Réchauement d'un châlet par un feu de cheminée. 1 Déplacement du nuage de fumée émanant de la cheminée : (Scilab)

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1 Mini-proet d'analyse Numérique Ecole Polytechnique, MAP 431, Réchauement d'un châlet par un feu de cheminée suet proposé par Jennifer Bourguignon On considère un châlet dans la montagne. Des locataires viennent d'arriver dans le châlet pour y prendre leurs quartiers d'hiver. Pressés de se réchauer, ils allument sans plus tarder un feu dans la cheminée, observent les volutes de fumée qui s'en dégagent et attendent impatiemment que la pièce atteigne une température acceptable. Nous allons évaluer, d'une part, comment se propage le nuage de fumée qui s'est dégagé à l'extérieur du châlet, et d'autre part à partir de quel instant la température de la pièce sera optimale. 1 Déplacement du nuage de fumée émanant de la cheminée : (Scilab) A l'instant initial, la cheminée reette une fumée qui va se propager sous l'eet du vent (cf. Figure 1). On veut connaître la densité de la fumée dans l'espace au cours du temps. On suppose le problème monodimensionnel : la vitesse du vent est selon un axe horizontal. On notera c(x, t) la concentration de la fumée au point x, au temps t. La densitée c 0 (x) = c(x, 0) à l'instant t = 0 est supposée connue et à support compact ; v(x, t) la vitesse du vent au point x, au temps t. On suppose également connue la vitesse du vent en tout point et à tout instant. On suppose que la densité de fumée c vérie l'équation d'advection-diusion suivante (où k désigne le coecient de diusion) : x R, t > 0, x R, c (vc) (x, t) + t x (x, t) k 2 c (x, t) = 0, x2 c(x, 0) = c 0 (x). Remarque 1. On veut résoudre le système par une méthode de diérences nies. Soient un pas d'espace x > 0 et un pas de temps t > 0. Pour Z, n N, on pose x = x, t n = n t. On recherche une approximation c n de c(x, t n ). On se placera sur les intervalles : x [ 10, 10] et t [0, 5]. On notera α = v t x, β = k t x 2. Pour les applications numériques sous Scilab, on partira systématiquement d'une donnée initiale (où 1 X est la fonction caractéristique de l'ensemble X) c 0 (x) = 1 [0,2] (1 x 1 ). On tracera, dans un premier temps, la solution c(x, t) au cours du temps, puis on achera en 3D, à la n de la résolution, la solution c en fonction de (x, t). 1 (1)

2 Fig. 1 Fumée s'échappant du châlet - densité de fumée en (x, t) 1.1 Cas d'une vitesse constante, sans diusion On suppose dans toute cette partie que k est nul et v(x, t) est constante en espace et en temps : x R, t > 0, v(x, t) = v R. On prendra v = 1 pour les applications numériques Méthode des caractéristiques On suppose de plus que c 0 est de classe C 1 sur R. On cherche c C 1 (R R + ) solution du problème : c c x R, t > 0, (x, t) + v (x, t) = 0, t x (2) x R, c(x, 0) = c 0 (x). On va utiliser la méthode des caractéristiques pour résoudre cette équation. On cherche une fonction X(t) telle que c soit constante sur les courbes (X(t), t) représentées dans le plan (x, t) (ces courbes sont appelées courbes caractéristiques, d'où le nom de la méthode). Soit c solution de l'équation. On pose Φ(x, t) = c(x(t), t). Question 1. Calculer dφ dφ. A quelle condition s'annule-t-il? En déduire la forme que doivent posséder dt dt les caractéristiques X(t). Y a-t-il unicité d'une solution au problème? Réciproquement, y a-t-il existence? Méthode de diérences nies - Schéma décentré On choisit d'utiliser un schéma explicite décentré en espace. On approche donc les dérivées partielles suivantes par les diérences nies : c t (x, t n ) cn+1 c n, t c x (x, t n ) cn cn 1. x Question 2. Ecrire le schéma numérique. Exprimer matriciellement (c n+1 ) en fonction de (c n ), α. Le schéma est-il explicite ou implicite? Question 3. Résoudre numériquement le schéma, avec t = et x = Tracer la solution obtenue. Comparer avec la solution exacte donnée par la méthode des caractéristiques. 2

