CENTRALE TSI 2000 MATH 2

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1 CENTRALE TSI 2 MATH 2 PREMIERE PARTIE I.A.) M 2 S 2 (C) si et seulement si il existe 3 omplexes (;b;) tels que M S 2 (C) V et(a;b;c) ve A ;B ;C.Don De plus es trois mtries forment un système libre A + bb + C,, b S 2 (C) est un espe vetoriel omplexe de dimension 3 I.A.2)Remrque:il y deux questions à résoudre : mtrie symétrique et mtrie inversible : On t ( t PMP ) t P t M t ( t P) t P MP r M est symétrique et t ( t P) P dont t P MP est symétrique: Un mtrie est inversible si et seulement si son déterminnt est non nul.or det t PMP det t P det(m)det(p ) det(m)(det(p )) 2 6 t PMP est don un mtrie inversible de S 2 (C), il en est de même pour t P NP: On mintennt M hrmonique reltivement à N; soit X;X qui rélise ette hrmonie et Y P X et Y P X, (Y;Y ) est bien une bse de C 2 : on deux veteurs en dimension 2. Le système est libre : De plus Y + by, P (X + bx ), X + bx (en multiplint pr P), b (r (X;X ) est un système libre) t Y t PMP Y t (PY )M (P Y) t XMX t Y t PMPY t (PY )M (PY ) t X MX t Y t P NPY t (PY )N (PY ) t XNX Ce qui ssure que t PMP est hrmonique reltivement à t PN P: I.B.) Tout d bord,det(m) b 2 don b 6 équivut à M non inversible. b est bien non nul. x On pose X ; y b t XMX (x;y) x y 2bxy + y 2 y (2bx + y) On obtient don les deux droites vetorielles d éqution y et 2bx + y : Les veteurs herhés sont de l forme ;¹ ve ;¹ non nuls. Ils onstituent bien une bse r leur déterminnt 2 ¹b est non nul. 2b ² Prenons X et X ¹ 2b Ce qui ssure le résultt r ¹ 6 t XNX ¹ (;) ± : On l hrmonie si et seulement si : 2b ¹( 2b )

2 ² Prenons X et X ¹ 2b : On l hrmonie si et seulement si : t XNX ¹(; 2b) ± ¹( 2b ) I.B.2) On mintennt t XMX x 2 + 2bxy + y 2 qui est une éqution du seond degré en x puisque est non nul. Or d 6 r l mtrie M est inversible.l éqution dmet don deux rines distintes Les rines sont x b + d y ou x b d y: t XMX orrespond enore à deux droites vetorielles engendrées pr b d b+ d et : b "d Prenons X et X ¹ (X;X ) est une bse de C 2 : On don l hrmonie si et seulement si : b+ "d ve et ¹ non nuls et ".On det(x;x ) " ¹( 2d) 6 : t XNX ¹( b "d;) ± ¹ b 2 d 2 2b + 2 b + "d ( 2b + ) r b 2 d 2 Comme est non nul, on obtient bien l ondition 2b + : Cette ondition est omptible ve l ondition préédente ve : M est hrmonique reltivement à N si et seulement si + 2 b I.B.3) Les rôles joués pr ;b; et ; ; étnt symétriques, M hrmonique reltivement à N entrîne N hrmonique reltivement à M: M est hrmonique reltivement à N si et seulement si N est hrmonique reltivement à M I.C) Pr un lul lssique, on obtient et N 2 tr N M ( 2b + ) 2 On ien l nullité de l tre si et seulement si on l hrmonie. tr(n M), M et N sont onjugués hrmoniques I.D) L pplition Á : S 2 (C)! C qui à ssoie 2b + est lirement une forme linéire non nulle,, puisque N est non nulle et qu on rrive dns C. H qui n est que son noyu est un hyperpln de S 2 (C) don un sous espe vetoriel de dimension 2. D utre prt, on remrque que Á(N) tr (I) 2; e qui prouve que Á(N) 6. On peut lors onlure que : ker(á) et Vet(N) sont deux sous espes supplémentires Remrque : On peut refire les luls mis est plus long. Il est utile de svoir reonnître le ours. I.E.) On sit que l tre est une pplition linéire.si le système est lié, l un de ses éléments est ombinison linéire des utres. Pour simpli er l ériture, on v supposer que M est ombinison linéire des utres mtries. L démonstrtion est symétrique dns les utres s. Si on : Alors : M tr à M M tr (I) 2 tr M kx im i i2! kx im i i2 kx i2 itr M M i 2

