Estimation de la fréquence

Transcription

1 Estimation de la fréquence Philippe Ciblat École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France

2 Plan Modèles Estimation DA Estimation NDA 1 Modèles 2 Estimation de fréquence avec séquence d apprentissage Rappel : estimation de fréquence pure Estimateurs ML Bornes de Cramer-Rao Illustrations numériques 3 Estimation de fréquence sans séquence d apprentissage Description d estimateurs Analyse de performances asymptotiques et non-asymptotiques Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 2 / 4

3 Partie 1 : Modèles Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 3 / 4

4 Modèle en bande de base (I) Signal reçu en bande de base ( ) y a (t) = s k h a (t kt s ) e 2iπδfat + b a (t) k Z avec {s k } k Z : symboles d une constellation quelconque b a (t) : bruit additif gaussien CN(, 2N ). h a (t) : un filtre résultant d un filtre de mise en forme g a (t), d un canal de propagation, d un déphasage et d un retard temporel. δf a un résidu de fréquence porteuse lié soit à l effet Doppler soit à un défaut des oscillateurs locaux. Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 3 / 4

5 Modèle en bande de base (II) Hypothèse δf a T s 1 δf a petit devant la largeur de bande Système radiomobile avec effet Doppler : porteuse f à 9MHz, vitesse v de déplacement à 5km/h δf a = f v c = 4Hz Oscillateurs locaux de précision de 1ppm δf a = f précision = 9kHz Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 4 / 4

6 Récepteur en bande de base (I) Récepteur (avec h a (t) et δf a connus). y a(t) X h a( t) z a(t) nt s z(n) Détecteur ŝ n e 2iπδfat n(t s/2) X e 2iπ(δfaTs/2)n Interpolateur basé sur h a(nt s/2) 2 z(n) Détecteur ŝ n. Remarque : T e période d échantillonnage vérifiant le théorème de Shannon T e = T s /2 suffit souvent (car δf a est petit devant la bande) On pose f = δf a T s Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 5 / 4

7 Récepteur en bande de base (II) Soient deux filtres f 1 (t) et f 2 (t) de bande 1/T s et δf a T s 1 f 1 (t) (f 2 (t)e 2iπδfat ) = f 2 (τ)e 2iπδfaτ f 1 (t τ)dτ = F 2 ( ν)tf(τ e 2iπδfaτ f 1 (t τ))(ν)dν = e 2iπδfat F 2 (ν)f 1 (ν + δf a )e 2iπνt dν = e 2iπδfat (f 1 (t) f 2 (t)) + o(δf a ) Applications z(t) = f a (t) ( k Z s k h a (t kt s )e 2iπδfat ) ( s k (f a h a )(t kt s ))e 2iπδfat k Z Modèle en bande de base ainsi validé (cf. démodulateur I/Q) Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 6 / 4

8 Récepteur avec h a (t) et f inconnus Schéma de principe (à temps discret). n(ts/2) e iπ fn X Interpolateur basé sur ha(nts/2) 2 Détecteur Estimation du filtre (à la cadence Ts/2) Estimation de f. Schéma de principe (simplifié). n(ts/2) Interpolateur basé sur ha(nts/2) e iπ fn X 2 Détecteur Estimation du filtre (à la cadence Ts/2) Estimation de f. Schéma de principe (simplifié et sans filtre adapté). n(ts/2) e 2iπ fn Interpolateur basé sur ga(nts/2) 2 X Détecteur Estimation du filtre (à la cadence Ts) Estimation de f. Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 7 / 4

9 Modèle mathématique Signal reçu ( L ) y(n) = h(k)s n k e 2iπfn + b(n) k= } {{ } a(n) {s n } une séquence de données (connue ou inconnue) {h(k)} le filtre inconnu f la fréquence inconnue b(n) le bruit gaussien blanc circulaire de variance 2N Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 8 / 4

10 Méthode d estimation Deux modes : Avec séquence d apprentissage Data-aided (DA) ou supervisé ou avec pilote Estimation d harmonique avec amplitude partiellement connue variant dans le temps Sans séquence d apprentissage Non-Data-aided (NDA) ou autodidacte/aveugle Estimation d harmonique avec bruit multiplicatif et bruit additif Objectif 1. Estimer f à la donnée de y(n) et s n 2. Estimer f à la donnée de y(n) Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 9 / 4

