs variables Universié Paris 7 Denis Didero Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Noions de dérivée 1.1 Prologue Foncions de plusieurs variables Avan d expliquer les noions de dérivées pour les foncions de plusieurs

Plus en détail

Exercices - Transformation de Fourier : corrigé. Fonctions intégrables

Exercices - Transformation de Fourier : corrigé. Fonctions intégrables Foncions inégrables Exercice 1 - Foncion riangle - Troisième année - Sans déailler les calculs, e en faisan noammen une inégraion par paries, on a : De même, on rouve 1 1 (1 + x)e 2iπξx dx = i 2πξ + 1

Plus en détail

CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS

CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS Cinémaique Analyique CINEMATIQUE : MUVEMENTS PARTICULIERS 1. Mouvemen de ranslaion : Définiions 1.1. Translaion d un solide Tous les poins d'un solide en ranslaion on : - Des rajecoires ideniques - La

Plus en détail

REPONSE DES CIRCUITS A UN ECHELON DE TENSION

REPONSE DES CIRCUITS A UN ECHELON DE TENSION LTOINTIQU Duperray Lycée FBUISSON PTSI PONS DS IUITS A UN HLON D TNSION Dans les circuis élecriques, les régimes on oujours un débu Nous allons éudier commen à parir des condiions iniiales, les courans

Plus en détail

PHYSIQUE APPLIQUÉE. Durée : 4 heures Coefficient 3

PHYSIQUE APPLIQUÉE. Durée : 4 heures Coefficient 3 PHYSIQUE APPLIQUÉE Durée : 4 heures Coefficien 3 Le problème éudie l enraînemen d un venilaeur conrôlan le irage d une chaudière de fore puissance équipan une usine de pâe à papier. La régulaion de empéraure

Plus en détail

Résolution approchée de problèmes de dynamique en régime transitoire par superposition modale F. Louf

Résolution approchée de problèmes de dynamique en régime transitoire par superposition modale F. Louf Résoluion approchée de problèmes de dynamique en régime ransioire par superposiion modale F. Louf Dans cee fiche, on monre commen calculer une soluion approchée à un problème de dynamique ransioire par

Plus en détail

SECONDE PARTIE - ELECTRONIQUE -

SECONDE PARTIE - ELECTRONIQUE - ENS de Cachan Concours d enrée en 3 ème année pour la préparaion à l agrégaion de Génie Elecrique Session 2001 SECONDE PARTIE - ELECTRONIUE - Ce problème se propose d éudier le foncionnemen de l élecronique

Plus en détail

Concours Mines-Ponts 2001 PC/PSI - Sujet 2 - Corrigé

Concours Mines-Ponts 2001 PC/PSI - Sujet 2 - Corrigé Concours Mines-Pons PC/PSI - Suje - Corrigé Cee correcion a éé rédigée par Frédéric Bayar e es disponible à l adresse suivane : hp://mahweb.free.fr Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler

Plus en détail

Objectif du problème. Partie I - Matrices carrées d ordre 2 à coefficients entiers

Objectif du problème. Partie I - Matrices carrées d ordre 2 à coefficients entiers Centrale-Supélec 004 MATHÉMATIQUES II Objectif du problème Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème Ce dernier ne commence qu à partir du I Dans la démonstration

Plus en détail

Temporisation par bascules monostables

Temporisation par bascules monostables Temporisaion par bascules Monosables TSTI 00-0 Chrisian Loverde Temporisaion par bascules monosables Rappels :. Charge d un condensaeur à ension consane i R C Débu de la charge u C (0)= 0 V u C A la fin

Plus en détail

Corrigé des exercices de l examen du 23 janvier 2007 (Les N de page font référence au livre «Physique» de E. Hecht)