3 d où l ontrdition. I.E.2) Si une fmille est liée, l une des mtries est ombinison linéire des utres, e qui est impossible dns une fmille hrmonique. Comme on est dns un espe de dimension 3, il ne peut y voir de fmille hrmonique de plus de 3 mtries et une fmille hrmonique de 3 mtries est une bse. I.F) Compte tenu de lpropriété IB,si B est de l forme ; A et B sont hrmoniques si et seulement si +¹ ; système linéire de rng à 3 inonnues (;b et ).L ensemble des solutions est don un espe vetoriel de dimension 2. Pour trouver l forme des solutions proposées pr le sujet on ¹ A + On fit l même hose pour A et C en ppelnt et les prmètres. Mintennt, il nous fut de plus B et C hrmoniques, est à dire ou ¹ ¹ 2 ¹ + On herhe à luler C en fontion de B.On lors un système linéire de rng à 2 inonnues ; Les solutions sont de l forme k; ¹ k 2 C: Les triplets hrmonique sont don les triplets de mtries inversibles du type: A ¹ B ¹ k ¹k C ¹k ¹k ve ( ;¹; ; ;k) 2 C 5 En n, on qui est du signe de det(a) : det(a) ¹ det(b) 2 ¹ + 2 A det (C) k 2 ¹ 2 ¹ + 2 det (B) det (C) k 2 ¹ 2 ¹ k 2 2 ¹ det(a) I.G) Le triplet ( t PA P; t P B P; t P C P ) est hrmonique d près l question I A 2) En dmettnt le résultt indiqué ve (A;B;C) un triplet hrmonique,on peut trouver P inversible tel que t PAP soit digonle et ( t PAP; t P BP; t PCP) est ussi un triplet hrmonique don de l forme du I.F). On pose Q P ; les triplets hrmoniques sont don de l forme ( t QAQ; t QBQ; t QCQ) ve A;B;C de l forme obtenue u I.F). En n, dns le s où les mtries sont réelles, on vu que ( t PAP; t PBP; t P CP) orrespondit à un hngement de bse. Le déterminnt est invrint dns un hngement de bse. Don les déterminnts sont eux du I.F) dont on vu que le produit des 3 étit stritement positif. x z I.H) On pose S et M ; on veut don : y t 8(;b;;) 2 C 3, tr(sm) x + b(y + z) + t y. On obtient don x ; y + z ; t : M est don de l forme : y 3

4 Prenons D ; on ien D inversible véri nt tr A D tr B D tr C D r A est symétrique insi que les deux utres. (A;B;C;D) est une bse r est une fmille libre. Cei déoule simplement que D n est ps symétrique don ps élément de l hyperpln S 2 (C), et que (A;B;C) est libre. DEUXIEME PARTIE Remrque : l dé nition de z b+ d me semble vous initer à fire du lul en utilisnt b et d.alors que l importnt est l somme et le produit des rines d une éqution du seond degré. II.A.) ou solution de () ou de (2) entrîne b ou b e qui implique det(b) et B non inversible. D utre prt, si () et (2) ont une solution ommune, elle est rine de l première, don non nulle. Et (2) b() donne 2 b 2 z et enore une fois b ou b e qui est impossible. II.A.2) On z z et z 2 z 2 b b d près l propriété du produit des rines d une éqution du seond degré. Don D utre prt, z i zi + z i + z i + z z i i z i z i + (z 2 z ) (z 2 z ) + (z 2 z ) (z 2 z ) 2z 2 z 2 + 2z z (z z 2 + z 2z + z z 2 + z z 2 ) 2p 2 + 2p (z + z )(z 2 + z 2 ) 2p 2 + 2p s s 2 Ce qui nous permet de luler : et don : (z 2 z ) (z 2 z ) + (z 2 z ) (z 2 z ) (z 2 z )(z 2 z ) + (z 2 z )(z 2 z ) (z 2 z )(z 2 z ) 2p 2 + 2p s s 2 (z 2 z )(z 2 z ) ( 2b)( 2b) (z 2 z ) (z 2 z ) z i zi + z i z +; (z 2 z ) i (z 2 z) (z 2 z ) (z 2 z) II.A.3)'(z) est dé ni si z 6 i.'('(z)) est don dé ni si z 6 i et Á(z) 6 i soit z 2 f; ig '('(z)) z i zi i z i zi i z i i ( zi) zi zi (z i) i zi z i i z zi zi 2i 2zi z si z 2 f; ig lors Á ±Á(z) z II.A.4) 2 z i b + 2 z i zi zi + b b(z i)2 + 2( zi) (z i) + b( zi) 2 ( zi) 2 b z 2 2iz + 2iz z z i iz 2 z ( zi) 2 b( 4iz) 2i z 2 + ( zi) 2 2i z 2 ( zi) 2 + 2bz + 4

