MP33/M331 Algèbre linéaire

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1 MP33/M33 Algèbre linéaire Licence Sciences et Techniques L2 PC SI Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire Gloria Faccanoni i Année Dernière mise-à-jour : Lundi 2 janvier 24 Table des matières Matrices 3 2 Systèmes linéaires 2 3 Espaces vectoriels 47 4 Applications linéaires 9 USTV

2 Attention, ce polycopié est encore en cours de développement, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs Merci de me les communiquer À quoi sert l algèbre linéaire? Malheureusement, il n y a pas de réponse simple au niveau Licence : en effet, la plupart des problèmes pour lesquels on va utiliser l algèbre linéaire peuvent aussi se résoudre de manière élémentaire, la plupart du temps en résolvant un système linéaire et ceci peut donner l impression qu on remplace des calculs fastidieux mais simples par des arguments et des concepts très compliqués, très abstraits On peut quand même déjà sentir l intérêt de l algèbre linéaire : celle-ci permet d unifier des problèmes et des situations à priori très différentes, en donnant un cadre général dans lequel ces problèmes vont avoir le même aspect Une telle démarche est fondamentale dans les mathématiques Par exemple, on remarque que l on sait additionner deux vecteurs de R 3, ou deux fonctions, ou deux polynômes et qu on sait aussi multiplier chacun de ces objets par des réels Puisque ces objets (différents peuvent subir le même type d opération, ayant les mêmes propriétés formelles, les raisonnements ou les concepts qui utilisent uniquement ces opérations vont être valables dans chacun des trois cadres cités Par exemple, les notions de droite, de plan, de repère (on dira base, que l on connait déjà dans R 3, vont aussi être valables pour des espaces de fonctions ou de polynômes! La propriété qui dit que «dans R 3, deux plans ont toujours une droite en commun» deviendra ainsi «dans tout espace vectoriel de dimension 3, deux sous-espaces vectoriel de dimension 2 ont toujours un sous-espaces de dimension en commun» et sera vraie quelle que soit la nature des éléments de l espace vectoriel (fonctions, polynômes ou autres et on pourra d ailleurs la généraliser à des dimensions supérieures Même si ce cours n en donne qu un tout petit aperçu, la quantité de situations qui peuvent être modélisées par l algèbre linéaire est immense, et va de questions purement mathématiques jusqu à des problèmes très concrets d écologie (dynamique des populations, de météorologie, d économie, de physique Gloria Faccanoni IMATH Bâtiment U-38 T 33 ( Université du Sud Toulon-Var Avenue de l université B gloriafaccanoni@univ-tlnfr LA GARDE - FRANCE i

3 Matrices Définition Matrice On appelle matrice m n (ou d ordre m n à coefficients dans K tout tableau de m lignes et n colonnes d éléments de K L ensemble des matrices m n à coefficients dans K est noté M m,n (K Si m = n on dit qu on a une matrice carrée L ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients dans K est noté M n (K Une matrice m est appelée vecteur-colonne et une matrice n est appelée vecteur-ligne On convient de noter a ij l élément de la matrice situé sur la i-ème ligne et j-ème colonne ( i m et j n Une matrice A est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets : ou encore a a j a n A = a i a ij a in a m a mj a mn A = (a ij i m j n a a j a n ou A = a i a ij a in a m a mj a mn ou A = [a ij ] i m j n Nous travaillerons avec K = R, Q ou Z Exemple La matrice est carrée et d ordre A = Définition Addition de matrices Si A = (a ij i m et B = (b ij i m sont deux matrices m n, on définit l addition des matrices par j n j n A + B = (a ij + b ij i m j n La matrice nulle, notée O m,n, est la matrice dont tous les éléments sont nuls 3

4 Matrices Lundi 2 janvier 24 La matrice opposée d une matrice A est notée A Si A = (a ij i m j n alors A = ( a ij i m j n Exemple Soient les matrices On obtient A = A + B = ( 3 4 2, B = 3 5 ( = ( ( Attention La somme de deux matrices d ordres différents n est pas définie Propriété Si A, B et C sont des matrices de même ordre, alors nous avons A + B = B + A (commutativité, A + (B + C = (A + B + C (associativité Exemple Soient les matrices On a alors A + B = ( = A = (, B = 3 ( 7 6, B + A = 5 ( 6 5, C = 2 ( = ( ( 7 6, B + C = 5 ( = ( De plus, (A + B + C = ( 7 4, A + (B + C = 7 5 ( Définition On appelle matrice diagonale toute matrice carrée D = (d ij i,j n telle que i j = d ij = Si on note d i = d ii, une matrice diagonale est de la forme d d 2 D n = d n d n On la note Diag(d, d 2,, d n La matrice identité d ordre n, notée I n, est la matrice diagonale Diag(,,, Définition Matrices triangulaires On dit qu une matrice carrée A = (a ij i,j n est triangulaire supérieure si i > j = a ij =, triangulaire inférieure si i < j = a ij = Une matrice triangulaire supérieure et inférieure (ie i j = a ij = est une matrice diagonale 4 G Faccanoni

5 Lundi 2 janvier 24 Matrices Exemple U = L = D = 8 7 est une matrice triangulaire supérieure, est une matrice triangulaire inférieure, est une matrice diagonale Définition Produit d une matrice par un scalaire Si A = (a ij i m est une matrice m n et si α K, on définit le produit d une matrice par un scalaire par j n α A = (α a ij i m j n Propriété Soient A et B deux matrices de même ordre et α K un scalaire, on a α (A + B = α A + α B (distributivité Exemple Soit A = ( ( et α = On obtient C = α A = 3 /2 2 2 /2 3/2 5/2 Définition Produit de matrices Si A = (a ik i m par k n C est une matrice m p est une matrice m n et B = (b kj k n une matrice n p, on définit le produit des matrices j p ( n A B = a ik b kj k= i m j p Exemple Soient les deux matrices A = ( et B = La matrice A est d ordre 2 3, la matrice B est d ordre 3 3, donc la matrice produit A B est une matrice d ordre 2 3 : ( ( ( ( A B = = ( ( 2 2 G Faccanoni 5

6 Matrices Lundi 2 janvier 24 B : n lignes p colonnes a i b j a ik b kj b b j b p b k b kj b kp b n b nj b np a ip b pj a a k a n a i a ik a in a m a mk a mn c c j c p c i c ij c ip c m c mk c mp A : m lignes n colonnes C = A B : m lignes p colonnes Propriété Si A M m,n (K, B M n,p (K, C M p,q (K, alors A (B C = (A B C (associativité ; A( (B + C = A B + A C (distributivité ; Si A M n (K alors A I n = I n A = A Attention A B B A en général (non commutativité Prenons le cas général avec A d ordre m p et B d ordre p n Le produit A B est défini, c est une matrice d ordre m n Qu en est-il du produit B A? Il faut distinguer trois cas : si m n le produit B A n est pas défini ; si m = n mais p n, le produit A B est défini et c est une matrice d ordre m n tandis que le produit B A est défini mais c est une matrice d ordre p p donc A B B A ; si m = n = p, A et B sont deux matrices carrées d ordre m Les produits A B et B A sont aussi carrés et d ordre m mais là encore, en général, A B B A ; Exemple Soient les matrices On obtient A B = A = (, B = 3 ( ( et B A = ( G Faccanoni

7 Lundi 2 janvier 24 Matrices Définition Matrice transposée Si A = (a ij i m est une matrice m n, on définit la matrice transposée de A, notée A T, par A = (a ji j n j n i m C est donc une matrice n m obtenue en échangeant lignes et colonnes de la matrice initiale Exemple Soit la matrice A d ordre 2 3 suivante A = ( Sa transposée est la matrice A T d ordre 3 2 suivante 3 A T = 5 7 Propriété (A T T = A si A M m,n (K, (αa T = αa T si α K et A M m,n (K, (A + B T = A T + B T si A, B M m,n (K, (A B T = B T A T si A M m,n (K et B M n,p (K Définition Matrice symétrique, matrice anti-symétrique Une matrice A est dite symétrique si A T = A, ie si a ij = a ji pour tout i j Une matrice A est dite anti-symétrique si A T = A, ie si a ij = a ji pour tout i j Exemple 5 9 A = B = est une matrice symétrique est une matrice anti-symétrique Définition Matrice inversible, matrice singulière Une matrice carrée A M n (K est dite inversible ou régulière si elle est symétrisable pour le produit matriciel, autrement dit s il existe une matrice B M n (K telle que A B = B A = I n Une matrice non régulière est dite singulière L inverse, s il existe, d une matrice A est noté A Proposition Soit A et B deux matrices inversibles, alors A l est aussi et ( A = A, A T l est aussi et ( A T = ( A T, A B l est aussi et (A B = B A Définition Trace Si A est une matrice carrée d ordre n, on définit la trace de A comme la somme des éléments de la diagonale principale : n tr(a = a ii i= G Faccanoni 7

8 Matrices Lundi 2 janvier 24 Exemple La trace de la matrice A suivante est tr(a = a + a 22 + a 33 = ( 2 = Propriété Si A et B sont deux matrices carrées d ordre n, alors tr(a T = tr(a, tr(a + B = tr(a + tr(b Si A est une matrice m n et B une matrice n m, alors tr(a B = tr(b A Définition Opérations élémentaires sur les matrices Les opérations (ou manipulations élémentaires sur les lignes d une matrices sont la multiplication d une ligne L i par un scalaire non nul α : L i αl i ; l addition d un multiple d une ligne αl j à une autre ligne L i : L i L i + αl j ; l échange de deux lignes : L i L j Ces transformations sont équivalentes à la multiplication à gauche (pré-multiplication par la matrice inversible obtenue en appliquant à la matrice identité la transformation correspondante Par exemple, la transformation qui échange les premières deux lignes de la matrice M suivante a b c d e f g h i L L 2 L 2 L d e f a b c g h i équivaut à multiplier M à gauche par la matrice obtenue en échangeant les premières deux lignes de la matrice identité : a b c d e f d e f = a b c g h i g h i Les opérations analogues sur les colonnes sont la multiplication d une colonne par un scalaire non nul : C i αc i ; l addition d un multiple d une colonne à une autre colonne : C i C i + αc j ; l échange de deux colonnes : C i C j Elles sont équivalentes à la multiplication à droite (post-multiplication par la matrice inversible obtenue en appliquant à la matrice identité la transformation correspondante Par exemple a b c b a c d e f = e d f g h i h g i 8 G Faccanoni

9 Lundi 2 janvier 24 Matrices Définition En partant d une matrice A, l utilisation d un nombre fini d opérations élémentaires conduit à une matrice équivalente Définition Déterminant d une matrice d ordre n Calcul pratique d un déterminant Soit A une matrice carrée d ordre n Étant donné un couple (i, j d entiers, i, j n, on note A ij la matrice carrée d ordre n obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A Le déterminant de A, noté det(a ou A, est défini par récurrence sur l ordre de la matrice A : si n = : le déterminant de A est le nombre si n > : le déterminant de A est le nombre det(a = det(a = a, n ( i+j a ij det(a ij quelque soit la ligne i, i n, j= ou, de manière équivalente, le nombre det(a = n ( i+j a ij det(a ij quelque soit la colonne j, j n i= Astuce Pour se souvenir des signes de ces deux formules, on peut remarquer que la distribution des signes + et avec la formule ( i+j est analogue à la distribution des cases noirs et blanches sur un damier : Exemple Soit la matrice alors ( a a A = 2 a 2 a 22 det(a = a 22, det(a 2 = a 2, det(a 2 = a 2, det(a 22 = a, donc on peut calculer det(a par l une des formules suivantes : a det(a a 2 det(a 2 = a a 22 a 2 a 2 (développement suivant la ligne i = a 2 det(a 2 + a 22 det(a 22 = a 2 a 2 + a 22 a (développement suivant la ligne i = 2 a det(a a 2 det(a 2 = a a 22 a 2 a 2 (développement suivant la colonne j = a 2 det(a 2 + a 22 det(a 22 = a 2 a 2 + a 22 a (développement suivant la colonne j = 2 Ces formules donnent bien le même résultat Exemple Soit la matrice a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 G Faccanoni 9

10 Matrices Lundi 2 janvier 24 alors ( a22 a det(a = det 23 = a a 32 a 22 a 33 a 23 a 32, 33 ( a2 a det(a 2 = det 23 = a a 3 a 2 a 33 a 23 a 3, 33 ( a2 a det(a 3 = det 22 = a a 3 a 2 a 32 a 22 a 3, 32 ( a2 a det(a 2 = det 3 = a a 32 a 2 a 33 a 3 a 32, 33 ( a a det(a 22 = det 3 = a a 3 a a 33 a 3 a 3, 33 ( a a det(a 23 = det 2 = a a 3 a a 32 a 2 a 3, 32 ( a2 a det(a 3 = det 3 = a a 22 a 2 a 23 a 3 a 22, 23 ( a a det(a 32 = det 3 = a a 2 a a 23 a 3 a 2, 23 ( a a det(a 33 = det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2, 22 donc on peut calculer det(a par l une des formules suivantes : a det(a a 2 det(a 2 + a 3 det(a 3 (développement suivant la ligne i = a 2 det(a 2 + a 22 det(a 22 a 23 det(a 23 (développement suivant la ligne i = 2 a 3 det(a 3 a 32 det(a 32 + a 33 det(a 33 (développement suivant la ligne i = 3 a det(a + a 2 det(a 2 a 3 det(a 3 (développement suivant la colonne j = a 2 det(a 2 a 22 det(a 22 + a 32 det(a 32 (développement suivant la colonne j = 2 a 3 det(a 3 + a 23 det(a 23 a 33 det(a 33 (développement suivant la colonne j = 3 Quelques calculs montrent que ces formules donnent bien le même résultat Astuce Il convient d utiliser cette définition après avoir fait apparaître sur une même rangée le plus possible de zéro sachant que si deux colonnes (resp deux lignes sont identiques ou proportionnelles, alors det(a = ; si on échange deux colonnes (resp deux lignes, alors le déterminant est changé en son opposé ; on ne change pas un déterminant si on ajoute à une colonne (resp une ligne une combinaison linéaire des autres colonnes (resp lignes, ie avec j i et α Exemple Soit la matrice alors C i C i + αc j, L i L i + αl j, A = ( ( ( 2 2 det(a = det =, det(a = det =, det(a 5 3 = det =, 3 ( ( ( det(a 2 = det = 3, det(a = det = 5, det(a 5 23 = det = 3, 3 ( ( ( det(a 3 = det = 2, det(a 2 32 = det =, det(a 33 = det = 2, 2 donc on peut calculer det(a par l une des formules suivantes : det(a + det(a 2 + det(a 3 = + + = det(a det(a 22 + det(a 23 = = formule pratique car il n y a qu un déterminant à calculer det(a det(a det(a 33 = = det(a + det(a 2 + det(a 3 = + + = formule pratique car il n y a qu un déterminant à calculer det(a det(a det(a 32 = = G Faccanoni

11 Lundi 2 janvier 24 Matrices det(a 3 + det(a det(a 33 = = Déterminant d une matrice d ordre 2 Soit A une matrice carrée d ordre n = 2 det(a = det ( a a 2 = a a 2 a a 22 a 2 a a a 2 a 2 a 22 Exemple det ( 5 7 = = 5 28 = Règle de Sarrus Soit A une matrice carrée d ordre n = 3 Alors a a 2 a 3 det(a = det a 2 a 22 a 23 = ( ( a a 22 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 33 a3 a 22 a 3 + a 23 a 32 a + a 33 a 2 a 3 a 3 a 32 a a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 3 Exemple Soit la matrice alors A = det(a = ( ( = Exemple Soit la matrice 5 7 A = G Faccanoni

12 Matrices Lundi 2 janvier 24 alors det(a = ( ( = 62 Propriété Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux Théorème A est inversible si et seulement si det(a Propriété det(a T = det(a, det(a = det(a, det(a B = det(a det(b Définition Rang Le rang d une matrice quelconque A est égal au plus grand entier s tel que l on puisse extraire de A une matrice carrée d ordre s inversible, c est-à-dire de déterminant non nul Les opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d une matrice ne modifient pas le rang Exemple Soit A la matrice suivante A = ( Le rang de A est 2 car A est d ordre 2 3 donc s min{2, 3} donc s =, ou 2 ; comme le déterminant de la sous-matrice composée de la première et de la deuxième colonne est nul, on ne peut pas conclure ; comme le déterminant de la sous-matrice composée de la première et de la troisième colonne est non nul, alors s = 2 Exemple Soit A la matrice suivante A est d ordre 3 3 donc s 3 le déterminant de A est donc s ( 3 le déterminant de la sous-matrice 5 A = 5 est 5, donc s = 2 2 G Faccanoni

13 Lundi 2 janvier 24 Matrices Exercice Soient les matrices Trouver une matrice C telle que A 2B C = O Exercices A = 4 et B = 2 Trouver une matrice D telle que A + B + C 4D = O On cherche C telle que C = A 2B, ie c c c 2 c 22 = 4 2 = = 2 c 3 c A 2B C = O 2 On cherche D telle que D = 4 (A + B + C = 4 (A + B + A 2B = 2 A 4B, ie d d 2 d 2 d 22 = ( /4 /2 = = 7/4 d 3 d ( 4 /4 3 /4 Exercice 2 Effectuer les multiplications suivantes ( , ( , ( ({}}{ {}}{ ({}} { ( 5 3 ( = ( 5 2 ( ( = {( }} { {}} { = {}}{ ( ( ( 3 = 2 3 { }} {{ 3 }} { 2 ({}} { 2 ( = 4 ( = ( G Faccanoni 3

14 Matrices Lundi 2 janvier 24 Exercice 3 Calculer a, b, c et d tels que ( ( a b = I c d 2 il faut que Comme ( a + 3c =, b + 3d =, 2a + 8c =, 2b + 8d =, ( ( a b a + 3c b + 3d = c d 2a + 8c 2b + 8d ( a b = c d ( 4 3/2 /2 Exercice 4 On dit que deux matrices A et B commutent si A B = B A Trouver toutes les matrices qui commutent avec A : A = 3 5 Comme et il faut que On cherche B telle que b b 2 b 3 b b 2 b 3 3 b 2 b 22 b 23 = b 2 b 22 b b 3 b 32 b 33 b 3 b 32 b 33 5 b = b, b 2 = 3b 2, b 3 = 5b 3, 3b 2 = b 2, 3b 22 = 3b 22, 3b 23 = 5b 23, 5b 3 = b 3, 5b 32 = 3b 32, 5b 33 = 5b 33, b b 2 b 3 b b 2 b 3 3 b 2 b 22 b 23 = 3b 2 3b 22 3b 23 5 b 3 b 32 b 33 5b 3 5b 32 5b 33 b b 2 b 3 b 3b 2 5b 3 b 2 b 22 b 23 3 = b 2 3b 22 5b 23 b 3 b 32 b 33 5 b 3 3b 32 5b 33 κ B = κ 2 avec κ, κ 2, κ 3 R κ 3 4 G Faccanoni

