1) Calculer le PGCD de 2040 et 1848 en utilisant l algorithme d Euclide. 2) a) Calcule le PGCD de 715 et 189 par la méthode de ton choix.

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1 Exercice 1. (5 points) 1) Calculer le PGCD de 2040 et 1848 en utilisant l algorithme d Euclide. 2) a) Calcule le PGCD de 715 et 189 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour ces deux nombres. Exercice 2. (5 points) Un artisan dispose de 1394 graines d açaï et de 255 graines de palmier pêche. Il veut réaliser des colliers identiques, contenant chacun le même nombre de graines d açaï et le même nombre de graines de palmier pêche. 1) Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines? 2) Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d açaï et de graines de palmier pêche? Exercice 3 (3 points) Déterminer le PGCD des nombres 4158 et Puis écrire calculs). sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des Exercice 4 : (2 points) On recherche deux nombres entiers dont le produit est et tels que 15 est un de leurs diviseurs communs. Donner toutes les solutions possibles. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = : 7 5 B = E = C =

2 3 ème B DS1 nombres entiers et rationnels sujet 2 Exercice 1. (5 points) 1) a) Calcule le PGCD de 275 et 126 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour la fraction ? 2) Calcule le PGCD de 1750 et 378 en utilisant l algorithme d Euclide. Exercice 2. (5 points) Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiare et de 144 savonnettes au monoï. Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets «Souvenirs de Polynésie» de sorte que : le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret ; le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret ; tous les flacons et savonnettes soient utilisés. Trouve le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d eux. Exercice 3 (3 points) Déterminer le PGCD des nombres 1925 et Puis écrire calculs). sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des Exercice 4 : (2 points) On recherche deux nombres entiers dont le produit est et tels que 12 est un de leurs diviseurs communs. Donner toutes les solutions possibles. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = :5 7 B = E = C =

3 Exercice 1. (5 points) 3) Calculer le PGCD de 2040 et 1848 en utilisant l algorithme d Euclide. 4) a) Calcule le PGCD de 715 et 189 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour ces deux nombres. 1) = = = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 24. Donc PGCD(2040 ;1848) = 24 2) a) = = = = = = = = =

4 Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 1. Donc PGCD(715 ;189) = 1 b) Comme PGCD(715 ;189) = 1 alors on en déduit que 715 et 189 sont premiers entre eux. Exercice 2. (5 points) Un artisan dispose de 1394 graines d açaï et de 255 graines de palmier pêche. Il veut réaliser des colliers identiques, contenant chacun le même nombre de graines d açaï et le même nombre de graines de palmier pêche. 1) Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines? 2) Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d açaï et de graines de palmier pêche? 1) Le nombre maximal de colliers identiques est égal au PGCD de 1394 et 255. On peut utiliser l algorithme d Euclide pour déterminer ce PGCD = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 17. Donc PGCD(1394 ;255) = 17 L artisan peut donc réaliser au maximum 17 colliers. 2) = 82 et = 15 Exercice 3 (3 points) Chaque collier sera composé de 82 graines d açaï et de 15 graines de palmier pêche. Déterminer le PGCD des nombres 4158 et Puis écrire 4158 sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des calculs) On utilise l algorithme d Euclide pour déterminer le PGCD des deux nombres : 4

5 = = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 77. Donc PGCD(4158 ;2387) = 77 Pour simplifier la fraction 4158 on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : = = Exercice 4 : (2 points) On recherche deux nombres entiers dont le produit est et tels que 15 est un de leurs diviseurs communs. Donner toutes les solutions possibles. On a = 15² 75 et les diviseurs de 75 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 et 75. Les solutions possibles sont donc 15 et 1125 ; 45 et 375 ; 75 et 225. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = : 7 5 B = E = C = A = = = 1 30 B = = = = 8 6 = 4 3 5

6 C = = = = D = : 7 5 = : 7 5 = = E = = = =

7 3 ème B DS1 nombres entiers et rationnels sujet 2 Exercice 1. (5 points) 3) a) Calcule le PGCD de 275 et 126 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour la fraction ? 4) Calcule le PGCD de 1750 et 378 en utilisant l algorithme d Euclide. 1) a) On peut utiliser l algorithme d Euclide : = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 1. Donc PGCD(275 ;126) = 1 b) Comme PGCD(275 ;126) = 1 alors 275 et 126 sont premiers entre eux et la fraction 275 est irréductible ) = = = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 14. Donc PGCD(1750 ;378) = 14 Exercice 2. (5 points) 7

8 3 ème B DS1 nombres entiers et rationnels sujet 2 Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiare et de 144 savonnettes au monoï. Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets «Souvenirs de Polynésie» de sorte que : le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret ; le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret ; tous les flacons et savonnettes soient utilisés. Trouve le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d eux. Le nombre maximal de coffrets est égal au PGCD de 144 et 120. Déterminons le PGCD de 144 et 120 avec l algorithme d Euclide = = Le dernier reste non nul dans la liste des divisions euclidiennes successives est 24. Donc PGCD(144 ;120) = 24 Le nombre de coffrets à préparer est donc = 6 et = 5. Chaque coffret sera donc composé de 6 savonnettes au monoï et de 5 flacons de parfum au tiare. Exercice 3 (3 points) Déterminer le PGCD des nombres 1925 et Puis écrire 1925 sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des calculs) On utilise l algorithme d Euclide pour déterminer le PGCD des deux nombres : = = =

9 3 ème B DS1 nombres entiers et rationnels sujet 2 Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 175. Donc PGCD(1925 ;2800) = 175 Pour simplifier la fraction 1925 on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : = = Exercice 4 : (2 points) On recherche deux nombres entiers dont le produit est et tels que 12 est un de leurs diviseurs communs. Donner toutes les solutions possibles. On a = 12² 75 et les diviseurs de 75 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 et 75. Les solutions possibles sont donc 12 et 900 ; 36 et 300 ; 60 et 180. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = :5 7 B = E = C = A = B = C = D = = = = = = = = 1 42 = 65 9 : 5 7 = : 5 7 = = = E = = = =