Utilisation du calcul matriciel pour l étude des quadripôles

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1 Utilisation du calcul matriciel pour l étude des quadripôles Le calcul matriciel fournit un outil puissant pour l étude des quadripôles, en particulier lorsque l impédance de sortie de ceux-ci n est pas négligeable (si toutes les impédances de sortie négligeables -amplificateurs opérationnels par exemple- les différents quadripôles n interagissent pas entres eux, et l utilisation du calcul matriciel ne présente aucun intérêt). Le choix du type de matrice est déterminé soit par de la structure du circuit étudié (quadripôles en série, en parallèle, en cascade ), soit par ce qu il sera possible de mesurer sur les composants utilisés, ces possibilités de mesure étant liées à la fréquence de travail comme nous allons le voir. 1 Principales matrices Le quadripôle est vu comme une boîte noire : Q Dans le cas de quadripôles actifs, les courants et tensions représentent les variations du signal autour d une grandeur de polarisation. auf cas particuliers, les courants sont choisis arbitrairement entrant. Plusieurs associations des variables sont alors possibles, conduisant à différents paramètres et matrices. 1.1 Matrice admittance C est la matrice la plus classiquement utilisée en électronique dans la gamme de fréquence allant du MHz à la centaine de MHz ; c est en effet une gamme de fréquence où ce genre d outil devient nécessaire et où les possibilités mesures sont bien adaptées à ces paramètres comme nous le verrons. Cette matrice est définie par : Y Y [ ] [ Y][ ] soit Y Y Détermination des paramètres Les paramètres Y 11 et Y se déterminent en faisant un court-circuit en sortie ( ) et en déterminant le rapport des courant et tension concernés. Le court-circuit peut être un simple artifice de calcul. Dans le cas d une mesure, on utilise généralement un condensateur présentant une faible impédance à la fréquence de travail et une impédance élevée en continu pour éviter le court-circuit des éventuelles grandeurs de polarisation. Y Y 11 s s De même les paramètres Y 12 et Y se déterminent en plaçant le court-circuit en entrée ( ) et en Y Y 12 e e Denis Rabasté 1/5 UFM Aix Marseille

2 1.1.2 Propriétés i le quadripôle est passif, Y 12 Y. i le quadripôle est symétrique Y 11 Y Association de quadripôles en parallèle n remarquant que lorsque plusieurs quadripôles sont associés en parallèle : - les tensions d entrée et de sortie sont communes à tous les quadripôles ; - le courant d entrée équivalent est la somme des courants d entrées de chaque quadripôle, de même avec les courants de sorties ; on en déduit que la matrice Y équivalent est donc la somme des matrices Y de chaque quadripôle. A A B B [ ] [ ] Y Q Y i i Quadripôles dans les circuits d entrées en sortie d un amplificateur linéaire B B B B A A - A A n remarquant que : - les deux sorties des quadripôles sont en court-circuit (tension nulle sur la borne négative de l AO), courant de sortie et tension d entrée des quadripôles sont donc liés par le paramètre Y ; - leurs courants de sorties sont égaux au signe près ; on en déduit que : Oscillateur Un oscillateur peut être vu comme la mise en parallèle d un quadripôle amplificateur et d un quadripôle de contre réaction. Y Y A B Denis Rabasté 2/5 UFM Aix Marseille

3 sens du signal La condition d oscillation sur le quadripôle équivalent se détermine alors en remarquant que le courant d entrée de celui-ci doit être nul (fonctionnement en oscillateur), ce qui implique la nullité de son admittance d entrée, la tension d entrée n étant pas nulle puisque le circuit oscille. Le quadripôle n étant pas chargé en sortie (l éventuelle charge en sortie doit le cas échéant être incluse dans le quadripôle), le calcul de l admittance d entrée conduit à : Y 11 Y - Y 12 Y ce qui revient à dire que le déterminant de la matrice est nul. On remarquera que pour ce calcul le quadripôle de contre réaction est considéré en sens inverse de celui de passage du signal. 1.2 Matrice impédance lle est définie par : [ ] [ Z] [ ] soit Z Z 11 Z 12 Z Détermination des paramètres Les paramètres Z 11 et Z se déterminent en faisant un circuit ouvert en sortie ( ) et en déterminant le rapport des tension et courant concernés. De même les paramètres Z 12 et Z se déterminent en plaçant le circuit ouvert en entrée ( ) et en Propriétés i le quadripôle est passif, Z 12 Z. i le quadripôle est symétrique Z 11 Z Association de quadripôles en série n remarquant que lorsque plusieurs quadripôles sont associés en série : - les courants d entrée et de sortie sont communs à tous les quadripôles - la tension d entrée équivalent est la somme des tensions d entrées de chaque quadripôle, et de même avec les tensions de sorties, on en déduit que la matrice Z équivalent est donc la somme des matrices Z de chaque quadripôle. Denis Rabasté 3/5 UFM Aix Marseille