15 Lundi 2 janvier 24 Matrices Exercice 5 Pour quelle valeur de x la trace de la matrice A est minimale? Et pour quelle valeur de x est-elle maximale? 2x 3 4 A = 3x x Notons y: x tr(a ; on a y(x = 2x 3 + 3x 2 2x Une brève étude de la fonction montre que lim x ± y(x = ± y (x = 6(x 2 + x 2 y est croissante pour x < 2 et x >, décroissante pour 2 < x <, par conséquent on a un maximum local pour x = 2 et un minimum local pour x = Chaîne de Markov v, v 2 et v 3 sont trois villes Des trafiquants de drogue prennent leur marchandise le matin dans n importe laquelle de ces villes pour l apporter le soir dans n importe quelle autre On notera p ij la probabilité qu une marchandise prise le matin dans la ville v i soit rendue le soir dans la ville v j On construit ainsi la matrice P = (p ij i 3, j 3 appelée matrice de transition de la chaîne de Markov On remarque que la somme des composantes de chaque vecteur colonne est égale à Supposons que P soit connue et vaille P = Les trafiquants se promenant de ville en ville, il peut être utile de visualiser leurs déplacements par le diagramme de transition suivant : 8 v v 2 v On notera x (k i la proportion de trafiquants qui se trouvent au matin du jour k dans la ville v i On montre que le vecteur x (k = (x (k, x(k 2, x(k 3 T vérifie la relation et donc par une récurrence immédiate x (k+ = P x (k x (k = P k x ( Supposons que le chef de la mafia locale dispose de trafiquants qui partent tous le matin du jour de la ville v Quelle sera la proportion de trafiquants dans chacune des villes au bout d une semaine? d un an? Il s agit de calculer des puissances successives de P avec x ( = (,, T Au bout d une semaine on a Au but d un an les proportions ne changent guère : x (7 = P 7 x ( (564%, 226%, 2% T x (365 = P 365 x ( (557%, 229%, 23% T G Faccanoni 5

16 Matrices Lundi 2 janvier 24 Exercice 6 Migration entre deux villes Deux villes A et B totalisent une population d un million d habitants La ville A est plus agréable, mais la ville B offre plus de possibilités d emplois 2% des habitants de B partent chaque année habiter A pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5% des habitants de A partent chaque année habiter B pour trouver un meilleur emploi Sachant qu à l année, un quart des habitants sont en A, quelle est la population de A et de B au bout de an, 2 ans, 4 ans, 9 ans? On résume les informations dans un graphe de transition : 5% 95% A B 8% 2% Les sommets du graphes correspondent aux différents états possibles (ici, habiter la ville A ou la ville B, et les flèches donnent le pourcentage de gens qui passent d un état à un autre, d une année sur l autre La suite des états successifs est décrite par une relation de récurrence linéaire, de la forme x n+ = Tx n Le vecteur x n R 2 est le vecteur d état du système, ie le vecteur (a n, b n où a n est la population de la ville A après n années et b n est la population de la ville B après n années, et la matrice T est la matrice de transition Ainsi, donc x = ( ( ( 95% 2% x = Tx = 4 3 = 5% 8% 4 ( ( 95% 2% 3 x 2 = Tx = = 5% 8% ou, en utilisant les puissances de matrice, On peut montrer que x 2 = T 2 x = x 4 = T 4 x = x 9 = T 9 x = ( ( ( ( ( = = ( ( ( T = ( 3875 = 625 = ( 95% 2% 5% 8% ( ( 9625 = ( = ( ( lim x n = n + ( ( 8 2 ( autrement dit la suite converge vers un état où le 8% de la population se trouve dans la la ville A et 2% dans la ville B Exercice 7 CT Janvier 2 Trouver pour quelles valeurs de t la matrice suivante est inversible t t t G Faccanoni

17 Lundi 2 janvier 24 Matrices det t t ( 6 6 t + 4 ( = (t + 3 (t 3 (t ( ( (t ( 6 (t (t + 4 ( 5 La matrice est inversible pour tout t R \ { 4, 2, 2 } = t 3 4t + 4t 2 6 = t(t (t 2 4 = (t 2 4(t + 4 = (t 2(t + 2(t + 4 Exercice 8 Calculs de déterminants Soit a, b et c trois réels quelconques, calculer les déterminants suivants : + a D = det a b c D 2 = det + a a 2 b 2 c 2 + a Pour calculer un déterminant comportant des paramètres, il est souvent intéressant de faire apparaître des zéros dans une ligne ou une colonne (ne pas oublier que si l on permute deux lignes ou deux colonnes d un déterminant, on change le déterminant en son opposé C 2 C 2 C ( C D = det a b c 3 C 3 C det a b a c a b a c a = det a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 ( = (b a(c 2 a 2 (c a(b 2 a 2 = (b a(c a (c + a (b + a = (b a(c a(c b; + a D 2 = det + a = ( + a ( + a ( + a ( + a = ( + a 3 3( + a a ( ( ( ( ( = ( + a ( + a 2 + ( + a 2 = ( + a ( + a + 2 ( + a = a 2 (3 + a Exercice 9 Calculer les déterminants des matrices suivantes : ( 3 A =, B = , C = det(a = 5 3 ( 7 = 26 2 En développant par rapport à la dernière ligne qui contient deux zéros on trouve ( det(b = ( ( 2 det = 2 ( = On fait apparaître des zéros par opérations élémentaires : L det(c = det L 2 L L 3 L 3 +L det = G Faccanoni 7

18 Matrices Lundi 2 janvier 24 = ( + (2 det = 2 det ( ( = 2 ( + 3 det = 2 (3 ( 4 4 = L 2 L 2 3L L 3 L 3 +3L = 2 det Exercice CC Novembre 22 Trouver pour quelles valeurs de t R la matrice suivante est inversible : ( t + 3 t 2 9 t t 3 det ( t + 3 t 2 9 t 2 = (t + 3 (t 3 (t 2 9 (t = (t 3(t + 3(t t 3 La matrice est inversible pour tout t R \ { 3, 3 } Exercice CC Novembre 22 Trouver pour quelles valeurs de t R la matrice suivante est inversible : ( t 2 9 t + 3 t 3 t det ( t 2 9 t + 3 t 3 t 2 = (t 2 9 (t (t + 3 (t 3 = (t 3(t + 3(t La matrice est inversible pour tout t R \ { 3, 3 } Exercice 2 CC Octobre 2 ( κ Pour quelles valeurs de κ R la matrice A = est inversible? Calculer le rang de la matrice B = Calculer le rang de la matrice C = Calculer le déterminant de la matrice D = Calculer le déterminant de la matrice E = G Faccanoni

19 Lundi 2 janvier 24 Matrices La matrice A est inversible pour κ 3 2 car det(a = 3 2κ 2 Sans faire de calcul on peut déjà affirmer que rg(b 3 ( Comme det(b = (sans faire de calcul, il suffit 2 de remarquer que C 3 = 4C 2, alors rg(b 2 Comme det = 3, on conclut que rg(b = Sans faire de calcul on peut déjà affirmer que rg(c 3 ( Comme det(c = (sans faire de calcul, il suffit 2 de remarquer que L 2 = 4L, alors rg(c 2 Comme det = 3, on conclut que rg(c = det(d = det ( 3 2 = det = 4 det = det(e = det ( 3 = det = 4 det = Exercice 3 F Le Roux En admettant le fait que les nombres 2, 73, 58 et 893 sont tous divisibles par 29, montrer que le déterminant de la matrice 2 A = est aussi divisible par 29 (sans calculer ce déterminant! Le déterminant ne change pas lorsque on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes Si on ajoute à la quatrième colonne la combinaison linéaire 3 i= 4 i C i on obtient i C i + C 4 = = = i= donc det(a = det G Faccanoni 9

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21 2 Systèmes linéaires Définition Système linéaire Soit n, p, des entiers Un système linéaire n p est un ensemble de n équations linéaires à p inconnues de la forme a x + + a p x p = b, (S a n x + + a np x p = b n Les coefficients a ij et les secondes membres b i sont des éléments donnés de K Les inconnues x, x 2,, x p sont à chercher dans K Le système homogène associé à (S est le système obtenu en remplaçant les b i par Une solution de (S est un p-uplet (x, x 2,, x p qui vérifie simultanément les n équations de (S Résoudre (S signifie chercher toutes les solutions Un système est impossible, ou incompatible, s il n admet pas de solution Un système est possible, ou compatible, s il admet une ou plusieurs solutions Deux systèmes sont équivalents s ils admettent les mêmes solutions Écriture matricielle Si on note x = x x p b = b b n le système (S est équivalent à l écriture matricielle Ax = b A = a a p a n a np Partage de secrets Comment envoyer un message secret avec plusieurs espions sans pour autant que ceux-ci ne connaissent le contenu du message envoyé? Typiquement, un message à envoyer est un nombre entier (car, par codage, on peut remplacer un texte quelconque par un nombre Imaginons donc que l on désire envoyer le nombre n Considérons un polynôme de degré k, par exemple à coefficients entiers, P(X = a k X k + + a X + n dont le terme indépendant vaut exactement n En particulier, on a P( = n Un corollaire du théorème fondamental de l algèbre stipule que si deux polynômes de degré k sont égaux en k + points, alors ils sont égaux Autrement dit, le polynôme P est complétement caractérisé par les valeurs qu il prend par exemple aux entiers, 2,, k + On engage alors k + espions (voire un peu plus, si certains étaient capturés par les «ennemis» On donne au i-ème espion le nombre P(i Les espions se dispersent (par exemple, pour passer les lignes ennemies Une fois que k + espions sont arrivés à 2

22 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 destination, il est aisé de reconstituer le polynôme (on a un système de k + équations linéaires pour retrouver les k + coefficients de P et ainsi retrouver la valeur secrète n Si un espion est capturé et qu il parle, les ennemis auront à leur disposition un des P(i, cela ne leur permet nullement de retrouver n De même, si un espion étaient en fait un agent double, connaître P(i seul ne sert à rien Source : Définition Système échelonné Méthodes de résolution Un système (S est en escalier, ou échelonné, si le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant Autrement dit, un système est échelonné si les coefficients non nuls des équations se présentent avec une sorte d escalier à marches de longueurs variables marquant la séparation entre une zone composée uniquement de zéros et une zone où les lignes situées à droite de l escalier commencent par des termes non nuls, comme dans l exemple suivant de 5 équations à 6 inconnues : 5x x 2 x 3 +2x 4 +x 6 = b 3x 3 x 4 +2x 5 = b 2 x 5 +x 6 = b 3 5x 6 = b 4 = b 5 Réduction Quand un système contient une équation du type x + + x p = b, si b le système est impossible, si b =, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit à un système équivalent à (S dit système réduit Définition Matrice augmentée Si on ajoute le vecteur-colonne des seconds membres b à la matrice des coefficients A, on obtient ce qu on appelle la matrice augmentée que l on note [A b] Méthode du pivot de Gauss Soit A = (a ij i n la matrice des coefficients du système (S et [A b] la matrice augmentée j p Étape j : en permutant éventuellement deux lignes de la matrice augmentée, on peut supposer a jj (appelé pivot de l étape j On transforme toutes les lignes L i avec i > j L i L i a ij a jj L j ainsi on élimine l inconnue x j dans chaque lignes L i En réitérant le procédé pour i de à n, on aboutit à un système échelonné Exemple Soit le système linéaire x +2x 2 +3x 3 +4x 4 =, 2x +3x 2 +4x 3 +x 4 = 2, 3x +4x 2 +x 3 +2x 4 = 3, 4x +x 2 +2x 3 +3x 4 = 4 22 G Faccanoni

23 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Résolution par la méthode du pivot de Gauss : x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 2x +3x 2 +4x 3 +x 4 = 2 3x +4x 2 +x 3 +2x 4 = 3 4x +x 2 +2x 3 +3x 4 = 4 L 2 L 2 2L x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L x 2 2x 3 7x 4 = 2x 2 8x 3 x 4 = 7x 2 x 3 3x 4 = x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 x 2 2x 3 7x 4 = 4x 3 +4x 4 = 4x 3 +36x 4 = x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = L 4 L 4 +L 3 x 2 2x 3 7x 4 = 4x 3 +4x 4 = 4x 4 = donc x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = 2 Résolution par la méthode du pivot de Gauss en écriture matricielle : [A b] = L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L L 4 L 4 +L donc x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = Définition Rang Le nombre d équations du système réduit en escalier obtenu par la méthode de Gauss est le rang r de la matrice A, ou du système (S Théorème Un système Ax = b de m équations à n inconnues est compatible si et seulement si rg(a = rg([a b] Si le système a n équations et n inconnues, la matrice A est carrée d ordre n Si rg(a = n (ie si det(a alors rg(a = rg([a b] et la solution est unique 2 Si rg(a = rg([a b] < n il y a une infinité de solutions 3 Si rg(a rg([a b] il n y a pas de solution 2 Si le système a m équations et n inconnues avec m > n alors 2 Si rg(a = rg([a b] = n la solution est unique 22 Si rg(a = rg([a b] < n il y a une infinité de solutions 23 Si rg(a rg([a b] il n y a pas de solution 3 Si le système a m équations et n inconnues avec m < n alors 3 Si rg(a = rg([a b] m < n il y a une infinité de solutions 32 Si rg(a rg([a b] il n y a pas de solution Remarque Soit A = (a ij i n la matrice des coefficients du système (S Alors j p rg(a min { n, p } rg(a rg([a b] min { n, p + } G Faccanoni 23

24 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 Exemple On veut résoudre les systèmes linéaires suivantes de 2 équations et 2 inconnues : { { x + y = x + y = 2 x y = 2x + 2y = 2 3 { x + y = 2x + 2 = Les matrices augmentées associées à chaque système sont [ ] [A b] = 2 [A b] = [ ] [ 3 [A b] = 2 2 ] donc rg(a = rg([a b] = 2 donc il existe une et une seule solution : { { x + y = L 2 L 2 L x + y = x y = 2y = ainsi la solution est y = et x = ; 2 rg(a = rg([a b] = donc il existe une infinité de solutions : { { x + y = L 2 L 2 2L x + y = 2x + 2y = 2 = ainsi la solution est y = κ et x = κ pour tout κ R ; 3 rg(a = et rg([a b] = 2 donc il n y a pas de solution, en effet { { x + y = L 2 L 2 2L x + y = 2x + 2y = = Exemple et la dernière équation est impossible n équations et n inconnues : A = 3 7, b = 26 On a rg(a = 3 (car det(a donc rg(a = rg([a b] et la solution est unique A = 3 7, b = 26 On a rg(a = rg([a b] = 2 < 3 donc il y a une infinité de solutions A = 3 7, b = 26 On a rg(a = 2 rg([a b] = 3 donc il n y a pas de solution m équations et n inconnues avec m > n : A = 2 3, b = 8 On a rg(a = rg([a b] = 2 donc la solution est unique A = 2 3 4, b = 3 On a rg(a = rg([a b] = 2 < 3 donc il y a une infinité de solutions A = 2 3 4, b = 4 On a rg(a = 2 rg([a b] = 3 donc il n y a pas de solution m équations et n inconnues avec m < n : ( ( A =, b = On a rg(a = rg([a b] = 2 < 3 donc il y a une infinité de solutions ( ( 2 32 A =, b = On a rg(a = rg([a b] = 2 donc il n y a pas de solution G Faccanoni

25 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Méthode de Gauss-Jordan Soit A = (a ij i n la matrice des coefficients du système (S et [A b] la matrice augmentée j p Dans cette variante de la méthode du pivot de Gauss, à chaque étape on fait apparaître des zéros à la fois au-dessus et en-dessous du pivot Étape j : en permutant éventuellement deux lignes de la matrice augmentée, on peut supposer a jj On transforme toutes les lignes L i avec i j L i L i a ij L j a jj ainsi on élimine l inconnue x j dans toutes les lignes L i En réitérant le procédé pour i de à n, on aboutit à un système diagonal Exemple Résoudre le système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan [A b] = L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L x x x 3 = x 4 4 L L L 3 /4 L 2 L 2 L 3 /2 L 4 L 4 +L L L +2L 2 L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 L L +L 4 /4 L 2 L 2 +9L 4 /4 L 3 L 3 +4L 4 / donc x =, x 2 =, x 3 =, x 4 = Définition Système de Cramer Un système est dit de Cramer s il a une solution, et une seule Propriété Considérons un système carré d ordre n à coefficients réels Le système est de Cramer si une des conditions équivalentes suivantes est remplie : A est inversible ; 2 rg(a = n ; 3 le système homogène Ax = admet seulement la solution nulle Méthode de Cramer La solution d un système de Cramer d écriture matricielle Ax = b est donnée par x j = det(a j det(a, j n où A j est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la j-ème colonne par la colonne des seconds membres b Cette formule est cependant d une utilité pratique limitée à cause du calcul des déterminants qui est très couteux G Faccanoni 25

26 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 Exemple Système d ordre 2 On veut résoudre le système linéaire ( ( a a 2 x = a 2 a 22 x 2 par la méthode de Cramer On a ( a a A = 2, det(a = a a 2 a a 22 a 2 a 2, 22 ( b a A = 2, det(a b 2 a = b a 22 a 2 b 2, 22 ( a b A 2 =, det(a a 2 b 2 = a b 2 b a 2, 2 donc ( b x = b a 22 a 2 b 2 a a 22 a 2 a 2, x 2 = a b 2 b a 2 a a 22 a 2 a 2 b 2 Exemple On veut résoudre le système linéaire 2 x 2 2 y = 3 2 z par la méthode de Cramer On a 2 A = 2, det(a = 2, A =, det(a = 6, A 2 = 2, det(a 2 =, 3 2 A 3 = 2, det(a 3 =, 3 2 donc x = 6 2 = 3, y = 2 = 5, z = 2 = 5 Définition Cofacteur Soit A une matrice carrée d ordre n Étant donné un couple (i, j d entiers, i, j n, on note A ij la matrice carrée d ordre n obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A On appelle cofacteur de l élément a ij le nombre ( i+j det(a ij Exemple ( ( a b d c Soit A = Alors la matrice des cofacteurs de A est la matrice c d b a 26 G Faccanoni

27 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Calcul de A A étant inversible, pour obtenir A il suffit de résoudre le système Ax = b qui admet pour solution x = A b On peut alors calculer A en résolvant n systèmes linéaires de termes sources (,,,,, (,,,,,, (,,,, Les méthodes suivantes résolvent ces n systèmes linéaires simultanément Première méthode On calcul la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A ; 2 on transpose la comatrice de A ; 3 on divise par det(a Cette méthode est quasi-impraticable dès que n > 3 Deuxième méthode La matrice A est inversible si et seulement si on obtient par opérations élémentaires sur les lignes de A une matrice triangulaire sans zéros sur la diagonale ; non inversible si et seulement si on obtient une matrice triangulaire avec un zéro sur la diagonale Si A est inversible, on effectue les mêmes opérations sur la matrice [A I n ] jusqu à obtenir [I n A ] : [A I n ] Opérations élémentaires [I n A ] Exemple ( a b Soit A = avec det(a = ad bc c d Première méthode : on a déjà calculé le déterminant de cette matrice ainsi que la matrice des cofacteurs, il suffit alors de calculer la transposée et on obtient ( A d b = ad bc c a Deuxième méthode : on parvient au même résultat par transformations élémentaires : ( ( a b L 2 L 2 a [A I 2 ] = c L a b c d d c b c a a L L b d a c b L 2 =L ad bc ab L 2 ( a + bc ad bc ab ad bc d c a b c a L a L L 2 d a c b L 2= ad cb a L 2 ( a + c ad cb bc ab a(ad bc ad bc a ad cb ( d = c ad cb b ad bc ad bc a ad cb Exemple Calculer l inverse de la matrice A = Première méthode On calcule la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A : ( + ( +2 ( +3 comatrice = ( 2+ ( 2+2 ( = 2 2 ; ( 3+ ( 3+2 ( on transpose la comatrice de A : 3 on divise par det(a : 2 2 comatrice T = 2 2 ; 2 2 A = = /2 /2 /2 /2 /2 /2 G Faccanoni 27