3 1.1.3 Analyse de la convergence du schéma On rapelle que α = v t et on suppose que α [0, 1] (c'est une condition de type CFL). On fait de x plus l'hypothèse que la solution c est de classe C 2 sur R R + et que ses dérivées partielles d'ordre 2 sont bornées sur R R +. Question 4. Consistance. Soit d n = c(x, t n ) la solution du problème continu. Montrer qu'il existe une constante C, qu'on explicitera en fonction des normes L de certaines des dérivées partielles de c, telle que µ n C t ( t + x). (3) Question 5. Stabilité. Soit c n solution du schéma. Soit dn solution du schéma perturbé par µn, dénie par { d 0 = c0 = c 0(x ), d n+1 = d n σ(dn dn 1 ) + µn. Posons e n = cn dn (l'erreur commise par rapport à cn ) et ηn = sup e n. Montrer l'estimation de stabilité Z η n η n 1 + sup µ n 1 sup µ k. (4) Z 0 k N Z En quoi cela constitue-t-il un résultat de stabilité? Question 6. Convergence. Déduire des deux questions précédentes que le schéma est convergent au sens suivant : soit N N xé, posons T = N t, alors il existe une constante C > 0 telle que max 0 n N sup Z Question 7. Application numérique. On prendra un pas de temps t = , avec pour pas d'espace : 1. x = , 2. x = , 3. et enn x = c(x, t n ) c n CT ( t + x). (5) Dans quels cas le schéma explose-t-il? Comment expliquez-vous cela au regard de la dernière question? 1.2 Cas d'une vitesse constante, avec diusion - Schéma décentré On suppose maintenant k 0, v constante. On approche la dérivée seconde par la diérence nie : 2 c x 2 (x, t n ) cn +1 2cn + cn 1 x 2. Question 8. Ecrire le schéma numérique. Exprimer matriciellement (c n+1 ) en fonction de (c n ), α et β. Le schéma est-il explicite ou implicite? Question 9. Résoudre numériquement le schéma et tracer la solution. 3

4 1.3 Cas d'une vitesse constante, avec diusion - Schéma centré On suppose touours k 0, v constante, mais on choisit le schéma suivant, centré en espace : c n+1 c n t + v cn +1 cn 1 2 x k cn +1 2cn + cn 1 x 2 = 0. Question 10. Ecrire le schéma numérique. Exprimer matriciellement (c n+1 ) en fonction de (c n ), α et β. Le schéma est-il explicite ou implicite? Question 11. Résoudre numériquement le schéma et tracer la solution. Qu'observez-vous? 1.4 Cas d'une vitesse variable, avec diusion - Schéma upwind simplié Pour résoudre l'équation (1) dans le cas d'une vitesse variable, on va utiliser une simplication du (vc) schéma numérique appelé schéma upwind. On le dénit en approchant la dérivée partielle x par : { (vc) x c n vn +1 cn si v n < 0, c n cn 1 si v n > 0. Question 12. Ecrire le schéma numérique que l'on obtient. Implémenter le schéma upwind simplié et tracer la solution obtenue. On prendra t = , x = , et pour vitesse du vent v(x, t) = 5 cos(πt) t. 2 Evolution de la température du châlet (FreeFem++) 2.1 Description de la géométrie de la pièce On considère l'intérieur du châlet, représenté sur la gure 2. Il s'agit d'une grande pièce de forme rectangulaire, dont l'intérieur est constitué d'une fenêtre et d'une cheminée circulaire située au centre de la pièce. Un suppose que le bord inférieur gauche de la pièce est au point (0, 0). La pièce est un rectangle de longueur L 1 = 10, de largeur L 2 = 7. La longueur de la fenêtre est de L 3 = 8, on suppose qu'elle rentre d'une épaisseur h 0 = 0.5 dans la pièce. La cheminée est un cercle de rayon R 0 = 0.5, et le centre de coordonnées (x 0, y 0 ) = (8, 3.5). On suppose de plus que tous les habitants du châlet sont assis sur un divan, schématisé par un cercle de rayon R 1 = 0.5, centré en (x 1, y 1 ) = (6, = 4.5). 2.2 Conditions aux limites On notera Γ F la surface de la fenêtre en contact avec l'intérieur de la pièce, Γ C la frontière circulaire de la cheminée, et Γ M la surface constituée de la réunion des murs. Ω désignera l'ouvert constitué de l'intérieur de la pièce. Soit Γ l'une de ces trois surfaces. Nous pouvons choisir : 1. soit une condition de type Dirichlet : on impose une valeur xée pour la température T sur Γ. 2. soit une condition de type Neumann : on impose la valeur du ux de chaleur n T sur Γ ; 3. soit une condition de type Fourier-Robin : on impose la valeur de la quantité mixte T + λn T sur Γ (où λ est une constante réelle, dans la suite égale à 1). 4