Corrigé des exercices de l examen du 23 janvier 2007 (Les N de page font référence au livre «Physique» de E. Hecht) Corrigé des exercices de l examen du 3 janvier 7 (Les N de page fon référence au livre «Physique» de E. Hech) Q1. Deux charges poncuelles de +5 µc e +1 µc se rouven sur l axe des x aux poins des coordonnées

Plus en détail

Corrigé CNC MP 2003, Math 1

Corrigé CNC MP 2003, Math 1 Corrigé CNC MP 3, Mah Parie I. a La foncion e es coninue sur ], α] prolongeable par coninuié en, elle es donc inégrable sur ],α] b La foncion e e es coninue sur [,+ [ e. + donc elle es inégrable sur [,

Plus en détail

MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n 1.

MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n. 6 8 4 On considère l mrice A = 0 7 3. 7 0, 8 ) Donner le form de A ) Donner l vleur de chcun des élémens 4, 3, 33 3 3) Ecrire l mrice rnsposée A de A donner son

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées SESSION 2015 MPMA206 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : heures N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Plus en détail

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan

Plus en détail

Extrait gratuit de document, le document original comporte 13 pages.

Extrait gratuit de document, le document original comporte 13 pages. Notations Dans ce problème, E est un espace euclidien de dimension n 1. On note (x y) le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x, y de E. On note [x] ε la matrice-colonne des coordonnées d un vecteur

Plus en détail

COFFRE MOTORISE DE 607 PEUGEOT

COFFRE MOTORISE DE 607 PEUGEOT Nom : Prénom : COFFRE MOTORISE DE 607 PEUGEOT 1 Présenaion du sysème. La 607 PEUGEOT, voiure hau de gamme, a éé doée après sa sorie, d'un équipemen supplémenaire desiné à simplifier la vie des uilisaeurs

Plus en détail

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton) TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel

Plus en détail

Concours PT 2004 Maths PT I-B

Concours PT 2004 Maths PT I-B Concours PT 4 Maths PT I-B L usage des calculatrices est interdit Partie A ) ( ) ( ) a a Soit A = b b et B = deux éléments de S a a b b ( ) c c C = AB = avec c c c i = a ik b k, évidemment i =,, c i =

Plus en détail

Produit de Convolution Principe et Propriétés. par Vincent Choqueuse, IUT GEII

Produit de Convolution Principe et Propriétés. par Vincent Choqueuse, IUT GEII Produi de Convoluion Principe e Propriéés par Vincen Choqueuse, IUT GEII . Problémaique Problémaique Conexe : Soi un sysème Linéaire e Invarian dans le Temps (SLIT) défini par sa réponse à une impulsion

Plus en détail

Les fonctions logiques & l algèbre de Boole

Les fonctions logiques & l algèbre de Boole Les foncions logiques & l algèbre de Boole 1 - Algèbre de Boole Hisorique : Georges BOOLE, philosophe e mahémaicien anglais, publia en 1854 un essai sur les raisonnemens logiques poran sur les proposiions

Plus en détail

IDENTIFICATION d'un SYSTEME par. UTILISATION des METHODES TEMPS- FREQUENCE. (réponse impulsionnelle, produit de convolution, réponse indicielle)

IDENTIFICATION d'un SYSTEME par. UTILISATION des METHODES TEMPS- FREQUENCE. (réponse impulsionnelle, produit de convolution, réponse indicielle) Dep GEII IUT Bordeaux I IDENTIFICATION d'un SYSTEME par UTILISATION des METHODES TEMPS- FREQUENCE (réponse impulsionnelle, produi de convoluion, réponse indicielle) (Vol. 2) G. Couurier Tel : 5 56 84 57

Plus en détail

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR.