11 Partie 2 : Estimation DA Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 1 / 4

12 Estimation de fréquence pure Modèle du signal : soit f la fréquence y(n) = ae 2iπfn + b(n) avec a l amplitude complexe telle que a = a e 2iπφ avec φ la phase Exemple : 6 Harmonic with f=.1 and SNR= 1dB 6 Harmonic with f=.1 and SNR=dB 6 Harmonic with f=.1 and SNR=1dB Real part of harmonic 2 2 Real part of harmonic 2 2 Real part of harmonic sample index sample index sample index RSB= 1dB RSB=dB RSB=1dB Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 1 / 4

13 Estimateur ML de fréquence pure Critère ML : comme le bruit additif est gaussien blanc, on a min a,φ,f J( a, φ, f) = 1 N N 1 y(n) a e 2iπ(fn+φ) 2 n= Résultat Si phase φ connue : ˆf N = arg max f R [ 1 ] N 1 N n= y(n)e 2iπ(fn+φ ) Si phase φ inconnue : ˆf 1 N = arg max N 1 2 f N n= y(n)e 2iπfn Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 11 / 4

14 Preuve Modèles Estimation DA Estimation NDA J( a, φ, f) = 1 N 1 y(n) 2 + a 2 N n= ( ) N 1 1 a y(n)e 2iπ(fn+φ) + 1 N 1 y(n)e 2iπ(fn+φ) N N n= Si phase connue (φ = φ ), maximisation du terme bleu Si phase inconnue, φ [, π[ (sinon ambiguïté avec a et a) et d où J φ = e 2iπ ˆφ N = φ=ˆφn n= ( 1 N 1 ) 1/2 N n= y(n)e 2iπfn 1 N 1 N n= y(n)e2iπfn J( a, ˆφ N 1 1 N, f) = constante 2 a y(n)e 2iπfn N n= ce qui implique la maximisation du terme magenta Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 12 / 4

15 Illustrations numériques f =.1 N = 1 8 Harmonic with f=.1, N=1 and SNR= 1dB 12 Harmonic with f=.1, N=1 and SNR=dB 1 Harmonic with f=.1, N=1 and SNR=1dB FFT norm 4 3 FFT norm 6 4 FFT norm frequency index frequency index frequency index RSB= 1dB RSB=dB RSB=1dB Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 13 / 4

16 Estimation de fréquence non pure avec y N = [y(),, y(n 1)] T y N = D N (f )S N h + b N N nombre d observations (temps d observation = [, NT s [) [ 1,L, s,, s N 1 ] T : séquence d apprentissage S N une matrice N (L + 1) définie comme suit S N = s s 1... s L s s N 1 s N 2... s N 1 L h = [h(),, h(l)] T D N (f) = diag([1,, e 2iπ(N 1)f ]) b N = [b(),, b(n 1)] T : bruit blanc gaussien Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 14 / 4

17 Estimateurs ML (I) Problème dirigé si la fréquence est connue (problème classique) ĥ N f = (S H NS N ) 1 S H Ny N si le canal est connu (référence ou voie de retour) ˆfN h = arg max f [,1[ R[h H S H N D N(f) H y N ] Preuve : suivre la démarche du transparent 12 Lien avec le périodogramme ˆfN h = arg max f [,1[ R [ ] N 1 1 a(n)y(n)e 2iπfn N n= Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 15 / 4

18 Estimateurs ML (II) Problème conjoint { ˆfN = arg max f [,1[ y H N D N(f)S N (S H N S N) 1 S H N D N(f) H y N ĥ N = (S H N S N) 1 S H N D N(ˆf N ) H y N Preuve : suivre la démarche du transparent 12 Soit P N = S N (S H N S N) 1 S H N la projection sur l image de S N. Soit la décompostion de Cholesky de P N = Q H N Q N Lien avec périodogramme 1 ˆfN = arg max f [,1[ N N 1 N 1 2 q n,n y(n )e 2iπfn n= n = Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 16 / 4

19 Bornes de Cramer-Rao : problème dirigé Résultat γ f h = N 4π 2 N 3 1 h H W 2 h Γ h f = 2N N W 1 avec et W K = SH N K N S N N (K+1) N = diag([, 1,, N 1]) Remarque : Estimateur ML est asymptotiquement efficace Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 17 / 4