28 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 Deuxième méthode [A I 3 ] = L 2 L 2 /2 L 2 L 2 +L L 3 L 3 L /2 /2 2 2 L 3 L 3 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 UUUUUUUUUUUUUUUU Astuces L L L 2 L 3 L 3 +2L 2 L L +L 3 /2 /2 /2 /2 2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 = [I 3 A ] UUUUUUUUUUUUUUU Astuce Soit r le rang du système (S et p le nombre d inconnues Si r = p, (S a une unique solution, si r < p, (S a une infinité de solutions Les r inconnues qui figurent au début des r équations issues de la méthode du pivot de Gauss sont les inconnues principales Elles peuvent se calculer de façon unique en fonction des p r inconnues Le choix des inconnues principales d un système est arbitraire, mais leur nombre est toujours le même Astuce Pour résoudre un système (S de m équations à n inconnues où m > n on considère un sous-système carré (S de n équations à n inconnues et on résout ce système : si (S n admet pas de solution, alors (S non plus ; si (S admet une unique solution (c, c 2,, c n, alors on vérifie si cette solution vérifie les autres m n équations du système (S : si oui, alors (S admet l unique solution (c, c 2,, c n, si non, alors (S n admet pas de solution ; si (S admet une infinité de solutions, on cherche parmi ces solutions celles qui vérifient également les autres équations de (S 28 G Faccanoni

29 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Exercice 2 Exercices Vrai ou faux? Un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues dont les secondes membres sont nuls a des solutions non nulles 2 Un système linéaire de 4 équations à 3 inconnues dont les secondes membres sont nuls n a que la solution nulle Vrai : le système est de rang 3 2 Faux Contrexemple : un système linéaire où toutes les équations sont identiques Exercice 22 Résoudre le système linéaire x + 2x 2 x 3 = 2, x 2x 2 3x 3 = 6, x + 4x 2 + 4x 3 = 3 x +2x 2 x 3 = 2, L 2 L 2 L x +2x 2 x 3 = 2, x +2x 2 x 3 = 2, L x 2x 2 3x 3 = 6, 3 L 3 L L 4x 2 2x 3 = 8, 3 L 3 +L 2 /2 4x 2 2x 3 = 8, x +4x 2 +4x 3 = 3 2x 2 +5x 3 = 4x 3 = 3 donc x 3 = 3 4, x 2 = 9 8 et x = 7 2 Exercice 23 Résoudre le système linéaire x + x 2 + 3x 3 = 2, 2x x 2 + 2x 3 = 8, 4x + x 2 4x 3 = 5 x +x 2 +3x 3 = 2 L 2 L 2 +2L x +x 2 +3x 3 = 2 x +x 2 +3x 3 = 2 L 2x x 2 +2x 3 = 8 3 L 3 +4L L x 2 +8x 3 = 6 3 L 3 5L 2 x 2 +8x 3 = 6 4x +x 2 4x 3 = 5 5x 2 +8x 3 = 63 32x 3 = 7 donc x 3 = 7 32, x 2 = 47 4 et x = Exercice 24 V Guirardel Vous projetez de passer un concours de recrutement l an prochain Vous avez sous les yeux le tableau de notes suivant : Candidat Mathématique Anglais Informatique Moyenne Qui Quo 6 9 Qua Retrouver les coefficients de chaque épreuve La solution est-elle unique? G Faccanoni 29

30 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 Il s agit de trouver les trois coefficients m, a, i [; ] tels que 7m + 2a + 6i = 8, m + 6a + i = 9, m + 6a + 4i = 4 Utilisons la méthode de Gauss : 7m+2a +6i=8, m +6a+i=9, m+6a+4i=4, qui admet l unique solution (2, 3, 5 L 2 L 2 7 L L 3 L 3 7 L 7m+2a +6i=8, 9 7 a i= 2 7 a , i= 7, L 3 L L 2 7m+2a +6i=8, 9 7 a i= 4 9 7, 2 i= 7, Exercice 25 CC Novembre 22 En utilisant la méthode du pivot de Gauss, résoudre le système linéaire en discutant suivant la valeur du paramètre a R : x + z + w =, ax + y + (a z + w =, 2x + ay + z + 2w =, x y + 2z + aw = Il s agit d un système homogène, il est alors inutile d écrire le terme source dans la méthode du pivot de Gauss En appliquant cette méthode on obtient L 2 L 2 al L a a 3 L 3 L L L 4 L 4 2L 2 a 2 a 3 L 3 al 2 L 4 L 4 +L 2 a a a a(a 2 a a On a ainsi transformé le système linéaire initial dans le système linéaire triangulaire supérieur équivalent x + z + w =, y z + ( aw =, (a z + a(a w =, = Par conséquent, si on pose w = κ R une constante réelle quelconque, alors si a, z = a(a w a = aκ, y = ( aw + z = κ et x = w z = (a κ : tous les vecteurs de Vect { (a,, a, } sont solution du système linéaire ; si a =, on pose z = κ 2 R une constante réelle quelconque et on a y = ( aw + z = ( aκ + κ 2 et x = w z = κ κ 2 : tous les vecteurs de Vect { (,,,, (,,, } sont solution du système linéaire Exercice 26 CC Novembre 22 En utilisant la méthode du pivot de Gauss, résoudre le système linéaire en discutant suivant la valeur du paramètre b R : x + z + w =, (b + x + y + bz + w =, 2x + (b + y + z + 2w =, x y + 2z + (b + w = 3 G Faccanoni

31 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Il s agit d un système homogène, il est alors inutile d écrire le terme source dans la méthode du pivot de Gauss En appliquant cette méthode on obtient L 2 L 2 (b+l L b + b 3 L 3 L L L 4 L 4 2L 2 b + 2 b 3 L 3 (b+l 2 L 4 L 4 +L 2 b + b b b(b + 2 b + b On a ainsi transformé le système linéaire initial dans le système linéaire triangulaire supérieur équivalent x + z + w =, y z bw =, bz + b(b + w =, = Par conséquent, si on pose w = κ R une constante réelle quelconque, alors si b, z = b(b+w b = (b + κ, y = bw + z = κ et x = w z = bκ : tous les vecteurs de Vect { (b +,, b +, } sont solution du système linéaire ; si b =, on pose z = κ 2 R une constante réelle quelconque et on a y = bw +z = κ 2 et x = w z = κ κ 2 : tous les vecteurs de Vect { (,,,, (,,, } sont solution du système linéaire Exercice 27 Résolution d un système 2 2 avec paramètre Discuter et résoudre le système (S m d inconnue (x, y R 2 et de paramètre m R { (4m 2 x + (2m 2 y = (2m + 2, (2m + x + (4m y = 4m 2, associée : Comme le système contient un paramètre, on commence par calculer le déterminant de la matrice 4m2 (2m 2 2m + 4m = (4m2 (4m (2m 2 (2m + = 2m(2m (2m + Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc (S m est un système de Cramer si et seulement si m R \ { 2,, } 2 Étude du cas m = 2 Le système s écrit { 4y =, (S /2 3y =, Étude du cas m = Le système s écrit { x + y =, (S x y =, { x R, y = { y R, x = + y Étude du cas m = 2 Le système s écrit qui n admet pas de solutions (S/2 { = 4, 2x + y =, G Faccanoni 3

32 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 Étude du cas m R \ { 2,, } 2 On peut utiliser la méthode de Cramer : l unique solution est donnée par x = 2m(2m (2m + (2m + 2 (2m 2 4m 2 4m = 2(2m2 5m +, 2m y = 2m(2m (2m + 4m2 (2m + 2 (2m + (2m 3 2m + 4m 2 = 2m Donc si on note S l ensemble des solutions, { (x, x R } si m = /2, { ( + y, y y R } si m =, S = { ( } si m =, 2(2m 2 5m+ sinon 2m, (2m+(2m 3 2m Exercice 28 Résoudre le système linéaire 2u 4v+3w= 2v w= u +v 3w= 6 On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2u 4v+3w= 2u 4v +3w= 2u 4v+3w= L 2v w= 3 L 3 +L /2 L 2v w= 3 L 3 +L 2 /2 2v w= u +v 3w= 6 v 3 2 w= 3 /2 2w= 6 donc w = 3, v = 2 et u = Exercice 29 Résoudre le système linéaire 2x y +z= x 2y +z= x +y 2z= On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2x y +z= L 2 L 2 +L /2 2x y +z= 2x y +z= L x 2y +z= 3 L 3 +L /2 3 /2y+ 3 L /2z= 3 L 3 +L 2 5 /2y+ 3 /2z= x +y 2z= 3/2y 3/2z= z= donc z = κ R, y = z et x = z Exercice 2 Résoudre le système linéaire 2x y +4t=2 2x+3y+3z+2t=4 x+2y +z +t=7 x z +t= 32 G Faccanoni

33 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2x y +4t=2 L 2 L 2 +L 2x y +4t=2 L 3 L 3 +L /2 2x+3y+3z+2t=4 L 4 L 4 L /2 2y+3z+6t=6 3 x+2y +z +t=7 2 y +z+3t=8 x z +t= 2y z t= 2 2x y L 3 L 3 3L 2 /4 L 4 L 2 L 2 /4 donc t = 4, z = 2, y = 2 et x = +4t=2 2y +3z +6t=6 5 4 z 3 2 t= z 5 2 t= 6 L 4 L 4 7L 3 /5 2x y +4t=2 2y +3z +6t=6 5 4 z 3 t= t= 2 5 Exercice 2 Résoudre le système linéaire par la méthode du pivot de Gauss x x 2 x 3 x 4 = [A b] = L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L L 4 L 4 +L donc x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = x 2 2x 3 7x 4 = 4x 3 + 4x 4 = 4x 4 = 4 = x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = Exercice 22 Résolution d un système 3 3 avec paramètre Discuter et résoudre le système ( + ax + y + z =, (S a x + ( + ay + z =, x + y + ( + az =, d inconnue (x, y, z R 3 et de paramètre a R Comme le système contient un paramètre, on commence par calculer le déterminant de la matrice associée : + a + a + a = ( + a3 + + ( + a ( + a ( + a = ( + a 3 3( + a + 2 G Faccanoni 33

34 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 ( ( ( ( ( = ( + a ( + a 2 + ( + a 2 = ( + a ( + a + 2 ( + a = a 2 (3 + a Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc (S a est de Cramer si et seulement a R \ { 3, } Notons S l ensemble des solutions Étude du cas a = 3 Le système s écrit (S 3 2x + y + z =, x 2y + z =, x + y 2z =, On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2x y +z= L 2 L 2 +L /2 2x L x 2y +z= 3 L 3 +L /2 x y 2z= donc z = κ R, y = z et x = z, ainsi Étude du cas a = Le système s écrit y +z= 3 2 y+ 3 2 z= 3 2 y 3 2 z= S = { (κ, κ, κ κ R } (S donc z = κ R, y = κ 2 R et x = κ κ 2, ainsi x + y + z =, x + y + z =, x + y + z =, L 3 L 3 +L 2 S = { ( κ κ 2, κ 2, κ (κ, κ 2 R 2 } 2x y +z= 5 2 y+ 3 2 z= z= Étude du cas a R \ { 3, } Il s agit d un système de Cramer homogène, donc l unique solution est (,, : S = { (,, } Exercice 23 CC octobre 23 Résoudre le système linéaire en discutant suivant la valeur du paramètre a R : x + 2y + 3z = 2, x y + 2z = 7, 3x + az = Si on utilise la méthode de Gauss on trouve [A b] = L 2 L 2 L L L 3 3L a 6 a 9 4 L 3 L 3 2L a 7 6 On a ainsi transformé le système linéaire initial dans le système linéaire triangulaire supérieur équivalent x + 2y + 3z = 2, 3y z = 5, (a 7z = 6 Par conséquent, si a 7, z = linéaire ; 6 a 7, y = 5 + z 3 = 5a 4 3(a 7 et x = 2 2y 3z = 2(8a 35 3(a 7 est l unique solution du système 34 G Faccanoni

35 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires si a = 7 il n y a pas de solutions du système linéaire Observons que si on ne veut pas calculer la solution mais juste dire s il en existe une (ou plusieurs, il suffit de regarder le{ rang des matrice A et [A b] : 3 si a 7 rg(a = 2 si a = 7 car det(a = 2 3a et det(a 33 où A 33 est la sous-matrice de A obtenue en supprimant la 3-ème ligne et la 3-ème ( colonne ; 2 2 ( 2 2 rg([a b] = 3 car det 7 où 7 est la sous-matrice de [A b] obtenue en supprimant la 3-ème 3 3 colonne Exercice 24 CC octobre 23 En utilisant la méthode de Gauss, résoudre le système linéaire en discutant suivant la valeur du paramètre a R : x y + 2z = 7, x + 2y + 3z = 2, 3x + az = a L 2 L 2 L L 3 L 3 3L a 6 L 3 L 3 L a 7 6 On a ainsi transformé le système linéaire initial dans le système linéaire triangulaire supérieur équivalent x y + 2z = 7, 3y + z = 5, (a 7z = 6 Par conséquent, si a 7, z = 6 a 7, y = 5 z 3 = 5a + 4 3(a 7 et x = 7 y 2z = 2(8a 35 3(a 7 est l unique solution du système linéaire ; si a = 7 il n y a pas de solutions du système linéaire Observons que si on ne veut pas calculer la solution mais juste dire s il en existe une (ou plusieurs, il suffit de regarder le rang des matrice A et [A b] : rg(a = { 3 si a 7 2 si a = 7 car det(a = 3a 2 et det(a 33 où A 33 est la sous-matrice de A obtenue en supprimant la 3-ème ligne et la 3-ème ( colonne ; 2 2 rg([a b] = 3 car det 7 où 3 colonne ( est la sous-matrice de [A b]a obtenue en supprimant la 3-ème 3 Exercice 25 CC novembre 23 Trouver les valeurs de κ R pour lesquelles le système suivant a un nombre respectivement fini et infini de solutions : 2x x 2 = κ, x x 2 x 3 =, x κx 2 + κx 3 = κ G Faccanoni 35

36 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 2 κ κ κ κ On conclut que L 2 L 2 L /2 L 3 L 3 L /2 2 κ /2 κ/2 κ + /2 κ κ/2 (S ne possède aucune solution si et seulement si κ = 3 L 3 L 3 +( 2κL 2 2 κ /2 κ/2 3κ κ 2 2 (S possède une solution unique si et seulement si κ 3 et la solution est x 3 = κ2 3κ, x 2 = κ/2+x 3 /2 = κ(κ 3κ et x = κ+x 2 2 = κ(2κ 3κ 3 (S possède une infinité de solutions pour aucune valeur de κ Exercice 26 Résolution d un système 3 3 avec paramètre Discuter et résoudre le système x + ay + (a z =, (S a 3x + 2y + az = 3, (a x + ay + (a + z = a, d inconnue (x, y, z R 3 et de paramètre a R Comme le système contient un paramètre, on commence par calculer le déterminant de la matrice associée : a a 3 2 a a a a + = 2(a + + a2 (a + 3a(a 2(a 2 a 2 3a(a + = a 2 (a 4 Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc Notons S l ensemble des solutions Étude du cas a = Le système s écrit donc z = κ R, y = 3 3κ 2 et x = κ, ainsi (S a est de Cramer si et seulement a R \ {, 4 } (S { ( S = x z =, 3x + 2y = 3, x + z =, κ, 3 3κ, κ κ R 2 } Étude du cas a = 4 Le système s écrit (S 4 x + 4y + 3z =, 3x + 2y + 4z = 3, 3x + 4y + 5z = 4, On utilise la méthode du pivot de Gauss : x+4y+3z=, L 2 L 2 3L x +4y+3z=, x +4y+3z=, L 3x+2y+4z=3, 3 L 3 3L L y 5z=3, 3 L 3 8L 2 y 5z=3, 3x+4y+5z=4, 8y 4z=4, =6 La dernière équation est impossible donc S = 36 G Faccanoni

37 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Étude du cas a R \ { 3, } On utilise la méthode du pivot de Gauss : x+ay+(a z=, L 2 L 2 3L x +ay +(a z=, L 3 L 3 (a L 3x +2y +az=3, (2 3ay +(3 2az=3, (a x+ay+(a + z=a, (2 aay+(3 aaz=a, L 3 L 3 (2 aa (2 3a L x +ay +(a z=, 2 (2 3ay+(3 2az=3, On obtient z = 4 a(a 4, y = a 6 a(a 4, x = a2 2a 4 a(a 4, ainsi S = a2 (a 4 3a 2 { ( a 2 2a 4, a 6 } a(a 4 a(a 4, 4 a(a 4 4a z= 3a 2 Exercice 27 Résolution de systèmes non carrées Résoudre le système d inconnue (x, y, z R 3 (S { 2x + y + z =, x 2y + z =, (S est équivalent au système { 2x + y + z =, 3y + 3z =, qui admet une infinité de solutions de la forme (κ, κ, κ pour κ R Exercice 28 Résolution de systèmes non carrées Résoudre le système x + y + z = 3, x + 2y + 3z = 6, (S x y + 2z =, 3x + 2y 4z =, d inconnue (x, y, z R 3 (S étant un système de 4 équations à 3 inconnues, on considère le sous-système carré d ordre 3 (S qu on peut résoudre par la méthode du pivot de Gauss x +y +z=3, x+2y+3z=6, x y+2z=, x + y + z = 3, x + 2y + 3z = 6, x y + 2z =, L 2 L 2 L L 3 L 3 +L x+y +z=3, y+2z=3, 3z=3, qui admet l unique solution (,, On étudie alors si elle est aussi solution de l équation de (S qui n apparaît pas dans (S : pour (x, y, z = (,, on a 3x + 2y 4z = donc le triplet (,, est solution de (S et c est l unique G Faccanoni 37

38 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 Exercice 29 Soit le système linéaire (S Pour quelle valeur de b le système est-il possible? { x + x 2 2x 3 + 4x 4 = 6, 3x 3x 2 + 6x 3 2x 4 = b 2 Donner à b la valeur trouvée au point précédent et calculer la solution complète du système (S est équivalent au système { x + x 2 2x 3 + 4x 4 = 6, = b 8 (S est possible si et seulement si b = 8 2 Si b = 8, (S admet 3 solutions de la forme (x, x 2, x 3, x 4 = (6 a + 2b 4c, a, b, c avec a, b, c R Exercice 22 Résolution de systèmes non carrées Résoudre le système x + 2y + z =, 2x + y z =, (S x + y + 2z = 2, x + y + z = 4, d inconnue (x, y, z R 3 (S étant un système de 4 équations à 3 inconnues, on considère le sous-système carré d ordre 3 (S x + 2y + z =, 2x + y z =, x + y + 2z = 2, qu on peut résoudre par la méthode du pivot de Gauss x+2y +z=, L 2 L 2 2L x+2y +z=, x+2y +z=, L 2x +y z=, 3 L 3 +L L 3y 3z=3, 3 L 3 +L 2 3y 3z=3, x +y+2z= 2, 3y+3z= 3, =, qui admet une infinité de solutions de la forme ( + κ, κ, κ pour κ R Cherchons parmi ces solutions celles qui vérifient l équation de (S qui n apparaît pas dans (S : pour (x, y, z = ( + κ, κ, κ on a x + y + z = + κ κ + κ = κ donc x + y + z = 4 si et seulement si κ = 4 ainsi (S admet l unique solution (5, 5, 4 Exercice 22 Soit le système linéaire 2x x 2 3x 3 =, (S x + 2x 3 =, 2x 3x 2 x 3 = Ce système est-il compatible? Possède-t-il une solution unique? 38 G Faccanoni

39 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires 2x x 2 3x 3 =, x + 2x 3 =, 2x 3x 2 x 3 = L 2 L 2 +L /2 L 3 L 3 L 2x x 2 3x 3 =, /2x 2 + /2x 3 =, 2x 2 + 2x 3 =, L 3 L 3 4L 2 2x x 2 3x 3 =, /2x 2 + /2x 3 =, =, Le système est compatible car le rang du système est 2 au nombre d inconnues 3 et la solution n est pas unique car rg(s < 3 Il admet une infinité de solutions de la forme (2κ, κ, κ R Exercice 222 Trouver toutes les solutions du système linéaire homogène 3x + x 2 + 2x 3 =, (S 2x + 2x 3 =, x + 6x 2 + 5x 3 = L 2 L 2 2L /3 L 3 L 3 L / /3 2/3 7/3 7 /3 L 3 L 3 +7L 2 / /3 2/3 Le système admet une infinité de solutions de la forme (κ, κ avec κ R Exercice 223 Trouver toutes les solutions du système linéaire homogène x + x 2 + 3x 3 + x 4 =, (S x + 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 =, 2x + x 3 x 4 = L 2 L 2 L L 3 L 3 2L L 3 L 3 +L Le système admet une infinité de solutions de la forme ( 2 κ, 3 2κ,, κ avec κ R Exercice 224 CC Octobre 2 Soit le système linéaire (S x + y z =, 2x + 3y + βz = 3, x + βy + 3z = 3 Déterminer les valeurs de β de telle sorte que ce système possède : aucune solution ; 2 une solution unique ; 3 une infinité de solutions G Faccanoni 39