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR. Exercices avec corrigé succinct du chapitre 1 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qui apparaissent dans ce texte sont bien définis dans la version

Plus en détail

Corrigé Centrale PC 2 : Opérateur de différence

Corrigé Centrale PC 2 : Opérateur de différence Corrigé Centrale PC : Opérateur de différence I L opérateur de translation et l opérateur de différence I.A - L opérateur de translation I.A.1) Soit P = d a X, un polynôme non nul de R n [X], de degré

Plus en détail

ISFA 2 année 6 février heures. 1. Rang d'une matrice de corrélation

ISFA 2 année 6 février heures. 1. Rang d'une matrice de corrélation ISFA année 6 février 00 - heures Toues les analyses en composanes principales considérées son ici du ype ACP normée, encore appelée aussi ACP sur marice de corrélaion. Répondre dans la place imparie, brièvemen,

Plus en détail

Echantillonnage d un signal : principe et conditions à satisfaire.

Echantillonnage d un signal : principe et conditions à satisfaire. Page 1 Echanillonnage d un signal : principe e condiions à saisfaire. I. Inroducion. L acquisiion d une grandeur analogique par l inermédiaire d une care d acquisiion possédan plusieurs enrées analogiques

Plus en détail

Exercice n HA Corrigé

Exercice n HA Corrigé ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d exercices en Hydrologie Cours : Hydrologie Appliquée / Thémaique : Processus & Réponse Hydrologiques Exercice n HA 0101 - Corrigé Logo opimisé par J.-D.Bonour,

Plus en détail

M1 Economie : "colle" d économie industrielle

M1 Economie : colle d économie industrielle M Economie : "colle" d économie indusrielle Armel JACQUES novembre 0 Les calcularices son auorisées ; en revanche les appareils permean de communiquer (éléphone porable ou aures) son inerdis. Concurrence

Plus en détail

PHYSIQUE. Partie préliminaire

PHYSIQUE. Partie préliminaire PHYSIQUE Les différenes paries de ce problème son dans une large mesure indépendanes Seules les argumenaions précises e concises seron prises en compe en réponse aux quesions qualiaives Parie préliminaire

Plus en détail

d) e) f) Exercice 2. [6 points] Soit la fonction f (x)=2 x 3. a) Cette fonction est-elle linéaire, affine ou quelconque?

d) e) f) Exercice 2. [6 points] Soit la fonction f (x)=2 x 3. a) Cette fonction est-elle linéaire, affine ou quelconque? Nom : Prénom : Conrôle de mahémaiques, Le mercredi 30 mai 2012 Exercice 1. [3 poins] 1) Parmi les cinq premières figures numéroées de a) à e) recopie sur a copie le numéro de celles qui son des polygones

Plus en détail

Un modèle de propagation d un nuage de fumée

Un modèle de propagation d un nuage de fumée Un modèle de propagaion d un nuage de fumée Gabriel Caloz & Grégory Vial 9 février 26 Résumé L obe de ce documen es de présener à l aide d ouils élémenaires le problème de ranspor dans R. Une modélisaion

Plus en détail

1 - Etude d'une alimentation à découpage

1 - Etude d'une alimentation à découpage 1 - Eude d'une alimenaion à découpage BTS ELECTROTECHNIQUE - Session 1997 - PHYSIQUE APPLIQUEE Durée : 4 heures Coefficien : 3 Cee éude compore rois paries, liées enre elles, mais pouvan êre raiées indépendammen

Plus en détail

CONCOURDS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES. DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l épreuve : 3 heures)

CONCOURDS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES. DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l épreuve : 3 heures) 00 MATH. II - PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE

Plus en détail

u = 1, kg E = 931,5 MeV Électronvolt 1 ev = 1, J Megaélectronvolt

u = 1, kg E = 931,5 MeV Électronvolt 1 ev = 1, J Megaélectronvolt NOM : Prénom : TS5 Sciences Physiques Physique nucléaire (11 poins) Données : Unié de masse aomique Énergie de masse de l'unié de masse aomique u = 1,660 54 10-27 kg = 931,5 MeV Élecronvol 1 ev = 1,602

Plus en détail

Exemples de résolutions d équations différentielles

Exemples de résolutions d équations différentielles Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................

