Matrices,systèmes et déterminants

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1 Matrices,systèmes et déterminants Exercice 1 1 Donner la matrice des endomorphismes suivants dans les bases canoniques de R 2 et R 3 : (a f(x, y = (ax + by, cx + dy (b g(x, y, z = (2x y, 5x 3y + z (c h(x, y, z = (x 5y z, x + y, 2z 2 Donner la matrice de ψ = f g h : R 3 R 2 dans les bases canoniques Donner l'expression de ψ Exercice 2 Montrer que la famille (sin, cos, exp est une famille libre de F(R, R On pose E = Vect(sin, cos, exp Montrer que ϕ : f E f est un endomorphisme de E et déterminer sa matrice dans la base ci-dessus Exercice 3 Écrire les matrices des application linéaires suivantes dans les bases proposées : R 1 u : 3 R 3 dans la base canonique de R (x, y, z (x + y + z, x y + z, x + 2z 3 2 s : R 3 R 3 réexion par rapport au plan vectoriel P d'équation x + y z = 0 dans la base canonique Écrire ensuite la matrice de s dans une base mieux adaptée 3 r : R 3 R 3 la rotation d'axe (O, j orienté et de mesure d'angle 2π 3 dans la base canonique ( i, j, k Quelle est l'équation de l'image de la droite d'équation x = 2y = 3z par r (dans la base ( i, j, k? R3 [X] R 4 v : 3 [X] P P dans la base canonique de R 3 [X] Calculer A 2, A 3, A 4 et interpréter R2 [X] R 5 w : 2 [X] P (X 2 + 1P dans la base canonique de R 2 [X] Déterminer Kerw, Imw et rgw Exercice 4 Calculer le produit des matrices suivantes : ( 2 1 (a A = et B = 3 2 (c A = ( et B = Exercice 5 On considère les matrices I = 1 Calculer B n pour n N (b A = 3 2 2, B = et B = ( 1 2 3, et A = B + I 1/5

2 2 Montrer que les matrices B et I commutent, et en déduire A n pour n N ( a + b b Exercice 6 Soit F le sous-ensemble de M 2 (R des matrices de la forme b a 1 Montrer que F est un sev de M 2 (R 2 Déterminer une base de F Exercice 7 Soit A = de R 3 Déterminer Kerf et rgf, puis donner une base de Imf, et f l'endomorphisme associé à A dans la base canonique Exercice 8 On note e 1 = (1, 0, 1, e 2 = (1, 1, 2 et e 3 = (2, 1, 1 Montrer que (e 1, e 2, e 3 est une base de R 3 Soit f l'endomorphisme de matrice A = dans cette base Que vaut f(e1 2e 2 +3e 3? Exercice 9 Soit E un R-ev de dimension n, et f un endomorphisme de E vériant f n = 0 et f n 1 0 Montrer qu'il existe x 0 E tel que (x 0, f(x 0,, f n 1 (x 0 soit une base de R n Quelle est la matrice de f dans cette base? Exercice 10 1 Montrer que tout élément de M n (K se décompose, de façon unique, comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique 2 Montrer que l'ensemble T I (resp T S des matrices triangulaires inférieures (resp supérieures de M n (K est un sous-espace vectoriel de M n (K Quelle est la dimension de ces espaces? Sont-ils supplémentaires dans M n (K? Exercice 11 Calculer l'inverse, quand il existe, de la matrice A = passage la condition d'existence de cet inverse ( a b c d (on donnera au Exercice 12 La matrice A M n (K est dite nilpotente s'il existe un nombre entier r > 0 tel que A r > 0 1 Montrer que si A est nilpotente, A n'est pas inversible, mais I n A est inversible Calculer (I n A Soit M = Montrer que M est inversible et calculer M Exercice 13 1 Démontrer que la famille (1 + X, X + X 2,, X n 1 + X n, X n est une base de R n [X] R2 [X] R 2 Soit Φ : 3 [X] P Φ(P = XP + X 2 P Vérier rapidement que Φ est linéaire, et déterminer sa matrice relativement aux bases : 2/5

