Août 2010 (1 heure et 45 minutes)

Transcription

1 Août 2 ( heure et 45 minutes) a) Définir: - transposée d une matrice (5 pt) - matrice smétrique (5 pt) b) Si A et B sont inversibles, en est-il de même pour le produit AB? Si oui, donner l'inverse de AB et démontrer Si non, donner un contre-exemple en justifiant (2 pts) c) Soit A λ 2 (5λ 6) ( 5 ) λ λ + λ, avec λ IR Pour quelle(s) valeur(s) du réel λ la matrice A est-elle smétrique? Pour quelle(s) valeur(s) du réel λ la matrice A est-elle inversible? (2 pts) 2 a) Définir: matrice échelonnée ligne réduite ( pt) b) Citer toutes les opérations élémentaires (permettant de réduire une matrice à sa forme échelonnée ligne réduite) Quel est l effet de chacune de ces opérations sur le erminant d une matrice carrée? Ne pas démontrer (5 pt) c) Soit M avec a,b,c,d,e,f,g,h,i IR Sachant que (M) 2, compléter chaque case du tableau suivant par la valeur réelle correspondante d+2a e+2b f+2c a b c d e f 3a 5b c 3d 5e f 3g 5h i Justifier deux réponses au choix (3 pts) 3 a) Définir : - base d un espace vectoriel V (5 pt) - dimension d un espace vectoriel finidimensionnel (5 pt) b) Déterminer une base du sous-vectoriel des solutions du sstème homogène suivant : x + + 2z 3x z (5 pt) 4 Soit IR nx (n IN ) muni du produit scalaire et de la norme standards a) Définir: vecteurs orthogonaux vecteur normé b) Que peut-on dire de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux? Démontrer ( pt) (5 pts)

2 5 2 c) Déterminer les valeurs et vecteurs propres de la matrice M M est-elle diagonalisable dans une base orthonormée? Si oui, erminer une base orthonormée de IR 2x formée de vecteurs propres de M (3 pts) 5 Déterminer (réponse finale uniquement) a) la solution générale de la RLACC (récurrence linéaire à coefficients constants) Yt+ 2Yt+ 3t t t Y C2-3t - 3 C IR ( pt) b) le module du nombre complexe 3 + 5i 2 7 (5 pt)

3 Réponse question a) Soit A IR A' mxn IR nxm et [ ] ij Sa transposée est notée A' et, par définition: A ' [ ] ji A i {,,n}, j {,,m} Soit A IR nxn A est smétrique ssi A A', c est-à-dire ssi [ ] ij A ' [ ] ij A i,j {,,n} Réponse question b) Preuve Si A, B nxn IR sont inversibles, alors AB est inversible et (AB) B A Soient A, B IR nxn inversibles On a (AB)(B - A - ) A(BB - )A - (ass du prod matr) AI n A - (déf de l'inverse) (AI n )A - (ass du prod matr) AA - (I n neutre pour le prod matr) I n (déf de l'inverse) On montre de façon similaire que (B - A - ) (AB) I n Il existe donc bien une matrice C B - A - et une matrice D B - A - telles que (AB)C I n D(AB) et (AB) est inversible par définition Réponse question c) On a A λ 2 (5λ 6) ( 5 ) λ λ + λ, avec λ IR A est smétrique ssi A A λ 2 (5λ 6) 2 λ 5λ+ 6 2 λ ou λ 3 A est inversible ssi det(a) Or, 2 det(a) λ ( λ + 5 λ) λ (5λ 6) λ λ + λ λ λ λ + 6 De là, A est inversible λ et λ 6 et λ 6 λ IR \ { 6,, 6} Réponse question 2 a) Une matrice A est sous forme échelonnée ligne réduite ssi i) les lignes sans pivot sont sous les lignes avec pivot; ii) tous les pivots valent ; iii) si la ligne i de A est sous la ligne j de A, si i et j ont un pivot, le pivot de i est à droite du pivot de j; iv) les pivots sont le seul élément non nul de leur colonne