4 A A B B [ ] [ ] Z Q Z i i 1.3 Matrice transmittance lle est définie par : [ ] soit mais on trouvera également : [ Γ ] Avec cette matrice, on choisit généralement le courant sortant, ce qui facilite les calculs Détermination des paramètres Les paramètres 11 et se déterminent en ne chargeant pas le quadripôle ( ). Le paramètre 11 représente alors la fonction de transfert à vide. De même les paramètres 12 et se déterminent en plaçant le circuit ouvert en entrée ( ) et en Propriétés i le quadripôle est passif, le discriminant de la matrice est unitaire ( -1 si entrant) Association de quadripôles en cascade n remarquant que lorsque N quadripôles sont associés en cascade : - le courant d entrée d un quadripôle est le courant de sortie du précédent (si on a pris une convention sortant pour le courant ) ; - la tension d entrée d un quadripôle est la tension de sortie du précédent ; on en déduit que la matrice équivalent est donc le produit des matrices de chaque quadripôle, en commençant par le dernier (le produit matriciel n est pas commutatif). On arrive à la même conclusion avec la matrice Γ mais en commençant par le premier quadripôle. A A B B C C A A B B C Q C C i 1 [ ] [ ] Q i i N Denis Rabasté 4/5 UFM Aix Marseille

5 1.4 Matrice hybride H H lle est définie par : [ H] soit H H Cette première forme est très utilisée pour caractériser le transistor bipolaire en petits signaux basse fréquence en émetteur commun, où le paramètre H 11 représente alors l impédance d entrée du transistor et le paramètre H le gain en courant (H 12 et H étant généralement négligeables). La matrice H équivalente de quadripôles dont les entrées sont en série et les sorties en parallèle est la somme des matrices H de chaque quadripôle. Dans le cas d un quadripôle passif, nous avons H -H 12.( H H 12.avec une convention courant sortant). On trouvera également la forme : [ G] La matrice G équivalente de quadripôles dont les entrées sont en parallèle et les sorties en série est la somme des matrices G de chaque quadripôle. Dans le cas d un quadripôle passif, nous avons G -G 12.( G G 12.avec une convention courant sortant). 2 Mesure des paramètres C est souvent la possibilité (ou l impossibilité) de mesurer les paramètres de la matrice qui va conditionner l utilisation d une matrice ou d une autre. Comme nous l avons vu, la détermination des paramètres consiste à appliquer des conditions particulières en entrée ou en sortie, par exemple un court-circuit, ce qui ne sera pas toujours possible suivant la fréquence de travail. 2.1 n basses fréquences Jusqu à quelques mégahertz, la réalisation d un circuit ouvert ou d un court-circuit ne pose pas de problèmes particuliers, c est donc plutôt la structure du circuit qui va déterminer le choix de la matrice. 2.2 Dans la gamme HF HF UHF Le circuit ouvert est difficile à réaliser à cause des capacités parasites ; par contre le court-circuit est simple à réaliser, soit par un simple fil, soit par un condensateur de capacité judicieusement choisie, pour obtenir une impédance très faible à la fréquence de travail, et une impédance très importante pour les éventuelles grandeurs de polarisation. Les fabricants de transistors fourniront donc de préférence les paramètres Y. l est alors généralement plus simple de continuer à travailler avec ce type de paramètres. 2.3 n hyperfréquence Au-delà du giga hertz, les capacités parasites rendent le circuit ouvert impossible, et les inductances parasites le court-circuit difficile, surtout dans des conditions de mesures (problème de connectique). Par contre, il est possible de faire des mesures dans des conditions d adaptation d impédance, des appareils comme les analyseurs de réseau réalisant ce genre d opérations. Les variables mesurées ne sont alors plus des tensions et des courants, mais des ondes incidentes et réfléchies, tandis que la matrice utilisée est alors la matrice dispersion ( pour scattering). Denis Rabasté 5/5 UFM Aix Marseille