3 (a (1, X, X 2 et (1, X, X 2, X 3 (bases canoniques (b (1 + X, X + X 2, X 2 et (1 + X, X + X 2, X 2 + X 3, X 3 Exercice 14 Soit la matrice A = d'un endomorphisme f d'un R-ev de dimension 3 que l'on pourra considérer comme la matrice 1 Montrer que l'ensemble des vecteurs u E tels que f(u = 4u est un sev de dimension 1, dont on déterminera un vecteur e 1 non nul 2 Montrer que l'ensemble des vecteurs u E tels que f(u = 2u est un sev de dimension 1, dont on déterminera un vecteur e 2 non nul 3 Déterminer un vecteur e 3 non nul tel que f(e 3 = 2e 2 + 2e 3 4 Donner la matrice B de f dans la base (e 1, e 2, e 3 Exercice 15 Soit A = R 3 On pose u 1 = (1, 1, 1, u 2 = (0, 1, 1 et u 3 = (1, 2, , et f l'endomorphisme associé dans la base canonique de 5 3 Montrer que B = (u 1, u 2, u 3 est une base de R 3, et calculer la matrice de f dans la base B En déduire A n Exercice 16 Soit la matrice A = ( Montrer que A est la matrice d'une symétrie 2 Trouver des vecteurs directeurs e 1 et e 2 des axes de cette symétrie Quelle est la matrice de A dans la base (e 1, e 2? Exercice 17 Déterminer le rang des matrices A = (a réel xé et B = a a Exercice 18 Soit Φ l'endomorphisme de R 3 [X] déni par Φ(P (X = P (X Donner la matrice A de Φ dans la base canonique de R 3 [X] 2 Calculer A 1 Exercice 19 Soit Φ l'endomorphisme de R 6 [X] déni par Φ(P (X = P (1 X, et A la matrice de Φ dans la base canonique Calculer (très simplement A 2 Exercice 20 Soit Φ l'endomorphisme de R 3 [X] déni par : Φ(P (X = P (X + (X ap (X + (X a 2 P (X Montrer qu'il existe une base B de R 3 [X] telle que Mat B Φ = /5

4 Exercice 21 On considère dans R 5 la système suivant : x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 + x 5 = 0 x 2 + x 3 2x 4 + 2x 5 = 0 2x 1 + x 2 5x 3 4x 5 = 0 Quelle est la structure de l'ensemble des solutions? En donner la dimension, puis une base Exercice 22 Résoudre les systèmes suivants : x + y z = 1 (S 1 : 2x + y + z = 0 3x + 2y + z = 1 3x + 4y + z + 2t = 3 (S 2 : 6x + 8y + 2z + 5t = 7 9x + 12y + 3z + 10t = 13 (S 3 : 2x + y + z + t = 3 x + 2y + z + t = 1 x + y + 2z + t = 2 x + y + z + 2t = 4 x y + z t = 0 x + y + z = 1 Exercice 23 Soit (a, b, c, d C 4 On considère le système (S : ax + by + cz = d a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 1 Calculer, sous forme factorisée, le déterminant de la matrice du système 2 Montrer que (S est un système de Cramer si et seulement si a, b et c sont distincts deux à deux 3 En déduire dans ce cas l'ensemble des solutions du système (S x + y + z = a Exercice 24 Soit (a, b, c C 3 On considère le système (S : x + jy + j 2 z = b x + j 2 y + jz = c Montrer que ce système est de Cramer, puis en déterminer l'unique solution (x, y, z Exercice 25 Soit la matrice A = Montrer que A est inversible, puis calculer A i 1 i 1 1 2i 1 + i i 2 i 0 1 i Exercice 26 Calculer les déterminants suivants sous la forme la plus factorisée possible : D 1 = 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x 3 x 4 x 5 x D 2 = a + b b + c c + a a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 D 3 = a 3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 a + b ab a 2 + b 2 b + c bc b 2 + c 2 c + a ca c 2 + a 2 Exercice 27 Soient m R et a C Résoudre et discuter dans R 3 : 2x y + z = 0 mx + y + z = 1 x ay + a 2 z = a (S 1 : x + z = 0 (S 2 : x + my + z = 1 (S 3 : ax a 2 y + az = 1 x y = a x + y + mz = m 2 ax + y a 3 z = 1 Exercice 28 Montrer qu'il n'existe aucun endomorphisme f de R 3 qui vérie f f = Id R 3 Donner un exemple si on remplace R 3 par R 2 (on donnera la matrice et la nature de cet endomorphisme 4/5

5 Exercice 29 Donner une condition nécessaire et susante sur m R pour que les trois plans vectoriels de R 3 d'équations : P : x 2y + z = mx Q : 3x + y 2z = my R : 3x 2y z = mz contiennent une même droite vectorielle Exercice 30 Trouver un polynôme P de degré minimal prenant respectivement les valeurs 5, 6, 2 et 1 en 1, 2, 3 et 4 5/5