Plus en détail

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u)

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u) Matrices symétriques réelles 1 Préliminaires On se place dans (R n, ) euclidien, le produit scalaire canonique étant défini par : (x, y) R n R n, x y = t x y = x k y k On note : M n (R) l algèbres des

Plus en détail

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 +

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 + Universié Pierre e Marie Curie Licence de Mahéaiques Séries e inégrales généralisées - Approfondisseen (2M26) Janvier-Juin 25. Devoir Maison n o Exercice : Convergence e calcul d inégrales. Éudier la naure

Plus en détail

I. Mesure de température et chaîne de transmission optique

I. Mesure de température et chaîne de transmission optique IRSCPA BTS INFORMATIQUE INDUSTRIELLE Session 1998 Epreuve de : Physique Appliquée Durée : 3 heures Coefficien :3 Les amplificaeurs opéraionnels son ous considérés comme idéaux. Un formulaire es fourni

Plus en détail

Circuits R -C Réponse à un échelon de tension

Circuits R -C Réponse à un échelon de tension Lycée Viee TSI ircuis - -L -L- éponse à un échelon de ension I. égime libre. Définiion d un régime libre Le régime libre ( ou propre ) d un circui es un régime obenu lorsque les sources libres son éeines.

Plus en détail

Chapitre n 10 LES RÉACTIONS D ESTÉRIFICATION ET D HYDROLYSE

Chapitre n 10 LES RÉACTIONS D ESTÉRIFICATION ET D HYDROLYSE Chapire n LES RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE T ale S I- Les esers )Formule générale Un eser comprend deux chaînes carbonées R e R séparées par la foncion eser : Rq. : Si les chaînes carbonées son

Plus en détail

CHAPITRE 2 LES CONVERTISSEURS ALTERNATIFS/CONTINUS

CHAPITRE 2 LES CONVERTISSEURS ALTERNATIFS/CONTINUS CHAPITRE 2 LES CONVERTISSEURS ALTERNATIFS/CONTINUS LES MONTAGES REDRESSEURS COMMANDÉS Suppor de Élecronique de puissance - 25 - I.S.E.T de Bizere 2 LES CONVERTISSEURS ALTERNATIFS/CONTINUS 1-INTRODUCTION

Plus en détail

Systèmes linéaires et déterminants

Systèmes linéaires et déterminants Université Paris-Sud Année 200-20 IFIPS Cycle Préparatoire, 2ème année Feuille n 3 Systèmes linéaires et déterminants Exercice Résoudre les systèmes suivants, en fonction du paramètre m R : (S ) { x +

Plus en détail

Intégrales Généralisées

Intégrales Généralisées Inégrales Généralisées Eercice. Monrer la convergence e calculer la valeur des inégrales : I = 3 e d ; I = + d ln() ; I 3 = ( + ) d Allez à : Correcion eercice Eercice. Les inégrales généralisées suivanes

Plus en détail

CINEMATIQUE C2. 1. Vitesse. Vitesse et accélération. MM' t. d s ; T(M S/ %0 ) (S) O y (S) O y. Mécanique Cinématique Cinématique C2

CINEMATIQUE C2. 1. Vitesse. Vitesse et accélération. MM' t. d s ; T(M S/ %0 ) (S) O y (S) O y. Mécanique Cinématique Cinématique C2 Mécanique Cinémaique Cinémaique C bjecif : Définir, décrire e calculer la iesse ou l accéléraion d un poin d un solide. 1. Viesse CINEMATIQUE C Viesse e accéléraion 1.1. Noion de iesse Soi un solide en

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES 29-3- 2011 J.F.C. Fnpv p. 1 TD 25 2010-2011 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES Lundi 28 mars 2010 Exercice 1 ECRICOME 99 n est un élément de N. (x, y) R 2, f n (x, y) = (x n y) e x y. On se propose