5 Fig. 2 Géométrie du châlet Sur la fenêtre Γ F et la cheminée Γ C, nous ferons touours l'hypothèse de conditions aux limites de Dirichlet : { T = T Froid = 5 o C sur Γ F, T = T Chaud = +50 o C sur Γ C. En revanche nous faisons varier les conditions aux limites sur les murs : Condition (A) : on prend sur Γ M une condition de Dirichlet, T = T Froid. Condition (B) : on prend sur Γ M une condition de Neumann, n T = g = 16. Condition (C) : on prend sur Γ M une condition de Fourier-Robin, T + n T = h = Problème stationnaire La température T est solution de l'équation de Laplace : T = 0 dans Ω. Question 13. Tracer les contours de la pièce et le maillage ; acher le résultat avec FreeFem++. (Un exemple de construction de maillage est donné à la n du problème.) Conditions de Dirichlet Question 14. Ecrire la formulation variationnelle du problème de Laplace avec condition aux limites (A). On explicitera la forme bilinéaire a A et la forme linéaire l A associées. On mettra donc le problème sous la forme, V étant l'espace convenablement choisi : Trouver T V, S V, a A (T, S) = l A (S). Montrer l'équivalence entre le problème initial et la formulation variationnelle obtenue. 5

6 Question 15. Montrer que ce problème admet une unique solution. Question 16. Calculer numériquement la solution T SA à l'aide de FreeFem++. Calculer numériquement la valeur moyenne T moy,a de la température T SA dans le cercle de centre (x 1, y 1 ) et de rayon R 1. Conditions de Dirichlet-Neumann Question 17. Ecrire la formulation variationnelle du problème de Laplace avec condition aux limites (B). On explicitera la forme bilinéaire a B et la forme linéaire l B associées. Montrer l'équivalence entre le problème initial et la formulation variationnelle obtenue. Question 18. Montrer que ce problème admet une unique solution. En notant Γ D = Γ F Γ C la frontière sur laquelle on impose des conditions de Dirichlet, et H 1 0,Γ D = {u H 1 0 (Ω), u = 0 sur Γ D }, on démontrera, par l'absurde, une inégalité de type Poincaré sur H 1 0,Γ D, et on en déduira que la forme bilinéaire a B est coercive. Question 19. Calculer numériquement la solution T SB à l'aide de FreeFem++. Calculer numériquement la valeur moyenne T moy,b de la température T SB dans le cercle de centre (x 1, y 1 ) et de rayon R 1. Conditions de Dirichlet-Robin Question 20. Ecrire la formulation variationnelle du problème de Laplace avec condition aux limites (C). On explicitera la forme bilinéaire a C et la forme linéaire l C associées. Montrer l'équivalence entre le problème initial et la formulation variationnelle obtenue. Question 21. Montrer que ce problème admet une unique solution, en utilisant à nouveau l'inégalité de Poincaré dans H 1 0,Γ D. Question 22. Calculer numériquement la solution T SC à l'aide de FreeFem++. Calculer numériquement la valeur moyenne T moy,c de la température T SC dans le cercle de centre (x 1, y 1 ) et de rayon R Problème transitoire Soit T la température solution de l'équation de la chaleur dans la pièce : T t T = 0 dans Ω, avec les conditions aux limites de Dirichlet (A). On suppose qu'à l'instant initial t = 0, la température est constante égale à T Froid. Pour la résolution numérique, on choisit un schéma semi-discrétisé en temps. On eectue la discrétisation en temps par une méthode d'euler rétrograde : T n ayant été calculé à l'itération précédente, on cherche T n+1 solution du problème T n+1 T n T n+1 = 0 dans Ω, t T n+1 = T Froid sur Γ F, T n+1 = T Chaud sur Γ C, T n+1 = T Froid sur Γ M. 6 (6)

