Polynômes et optimisation convexe en commande robuste. Didier HENRION. LAAS-CNRS Toulouse, FR Czech Tech Univ Prague, CZ.

Transcription

1 Polynômes et optimisation convexe en commande robuste Didier HENRION LAAS-CNRS Toulouse, FR Czech Tech Univ Prague, CZ Décembre 2007

2 Projet de recherche polynômes géométrie algébrique réelle effective optimisation convexe et non-convexe LMI commande robuste outils numériques logiciels domaine public prototypes

3 Projet de recherche polynômes géométrie algébrique réelle effective optimisation convexe et non-convexe LMI commande robuste outils numériques logiciels domaine public prototypes

4 Projet de recherche polynômes géométrie algébrique réelle effective optimisation convexe et non-convexe LMI commande robuste outils numériques logiciels domaine public prototypes

5 Observation COMPLIB: plus d une centaine de problèmes de retour de sortie statique (SOF) Etant donnés A,B,C trouver K tel que A + BKC stable 7 problèmes bi-dimensionnels K R 2 Visualisation facile de l ensemble des correcteurs stabilisants

6

7

8

9

10

11

12

13 Convexité cachée Pour 6 problèmes sur 7, l ensemble des correcteurs stabilisants semble convexe Etant donné la difficulté notoire, et en particulier la non-convexité du problème SOF, est-ce fortuit? Convexité cachée?

14 Polynômes positifs..permettent d introduire les notions clefs de géométrie algébrique et d optimisation convexe pouvant être utiles en commande robuste Dans l ordre d exposition polynômes scalaires univariés polynômes matriciels univariés polynômes matriciels multivariés

15 Stabilité Polynôme univarié p(s) = p 0 + p 1 s + + p n s n R[s] Conditions sur les p i pour que p(s) soit stable (p.ex. toutes ses racines dans le demi-plan gauche) Critère d Hermite: version symétrique de Routh-Hurwitz Forme quadratique permettant de compter les racines

16 Bézoutien de a(w), b(w) R[w] via la forme bilinéaire h(v, w) = a(v)b(w) a(w)b(v) v w = résultant de a(w), b(w) = discriminant de la forme quadratique h(w, w) = déterminant de sa matrice symétrique H(a, b) Hermite: avec a(w) = Re p(jw), b(w) = Im p(jw) alors p(s) stable ssi H(a, b) = H(p) 0 Interprétation graphique: toutes les racines de a(w) et b(w) sont réelles et entrelacées

17 Critère d Hermite H(p) = α h α p α 0 inégalité matricielle quadratique non-convexe en p UNSTABLE q STABLE q 1

18 Relaxation Approximation convexe par l intérieur de l ensemble de stabilité On fixe un polynôme central référence q(s) stable, et on entrelace les racines de Re p(jw) et Im p(jw) par rapport aux racines de Re q(jw) et Im q(jw) Condition LMI en p obtenue via la positivité de matrices polynomiales univariées Pour les polynômes cubiques discrets on obtient..

19

20 SPR et lemme KYP Condition de positivité d une matrice polynomiale univariée sur une union de segments P (s) 0, s G Yakubovich (1970), Willems (1971) dans le cadre de la commande LQR, également utilisé en filtrage Condition LMI sur les coefficients de P (s) après introduction de variables additionnelles (relèvements = liftings)

21 Commande H et LPV Extension aux performances en boucle fermée: H = positivité de matrice polynomiale univariée LPV = positivité de matrice polynomiale multivariée sur un compact (boîte, simplexe, polytope) Commande de moteurs d avions (Snecma )

22 Analyse de robustesse Soit p(s, q) un polynôme univarié en s dépendant d un vecteur q appartenant à un ensemble Q En supposant p(s, 0) stable, est-ce que p(s, q) reste stable pour tout q dans Q? Positivité robuste de la matrice de Hermite H(p, q) = positivité du polynôme multivarié det H(p, q) sur Q Problème non-convexe multi-extrémal (µ-analyse)

23 Retour de sortie statique (SOF) Recherche d une matrice K telle que p(s, k) = det(si A BKC) soit stable Revient à trouver K tel que la matrice de Hermite H(p, K) est définie positive Ici encore, positivité d une matrice polynomiale multivariée Comment appréhender de tels problèmes?