40 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier β 3 β 3 3 L 2 L 2 2L L 3 L 3 L β + 2 β 4 4 Comme 6 β β 2 = (2 β(3 + β on conclut que (S ne possède aucune solution si et seulement si β = 2 L 3 L 3 +( βl 2 2 (S possède une solution unique si et seulement si β { 2; 3 } 3 (S possède une infinité de solutions si et seulement si β = 3 Exercice 225 CT Septembre 29 β + 2 (6 β β 2 (3 + β Déterminer si le système suivant a une solution non nulle Dans le cas affirmatif trouver la(les solution(s et expliquer pourquoi : x 2y + 2z =, 2x + y 2z =, (S 3x + 4y 6z =, 3x y + 2z = (S étant un système de 4 équations à 3 inconnues, on considère le sous-système carré d ordre 3 x 2y + 2z =, (S 2x + y 2z =, 3x + 4y 6z =, qu on peut résoudre par la méthode du pivot de Gauss x 2y+2z=, L 2 L 2 2L x 2y +2z=, L 2x +y 2z=, 3 L 3 3L 5y 6z=, 3x+4y 6z=, y 2z=, x 2y+2z=, L 3 L 3 2L 2 5y 6z=, =, qui admet une infinité de solutions de la forme (2κ, 6κ, 5κ pour κ R Cherchons parmi ces solutions celles qui vérifient l équation de (S qui n apparaît pas dans (S : pour (x, y, z = (2κ, 6κ, 5κ on a 3x y + 2z = 6κ 66κ + 6κ = donc 3x y + 2z = pour tout κ R ainsi (S admet une infinité de solutions de la forme (2κ, 6κ, 5κ pour κ R Exercice x 2 Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système linéaire 2 4 x 2 = 2 6 x 3 6 donc [A b] = L 2 L L L 3 L 3 6 L 6x + x 2 + x 3 = 2, 3 x 2 3 x 3 = 4 6x 3 = L 3 L 3 6 L = x 3 =, x 2 =, x = 2 4 G Faccanoni

41 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Exercice 227 CC Octobre 2 Calculer A où A est la matrice [A I 3 ] = L L L 2 L 2 L 3 L 3 L L L 2 L 2 4L L 3 L 3 +2L L L L 3 L 2 L 2 2L 3 L 3 L = [I 3 A ] Exercice 228 Calculer les inverses des matrices suivantes (si elles existent : ( ( a b A =, B =, C = 2, D = c d det(a = 22 donc A est inversible et on trouve A = 22 ( B est inversible si et seulement si ad bc et on a B = ad bc ( d b c a det(c = 2 donc C est inversible et on trouve C = det(d = donc D n est pas inversible Exercice 229 CC Octobre 2 Calculer A où A est la matrice 2 2 G Faccanoni 4

42 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 [A I 3 ] = 2 2 L L L 2 L 2 L 3 L 3 L L L 2 L 2 L 3 L 3 2L L L +L 3 L 2 L 2 +2L 3 L 3 L = [I 3 A ] Exercice 23 Soit le système linéaire 6 x x 2 = 2 6 x 3 6 Résoudre les systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss donc [A b] = L 2 L L L 3 L 3 6 L 6x + x 2 + x 3 = 2, 3 x 2 3 x 3 = 4 6x 3 = L 3 L 3 6 L = x 3 =, x 2 =, x = 2 Exercice 23 CC octobre 23 Soit A la matrice Calculer det(a 2 Si det(a, calculer A A = Pour calculer le déterminant de la matrice A on développe par rapport à la première ligne det(a = det(a det(a 2 + det(a 3 ( det(a 4 = det ( det ( 2 2 On note que la première colonne de la sous-matrice A est l opposée de la deuxième colonne, ainsi le déterminant de A est nul et il ne reste plus qu à calculer le déterminant de A 4 (par exemple en utilisant la règle de Sarrus ( det(a = + det 2 = 2 2 Calculons A avec l une des deux méthodes suivantes : 42 G Faccanoni

43 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Méthode de Gauss [A I 4 ] = L L L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 2L L 2 L 2 L L 3 L 3 L L 4 L 4 L L L +L 4 L 2 L 2 +L 4 L 3 L 3 +L L L L 2 L 2 +L 3 L 4 L 4 2L = [I 4 A ] Méthode de Cramer On calcule la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A : comatrice = = ; on transpose la comatrice de A : on divise par det(a et on obtient 2 2 comatrice T = ; A = 2 2 Exercice 232 CC octobre 23 Soit A la matrice Calculer det(a 2 Si det(a, calculer A A = G Faccanoni 43

44 2 Systèmes linéaires Lundi 2 janvier 24 Pour calculer le déterminant de la matrice A on développe par rapport à la première colonne det(a = det(a det(a 2 + det(a 3 ( det(a 4 = det + det ( ( 2 2 On note que la première ligne de la sous-matrice A est l opposée de la deuxième ligne, ainsi le déterminant de A est nul et il ne reste plus qu à calculer le déterminant de A 4 (par exemple en utilisant la règle de Sarrus ( det(a = + det 2 2 = 2 Calculons A avec l une des deux méthodes suivantes : Méthode de Gauss [A I 4 ] = L L L 2 L 3 L 3 +L 2 L 4 L L 2 L 2 L 3 L 3 L 4 L 4 +L L L L 4 L 2 L 2 +2L 4 L 3 L 3 2L 4 L L +L 3 L 2 L 2 2L 3 L 4 L 4 +L = [I 4 A ] Méthode de Cramer On calcule la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A : comatrice = = ; on transpose la comatrice de A : comatrice T = ; on divise par det(a et on obtient A = G Faccanoni

45 Lundi 2 janvier 24 2 Systèmes linéaires Exercice 233 V Guirardel Une entreprise fabrique des manteaux Ces manteaux sont composés de tissu rouge, de tissu bleu et d une doublure noire Le tableau suivant résume les mètres carrés de chaque tissu nécessaires à la confection du manteau en tailles S, M, L et XL : S M L XL Tissu rouge Tissu bleu 2 3 Doublure Chaque tissu est tissé à l aide de plusieurs types de fil : coton, polyester et polyamide Le tableau suivant résume les mètres de fil de chaque type nécessaires par mètre carré de tissu : Tissu rouge Tissu bleu Doublure Coton 5 4 Polyamide 9 7 Polyester 5 6 L entreprise veut produire s manteaux taille S, m manteaux taille M, l manteaux taille L et x manteaux taille XL Quelle quantité de fil de chaque catégorie doit-elle commander? Répondre à cette question dans le langage des matrices 2 En fin d année, l entreprise veut écouler entièrement ses stocks de fils Il lui reste m de coton et de polyamide, et 2 m de Polyester Peut-elle transformer entièrement ses stocks de fils en manteaux? Introduisons les deux matrices A et B et les deux vecteurs u et v suivants s A = 2 3 B = 9 7 u = m c l v = a e x Pour produire s manteaux taille S, m manteaux taille M, l manteaux taille L et x manteaux taille XL, l entreprise doit commander c mètres de coton, a mètres de polyamide et e mètres de polyester où c, a, e sont les entrées du vecteur v suivant : 2s + 239m + 268l + 297x v = BAu = 235s + 268m + 3l + 334x 8s + 9m + 2l + 3x 2 On cherche s il existe un vecteur u tel que = BAu, 2 ie s il existe une solution du système linéaire s m l = x En appliquant la méthode de Gauss on obtient le système s m l = 25 2 x qui n admet pas de solution G Faccanoni 45

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47 3 Espaces vectoriels Espaces vectoriels, Sous-espaces vectoriels Définition Espace vectoriel Un espace vectoriel sur K est un ensemble E contenant au moins un élément, noté E, ou simplement, muni d une addition u + v E pour tout u, v E et d une multiplication par les scalaires α u E pour tout u E et pour tout α K avec les propriétés suivantes : pour tout u, v, w E et pour tout α, β K, ➀ u + (v + w = (u + v + w ➁ u + v = v + u ➂ u + E = E + u = u ➃ u + ( u = ( u + u = E en notant u = ( K u ➄ (α + β u = α u + β u ➅ α (u + v = α u + α v ➆ α (β u = (αβ u (associativité (commutativité (existence d un élément neutre pour l addition (existence d un élément opposé (compatibilité avec la somme des scalaires (compatibilité avec la somme des vecteurs (compatibilité avec le produit des scalaires ➇ K u = u (compatibilité avec l unité Les éléments de E sont appelés vecteurs, l élément neutre de l addition E est appelé vecteur nul, le symétrique d un vecteur u pour l addition est appelé vecteur opposé de u et est noté u Nous travaillerons avec K = C, R, Q, Z ou N Exemple L ensemble R 2 = { (x, y x R, y R } est un espace vectoriel pour les opérations somme : (x, y + (z, w = (x + z, y + w multiplication : α (x, y = (αx, αy Définition Sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F est un espace vectoriel et F E 47

48 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Exemple L ensemble { E } constitué de l unique élément nul est un sous-espace vectoriel de E, à ne pas confondre avec l ensemble vide qui n est pas un sous-espace vectoriel de E (il ne contient pas le vecteur nul L ensemble E est un sous-espace vectoriel de E Pour montrer qu un ensemble F est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E on utilise le théorème suivant Théorème F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F E 2 E F 3 u, v F = u + v F 4 u F, α K = α u F Exemple L ensemble { ( } a b F = { A M 2 (R tr(a = O 2 } = a + d = c d est un sous-espace vectoriel de l ensemble E = M 2 (R En effet : F M 2 (R ; ( 2 E = F car + = ; ( ( ( a b e f a + e b + f 3 si M = et N = appartiennent à F (c est-à-dire a+d = et e+h =, alors M+N = c d g h c + g d + h appartient à F car (a + e + (d + h = (a + d + (e + h = + = ; ( ( a b αa αb 4 si M = appartient à F (c est-à-dire a + d = et si α R alors α M = appartient à F car c d αc αd αa + αd = α(a + d = Exemple L ensemble { ( } a b F = { A M 2 (R det(a = } = ad = bc c d n est pas un sous-espace vectoriel de l ensemble E = M 2 (R En effet la somme de deux éléments de F peut ne pas appartenir à F, par exemple ( ( ( + = Exemple On note Fonct(R, R l espace vectoriel des fonctions de R dans R et on considère les sous-ensembles suivants de Fonct(R, R F = { f : R R f est paire } ; 2 F = { f : R R f est impaire } ; 3 F = { f : R R f( x = f(x + 2 } ; 4 F = { f : R R f(x } ; 5 F = { f : R R f(x = } ; 6 F = { f : R R f(x = } ; 7 F = { f : R R f( = } On cherche lesquels forment des sous-espaces vectoriels : F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g( x = f( x + g( x = f(x + g(x = (f + g(x, 3 f F, α R = α f F car (α f( x = αf( x = αf(x = (α f(x ; 2 F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g( x = f( x + g( x = f(x g(x = (f + g(x, 48 G Faccanoni

49 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels 3 f F, α R = α f F car (α f( x = αf( x = αf(x = (α f(x ; 3 F n est pas un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R car il ne contient pas la fonction nulle x ; 4 F n est pas un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R car l opposé de la fonction f : x, qui est un élément de F, est la fonction f : x, qui n est pas un élément de F ; 5 F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g(x = f(x + g(x pour tout x R, 3 f F, α R = α f F car (α f(x = αf(x pour tout x R ; 6 F n est pas un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R car il ne contient pas la fonction nulle x ; 7 F = { f : R R f( = } ; F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g( = f( + g( =, 3 f F, α R = α f F car (α f( = αf( = Exemple On note R n [x] l espace vectoriel des polynômes de degré n à coefficients dans R et on considère les sous-ensembles suivants de R n [x] F = { p R n [x] deg(p = 7 } ; 2 F = { p R n [x] deg(p 3 } ; 3 F = { p R n [x] p est pair } ; 4 F = { p R n [x] p( = p(2 = p(3 = } On cherche lesquels forment des sous-espaces vectoriels : F n est pas un sous-espace vectoriel de R n [x] car il ne contient pas le polynôme nul (le polynôme nul n est pas de degré 7 2 F est un sous-espace vectoriel de R n [x] car p(x = F car deg( 3, 2 p, q F = p + q F car deg(p + q = deg(p + deg(q 3, 3 p F, α R = α p F car deg(α p( = deg(p 3 ; 3 F est un sous-espace vectoriel de R n [x] car F c est l intersection des deux espace vectoriel R n [x] et {f : R R f est paire} de l exemple précédent ; (on verra un théorème plus tard 4 F est un sous-espace vectoriel de R n [x] car p(x = F, 2 p, q F = p + q F car (p + q(x = p(x + q(x = pour x =, 2, 3, 3 p F, α R = α p F car (α p(x = αp(x = pour x =, 2, 3 Combinaisons linéaires, espace engendré Définition Combinaison linéaire Soient u, u 2,, u p des éléments de l espace vectoriel E et α, α 2,, α p des éléments de K Le vecteur p α i u i est appelé combinaison linéaire des vecteurs u, u 2,, u p i= Exemple Considérons les trois vecteurs u = 2, u 2 = 2, u 3 = 3 4 Montrons que u 3 est combinaison linéaire des vecteurs u et u 2 Pour prouver qu un vecteur v est une combinaison linéaire des vecteurs u, u 2,, u p il faut montrer qu il existe p constantes α, α 2,, α p telles que v = α u + α 2 u α p u p G Faccanoni 49

50 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 On cherche alors a et b réels tels que u 3 = au + bu 2, ce qui donne = a, = 2a + 2b, a = b = 4 = 3a b, Par conséquent u 3 est combinaison linéaire des vecteurs u et u 2 car u 3 = u + u 2 Définition Espace engendré Soient u, u 2,, u p des éléments de l espace vectoriel E L ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces p vecteurs fixés est un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace vectoriel engendré par u, u 2,, u p et noté Vect { } u,, u p : Vect { { } } p u,, u p = u E (α,, α p R p, u = α i u i i= Notons que les vecteurs u, u 2,, u p appartiennent à Vect { u,, u p } car pour tout j =, 2,, p u j = p u i + u j i= i j Bien sûr le vecteur E appartient à Vect { u,, u p } car Exemple Vect { ( E } = { ( E } Vect, } { = a ( + b E = Définition Famille libre, famille génératrice, base p u i i= ( } a, b R = Familles libres, génératrices, bases { ( } a b a, b R b a Soit p N, E un espace vectoriel et F = { } u,, u p une famille de vecteurs de E On dit que la famille F est génératrice de E si et seulement si tout vecteur de E est combinaison linéaire des éléments de F : p pour tout u E il existe (α,, α p R p tel que u = α i u i ; libre si et seulement si le vecteur nul E est combinaison linéaire des éléments de F de façon unique : p α i u i = E = α i = i i= base de E si et seulement si tout vecteur de E est combinaison linéaire des éléments de F de façon unique : pour tout u E il existe unique (α,, α p R p tel que u = i= p α i u i ; Les réels α,, α p sont alors les coordonnées du vecteur u dans la base F, on écrit coord(u, F = (α,, α p et on dit que E est de dimension p finie i= 5 G Faccanoni

51 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exemple La famille { u = (,, v = (,, w = u + v } de vecteurs de R 2 n est pas libre : par exemple le vecteur (2, peut s écrire comme 2u v, comme 2w 3v etc Exemple Considérons les trois vecteurs 3 u = 2, u 2 =, u 3 = 2 Pour montrer qu ils sont linéairement indépendants dans R 4, il faut montrer que le vecteur (,,, ne peut s écrire que d une seule façon comme combinaison linéaire de u, u 2 et u 3 Supposons que = α u + α 2 u 2 + α 3 u 3, ce qui revient au système linéaire = 3a, = a, = 2a b, = b + 2c Par conséquent la famille { u, u 2, u 3 } est libre dans R 4 a = b = c = Théorème et définition Dans un espace vectoriel E de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d éléments Ce nombre, noté dim(e, est appelé la dimension de E Théorème Dans un espace vectoriel E de dimension n, une famille génératrice a au moins n éléments Si elle a plus de n éléments, on peut en extraire une sous-famille libre de cardinal n qui est alors une base de E Si elle a exactement n éléments, c est une base de E Théorème de la base incomplète Dans un espace vectoriel E de dimension n, une famille libre a au plus n éléments Si elle a moins de n éléments, on peut la compléter de façon à obtenir une base Si elle a exactement n éléments, c est une base de E Théorème de la dimension Soit F une famille d éléments de E de dimension finie n Les propriétés suivantes sont équivalentes : ❶ F est une base de E ❷ F est libre et de cardinal n ❸ F est génératrice de E et de cardinal n ❹ F est libre et génératrice de E Attention On utilise ce théorème principalement pour montrer qu une famille F est une base de E On utilisera surtout les implications suivantes (avec E de dimension n : si F est libre et de cardinal n alors F est une base de E si F est libre et génératrice de E alors F est une base de E Exemple Avec n N, l espace vectoriel R n est de dimension n La famille B = { (,,, ; (,,, ; ; (,,, } est une base, appelée base canonique de R n, car pour tout vecteur u R n, u = (u, u 2,, u n = u (,,, + u 2 (,,, + + G Faccanoni 5

52 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 u n (,,, de façon unique Exemple On a déjà vu que A = { (,, (, } est une base de R 2 et que par conséquent R 2 est de dimension 2 Soit B = { (2,, (, 2 } Pour prouver que B est une base de R 2 on va prouver qu elle est une famille libre de cardinal 2 : B est une famille libre car { 2α + α 2 = α (2, + α 2 (, 2 = (, = = α = α 2 =, α + 2α 2 = cardinal(b = 2 Attention Dimension cardinal Attention à ne pas confondre dimension et cardinal : dans un espace vectoriel de dimension n, toutes les bases ont le même cardinal, mais il ne faut pas parler de cardinal d un espace vectoriel, ni de dimension d une base Exemple Avec n N, l espace vectoriel R n [x] des polynômes de degré n est de dimension n + La base C = {, x, x 2,, x n } est appelée base canonique de R n [x] car, pour tout polynôme p R n [x], p(x = a + a x + a 2 x a n x n de façon unique Exemple Avec n, m N, l espace vectoriel M n,m (R des matrices n m est un espace vectoriel de dimension nm L espace vectoriel M n (R des matrices n n est un espace vectoriel de dimension n 2 La base canonique de M 2 (R est C = { (, (, (, ( } Définition Vecteurs linéairement indépendants Quand une famille est libre, on dit que les vecteurs qui la composent sont linéairement indépendants Une famille liée est une famille non libre Exemple { u } est une famille libre si et seulement si u E L espace vectoriel { E } n as pas de base, il est de dimension Soit E un espace vectoriel de dimension n Le seul sous-espace vectoriel de E de dimension est { E }, le seul sous-espace vectoriel de E de dimension n est E Définition Vecteurs colinéaires Deux vecteurs u et v de E sont dits colinéaires si et seulement si u = E ou v = λu pour un certain λ R Par conséquent, { u, v } est une famille libre si et seulement si u et v ne sont pas colinéaires Exemple Soient u = (2,, 3, v = ( 4, 2, 6 et w = ( 4, 2, 6 u et v sont colinéaires car v = 2 u : la famille { u, v } n est donc pas libre ; u et w ne sont pas colinéaires : la famille { u, w } est libre ; v et w ne sont pas colinéaires : la famille { v, w } est libre Théorème Soit F une famille de vecteurs Si deux vecteurs de F sont colinéaires alors la famille est liée La réciproque est fausse 52 G Faccanoni