5 Pour iz non nul, on ien z solution de () si et seulement si '(z) est solution de (2): II.B.) On zz x 2 + y 2 et z z 2iy e qui donne bien zz t z z 2i x 2 + y 2 ty Annuler e terme donne bien l éqution d un erle. De plus, si un erle psse pr P et P ; son entre est sur Oy.Notons (;t2) le entre : Le erle est d éqution x 2 + y 2 ty k Comme il psse pr P; k vut. On ien le résultt demndé. F (X;Y) z z t zz F (x;y) x 2 + y 2 z z 2i zz t z z 2i Pour z non nul, F (X;Y), F (x;y) e qui orrespond à : t z z zz 2i zz M (z) pprtient u erle si et seulement si M (z) pprtient u erle. II.B.2) L droite (PP ) étnt l droite réelle, montrer que P;P Q ne sont ps lignés revient à montrer que z n est ps réel. Mis, omme z n est ps nul, b z2 serit don ussi réel e qui est ontrire à l hypothèse. 2z On onsidère don le erle ironsrit u tringle PP Q: Comme on Q M(z ) et Q M(z ) l question préédente montre que omme Q est sur le erle C, Q est ussi sur e erle.p;p ;Q;Q sont oyliques. On fit l même hose à prtir de R : Si z 2 est réel b 2z2 z est réel. Don P;P 2+ ;R ne sont ps lignés. Ensuite z 2 z 2 montre que R est sur le erle pssnt pr P;P ;R. P;P ;R;R sont oyliques. II.B.3) On (z à (z ))(z à (z )) z z z z z + z + z 2 z z z + + z z {z + } + z z z + z + z 2 + z z (z + z ) + z z + (z + z ) + + 2b + z2 + 2b + z b b qui est l éqution herhée. On fit l même hose ve les rines de l utre éqution, e qui revient à rempler b pr b : L éqution dont les rines sont à (z 2 ) et à (z 2) est : z 2 + à (z );à (z );à (z 2 ) et à (z 2) sont dont des rines de : z 4 + b b z2 + b b 2 + b b 2 + b Ce sont don des rines qutrièmes de ; b De plus à est une bijetion de C f g sur C fg, de fontion réiproque à (z) +z z. 5

6 z ;z ;z 2 ;z 2 étnt deux à deux distints (question IIA), Ã(z );Ã(z );Ã(z 2 );Ã(z 2) sont deux à deux distints.ce sont don les qutres rines de l éqution : z b b Si z est l une de es rines l ensemble des rines est lors fz ;iz ; z ; iz g et on psse d un sommet à un utre pr rottion de entre O et d ngle ¼2. Leurs v imges sont bien les sommets d un rré de entre O. Ils sont don oyliques. sur un erle de entre et de ryon u t4 + b 2 s b + b b et son éqution En n, Q;Q ;R;R ont des xes qui véri ent don z z + z z + zz + b b + b b zz (z + z) + zz + (z + z) + + b b x2 + y 2 2x + x 2 + y 2 + 2x + Ce qui donne : x 2 + y 2 + b b 2x + + b b + + b b qui est l éqution d un erle suf qund + b b uquel s, il s git d une droite. Q;Q ;R;R sont don oyliques ou lignés. L ondition + b b équivut à j bj j+ bj, le point d xe b est don sur l méditrie de PP don sur Oy :si b 2 ir, Q;Q ;R;R sont oyliques II.B.4) On! TQ d xe z z + z et! TQ d xe z z + z : On + z z + z z z z + z + z z z z + z + z z z z + z + z z z z toujours pr le produit des rines + z + z z (+ z z ) z (z + z ) z 2 en éliminnt les dénominteurs ( + z z ) z (z + z ) z z 2 est bien un réel jz j. Ce qui prouve que T;Q;Q sont lignés. De plus! est réel, e qui fit que T;P;P sont ussi lignés. L intersetion de (P P ) et (QQ ) est T: 6

7 On sit ussi que '(z ) est z 2 ou z 2 et que '(z ) est l utre rine d près le II.A.4). Clulons '(z ) + '(z ) + '(z )'(z ) z i z i + z + i + z i + z i z i z + i + z i (z i)( + z i) + ( z i)(z + i) ( z i) (+ z i) + (z i)(z + i) iz z + z i + z + z z z i + i z z i + z z i + z i + z z + z z iz + z i + 2(z + z ) 2(+ z z ) z + z + z z! En remplçnt dns le lul préédnt z pr '(z ) et z pr '(z ) '(z ) on obtient j'(z )j 2 2 R. Ce qui prouve mintennt que T;R;R sont lignés. Et en n on obtient (P P );(QQ ) et (RR ) sont onourrntes en T : 7

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