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base MATHÉMATIQUES II Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique (, ij) On notera o = (,) 00 l origine du plan Tout élément ( xy, ) de IP peut s interpréter

Plus en détail

Réponse d un dipôle RC à un échelon de tension

Réponse d un dipôle RC à un échelon de tension 1- Le dipôle C es une associaion en série d un condensaeur e d un conduceur ohmique ( ou résisor) : I- Inroducion 2- L échelon de ension : es le passage insanané d une ension de la valeur à une valeur

Plus en détail

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 3 On

Plus en détail

Jean-Louis CAYATTE

Jean-Louis CAYATTE Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ jlcayae@free.fr Chapire 4 La durée du chômage Quand on parle de la durée du chômage, si l on n y prend pas garde, on confond facilemen la durée moyenne du chômage

Plus en détail

Signal 4 Les oscillateurs amortis

Signal 4 Les oscillateurs amortis Signal 4 Les oscillaeurs amoris Lycée Polyvalen de Monbéliard - Physique-Chimie - TSI 1-2016-2017 Conenu du programme officiel : Noions e conenus Circui RLC série e oscillaeur mécanique amori par froemen

Plus en détail

TD N 5 : Systèmes linéaires Les outils mathématiques

TD N 5 : Systèmes linéaires Les outils mathématiques Sysèmes Elecronique DUT APP 06 / 07 TD N 5 : Sysèmes linéaires Les ouils mahémaiques Chap. : Inroducion aux SA S.POUJOULY @poujouly hp://poujouly.ne Elémens de correcion Exercice n 3 : Modélisaion d'un

Plus en détail

Notations et préliminaires

Notations et préliminaires Notations et préliminaires Tous les corps figurant dans le problème sont supposés commutatifs. N désigne l ensemble des nombres entiers naturels N désigne l ensemble des nombres entiers naturels non nuls

Plus en détail

Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques

Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques Session Février 2014 Épreuve d algèbre et de géométrie Durée 4 heures Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.

Plus en détail

Notion d oscillateur mécanique

Notion d oscillateur mécanique CHAPITRE 11 SYSTÈMES OSCILLANTS 1 Noion d oscillaeur mécanique 1. Définiion On appelle oscillaeur (ou sysème oscillan) un sysème pouvan évoluer, du fai de ses caracérisiques propres, de façon périodique

Plus en détail

d 2 X dt 2 = F 2KX (14) M B ω 2 X + 2K X = F X = ω B =

d 2 X dt 2 = F 2KX (14) M B ω 2 X + 2K X = F X = ω B = 1. Couplage par inerie e amorisseur accordé a b α m k F F x 0 0 (a Bâimen de masse sans le disposiif d amorissemen Les forces qui s appliquen au bâimen son : - la force due aux rafales de ven, - la force

Plus en détail

Cas du circuit RL. I. Un exemple d application d un circuit RL : un composant du système d alimentation en gazole d une Logan.

Cas du circuit RL. I. Un exemple d application d un circuit RL : un composant du système d alimentation en gazole d une Logan. Cas du circui I. Un exemple d applicaion d un circui : un composan du sysème d alimenaion en gazole d une ogan. xrai du suje IBAN 2006 a Dacia ogan, conçue par le consruceur français enaul es produie au

Plus en détail

Electricité n 1 : CONDENSATEUR ET CIRCUIT RC

Electricité n 1 : CONDENSATEUR ET CIRCUIT RC Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Elecricié n 1 : CONDENSATEUR ET CIRCUIT RC I) Convenion d'algébrisaion des grandeurs élecriques : 1) Inensié e ension : L inensié i du couran élecrique e la ension

Plus en détail

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2...

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2... 11 mars 014 Calcul matriciel I IA Matrices : définition, opérations et propriétés Définitions et structure d espace vectoriel Définition 1 (Définition Une matrice de type (n, p est un tableau à n lignes

Plus en détail