53 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exemple Soit F = { u, v, w } avec u = (,,, v = (2, 3, 5 et w = (,, La famille est liée car w = ( u Soit F = { u, v, w } avec u = (,,, v = (2,, 2 et w = (3,, La famille est liée car w = u + v Cependant les vecteurs u, v et w ne sont pas à deux à deux colinéaires Attention Pour montrer qu une famille de plus de deux vecteurs est libre, on sera amené à résoudre le système linéaire correspondant, qui est un système homogène : la famille est libre si et seulement si le système admet uniquement la solution nulle Définition Rang d une famille de vecteurs Soit E un espace vectoriel et F = { e, e 2,, e n } une famille d éléments de E On appelle rang de F, et on note rg(f, la dimension du sous-espace vectoriel de E engendré par F : rg(f = dim(vect { e, e 2,, e n } Attention Le rang d une matrice A est le rang des vecteurs colonnes de A, c est-à-dire la dimension du sous-espace vectoriel qu ils engendrent Donc rg(f = rg([e, e 2,, e n ], où [e, e 2,, e n ] est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de la famille F Interpolation de Lagrange Supposons que l on veuille chercher un polynôme P m de degré m qui, pour des valeurs x, x, x 2,, x m distinctes données (appelés nœuds d interpolation, prenne les valeurs y, y, y 2,, y m respectivement, c est-àdire P m (x i = y i pour i m (3 Si un tel polynôme existe, il est appelé polynôme d interpolation ou polynôme interpolant Une manière apparemment simple de résoudre ce problème est d écrire le polynôme dans la base canonique de R m [x] : P m (x = a + a x + a 2 x a m x m, où a, a, a 2,, a m sont des coefficients qui devront être déterminés Les (m + relations (3 s écrivent alors a + a x + a n x m = y a + a x + a n x m = y a n + a x m + a m xm m = y m Puisque les valeurs x i et y i sont connues, ces relations forment un système linéaire de (m + équations en les (m + inconnues a, a, a 2,, a m qu on peut mettre sous la forme matricielle x x m a y x x m a = y (32 x m xm m a m y m Ainsi, le problème consistant à chercher le polynôme P m satisfaisant (3 peut se réduire à résoudre le système linéaire (32 Cependant, résoudre une système linéaire de (m + équations à (m + inconnues n est pas une tache triviale Cette méthode pour trouver le polynôme P m n est donc pas une bonne méthode en pratique On se demande alors s il existe une autre base { L, L, L 2,, L m } de R m [x] telle que le polynôme P m s écrit P m (x = y L (x + y L (x + y 2 L 2 (x + + y m L m (x, G Faccanoni 53

54 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 autrement dit s il existe une base telle que les coordonnées du polynôme dans cette base ne sont rien d autre que les valeurs connues y, y,, y m Pour trouver une telle base, commençons par imposer le passage du polynômes par les m + points donnés : les (m + relations (3 imposent la condition : { si i = j L i (x j = pour i, j m, sinon ce qui donne L i (x = n j= j i x x j x i x j = (x x (x x (x x i (x x i+ (x x m (x i x (x i x (x i x i (x i x i+ (x i x m Il est facile de vérifier que L i (x R m [x] car le numérateur de L i (x est un produit de m termes (x x j avec i j et est donc un polynôme de degré m et le dénominateur de L i (x est une constante, L i (x j = si i j, i m, L i (x i = De plus, les polynômes L, L, L 2,, L m sont linéairement indépendants car si l équation m i= α il i (x = doit être satisfaite pour tout x R alors en particulier elle doit être satisfaite pour x = x j pour tout j =,,, m et puisque m i= α il i (x j = α j, on conclut que tous les α j sont nuls Par conséquent, la famille { L, L, L 2,, L m } forme une base de R m [x] Il est important de remarquer que nous avons construit explicitement une solution du problème (3 et ceci pour n importe quelles valeurs y, y, y 2,, y m données Ceci montre que le système linéaire (32 a toujours une unique solution Étant donné m + points distincts x,, x m et m + valeurs correspondantes y,, y m, il existe un unique polynôme P m R m [x] tel que P m (x i = y i, pour i =, m qu on peut écrire sous la forme P m (x = m m x x j y i L i (x où L i (x = x i x j i= Cette relation est appelée formule d interpolation de Lagrange et les polynômes L i sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange Voyons un exemple : on veut construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (, 2, (,, (2, 2 et (3, 3 Ici n = 3 donc on a j= j i (x x (x x 2 (x x 3 P(x = y (x x (x x 2 (x x 3 + y (x x (x x 2 (x x 3 (x x (x x 2 (x x 3 (x x (x x (x x 3 + y 2 (x 2 x (x 2 x (x 2 x 3 + y (x x (x x (x x 2 3 (x 3 x (x 3 x (x 3 x 2 = (x (x 2(x 3 (x (x 2(x 3 = 2 + ( ( 2( 3 ( ( 2( 3 (x (x (x 3 (x (x (x (2 (2 (2 3 (3 (3 (3 2 = (x (x 2(x 3 x(x 2(x 3 = x(x (x 2 x(x (x 3 + = 2 3 x3 + 2x x + 2 y 3 2 Sinon, comme on cherche p(x = 3 i= a ix i un polynôme de degré 3, il s agit de trouver les 4 coefficients a, a, a 2 et a 3 solution du système linéaire p( = 2 p( = p(2 = 2 p(3 = 3 a + a + a a 3 3 = 2 a + a + a a 3 3 = a + a 2 + a a = 2 a + a 3 + a a = P(x a 2 a a 2 = a 3 3 x 54 G Faccanoni

55 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels L 2 L 2 L L 3 L 3 L L 4 L 4 L donc a 3 = 3, a 2 = 2, a = 8 3 et a = L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 3L Intersection et Somme d espaces vectoriels Théorème L intersection de deux espaces vectoriels est un espace vectoriel L 4 L 4 3L En revanche, la réunion de deux espaces vectoriels n en est pas un en général Le plus petit espace vectoriel contenant F et G est le sous-espace vectoriel engendré par F G qui est en général différent de F G Définition Somme d espaces vectoriels Soit F et F 2 deux sous espaces vectoriels de E On appelle somme de F et F 2 l ensemble F + F 2 des vecteurs de E qui peuvent s écrire comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de F 2 : u F + F 2 v F, v 2 F 2, u = v + v 2 La somme de deux sous espaces vectoriels de E est un sous espace vectoriel de E Proposition Dimension de la somme (formule de Grassmann Soit F et F 2 deux sous espaces vectoriels de E Alors dim(f + F 2 = dim(f + dim(f 2 dim(f F 2 Définition Somme directe d espaces vectoriels Soit F et F 2 deux sous espaces vectoriels de E La somme de F et F 2 est directe, et est notée F F 2, si leur intersection est réduite au vecteur nul : { F = F + F 2 F = F F 2 F F 2 = { E } Proposition La somme de deux sous espaces vectoriels F et F 2 est directe si et seulement si l écriture de tout vecteur u F + F 2 sous la forme u = u + u 2 avec u F et u 2 F 2 est unique Définition Espaces vectoriels supplémentaires Soit F et F 2 deux sous espaces vectoriels de E Ils sont supplémentaires si leur somme est directe et égale à l espace E, autrement dit u E,! v F,! v 2 F 2, tels que u = v + v 2 G Faccanoni 55

56 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Exemple Dans R 2 les deux sous-espaces vectoriels F = Vect { (, } et F 2 = Vect { (, } sont supplémentaires En effet, tout élément (a, b de R 2 s écrit de manière unique sous la forme a(, + b(, Astuce Lorsque F et F 2 sont des sous-espaces vectoriels, pour prouver que F F 2 = { E }, il suffit de montrer l implication u F F 2 = u = E L autre inclusion est évidente puisque, F F 2 étant un sous-espace vectoriel de F, il contient le vecteur nul Remarque En utilisant la proposition sur la dimension de la somme (ie la formule de Grassmann pour F et F 2 deux sous espaces vectoriels supplémentaires on trouve dim(f F 2 = dim(f + dim(f 2 Théorème Tout sous-espace vectoriel V de E admet au moins un supplémentaire Remarque En général, un sous-espace vectoriel admet beaucoup de supplémentaires, les seuls cas d unicité sont les suivants : le seul supplémentaire de l espace vectoriel { V } dans un espace vectoriel V est V ; le seul supplémentaire de V dans V est { V } Astuce Soit E un espace vectoriel de dimension finie, ainsi que F et G deux sous-espaces vectoriels de E Pour démontrer E = F G, il suffit de prouver que dim(e = dim(f + dim(g, 2 et au choix soit que F G = { E } car alors on a dim(f + G = dim(f + dim(g dim(f G = dim(f + dim(g = dim(e ce qui prouve que F + G est un sous-espace vectoriel de E de même dimension que E et donc égal à E, soit que F + G = E car alors on a dim(f G = dim(f + dim(g dim(f + G = dim(f + dim(g dim(e = et donc F G = { E } Matrices et changement de base Quand on parle d un vecteur d un espace vectoriel, on parle d un objet précis : le vecteur u de l espace E Mais quand on veut faire des calculs avec une base B de E, on calcule avec les coordonnées du vecteur u dans cette base B Si on veut conduire des calculs dans une base C de E, le vecteur u n a pas changé, mais on doit calculer avec les coordonnées de u dans la base C On va établir la relation entre ces coordonnées Définition Matrice de changement de base Étant donné deux bases B = { e, e 2,, e n } et B = { e, e 2,, e n } d un même espace vectoriel, on appelle matrice de passage de B à B la matrice dont la j-ème colonne est constituée des coordonnées de e j dans la base B On la note P B B 56 G Faccanoni

57 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exemple Soit B = { e, e 2 } et B = { e, e 2 } deux bases de R 2 Alors e 2 e 2 p 22 p 2 p e p 2 coord(e, B = coord(e 2, B = ( p p 2 ( p2 p 22 ( p p P B B = 2 p 2 p 22, ie e = p e + p 2 e 2, ie e 2 = p 2 e + p 22 e 2 e Propriété P B B est inversible et (P B B = P B B Proposition Si un vecteur u E a pour coordonnées coord(u, B = (x, x 2,, x n dans la base B et coord(u, B = (x, x 2,, x n dans la base B alors x x x 2 = P x 2 B B x n x n ou encore x x 2 = P x 2 B B x n x n x Exemple Soit B = { e, e 2 } et B = { e, e 2 } deux bases de R 2 Alors e 2 x 2 u e 2 x u x e x 2 coord(u, B = ( x x 2, ie u = x e + x 2 e 2 ( x coord(u, B =, x 2 ie u = x e + x 2e 2 En effet, ( x x 2 }{{} coord(u,b ( p p = 2 p 2 p 22 }{{} P B B ( x x 2 }{{} coord(u,b e u = x e + x 2e 2 = x (p e + p 2 e 2 + x 2(p 2 e + p 22 e 2 = (p x + p 2 x 2e + (p 2 x + p 22 x 2e 2 = x e + x 2 e 2 G Faccanoni 57

58 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Attention Ne pas confondre le vecteur u E (qui peut être un polynôme, une fonction, une matrice avec la matrice colonne de ces coordonnées dans la base B de E (qu on peut noter coord(u, B Exemple Le polynôme p(x = a + bx + cx 2 a pour coordonnées (a, b, c dans la base canonique C = {, x, x 2 } de R 2 [x] mais n est pas égale au vecteur (a, b, c de R 3 Tous ce qu on peut dire est qie le polynôme p(x = a + bx + cx 2 de R 2 [x] et le vecteur (a, b, c de R 3 ont les mêmes coordonnées dans les bases canoniques respectives UUUUUUUUUUUUUUUU Astuces UUUUUUUUUUUUUUU Astuce Pour démontrer qu un sous-ensemble F d un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E on peut ❶ soit montrer que E F, u F et v F, u + v F, u F et λ K, λ u F ; ❷ soit montrer que F = Vect { e,, e p } où e,, e p sont des éléments de E ; ❸ soit montrer que F est l intersection de deux sous-espaces vectoriels de E Astuce Si F = { e,, e p } est une famille génératrice d un espace vectoriel E et si un des vecteurs de F (par exemple e est une combinaison linéaire des autres vecteurs de F, alors F \ { e } est encore une famille génératrice de E Ce résultat permet en particulier de construire une base d un espace vectoriel connaissant une famille génératrice de cet espace Astuce Pour déterminer le rang d une famille de vecteurs F = { e,, e p } d un espace vectoriel E on cherche d éventuelles relations entre les vecteurs e,, e p : si la famille est libre, on en déduit que rg(f = p sinon, on cherche à exprimer un vecteur e i comme combinaison linéaire des autres vecteurs et on «élimine» ce vecteur de la famille ; on procède ainsi jusqu à obtenir une famille libre contenue dans F Avant de commencer une recherche précise, on peut encadrer rg(f Ainsi rg(f min { p, dim(e } si E est de dimension finie ; si F contient au moins deux vecteurs non colinéaires alors rg(f 2 ; si F contient une famille libre de q vecteurs, alors rg(f q Astuce Soit E un espace vectoriel de dimension n, B = { b,, b n } et W = { w,, w n } deux bases de E Soit u E et supposons de connaître les coordonnées de u dans la base B, ie qu on connaît les n coefficients β,, β n tels que u = n j= β j b j Pour obtenir les coordonnées de u dans la la base W, ie les n coefficients ω,, ω n tels que u = n i= ω i w i, on peut : soit utiliser la relation ω ω n = P W B soit exprimer chacun des vecteurs b j dans la base W, ie trouver les n coefficients η j,, η nj tels que β j = n i= η ij w i, et on obtient ( n n n n n u = β j b j = β j η ij w i = η ij β j w i j= j= i= β β n ; i= j= } {{ } ω i 58 G Faccanoni

59 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exercices Exercice 3 Démontrer que l ensemble F = { (x, y, z R 3 } x + y + 2z = est un sous-espace vectoriel de R 3 Ici on va utiliser les deux premières méthodes On montre que E F : en effet (,, F car = ; u F et v F, u + v F : soient u = (u, u 2, u 3 F et v = (v, v 2, v 3 F, alors u + u 2 + 2u 3 = et v + v 2 + 2v 3 = ; soit w = (w, w 2, w 3 = u + v, alors w + w 2 + 2w 3 = u + v + u 2 + v 2 + 2u 3 + 2v 3 =, donc w F ; u F et λ K, λ u F : soient λ R et u = (u, u 2, u 3 F, alors u + u 2 + 2u 3 = ; soit w = (w, w 2, w 3 = λ u, alors w + w 2 + 2w 3 = λu + λu 2 + 2λu 3 =, donc w F Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de R 3 2 On montre que F = Vect { e,, e p } où e,, e p sont des éléments de E En effet x y F z { x, y, z R x + y + 2z = x R z R y = 2z x Donc F = κ κ 2κ 2 κ 2 κ, κ 2 R = κ + κ 2 2 = Vect, 2 Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de R 3 (On peut également en déduire que {(,,, (, 2, } est une famille génératrice de F Exercice 32 CC Octobre 2 Démontrer que l ensemble { ( } a b F = M b c 2 (R a + b = est un sous-espace vectoriel de M 2 (R { ( } a b F = M b c 2 (R a + b = = { a ( + c Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de M 2 (R ( } a, c R = Vect { (, ( } Exercice 33 Démontrer que l ensemble est un sous-espace vectoriel de R 3 F = { (x, x, y R 3 x, y R } G Faccanoni 59

60 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 F = κ κ κ 2 κ, κ 2 R = κ + κ 2 κ, κ 2 R = Vect, Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de R 3 Exercice 34 Démontrer que l ensemble est un sous-espace vectoriel de M 2 (R { ( } a b F = a, b R b b { ( } a b F = a, b R = b b { a ( + b Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de M 2 (R Exercice 35 Démontrer que l ensemble est un sous-espace vectoriel de M 2 (R ( } a, b R = Vect { ( } a b F = M c d 2 (R a + b + c + d = { (, ( } { ( } { ( } a b F = M c d 2 (R a b a + b + c + d = = a, b, c R c a b c { ( ( ( } { ( ( ( } = a + b + c a, b, c R = Vect,, Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de M 2 (R Exercice 36 CC Novembre 22 Démontrer que l ensemble F = { a + bx + cx 2 R 2 [x] a + b + 2c = } est un sous-espace vectoriel de R 2 [x] On montre que F = Vect { e,, e p } où e,, e p sont des éléments de R 2 [x] En effet F = { a + bx + cx 2 R 2 [x] a + b + 2c = } = { a + ( 2c ax + cx 2 a, c R } = { a( + x + c( 2x + x 2 a, c R } = Vect { x, 2x + x 2 } Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de R 2 [x] (On peut également en déduire que { x, 2x + x 2 } est une famille génératrice de F 6 G Faccanoni

61 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exercice 37 CC Novembre 22 Démontrer que l ensemble est un sous-espace vectoriel de R 2 [x] F = { p R 2 [x] p( = } On montre que F = Vect { } e,, e p où e,, e p sont des éléments de R 2 [x] En effet F = { a + bx + cx 2 R 2 [x] } a + b + c = = { a + bx + ( a bx 2 } a, c R = { a( x 2 + b(x x 2 a, b R } = Vect { x 2, x x 2 } Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de R 2 [x] (On peut également en déduire que { x 2, x x 2 } est une famille génératrice de F Exercice 38 CC Novembre 22 Montrer que l ensemble F = { A = n est pas un sous-espace vectoriel de M 2 (R ( } a b M c d 2 (R det(a = Soit A = donc A + A F ( et A = ( deux matrice de F Comme A + A = ( 2, alors det(a + A =, Exercice 39 CC octobre 23 Prouver que les familles suivantes sont libres : A = { (, ( } R 2 2 B = { (, (, (, ( } M 3(R 3 C = {, t, t 2 } R 2 [t] 4 D = {, t, t(t, t(t (t 2 } R 3 [t] α ( + β ( = ( ssi ( α+β β 2 α ( + β ( + γ ( + δ ( = ( = libre 3 C est la base canonique de R 3 [t] donc la famille est libre = ( ssi α = β = donc la famille est libre α = β + γ = = α = β = γ = δ = donc la famille est γ + δ = δ = 4 α + βt + γt(t + δt(t (t 2 = pour tout t R ssi α + (β γ + 2δt + (γ 3δt 2 + δt 3 = pour tout t R ssi α = β = γ = δ = donc la famille est libre G Faccanoni 6

62 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Exercice 3 CC Novembre 22 Montrer que l ensemble { ( } a b F = M b c 2 (R ac = b2 n est pas un sous-espace vectoriel de M 2 (R Soit A = donc A + A F ( et A = ( deux matrice de F Comme A + A = ( 2, alors det(a + A =, Exercice 3 Soient u = (,, et u 2 = (, 2, 3 deux vecteurs de R 3 Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les réels x, y, z pour que le vecteur w = (x, y, z appartient à Vect { u, u 2 } w Vect { u, u 2 } (a, b R 2 tel que w = au + bu 2 a + b = x, (a, b R 2 tel que a + 2b = y, a + 3b = z a = 2x y, (a, b R 2 tel que b = y x, z = x + 2y x 2y + z = Exercice 32 Dans R 3, on considère les vecteurs u = ( 2, 3, 7, v = (, 2, 3 et w = (,, 6 Montrer que Vect { u, v, w } = Vect { u, v } = Vect { v, w } = Vect { w, u } Comme w = 3u + 5v, on peut tirer de cette relation l un des vecteurs en fonction des deux autres, ce qui permet de prouver que les espaces engendrés par deux des trois vecteurs sont égaux à Vect { u, v, w } Exercice 33 Déterminer le rang dans R 2 de la famille A = { u = (3,, u 2 = (, 5 } Si le rang de la famille est strictement inférieur au nombre de vecteurs de la famille, on déterminera une ou des relations non triviales entre les vecteurs de la famille Le vecteur w = (, appartient-il à Vect { u, u 2 }? Si oui, l exprimer comme combinaison linéaire de u et u 2 62 G Faccanoni