24 Une approche unifiée..proposée par J. B. Lasserre (2000) dans le cadre de l optimisation globale polynomiale min x sous p(x) x G avec p(x) = α p α x α polynôme multivarié de x R n et G = {x R n : G(x) C} ensemble semi-algébrique conique défini par G(x) = α G α x α matrice polynomiale symétrique multivariée et C cône convexe produit direct des cônes linéaire, quadratique et semi-défini

25 Linéarisation et mesures Le problème non-convexe non-linéaire dans R n min x sous p(x) x G est reformulé comme un problème convexe linéaire min p(x)dµ(x) µ G dans l espace infini-dimensionnel des mesures sur G Difficulté: comment représenter constructivement les mesures supportées sur un semi-algébrique conique?

26 Mesures et moments Si G est compact et admet une formulation particulière (valide pour les applications), alors une mesure µ est représentée par ses moments y α = ssi la séquence y = (y α ) satisfait G xα dµ(x) M(y) 0 M G (y) 0 où M(y) est la matrice des moments et M G (y) la matrice de localisation toutes deux symétriques et linéaires en y Section du cône semi-défini par un sous-espace affine

27 Formulation LMI Les matrices M(y) et M G (y), ainsi que la séquence y sont infini-dimensionnelles En tronquant y aux monômes de degré 2d au plus, on obtient un problème LMI min y α y α p α sous M(y) 0 M G (y) 0 qui est une relaxation convexe du problème polynomial non-convexe original Hiérarchie de relaxations LMI pour d = 1, 2, 3,...

28 Convergence A l aide de représentations de polynômes positifs comme des sommes de carrés (problème dual), on peut démontrer la convergence asympotique de la hiérarchie quand d Dans certains cas la convergence est assurée pour d fini (optima dans un idéal zéro-dimensionnel)

29 Certificat d optimalité Certificat numérique de convergence quand les rangs des partitions de la matrice des moments M(y) satisfont des équations récurrentes Extraction (de la variété) des optima globaux par décomposition spectrale de M(y) Augmentation rapide de la taille de y avec d mais en pratique, convergence rapide Les limitations actuelles viennent des solveurs LMI

30 Matrice intervalle avec Illustration: stabilité robuste A(q) = q q 2 q q 4 q Q = [ , ] [ , ] [2.0000, ] [ , ] Relaxation LMI d ordre d = 4 donne l optimum global certifié p = det H(q ) = atteint en q = [ , , , ] prouvant la stabilité robuste

31 Illustration: SOF Modèle HE1 de mouvement longitudinal d hélicoptère Relaxations LMI du problème min sous λ + ε k H(k) λ 3ème relaxation LMI (28 variables, temps CPU 1.8 sec) matrice des moments de rang un k 1 = , k 2 = certifie l optimum global et donc la stabilisation

32

33 Convexe ou non-convexe? Certains problèmes polynomiaux non-convexes admettent donc une reformulation convexe Le prix à payer est l introduction d un certain nombre de variables additionnelles (moments d ordres supérieurs) Géométriquement, la projection d un ensemble LMI génère l enveloppe convexe d un ensemble semi-algébrique non-convexe Difficile d estimer a priori le nombre de variables à projeter Dans certains cas inutile d introduire des variables..

34 Convexité de SOF Revenons au problème SOF à 2 paramètres.. Pour quelles valeurs de k R 2 le polynôme de degré n est-il stable? p(s, k) = p 0 (s) + k 1 p 1 (s) + k 2 p 2 (s) Critère d Hermite H(k) 0 déterminant d Hermite factorisable h(k) = det H(k) = l(k)g(k) 2 avec l(k) affine et g(k) de degré n (preuve par les propriétés des Bézoutiens)

35 La courbe algébrique {k R 2 : g(k) = 0} est de genre nul, c est-à-dire rationnellement paramétrable k 1 = q 1(u) q 0 (u) k 2 = q 2(u) q 0 (u) et donc g(k) peut s écrire comme un résultant Bézoutien g(k) = det H(k 1 q 0 (u) q 1 (u), k 2 q 0 (u) q 2 (u)) = det(g 0 + k 1 G 1 + k 2 G 2 ) Si G 0 0 alors la région des k tels que est LMI donc convexe G 0 + k 1 G 1 + k 2 G 2 0

36 Exemple (Francis 1987) Stabilisation d un système scalaire (s 1)(s 2)/(s+1)(s 2 +s+1) par un correcteur PI k 1 + k 2 /s Après calcul des Bézoutiens, l ensemble des correcteurs stabilisants est la région LMI 2k k 1 54k k k k k k k k 1 0

37

38 Perspectives Relations entre ensembles semi-algébriques et LMI (représentations déterminantales) Analyse numérique pour les polynômes et les problèmes des moments (conditionnement, moments modifiés) Applications en automatique (version dynamique de la hiérarchie de relaxations LMI pour la commande optimale) Développements logiciels (GloptiPoly 3, problème généralisé des moments)