4 Réponse question 2 b) Les opérations élémentaires permettant de réduire une matrice à sa forme échelonnée réduite sont : - la permutation de deux lignes; - la multiplication d'une ligne par un réel non nul; - l'ajout à une ligne d'un multiple d'une autre ligne Effet de chacune de ces opérations élémentaires sur le erminant d une matrice carrée : - la permutation de deux lignes change le signe du erminant ; - la multiplication d'une ligne par un réel non nul multiplie le erminant par ce réel ; - l'ajout à une ligne d'un multiple d'une autre ligne ne change pas le erminant Réponse question 2 c) d+2a e+2b f+2c a b c d e f 3a 5b c 3d 5e f 3g 5h i Justifications (par exemple) : () car la matrice possède deux lignes identiques (2) -2 car la matrice est le résultat de l application à la matrice M de l opération élémentaire permutation de la première et de la troisième lignes» Réponse question 3 a) Une ensemble de vecteurs E d un espace vectoriel V est une base de V ssi les vecteurs de E sont linéairement indépendants et que VCT(E) V (c est-à-dire que les vecteurs de E engendrent V) La dimension d'un espace vectoriel finidimensionnel V est le nombre de vecteurs d'une base de V Réponse question 3 b) On a x + + 2z La matrice augmentée de ce sstème est 3x z Réduisons-la : L L 3L 2 3 L ( )L 2 3 L L L2 3

5 x z Les solutions sont données par z IR 3z x 3x x z L'ensemble des solutions du sstème est IR : 3 z : z IR 3z z dont une base est tout naturellement 3 Réponse question 4 a) Les vecteurs v et w de IR nx sont orthogonaux ssi <v,w> Le vecteur v est normé ssi v Réponse question 4 b) Soit V, un vectoriel réel à produit scalaire <, >, soient e,,e n n vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux: ces vecteurs sont linéairement indépendants Preuve Supposons que v n ve i i i Alors <v,e j > j {,,n} n donc < ve i i, e j > j {,,n} i < v e + v 2 e v j e j + + v n e n, e j > j {,,n} v < e,e j > + v 2 < e 2,e j > + + v j < e j,e j > + + v n < e n,e j > j {,,n} (par linéarité) qui devient < > j {,,n} (par hpothèse d'orthogonalité) v j e,e j j Les vecteurs e j étant non nuls, < e,e j j > j {,,n} donc v j j {,,n} et les vecteurs e,,e n sont bien linéairement indépendants Réponse question 4 c) On a M 5 2 Ses valeurs propres sont les racines de son polnôme caractéristique (M- λ I) On a ici (M- λ I) 5 λ 2 λ (5- λ )(2- λ ) - 4 λ 2-7 λ + 6 ( λ -)( λ -6) M possède donc deux valeurs propres, λ et λ 6 ) Déterminons les vecteurs propres associés à la valeur propre λ

6 x Les vecteurs propres associés à cette valeur propre sont les vecteurs de IR 2x tels que x M x (M-I) x x 4x 2 2x + dont les solutions sont données par l'ensemble suivant: x 2x IR : x 2 /2 /2 : IR : IR 2 ) Déterminons les vecteurs propres associés à la valeur propre λ 6 Les vecteurs propres associés à cette valeur propre sont les vecteurs x de IR 2x tels que x M 6 x (M-6I) x x x 2 2x 4 dont les solutions sont données par l'ensemble suivant: x 2x IR : x : IR : IR Les vecteurs propres / 2 et 2 sont orthogonaux puisque pour toute matrice smétrique des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont deux à deux orthogonaux Si on norme chaque vecteur on obtient une base orthonormée de de M 2 IR constituée des vecteurs propres / 5 2 / 5, 2/ 5 / 5 est une base orthonormée de 2 IR constituée des vecteurs propres de M M est donc diagonalisable dans une base orthonormée