63 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Comme det ( 3 5, rg(a = 2 et l on a rg(a = card(a : les vecteurs u et u 2 sont linéaire indépendants Pour obtenir l expression de w en fonction de u et u 2 on cherche les réels a et b tels que au +bu 2 = w, ce qui conduit au système linéaire { d où la relation w = 6 (5u u 2 3a b =, a + 5b = a = 5 6, b = 6, Exercice 34 Déterminer le rang dans R 3 de la famille A = { u = (,, 3, u 2 = (, 2, 5, u 3 = (, 7, } Si le rang de la famille est strictement inférieur au nombre de vecteurs de la famille, on déterminera une ou des relations non triviales entre les vecteurs de la famille Le vecteur w = (,, appartient-il à Vect { u, u 2, u 3 }? Si oui, l exprimer comme combinaison linéaire de u, u 2 et u 3 ( Comme det 2 7, rg(a = 3 et l on a rg(a = card(a : les vecteurs u, u 2 et u 3 sont 3 5 linéairement indépendants, ie la famille A est libre Comme card(a = dim(r 3, alors Vect(A = R 3 et w Vect(A Pour obtenir l expression de w en fonction de u, u 2 et u 3 on cherche les réels a, b et c tels que au + bu 2 + cu 3 = w, ce qui conduit au système linéaire a + b + c =, a + b + c =, a + b + c =, 3 a + 2b + 7c =, 3b + 8c =, 3b + 8c =, a = 3a + 5b + c =, 2b 2c = 3, 22 3 c = 3, 2, b =, c = 2, d où la relation w = 2 ( 3u 2u 2 + u 3 Exercice 35 Déterminer le rang dans R 3 de la famille A = { u = (, 4, 3, u 2 = (2, 5, 3, u 3 = ( 3,, 3 } Si le rang de la famille est strictement inférieur au nombre de vecteurs de la famille, on déterminera une ou des relations non triviales entre les vecteurs de la famille Le vecteur w = (,, appartient-il à Vect(A? Si oui, l exprimer comme combinaison linéaire de u, u 2 et u 3 ( 2 3 Comme det 4 5, rg(a = 3 et l on a rg(a = card(a : les vecteurs u, u 2 et u 3 sont linéaire indépendants, ie A est une famille libre Comme card(a = dim(r 3 alors Vect(A = R 3 et w Vect(A Pour obtenir l expression de w en fonction de u, u 2 et u 3 on cherche les réels a, b et c tels que au + bu 2 + cu 3 = w, ce qui conduit au système linéaire a + 2b + 3c =, 4a + 5b =, 3a + 3b 3c =, a + 2b + 3c =, 3b 2c = 4, 9b + 6c = 3, d où la relation w = 6 u u u 3 a + 2b + 3c =, 3b 2c = 4, 3c = 9, a = 6, b = 2 5, c = 3, Exercice 36 Déterminer le rang dans R 3 de la famille A = { u = (, 2, 3, u 2 = (3, 2,, u 3 = (3, 3, 3, u 4 = (7,, 7 } Si le rang de la famille est strictement inférieur au nombre de vecteurs de la famille, on déterminera une ou des relations non triviales entre les vecteurs de la famille G Faccanoni 63

64 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Sans faire de calcul on sait que rg(a 3 donc au moins un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres Comme 4u 3 = 3u + 3u 2 donc Vect { u, u 2, u 3, u 4 } = Vect { u, u 2, u 4 } Comme 2u 4 = 7u + 7u 2 alors Vect { u, u 2, u 4 } = Vect { u, u 2 } Comme u et u 2 ne sont pas colinéaires, ils sont linéairement indépendants et on conclut que rg(a = 2 Exercice 37 Déterminer le rang dans R 5 de la famille A = { u = (,,, 2, 5, u 2 = (2,,, 3, 4, u 3 = (,,, 4, 7, u 4 = ( 9, 2,,, 9 } Si le rang de la famille est strictement inférieur au nombre de vecteurs de la famille, on déterminera une ou des relations non triviales entre les vecteurs de la famille Sans faire de calcul on sait que rg(a 4 Comme u 4 = 3u 5u 2 +2u 3 donc Vect { u, u 2, u 3, u 4 } = Vect { u, u 2, u 3 } Comme det, on conclut que rg(a = 3 ( 2 Exercice 38 Dans R 3, montrer que l espace vectoriel engendré par les vecteurs u = (2, 3,, u 2 = (,, 2 et l espace vectoriel engendré par les vecteurs v = (3, 7,, v 2 = (5,, 7 sont les mêmes Pour montrer l égalité des deux ensembles, on va prouver les deux inclusions réciproques : Vect { v, v 2 } Vect { u, u 2 } et Vect { u, u 2 } Vect { v, v 2 } Vect { v, v 2 } Vect { u, u 2 } : il suffit de montrer que v { u, u 2 } et v 2 { u, u 2 }, ce qui suit de la remarque v = 2u u 2 et v 2 = u + 3u 2 2 Vect { u, u 2 } Vect { v, v 2 } : il suffit de montrer que u { v, v 2 } et u 2 { v, v 2 }, ce qui suit de la remarque 7u = 3v + v 2 et 7u 2 = v + 2v 2 Exercice 39 CT Septembre 29 Montrer que l espace vectoriel engendré par les vecteurs u = (, 2,, 3, u 2 = (2, 4,, 2, u 3 = (3, 6, 3, 7 et l espace vectoriel engendré par les vecteurs v = (, 2, 4,, v 2 = (2, 4, 5, 4 sont les mêmes 64 G Faccanoni

65 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels On note U l espace vectoriel engendré par les vecteurs u, u 2 et u 3 et V l espace vectoriel engendré par les vecteurs v, v 2 Remarquons tout d abord que si U = V alors dim(u = dim(v = 2 donc la famille { u, u 2, u 3 } n est pas libre Pour démontrer que U = V on montre que U V et que V U Pour montrer que U V il suffit de montrer que chaque u i, i =, 2, 3, est combinaison linéaire des vecteurs v, v 2 : u = av + bv 2 = a + 2b, 2 = 2a + 4b, = 4a 5b, 3 = a + 4b, a =, b = u 2 = av + bv 2 2 = a + 2b, 4 = 2a + 4b, = 4a 5b, 2 = a + 4b, a = 4, b = 3 u 3 = av + bv 2 3 = a + 2b, 6 = 2a + 4b, 3 = 4a 5b, 7 = a + 4b, a = 7, b = 5 Pour montrer que V U il suffit de montrer que chaque v i, i =, 2, est combinaison linéaire des vecteurs u, u 2 et u 3 : v = au + bu 2 + cu 3 = a + 2b + 3c, 2 = 2a + 4b + 6c, 4 = a + b + 3c, = 3a 2b 7c, a = 3 + κ, b = 2κ, c = κ, v 2 = au + bu 2 + cu 3 2 = a + 2b + 3c, 4 = 2a + 4b + 6c, 5 = a + b + 3c, 4 = 3a 2b 7c, a = 4 κ, b = 2κ, c = κ, Exercice 32 Soient p (x = x+, p (x = x 2 +x et p 2 (x = 2x 2 + trois polynômes de R 2 [x] Démontrer que Vect { p, p, p 2 } = R 2 [x] Méthode : Pour prouver l égalité de deux ensembles A et B, on peut démontrer que A B et que B A Pour démontrer que A B, on considère un élément quelconque de A et on démontre qu il appartient à B Comme p, p, p 2 R 2 [x] qui est un espace vectoriel, toute combinaison linéaire de ces trois polynômes est encore un élément de R 2 [x], par conséquent Vect { p, p, p 2 } R 2 [x] R 2 [x] Vect { p, p, p 2 } ssi pour tout q R 2 [x] il existe des réels λ, λ, λ 2 tels que q = λ p + λ p + λ 2 p 2 : q(x = a + bx + cx 2 Vect { p, p, p 2 } (λ, λ, λ 2 R 3 tel que q = λ p + λ p + λ 2 p 2 (λ, λ, λ 2 R 3 tel que a + bx + cx 2 = λ (x + + λ (x 2 + x + λ 2 (2x 2 + (λ, λ, λ 2 R 3 tel que a + bx + cx 2 = (λ + λ 2 + (λ + λ x + (λ + 2λ 2 x 2 λ + λ 2 = a, (λ, λ, λ 2 R 3 tel que λ + λ = b, λ + 2λ 2 = c G Faccanoni 65

66 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Comme 2 = 3, le système est de Cramer et on peut conclure que R 2[x] Vect { p, p, p 2 } Après résolution du système linéaire on trouve q = bp + ( a + b + cp + (a bp 2 Méthode 2 : comme card({ p, p, p 2 } = 3 = dim(r 2 [x], il suffit de prouver que la famille { p, p, p 2 } est libre, ie λ p + λ p + λ 2 p 2 = = λ = λ = λ 2 = : λ p + λ p + λ 2 p 2 = λ (x + + λ (x 2 + x + λ 2 (2x 2 + = (λ + λ 2 + (λ + λ x + (λ + 2λ 2 x 2 = λ + λ 2 =, λ + λ =, λ + 2λ 2 = Comme 2 = 3, le système admet l unique solution nulle et on peut conclure que Vect { p, p, p 2 } = R 2 [x] Exercice 32 Étudier si la famille F = { u = (2, 3, v = (4, 5 } de l espace vectoriel R 2 est libre Si la famille est liée, trouver une relation entre les vecteurs de cette famille On dit qu une famille F = { u,, u p } est libre lorsque Ici p a i u i = E = a i = i p a i u i = E a u + a 2 v = (, i= donc la famille est libre i= { 2a + 4a 2 =, 3a + 5a 2 = { a =, a 2 =, Exercice 322 Étudier si la famille F = { u = (,,, v = (2,,, w = (,, 2 } de l espace vectoriel R 3 est libre Si la famille est liée, trouver une relation entre les vecteurs de cette famille On dit qu une famille F = { u,, u p } est libre lorsque p a i u i = E = a i = i Ici p a i u i = E a u + a 2 v + a 3 w = (,, i= i= a + 2a 2 =, a 2 a 3 =, a + 2a 3 = donc la famille est liée De plus, en prenant par exemple κ =, on a w = 2 u v a = 2κ, a 2 = κ, a 3 = κ 66 G Faccanoni

67 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exercice 323 Étudier si la famille 3 2 F = A = 2 3, B =, C = I de l espace vectoriel M 3 (R est libre Si la famille est liée, trouver une relation entre les vecteurs de cette famille On dit qu une famille F = { u,, u p } est libre lorsque p a i u i = E = a i = i i= Ici p a i u i = E a A + a 2 B + a 3 C = O 3 i= 3a + a 2 + a 3 =, 2a + a 2 =, a + a 2 =, a + a 2 =, 2a + a 2 + a 3 =, 3a + a 2 =, 2a + a 2 =, a + a 2 =, 3a + a 2 + a 3 = a =, a 2 =, a 3 =, donc la famille est libre Exercice 324 Étudier si la famille F = { p (x = x 3 + x 2, p (x = x 2 + x, p 2 (x = x +, p 3 (x = x 3 + } de l espace vectoriel R 3 [x] est libre Si la famille est liée, trouver une relation entre les vecteurs de cette famille On dit qu une famille F = { u,, u p } est libre lorsque p a i u i = E = a i = i i= Ici n a i u i = E a p + a p + a 2 p 2 + a 3 p 3 = (2a 2 + a 3 + (a + a 2 x + (a + a x 2 + (a + a 3 x 3 = i= a 2 + a 3 =, a = κ, a + a 2 =, a = κ, pour tout κ R a + a =, a 2 = κ, a + a 3 =, a 3 = κ, donc la famille est liée De plus, en prenant par exemple κ = on a p 3 = p p + p 2 G Faccanoni 67

68 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Exercice 325 CC Novembre 22 On considère dans R n une famille de 4 vecteurs linéairement indépendants : { e, e 2, e 3, e 4 } Les familles suivantes sont libres? { e, 2e 2, e 3 } 2 { e, e 3 } 3 { e, 2e + e 4, e 4 } 4 { 3e + e 3, e 3, e 2 + e 3 } 5 { 2e + e 2, e 3e 2, e 4, e 2 e } Oui 2 Oui 3 Non 4 Oui car α(3e + e 3 + β(e 3 + γ(e 2 + e 3 = = 3αe + γe 2 + (α + β + γe 3 = Comme e, e 2, e 3 sont linéairement indépendants, cela implique 3α = γ = α + β + γ = = α = β = γ = 5 Non : 7(e 2 e = 2(2e + e 2 + 3(e 3e 2 Exercice 326 CC Novembre 22 On considère dans R n une famille de 4 vecteurs linéairement indépendants : { e, e 2, e 3, e 4 } Les familles suivantes sont libres? { e + e 2 } 2 { e + e 2, e 2 } 3 { e + e 2, e e 2 } 4 { e + e 2, e e 2, e + e 3, e e 3 } 5 { 2e + e 2, e 3e 2, e 4, e 2 e } Oui 2 Oui 3 Oui 4 Non 5 Non : 7(e 2 e = 2(2e + e 2 + 3(e 3e 2 Exercice 327 On considère dans R n une famille de 4 vecteurs linéairement indépendants : { e, e 2, e 3, e 4 } Les familles suivantes sont libres? { 2e, e 2, e 3 } 2 { e, e 3 } 3 { e, 3e + e 4, e 4 } 4 { 3e + e 3, e 3, e 2 + e 3 } 5 { 2e + e 2, e 3e 2, e 4, e 2 e } Oui 2 Oui 3 Non 4 Oui 5 Non : 7(e 2 e = 2(2e + e 2 + 3(e 3e 2 68 G Faccanoni

69 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exercice 328 CC Novembre 22 Écrire la base canonique de R 3, la base canonique de M 2 (R et la base canonique de R 2 [t] Base canonique de R 3 :,, { ( ( 2 Base canonique de M 2 (R :,, 3 Base canonique de R 2 [t] : {, t, t } 2 (, ( } Exercice 329 CC Novembre 22 Soit V un espace vectoriel et F une famille d éléments de V Donner la définition de dim(v et de card(f Si dim(v = card(f, que peut-on conclure? La dimension d un espace vectoriel est le nombre d éléments d une de ses bases 2 La cardinalité d une famille est le nombre d éléments qui la constitue 3 Si la dimension de l espace vectoriel V coïncide avec la cardinalité de la famille F contenue dans V, alors la famille F constitue une base de V Exercice 33 Montrer que les vecteurs w = (,, i, w 2 = (, i, et w 3 = (i,, forment une base de C 3 Calculer ensuite les coordonnées de w = ( + i, i, i dans cette base ( i Comme det i = 2i, les vecteurs constituent une famille libre Étant donné que dim(c 3 = 3 i et que w i C 3 pour i =, 2, 3, la famille { w, w 2, w 3 } est une base de C 3 On cherche maintenant a, b, c C tels que aw + bw 2 + cw 3 = w : a b + ic = + i a = a + ib + c = i b = 2 2 i ia + b c = i c = i Exercice 33 CC Novembre 2 Vrai ou Faux? Toute famille génératrice contient une base 2 La dimension d un espace vectoriel est le nombre de vecteur de cet espace 3 Toute famille contenant une famille liée est liée 4 La base de R 3 [x] est {, x, x 2, x 3 } 5 Si E = Vect { u, v, w } et si { u, v, w } est une famille libre, alors dim(e = 3 6 Vect { } u, u 2,, u p = { } Vect u, u 2,, u p si et seulement si up est combinaison linéaire de u, u 2,, u p 7 Soient u, v et w trois vecteurs d un espace vectoriel E On suppose que deux vecteurs parmi ces trois ne sont pas colinéaires Alors la famille { u, v, w } est libre G Faccanoni 69

70 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Vrai (dans le sens que d une famille génératrice on peut extraire une famille libre qui génère le même espace vectoriel 2 Faux Un espace vectoriel de dimension finie a une infinité de vecteurs La dimension d un espace vectoriel est le nombre de vecteur d une de ces bases 3 Vrai La relation non trivial qui lie des vecteurs de la plus petite des deux familles est vraie dans la plus grande 4 Incorrect On ne peut pas parler de «la» base de R 3 [x] car il y en a une infinité 5 Vrai La famille { u, v, w } est une base de E car libre et génératrice de E 6 Vrai 7 Faux Par exemple si w = u + v, deux vecteurs parmi ces trois ne sont pas colinéaires mais la famille { u, v, w } est liée Exercice 332 Considérons l ensemble F = { (x, x, y, y x, y R } Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R 4 2 Donner une base de F et sa dimension F est un sous-espace vectoriel de R 4 car κ F = κ κ 2 κ, κ 2 R = κ 2 κ + κ 2 κ, κ 2 R = Vect, 2 Les deux vecteurs u = (,,, et u 2 = (,,, constituent une famille génératrice de F Comme ils ne sont pas colinéaires, cette famille est libre donc elle est une base de F Comme card({ u, u 2 } = 2, alors dim(f = 2 Exercice 333 Considérons l ensemble F = { a + ax 2 + bx 4 a, b R } Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R 4 [x] 2 Donner une base de F et sa dimension F est un sous-espace vectoriel de R 4 [x] car F = { a + ax 2 + bx 4 (a, b R 2 } = { a( + x 2 + bx 4 (a, b R 2 } = Vect { + x 2, x 4 } 2 Les deux polynômes p(x = + x 2 et q(x = x 4 constituent une famille génératrice de F Comme ils ne sont pas colinéaires, cette famille est libre donc elle est une base de F Comme card({ p, q } = 2, alors dim(f = 2 Exercice 334 Considérons l ensemble F = { (x, y, z R 3 } 2x + y + z = Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R 3 2 Donner une base de F et sa dimension 7 G Faccanoni

71 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels F est un sous-espace vectoriel de R 3 car F = κ κ 2 2κ κ 2 κ, κ 2 R = κ 2 + κ 2 κ, κ 2 R = Vect 2, 2 Les deux vecteurs u = (,, 2 et u 2 = (,, constituent une famille génératrice de F Comme ils ne sont pas colinéaires, cette famille est libre donc elle est une base de F Comme card({ u, u 2 } = 2, alors dim(f = 2 Exercice 335 Considérons l ensemble F = a b b a a, b, c R c a + b Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M 3 (R 2 Donner une base de F et sa dimension F est un sous-espace vectoriel de M 3 (R car a b F = b a (a, b, c R3 c a + b = κ + κ 2 + κ 3 κ, κ 2, κ 3 R = Vect,, 2 Les trois matrice I 3, A = et B = constituent une famille génératrice de F On vérifie s il s agit d une famille libre : on dit qu une famille F = { } u,, u p est libre lorsque p a i u i = E = a i = i i= Ici p a i u i = E a I 3 + a 2 A + a 3 B = O 3 i= a =, a 2 =, =, a 2 =, a =, =, a 3 =, =, a + a 2 =, a =, a 2 =, a 3 =, donc la famille F = { I 3, A, B } est libre et est une base de F Comme card(f = 3, alors dim(f = 3 Exercice 336 CC octobre 23 Considérons l ensemble F = { p R 3 [x] p( = p( = } G Faccanoni 7