7 Question 23. Ecrire la formulation variationnelle du problème semi-discrétisé. Montrer rapidement l'équivalence avec le problème initial ainsi que l'existence et l'unicité d'une solution T n+1 au problème. Question 24. Calculer numériquement la solution T t à l'aide de FreeFem++. On arrêtera la boucle en temps lorsque le régime permanent semblera établi, i.e. lorsque la température T t sera visuellement proche de la température T SA. On prendra ici comme pas de temps dt = 0.1. Question 25. On cherche à savoir à partir de quel instant t n = n t la température dépasse, en moyenne, T c = 10 o C dans le cercle délimitant le divan. Indication : on cherchera t n par une méthode de dichotomie. 1. Trouver un encadrement de la valeur cherchée : on cherchera t 0 min et t0 max tels que t 0 min t c t 0 max 2. Connaissant t n min et tn max, poser t n+1 = tn min + tn max, 2 et calculer l'intégrale de la température T (t n ) : Int T (t n ) = 3. Si T (t n ) T c, poser t n+1 min = tn, t n+1 max = t n max. 4. Sinon, poser t n+1 min = tn min, tn+1 max = t n. Divan T (t n )(x) 2 dx. 5. On s'arrêtera lorsque l'écart t n min tn max sera inférieur à Question 26. Reprendre les questions précédentes en prenant les conditions aux limites (B). La température augmente-t-elle ou diminue-t-elle dans le cercle délimitant le divan au cours des itérations? A partir de quel instant la température descend-elle, en moyenne dans ce cercle, en-dessous de T c = 7 o C? 7

8 2.5 Indications techniques pour FreeFem Construction du maillage Voici le script pour dénir une pièce en forme de cercle avec un carré à l'intérieur ( Nb1 et Nb2 sont le nombre de points de discrétisation, respectivement sur un bord du carré et sur le bord du cercle) : int Nb1 = 50 ; int Nb2 = 120 ; real R0 = 2 ; real x0 = 0.5 ; real y0 = 0.5 ; border a(t=0,1) { x=t ; y=0 ; } border b(t=0,1) { x=1 ; y=t ; } border c(t=1,0) { x=t ; y=1 ; } border d(t=1,0) { x=0 ; y=t ; } border e(t=0,2*pi) { x=x0 + R0*cos(t) ; y=y0 + R0*sin(t) ; } mesh Th=buildmesh( a(nb1)+b(nb1)+c(nb1)+d(nb1)+e(nb2) ) ; plot(th,wait=1) ; Vous adapterez cet exemple pour tracer les contours de la pièce Label des bordures Lorsque vous avez besoin de connaître le label associé à chaque bord de frontière, souvenez-vous que FreeFem++ numérote les fronctières dans l'ordre où vous les avez introduites en créant le maillage. Dans l'exemple ci-dessus, la frontière a porte le label 1, la frontière b porte le label 2, etc Fonction caractéristique du cercle où se tiennent les habitants Pour implémenter la fonction caractéristique du cercle de centre (x 1, y 1 ) et de rayon R 1 et calculer l'aire de ce cercle, aouter les lignes suivantes : func chi=( (x-x1) (x-x1)+(y-y1) (y-y1) < R1 ) ; Vh chih=chi ; cout Integrale(Caracteristique) = int2d(th)(chih) endl ; 8