72 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] 2 Donner une base de F et sa dimension F est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] car { ( F = { x(x (ax + b a, b R } = a x 2 (x ( } + b x(x a, b R = Vect { x 2 (x, x(x } Si on n a pas remarqué que et sont racines des polynômes de F, il suffit de remarquer que F = { p R 3 [x] p( = p( = } = { a + bx + cx 2 + dx 3 R 3 [x] a = et a + b + c + d = } = { bx + cx 2 + ( b cx 3 b, c R } = { b(x x 3 + c(x 2 x 3 b, c R } = Vect { x x 3, x 2 x 3 } Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] 2 Les deux polynômes p(x = x x 3 et q(x = x 2 x 3 constituent une famille génératrice de F On montre que la famille F = { x x 3, x 2 x 3 } est une base de l espace vectoriel F ; en effet α(x x 3 +β(x 2 x 3 = x R αx+βx 2 +( α βx 3 = x R α = β = Comme card(f = 2, alors dim(f = 2 Exercice 337 CC Novembre 22 Soit R 3 [t] l espace vectoriel des polynômes de degré au plus 3 Soit U = { p R 3 [t] p( = } Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R 3 [t] et en donner une base On montre que U = Vect { } e,, e p où e,, e p sont des éléments de R 3 [x] En effet U = { a + bx + cx 2 + dx 3 R 3 [x] } a b + c d = = { a + bx + cx 2 + (a b + cx 3 a, b, c R } = { a( + x 3 + b(x x 3 + c(x 2 + x 3 } a, b, c R = Vect { + x 3, x x 3, x 2 + x 3 } Par conséquent U est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] (On peut également en déduire que { + x 3, x x 3, x 2 + x 3 } est une famille génératrice de U Exercice 338 CC octobre 23 Démontrer que l ensemble F = { p R 3 [x] p( = p ( = } est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] et en donner une base 72 G Faccanoni

73 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels On montre que F = Vect { e,, e p } où e,, e p sont des éléments de R 3 [x] En effet F = { p R 3 [x] p( = p ( = } = { a + bx + cx 2 + dx 3 R 3 [x] } a = et b + 2c + 3d = { } = bx + cx 2 b 2c + x 3 b, c R 3 = { b(x x 3 /3 + c(x 2 2x 3 /3 } b, c R { = Vect x 3 x3, x 2 23 } x3 Par conséquent F est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] On montre que la famille F = { x 3 x3, x x3 } est une base de l espace vectoriel F ; en effet α(x x 3 /3+β(x 2 2x 3 /3 = x R αx+βx 2 +( α 2βx 3 /3 = x R α = β = Exercice 339 CT Janvier 2 Considérons l espace vectoriel M 2 (R des matrices carrées d ordre 2 avec les entrées réelles Soient a, b et c trois nombres réels quelconques Considérons le sous-ensemble { ( } E = A M 2 (R a + b c A = 2c b Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 2 (R 2 Donner une base explicite de E E est un sous-espace vectoriel de M 2 (R car { ( } { a + b c E = (a, b, c R 3 = a 2c b { ( ( ( } = Vect,, 2 ( ( + b + c ( } a, b, c R 2 ( ( ( 2 Les trois matrice A =, B = et C = constituent une famille génératrice de E On 2 vérifie s il s agit d une famille libre : on dit qu une famille F = { } u,, u p est libre lorsque p a i u i = E = a i = i i= Ici p a i u i = E a A + a 2 B + a 3 C = O 2 i= a + a 2 =, a 3 =, 2a 3 =, a 2 =, a =, a 2 =, a 3 =, donc la famille est libre et est une base de E Comme card { A, B, C } = 3, alors dim(e = 3 Exercice 34 CT Septembre 29 Soit V l espace vectoriel des matrices M carrées d ordre n (sur le corps des réels Montrer que le sous-ensemble W de ces matrices qui commutent avec une matrice donnée T W = { M V M T = T M } G Faccanoni 73

74 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 est un sous-espace vectoriel de V 2 Soit T la matrice d ordre 2 définie par T = ( Déterminer la dimension et une base de W dans ce cas On montre que V = O n W : en effet O n W car O n T = O m = T O n ; A W et B W, A + B W : en effet, soit C = A + B, alors C T = (A + B T = A T + B T = T A + T B = T (A + B = T C, donc C W ; A W et λ R, λ A W : en effet, soit C = λ A, alors C T = (λ A T = λ (A T = λ (T A = T (λ A = T C, donc C W Par conséquent W est un sous-espace vectoriel de V 2 Soit T la matrice d ordre 2 définie par Alors T = ( { ( ( ( ( ( } a b W = V a b a b c d = c d c d { ( ( ( } a b = V a + b a a + c b + d c d = c + d c a b { ( } a b = a, b R b a b { ( ( } = a + b a, b R { ( ( } = Vect, Comme ces deux matrices ne sont pas colinéaires, cette famille est libre donc elle est une base de W qui a dimension 2 Exercice 34 CT Février 2 Trouver une base de l espace engendré par les polynômes dans les deux familles suivantes W = { + 2x + 3x 2, x + 2x 2, + 2x + 4x 2, + x } 2 W = { 2 + 2x 2, 2 + x x 2, 3 + x + x 2, 3 + x + 3x 2 } Notons w (x = + 2x + 3x 2, w 2 (x = x + 2x 2, w 3 (x = + 2x + 4x 2, w 4 (x = + x W est une famille non libre si et seulement si (a, b, c, d (,,, aw (x + bw 2 (x + cw 3 (x + dw 4 (x = (a, b, c, d (,,, (a + c + d + (2a + b + 2c + dx + (3a + 2b + 4cx 2 = a +c+d=, a +c +d=, a +c+d=, 2a +b+2c+d=, b d=, b d=, 3a+2b+4c = 2b+c 3d= c d= (a, b, c, d = ( 2κ, κ, κ, κ, κ R Autrement dit w 4 = 2w w 2 w 3 On a alors Vect { w, w 2, w 3, w 4 } = Vect { w, w 2, w 3 } 74 G Faccanoni

75 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Vérifions si la famille { w, w 2, w 3 } est libre : on dit qu une famille F = { } u,, u p est libre lorsque p a i u i = E = a i = i i= Ici n a i u i = E aw + bw 2 + cw 3 = i= (a + c + (2a + b + 2cx + (3a + 2b + 4cx 2 = a +c=, 2a +b+2c=, a = b = c = 3a+2b+4c= donc la famille est libre Par conséquent { w, w 2, w 3 } est une base de l espace Vect(W 2 Notons w (x = 2 + 2x 2, w 2 (x = 2 + x x 2, w 3 (x = 3 + x + x 2, w 4 (x = 3 + x + 3x 2 W est une famille non libre si et seulement si (a, b, c, d (,,, aw (x + bw 2 (x + cw 3 (x + dw 4 (x = (a, b, c, d (,,, (2a + 2b + 3c + 3d + (b + c + dx + (2a b + c + 3dx 2 = 2a+2b+3c+3d=, 2a+2b+3c+3d=, 2a+2b+3c+3d=, b +c +d=, b +c +d=, b +c +d=, 2a b +c+3d=, b+4c+6d=, 3c+5d=, (a, b, c, d = (κ, 2κ, 5κ, 3κ, κ R Autrement dit 3w 4 = w 2w 2 + 5w 3 On a alors Vect { w, w 2, w 3, w 4 } = Vect { w, w 2, w 3 } Vérifions si la famille { w, w 2, w 3 } est libre : on dit qu une famille F = { } u,, u p est libre lorsque p a i u i = E = a i = i i= Ici n a i u i = E aw + bw 2 + cw 3 = i= (2a + 2b + 3c + (b + cx + (2a b + cx 2 = 2a+2b+3c=, b +c=, a = b = c = b+4c=, donc la famille est libre Par conséquent { w, w 2, w 3 } est une base de l espace Vect(W Exercice 342 CC Novembre 22 Soit F = { B = (, B 2 = (, B 3 = (, B 4 = une famille d éléments de l espace vectoriel E = { M M 2 (R M = M T } Montrer que F est génératrice de E, ie E = Vect(F ; 2 montrer que F n est pas libre ; 3 extraire de F une base de E ( } G Faccanoni 75

76 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 On remarque que et B i E pour tout i =, 2, 3, 4 { ( } a b E = a, b, c R b c La famille F est génératrice de E si E = Vect(F, ie s il existe λ, λ 2, λ 3 et λ 4 R tels que ( a b = λ b c B + λ 2 B 2 + λ 3 B 3 + λ 4 B 4, a, b, c R ie si et seulement si, pour tout a, b, c R, le système linéaire suivant admet (au moins une solution λ + λ 2 = a, λ 2 + λ 3 = b, λ 2 + λ 3 = b, λ + λ 3 + λ 4 = c La matrice augmentée associée à ce système est [A b] = a b b c Comme la seconde et la troisième ligne sont égales alors rg(a et rg([a b] sont < 4 Puisque, alors rg(a = rg([a b] = 3 : le système admet une solution (non unique car le rang n est pas maximal 2 F n est pas libre car 2B 4 = B B 2 + B 3 3 On en extrait par exemple la famille B = { B, B 2, B 3 } qui est une base de E car (i B i E pour tout i =, 2, 3, (ii card(b = dim(e, (iii B est libre car la combinaison linéaire λ B + λ 2 B 2 + λ 3 B 3 = ( a comme unique solution λ = λ 2 = λ 3 = Exercice 343 CC Novembre 22 Soit F = { B = (, B 2 = (, B 3 = (, B 4 = une famille d éléments de l espace vectoriel E = { M M 2 (R M = M T } Montrer que F est génératrice de E, ie E = Vect(F ; 2 montrer que F n est pas libre ; 3 extraire de F une base de E On remarque que et B i E pour tout i =, 2, 3, 4 { ( } a b E = a, b, c R b c ( } La famille F est génératrice de E si E = Vect(F, ie s il existe λ, λ 2, λ 3 et λ 4 R tels que ( a b = λ b c B + λ 2 B 2 + λ 3 B 3 + λ 4 B 4, a, b, c R ie si et seulement si, pour tout a, b, c R, le système linéaire suivant admet (au moins une solution λ + λ 2 = a, λ 2 + λ 3 = b, λ 2 + λ 3 = b, λ 3 + λ 4 = c 76 G Faccanoni

77 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels La matrice augmentée associée à ce système est [A b] = a b b c Comme la seconde et la troisième ligne sont égales alors rg(a et rg([a b] sont < 4 Puisque, alors rg(a = rg([a b] = 3 : le système admet une solution (non unique car le rang n est pas maximal 2 F n est pas libre car B 4 = B B 2 + B 3 3 On en extrait par exemple la famille B = { B, B 2, B 3 } qui est une base de E car (i B i E pour tout i =, 2, 3, (ii card(b = dim(e, (iii B est libre car la combinaison linéaire λ B + λ 2 B 2 + λ 3 B 3 = ( a comme unique solution λ = λ 2 = λ 3 = Exercice 344 Changement de base Soit q (x = + x + x 2 + x 3, q (x = x + x 2 + x 3, q 2 (x = x 2 + x 3, q 3 (x = x 3, quatre polynômes de R 3 [x] Démontrer que l ensemble { q, q, q 2, q 3 } est une base de R 3 [x] qu on notera B 2 Notons C la base canonique de R 3 [x] Déterminer P B C puis P C B 3 Exprimer le polynôme a + bx + cx 2 + dx 3 dans la base B Pour montrer que l ensemble { q, q, q 2, q 3 } est une base de R 3 [x] il faut montrer qu il s agit d une famille libre : on dit qu une famille F = { u,, u p } est libre lorsque p a i u i = E = a i = i Ici n a i u i = E a q + a q + a 2 q 2 + a 3 q 3 = i= i= a + (a + a x + (a + a + a 2 x 2 + (a + a + a 2 + a 3 x 3 = a =, a =, a 2 =, a 3 =, donc la famille est libre Comme cardinal(vect { q, q, q 2, q 3 } = 4 et que dim(r 4 [x] = 4, alors { q, q, q 2, q 3 } est une base de R 3 [x] 2 C = { c (x =, c (x = x, c 2 (x = x 2, x 3 (x = x 3 } la base canonique de R 3 [x] Par définition la matrice P C B est telle que sa j-ème colonne est constituée des coordonnées de q j dans la base C : q (x = c (x + c (x + c 2 (x + c 3 (x, q (x = c (x + c (x + c 2 (x + c 3 (x, q 2 (x = c (x + c (x + c 2 (x + c 3 (x, q 3 (x = c (x + c (x + c 2 (x + c 3 (x, G Faccanoni 77

78 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 donc P C B = et P B C = (P C B ; pour inverser la matrice on peut utiliser la méthode de Gauss L 2 L 2 L L [P C B I 4 ] = 3 L 3 L L 4 L 4 L L 4 L 4 L 3 L 3 L 3 L 2 L 4 L 4 L 2 = [I 4 P B C ] ou résoudre directement le système linéaire (ici c est très facile car il s agit d un système triangulaire : q = c + c + c 2 + c 3, q = c + c 2 + c 3, q 2 = c 2 + c 3, q 3 = c 3, c = q q, c = q q 2, c 2 = q 2 q 3, c 3 = q 3, ainsi Cela signifie que P B C = c (x = q (x q (x + q 2 (x + q 3 (x, c (x = q (x + q (x q 2 (x + q 3 (x, c 2 (x = q (x + q (x + q 2 (x q 3 (x, c 3 (x = q (x + q (x + q 2 (x + q 3 (x 3 Soit le polynôme a+bx +cx 2 +dx 3 ; dans la base C il a coordonnées (a, b, c, d, dans la base B il a coordonnées a a b c = b a c b d d c Exercice 345 Rang d une famille de vecteurs Dans R 3, déterminer le rang de la famille E = { u = (, 2, 3, u 2 = (2,,, u 3 = (,,, u 4 = (,, } Notons F = Vect(E le sous-espace vectoriel engendré par la famille E Comme card(e = 4 alors rg(e = dim(f 4 Comme F est un sous-espace vectoriel de R 3, dim(f dim(r 3 = 3 ainsi rg(e = dim(f 3 Comme u et u 2 sont linéairement indépendants, alors dim(vect { u, u 2 } = 2 et comme Vect { u, u 2 } F, on obtient rg(e = dim(f 2 78 G Faccanoni

79 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Étudions maintenant la famille { u, u 2, u 3 } E : si elle est libre, comme dim(vect { u, u 2, u 3 } = 3 alors rg(e = 3 ; si elle est liée on ne peut pas conclure On étudiera alors la famille { u, u 2, u 4 } E : si elle est libre, comme dim(vect { u, u 2, u 4 } = 3 alors rg(e = 3 ; si elle est liée rg(e = 2 Comme 5u 3 = u + 2u 2, la famille { u, u 2, u 3 } est liée Comme 5u 4 = 2u u 2, la famille { u, u 2, u 4 } est liée On conclut que rg(e = 2 Exercice 346 On pose u = (3, 4, 2, u 2 = (,,, v = (, 2, et v 2 = ( 4, 2, Déterminer les vecteurs appartenant à l intersection Vect { u, u 2 } Vect { v, v 2 } Un vecteur w de l intersection s écrit à la fois au + bu 2 et cv + dv 2, ce qui donne le système 3a = c 4d, 3a + c + 4d =, 4a + b = 2c + 2d, 4a + b 2c 2d =, d = 3κ, c = 6κ, b = 2κ, a = 2κ 2a b = c 2a b c = Par conséquent Vect { u, u 2 } Vect { v, v 2 } = { 2κu + 2κu 2 κ R } = { 2κ ( 3, 4 +, 2 κ R } = { 2κ ( 3, 3, 3 κ R } = Vect { (,, } Exercice 347 DM novembre 23 Considérons l espace vectoriel R 3 [x] des polynômes de dégrée au plus 3 à coefficients réels Considérons le sous-ensemble de R 3 [x] défini par E = { (a b + bx + 4cx 2 cx 3 a, b, c R } Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] 2 Donner une base E de E 3 Est-ce que E = R 3 [x]? Justifier la réponse 4 Calculer coord(p, E où p(x = 2 x + 4x 2 x 3 5 Compléter la famille E pour obtenir une base B de R 3 [x] 6 Soit C la base canonique de R 3 [x] Écrire les matrices de changement de base P C B et P B C 7 Calculer coord(p, B et coord(p, C Quel lien existe-t-il avec les matrices P C B et P B C? E est un sous-espace vectoriel de R 3 [x] car E = { (a b + bx + 4cx 2 cx 3 a, b, c R } = { a + b( + x + c(4x 2 x 3 a, b, c R } = Vect {, x, 4x 2 x 3 } 2 Les trois polynômes g (x =, g 2 (x = x et g 3 (x = 4x 2 x 3 constituent une famille génératrice de E On vérifie s il s agit d une famille libre : a g (x + a 2 g 2 (x + a 3 g 3 (x = x R a + a 2 ( + x + a 3 (4x 2 x 3 = x R donc la famille est libre et est une base de E qu on note E (a a 2 + a 2 x + 4a 3 x 2 a 3 x 3 = x R a a 2 =, a 2 =, 4a 3 =, a 3 =, a =, a 2 =, a 3 =, G Faccanoni 79

80 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 3 Comme card(e = 3, alors dim(e = 3 < dim(r 3 [x] donc E R 3 [x] 4 On cherche (a, a 2, a 3 = coord(p, E, c est-à-dire l unique triplet (a, a 2, a 3 tel que a g (x + a 2 g 2 (x + a 3 g 3 (x = 2 x + 4x 2 x 3 pour tout x R On a a g (x + a 2 g 2 (x + a 3 g 3 (x = 2 x + 4x 2 x 3 x R a + a 2 ( + x + a 3 (4x 2 x 3 = 2 x + 4x 2 x 3 x R (a a 2 + a 2 x + 4a 3 x 2 a 3 x 3 = 2 x + 4x 2 x 3 x R a a 2 = 2, a 2 =, 4a 3 = 4, a 3 =, a =, a 2 =, a 3 = On conclut que coord(p, E = (,, 5 Les trois polynômes g (x =, g 2 (x = x, g 3 (x = 4x 2 x 3 et g 4 (x = x 3 constituent une famille de cardinalité égale à la dimension de l espace vectoriel R 3 [x] On vérifie s il s agit d une famille libre : a g (x + a 2 g 2 (x + a 3 g 3 (x + a 4 g 4 (x = x R a + a 2 ( + x + a 3 (4x 2 x 3 + a 4 x 3 = x R donc la famille est libre et est une base de R 3 [x] qu on note B (a a 2 + a 2 x + 4a 3 x 2 + (a 4 a 3 x 3 = x R a a 2 =, a 2 =, 4a 3 =, a 4 a 3 =, a =, a 2 =, a 3 =, a 4 =, 6 La base canonique de R 3 [x] est la famille C = { c (x =, c (x = x, c 2 (x = x 2, c 3 (x = x } 3 Pour écrire P B C la matrice de passage de la base B dans la base canonique C, on écrit d abord P C B la matrice de passage de la base C dans la base B et on calcule son inverse : P C B = 4 et P B C = P C B : (P C B I 4 = 4 L L +L 2 L 4 L 4 +L 3 /4 L 3 L 3 /4 4 /4 /4 /4 = (I 4 P B C En effet, on a g (x = c (x, g 2 (x = c (x c (x, g 3 (x = 4c 2 (x c 3 (x, g 4 (x = c 3 (x, c (x = g (x, c (x = g (x + g 2 (x, c 2 (x = g 3 (x/4 + g 4 (x/4, c 3 (x = g 4 (x 8 G Faccanoni

81 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels 7 coord(p, B = (,,, et coord(p, C = (2,, 4, et l on a 2 coord(p, B = P B C coord(p, C ie = /4 4, /4 2 coord(p, C = P C B coord(p, B ie 4 = 4 Exercice 348 CT janvier 24 Soit R 3 [t] l espace des polynômes de degré au plus 3 et considérons l ensemble V = { p R 3 [t] p( + p(2 =, p( = 3p( } Montrer que V est un sous-espace vectoriel de R 3 [t] 2 Déterminer une base et la dimension de V 3 Montrer que le polynôme p(t = 2 + 2t t 3 est dans V et trouver les composantes de p dans la base de V calculée auparavant On montre que V = Vect { e,, e p } où e,, e p sont des éléments de R 3 [t] En effet V = { p R 3 [t] p( + p(2 =, p( = 3p( } = { a + bt + ct 2 + dt 3 R 3 [t] } 2a + 2b + 4c + 8d = et a + b + c + d = 3a 3b + 3c 3d { = ( 53 c 2d + ( 3 } c 2d t + ct 2 + dt 3 c, d R { = ( 53 3 t + t2 c + ( 2 2t + t 3 } d c, d R { = Vect q (t = 53 3 } t + t2 ; q 2 (t = 2 2t + t 3 Par conséquent V est un sous-espace vectoriel de R 3 [t] 2 La famille V = { q, q 2 } est génératrice de l espace vectoriel V De plus, αq + βq 2 = R3 [t] αq (t + βq 2 (t = t R α = β = donc elle est aussi libre donc elle est une base de V et dim(v = 2 3 Si p(t = 2 + 2t t 3 on a p( + p(2 = ( 2 + ( = et p( 3p( = ( ( = donc p V et coord(p, V = (, Exercice 349 CT Janvier 22 Soit V = R 4 [t] l espace des polynômes p(t de degré au plus 4, W = { p V p( = }, U = Vect { + t 2 t 3, t + t 3, t 2, + t + t 2 } Déterminer une base de W, 2 déterminer une base de U et un supplémentaire de U dans V, 3 trouver une base de U W 4 Est-il vrai que U + W = V? Justifier la réponse G Faccanoni 8

82 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Rappelons tout d abord que dim(v = 5 On a Puisque W = { p V p( = } = { p(t = a + a t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 ai R, p( = } = { p(t = a (t + a 2 (t 2 + a 3 (t 3 + a 4 (t 4 ai R } = Vect { w (t = t, w 2 (t = t 2, w 3 (t = t 3, w 4 (t = t 4 } αw (t + βw 2 (t + γw 3 (t + δw 4 (t = ( α β γ δ + αt + βt 2 + γt 3 + δt 4 = α β γ δ =, α =, β =, γ =, δ =, la famille { w (t, w 2 (t, w 3 (t, w 4 (t } est libre ; puisqu elle est génératrice de W, elle constitue une base de W et dim(w = 4 2 La famille { u (t = + t 2 t 3, u 2 (t = t + t 3, u 3 (t = t 2, u 4 (t = + t + t 2 } n est pas libre car u (t+u 2 (t = u 4 (t Considérons alors la famille { u (t, u 2 (t, u 3 (t } ; elle est une famille génératrice de U et pour qu elle en soit une base il faut vérifier si elle est libre : αu (t + βu 2 (t + γu 3 (t = α + βt + (α + γt 2 + ( α + βt 3 = α =, β =, γ = On conclut que la famille { u (t = + t 2 t 3, u 2 (t = t + t 3, u 3 (t = t 2 } constitue une base de U et dim(u = 3 La base canonique de V est { v (t =, v (t = t, v 2 (t = t 2, v 3 (t = t 3, v 4 (t = t 4 } et l on a u (t = v (t + v 2 (t v 3 (t, u 2 (t = v (t v 3 (t, u 3 (t = v 2 (t, v (t = v (t + u (t u 2 (t u 3 (t, v 2 (t = u 3 (t, v 3 (t = v (t + u 3 (t u (t, donc une autre base de V est la famille { v (t, v 4 (t, u (t, u 2 (t, u 3 (t } On peut alors conclure qu une base d un supplémentaire de U dans V est l ensemble { v (t, v 4 (t } 3 On a U W = { u(t = αu (t + βu 2 (t + γu 3 (t u( =, (α, β, γ R 3 } = { u(t = α + βt + (α + γt 2 + ( α + βt 3 u( =, (α, β, γ R 3 } = { u(t = α + βt + 2βt 2 + ( α + βt 3 (α, β R 2 } = Vect { t t 3, t + 2t 2 + t 3 } Comme la famille { t t 3, t + 2t 2 + t 3 } est libre, elle constitue une base de U W et dim(u W = 2 4 Il est vrai que U + W = V car U + W est un sous-espace vectoriel de V et dim(u + W = dim(u + dim(w dim(u W = = 5 Exercice 35 CC Novembre 22 Montrer que les matrices A = ( 2 2 B = ( C = ( 3 82 G Faccanoni

83 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels forment un base de l espace vectoriel M des matrices symétriques d ordre 2 Décomposer sur cette base la matrice ( 5 6 G = 6 7 La famille F = { A, B, C } est une base de l espace vectoriel M = { M M 2 (R M = M T } = { ( } a b b c a, b, c R car (i A, B, C M, (ii card(f = dim(m, (iii F est libre car la combinaison linéaire λ A + λ 2 B + λ 3 C = ( a comme unique solution λ = λ 2 = λ 3 = : ( ( ( ( ( ( 2 3 λ + λ λ +λ 2 2 +λ = 2 λ 3 2λ + 3λ 2 + λ 3 = 3 2λ + 3λ 2 + λ 3 λ + 6λ 2 3λ 3 λ + λ 2 λ 3 =, 2λ + 3λ 2 + λ 3 =, λ 2λ + 3λ 2 + λ 3 =, λ 2 = λ λ 2 = λ λ + 6λ 2 3λ 3 =, λ 3 5 λ λ 2 = 5 λ = λ = 5 2 λ 3 3 On cherche maintenant coord(g, F les coordonnées de la matrice G dans la base F, ie les uniques λ, λ 2, λ 3 R tels que λ A + λ 2 B + λ 3 C = G : ( ( ( ( ( ( λ + λ λ + λ λ = 2 λ 3 2λ + 3λ 2 + λ = λ + 3λ 2 + λ 3 λ + 6λ 2 3λ λ + λ 2 λ 3 = 5, 2λ + 3λ 2 + λ 3 = 6, λ 5 2λ + 3λ 2 + λ 3 = 6, λ 2 = λ λ 2 = 5 6 λ λ + 6λ 2 3λ 3 = 7, λ λ 5 λ 5 λ 37/5 5 λ 2 = 6 5 λ 2 = 6 λ 2 = 34/5 = coord(g, F /3 λ 3 λ 3 λ 2 λ 3 λ 3 λ 2 λ 3 Exercice 35 CC Novembre 22 Soit W le sous-espace vectoriel de R 5 défini par W = { (x, y, z, t, u R 2 y = u = z + t 2x = } Soit ensuite V l ensemble V = { (a + d,, a + b, a b, c + d R 5 } a, b, c, d R Montrer que V est un sous-espace vectoriel de R 5 2 Calculer la dimension et donner une base des espaces vectoriels suivants : V, W, V + W, V W G Faccanoni 83

84 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 On montre que V = Vect { } e,, e p où e,, e p sont des éléments de R 5 En effet V = { (a + d,, a + b, a b, c + d R 5 a, b, c, d R } = { a(,,,, + b(,,,, + c(,,,, + d(,,,, a, b, c, d R } = Vect ({ (,,,,, (,,,,, (,,,,, (,,,, } 2 V La famille V = { (,,,,, (,,,,, (,,,,, (,,,, } est génératrice de V De plus a(,,,, + b(,,,, + c(,,,, + d(,,,, = (,,,, a + d =, =, a + b =, a b =, c + d =, a = b = c = d = donc la famille V est une base de V et dim(v = card(v = 4 W On cherche une famille W génératrice de W : W = { (x, y, z, t, u R 2 y = u = z + t 2x = } = { (x,, z, 2x z, x, z R } = Vect ({ (,,, 2,, (,,,, } donc la famille W = { (,,, 2,, (,,,, } est génératrice de W De plus a =, =, a(,,, 2, + b(,,,, = (,,,, b =, a = b = 2a b =, = donc la famille W est une base de W et dim(w = card(w = 2 V + W On appelle somme de V et W l ensemble des vecteurs de R 5 qui peuvent s écrire comme somme d un vecteur de V et d un vecteur de W : u V + W v V, w W, u = v + w La somme de deux sous espaces vectoriels de R 5 est un sous espace vectoriel de R 5 Une famille génératrice de V + W est donc la famille S = V W = { (,,,,, (,,,,, (,,,,, (,,,,, (,,, 2, } Comme (,,,, (,,,, = (,,, 2,, la famille S n est pas libre La famille V = S \ { (,,, 2, } est alors encore génératrice de V + W et on a déjà prouvé qu elle est libre, donc elle constitue une base de V + W De plus, dim(v + W = card(v = 4, autrement dit V + W = V V W La formule de Grassmann lie la dimension de la somme de deux sous espaces vectoriels à celle de l intersection : dim(v + W = dim(v + dim(w dim(v W Donc 4 = dim(v W, d où dim(v W = 2 En effet, comme V + W = V, alors V W = W : une base de V W est W 84 G Faccanoni

85 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exercice 352 CC novembre 23 Considérons les deux sous-espaces vectoriels de R 4 : { ( ( } U = a + b a, b R, V = Déterminer une base et la dimension de U 2 Déterminer une base et la dimension de V 3 Déterminer une base et la dimension de U V 4 Déterminer une base et la dimension de U + V L espace vectoriel U est engendré par la famille U = { ( ( a ( + b ( = = ( a { ( xy R 4 x + y =, z = 2x z w ( }, On a a b = ( = a = b = donc la famille U est libre Par conséquent U est une base de U et dim(u = card(u = 2 2 On a { ( xy } { ( x } V = z R 4 x + y =, z = 2x = x 2x x, w R w w { ( } ({ ( ( } = x + w x, w R = Vect, ( 2 donc l espace vectoriel V est engendré par la famille V = ( a 2 ( + b ( = = ( a a { ( 2 2a b = (, ( 2 } On a = a = b = donc la famille V est libre Par conséquent V est une base de V et dim(v = card(v = 2 ( xy 3 Si U V alors donc z w ( xy z ( w xy z w U x =, z = y = x = y = z =, V y = x, z = 2x { ( xy U V = z w } R 4 x = y = z = = Vect ({ ( } { ( } L espace vectoriel U V est engendré par la famille B = qui est libre Par conséquent B est une base de U V et dim(u V = card(b = 4 On déduit la dimension de la somme grâce à la formule de Grassmann : dim(u + V = dim(u + dim(v dim(u V = = 3 Une famille génératrice de U + V est donnée par la réunion d une famille génératrice de U et d une famille génératrice de V, donc par exemple par la famille { ( ( } { ( ( } { ( ( ( } S = U V =, 2, =,, 2 Comme card(s = dim(u + V, la famille S est une base de l espace vectoriel U + V } G Faccanoni 85

86 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 Exercice 353 CT Janvier 23 Considérons les deux sous-espace vectoriel de R 3 définis par U = { (x, y, z R 3 x 2y + z = }, V = Vect({ (,,, (, 2,, (,, } Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel U 2 Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel V 3 Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel U + V 4 Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel U V dim(u = 2 et une base de U et la famille U = { (2,,, (,, } car U = { (2y z, y, z y, z R } = { y(2,, + z(,, y, z R } = Vect ({ (2,,, (,, } et 2 rg = 2 2 dim(v = 2 et une base de V et la famille V = { (,,, (, 2, } car V = Vect({ (,,, (, 2,, (,, } = Vect({ (,,, (, 2, } et rg 2 = 2 3 On appelle somme de U et V l ensemble des vecteurs de R 3 qui peuvent s écrire comme somme d un vecteur de U et d un vecteur de V : w U + V u U, v V, w = u + v La somme de deux sous espaces vectoriels de R 3 est un sous espace vectoriel de R 3 Une famille génératrice de U + V est donc la famille S = U V = { (2,,, (,,, (,,, (, 2, } Comme card(s > 3, la famille S n est pas libre En effet, (, 2, = 2(2,, + 2(,, (,, La famille W = S \ { (, 2, } est alors encore génératrice de U + V De plus, elle est libre car 2 2 det = 2 ie rg = 3 donc elle constitue une base de U + V De plus, dim(u + V = card(w = 3, autrement dit U + V = R 3 4 La formule de Grassmann lie la dimension de la somme de deux sous espaces vectoriels à celle de l intersection : dim(u V = dim(u + dim(v dim(u + V Donc dim(u V = = De plus, { w = (w, w 2, w 3 U w = 2w 2 w 3 w = (w, w 2, w 3 V w = w 3 donc w = (w, w 2, w 3 U V w = w 3 = w 2, ainsi U V = Vect { (,, } 86 G Faccanoni

87 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels Exercice 354 CT janvier 24 Considérons les deux sous-espace vectoriel de R 3 définis par U = { (x, y, z R 3 x + z = }, V = Vect({ (,, ; (,, } Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel U 2 Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel V 3 Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel U + V 4 Calculer la dimension et donner une base de l espace vectoriel U V dim(u = 2 et une base de U et la famille U = { (,,, (,, } car U = { (x, y, x x, y R } = { x(,, + y(,, x, y R } = Vect ({ (,, ; (,, } et α(,, + β(,, = (,, = α = β = 2 dim(v = 2 et une base de V et la famille V = { (,, ; (,, } car α(,, + β(,, = (,, = α = β = 3 On appelle somme de U et V l ensemble des vecteurs de R 3 qui peuvent s écrire comme somme d un vecteur de U et d un vecteur de V : w U + V u U et v V tels que w = u + v La somme de deux sous espaces vectoriels de R 3 est un sous espace vectoriel de R 3 Une famille génératrice de U + V est donc la famille S = U V = { (,,, (,,, (,,, (,, } Comme card(s > 3, la famille S n est pas libre En effet, (,, = (,, + (,, La famille W = S \ { (,, } est alors encore génératrice de U + V De plus, elle est libre car α(,, + β(,, + γ(,, = (,, = α = β = γ = donc elle constitue une base de U + V De plus, dim(u + V = card(w = 3, autrement dit U + V = R 3 4 La formule de Grassmann lie la dimension de la somme de deux sous espaces vectoriels à celle de l intersection : dim(u V = dim(u + dim(v dim(u + V Donc dim(u V = = De plus, { w = (w, w 2, w 3 U w = w 3 w = (w, w 2, w 3 V w = w 2 2w 3 donc w = (w, w 2, w 3 U V w = w 3 = w 2 2w 3, ainsi U V = Vect { (, 3, } Exercice 355 CC Novembre 22 Soit V le sous-espace vectoriel de R 4 donné par V = { (x, y, z, t R 4 x 2y + z =, y 2t = } Déterminer une base de V w = α + β w = (w, w 2, w 3 V α, β R tels que w 2 = α + β w 3 = β α R tel que { w = α w 3 w 2 = α w 3 w + w 2 = 2w 3 G Faccanoni 87

88 3 Espaces vectoriels Lundi 2 janvier 24 2 Déterminer une base du supplémentaire de V dans R 4 3 Calculer les composantes du vecteur u = (,,, dans la base du supplémentaire de V calculée au point précédent On cherche d abord une famille génératrice de V : V = { (x, y, z, t R 4 x 2y + z =, y 2t = } = { (x, 2t, 4t x, t x, t R } = { x(,,, + t(, 2, 4, x, t R } = Vect({ (,,,, (, 2, 4, } La famille V = { v = (,,,, v 2 = (, 2, 4, } est génératrice de V De plus x(,,, + t(, 2, 4, = (,,, x =, 2t =, 4t x =, t =, la famille V est donc libre et constitue une base de l espace vectoriel V x = t =, 2 La base canonique de R 4 est { e = (,,,, e 2 = (,,,, e 3 = (,,,, e 4 = (,,, } et l on a { { v = e e 3, e = v + e 3, v 2 = 2e 2 + 4e 3 + e 4, e 4 = v 2 2e 2 4e 3, donc une autre base de R 4 est la famille { v, v 2, e 2, e 3 } On peut alors conclure qu une base d un supplémentaire de V dans R 4 est la famille S = { e 2, e 3 } 3 Les composantes coord(u, S du vecteur u = (,,, dans la base du supplémentaire de V calculée au point précédent sont (,,, Exercice 356 CT Janvier 23 Soit V le sous-espace vectoriel de R 4 donné par V = { (x, y, z, t R 4 } x y + 2z 2t =, 3x y + 2z = Déterminer une base de V 2 Compléter cette base de V en un base de R 4 On appellera cette base B 4 3 Écrire la matrice de passage de la base B 4 dans la base canonique de R 4 On cherche d abord une famille génératrice de V : V = { (x, y, z, t R 4 x y + 2z 2t =, 3x y + 2z = } = { (x, 3x + 2z, z, x x, z R } = { x(, 3,, + z(, 2,, x, z R } = Vect({ (, 3,,, (, 2,, } La famille V = { v = (, 3,,, v 2 = (, 2,, } est génératrice de V De plus rg 3 2 = 2, la famille V est donc libre et constitue une base de l espace vectoriel V 88 G Faccanoni

89 Lundi 2 janvier 24 3 Espaces vectoriels 2 La famille B 4 = { v, v 2, e = (,,,, e 2 = (,,, } est une base de R 4 car elle a cardinalité 4 et de plus det 3 2 = det 3 2 ( = det, ie rg 3 2 = 4 donc elle est libre 3 La base canonique de R 4 est C = { e = (,,,, e 2 = (,,,, e 3 = (,,,, e 4 = (,,, } Pour écrire P B4 C la matrice de passage de la base B 4 dans la base canonique de R 4, on écrit d abord P C B4 la matrice de passage de la base C dans la base B 4 et on calcul son inverse : P C B4 = 3 2 et P B4 C = P C B 4 : (P C B4 I 4 = L L L 2 L 2 3L L 3 L 3 L 4 L 4 +L L L L 2 L 2 /2 L 3 L 3 L 2 /2 L 4 L /2 /2 3/2 /2 3/2 /2 3/2 /2 L L 2L 3 /3 L 2 L 2 +L 3 /3 /3 2/3 L 3 2L 3 /3 L 4 L 4 2L 3 /3 /3 /3 2/3 /3 /3 2/3 L L L 3 L 2 L 2 L 3 L 3 L 2 /2 L 4 3L 4 = (I 4 P B4 C 2 3 G Faccanoni 89

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91 4 Applications linéaires Définition Rappels : relation, fonction, application Soient E et F deux ensembles Le produit cartésien E F est l ensemble des couples (x, y où x est un élément de E et y un élément de F L égalité dans E F est définie par : (x, y = (x, y x = x et y = y Une relation binaire (ou correspondance de E dans (ou vers F est un triplet R = (E, F, G où G une partie de E F L ensemble E est appelé ensemble de départ de R, l ensemble F est appelé ensemble d arrivée de R L ensemble G est appelé graphe de R NOTATION Pour tout (x, y E F, on écrit xry et on dit x est en relation avec y ssi (x, y G Une fonction f de E dans F est une relation de E dans F vérifiant : pour tout x E, il existe au plus un élément y F satisfaisant xfy Le domaine de définition D f d une fonction f de E dans F est l ensemble des x E satisfaisant : il existe un et un seul y F tel que xfy NOTATION Pour tout x D f, on note f(x le seul point y F satisfaisant xfy Donc pour tout (x, y D f F, xfy y = f(x Si x D f alors f(x est appelé l image de x par f Si y F alors tout point x D f satisfaisant y = f(x est appelé un antécédent de x par f Soit f une fonction de E dans F et A une partie de E L image directe de A par f est la partie de F définie par f(a := { y F : x A D f y = f(x } Soit f une fonction de E dans F et B une partie de F L image réciproque de B par f est la partie de E définie par f (B := { x D f : f(x B } Attention à ne pas confondre l image réciproque de B, qui existe toujours, avec l image de B par f, qui n existe que si f est une bijection Ici on ne suppose rien sur f E F E F D f f D f f f (B B A Une application f de E dans F est une fonction de E dans F dont le domaine de définition est égal à E 9

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