20 Preuve Modèles Estimation DA Estimation NDA [ (d ) ] 2 ln p(y f) F(f) = E y df et p(y f) e y D N (f)s N h 2 2N ln p(y f) = 1 2N (y H h H S H ND N (f) H )(y D N (f)s N h) + cte d ln p(y f) df = 1 2N (2iπh H S H N ND N (f) H )(y D N (f)s N h) + 1 2N (y H h H S H ND N (f) H )( 2iπD N (f) N S N h) d ln p(y f) df = 2iπ ( h H S H N y,f 2N ND N (f ) H b b H D N (f ) N S N h ) [ (d ) ] 2 ln p(y f) E = 4π2 ( 2h H df 4N 2 S H N N D N (f ) H E[bb H ]D N (f ) N S N h ) Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 18 / 4

21 Bornes de Cramer-Rao : problème conjoint Résultat γ f = N 4π 2 N 3 1 h H (W 2 W 1 W 1 W 1 )h Γ h = 2N N (W 1 + W 1 W 1 hh H W 1 W 1 2h H (W 2 W 1 W 1 W 1 )h ) Remarque : Convergence de l estimateur de la fréquence en 1/N 3 Convergence de l estimateur du canal en 1/N Estimateur ML asymptotiquement efficace Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 19 / 4

22 Bornes de Cramer-Rao asymptotiques (I) Considérons {s n } n une réalisation d une séquence pseudo-aléatoire stationnaire r s (τ) = E[s n+τ s n ] la fonction d autocorrélation Résultat fondamental w K (k, l) = Esquisse de preuve : ( 1 w K (k, l) = N 1 1 n K p.s. s N (K+1) n k s n l E[s n ks n l ] = r s(k l) K + 1 K + 1 n= N (K+1) n= } {{ } 1/(K+1) ) N 1 n K E[s n k s n l ] + 1 N (K+1) n= N 1 n K ε k,l (n) } {{ } p.s. Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 2 / 4

23 Bornes de Cramer-Rao asymptotiques (II) Considérons R s = (r s (k l)) k,l L la matrice (Toeplitz) de corrélation de taille (L + 1) (L + 1) du processus {s n } n Problème dirigé γ f h = 3N 1 4π 2 N 3 h H R s h et Γ h f = 2N N R 1 s Problème conjoint γ f = 3N 1 π 2 N 3 h H R s h et Γ h = 2N N ( R 1 s + 3 hh H ) 2 h H R s h Remarque : Perte de 6dB pour l estimation de fréquence si le canal est inconnu Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 21 / 4

24 Simulations Protocole : Afin de maximiser les périodogrammes, on procède en deux étapes 1. une étape dite grossière réalisée à l aide d une TFD 2. une étape dite fine réalisée par le biais d un algorithme du gradient initialisé avec le résultat de l étape grossière Remarque : La borne de Cramer-Rao ne fournit de l information que sur la seconde étape Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 22 / 4

25 EQM en fonction du RSB Canal radio-mobile de norme 1 N = 32 2 MSE versus SNR / Variable of interest : Frequency Offset Practical MSE : Frequency Offset (Joint Estimation) Theoretical MSE : Frequency Offset (Joint Estimation) Practical MSE : Frequency Offset (Channel known) Theoretical MSE : Frequency Offset (Channel known) 2 1 MSE versus SNR / Variable of interest : Channel Practical MSE : Channel (Joint Estimation) Theoretical MSE : Channel (Joint Estimation) Practical MSE : Channel (Frequency Offset known) Theoretical MSE : Channel (Frequency Offset known) 4 1 (db) 6 (db) SNR (N=32, MC=2) SNR (N=32, MC=2) f h La CRB inexacte à faible RSB (phénomène de décrochement) Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 23 / 4

26 Taux d Erreur Binaire N = 5, Trame de longueur 5 Egaliseur de Wiener 1 BER versus SNR for Nt=5 and alpha=1 Perfect knowledge White TS.1 BER.1.1 1e SNR Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 24 / 4

27 Partie 3 : Estimation NDA Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 25 / 4

28 Rappel du modèle y(n) = a(n)e 2iπfn + b(n), n =,..., N 1 avec y(n) le signal reçu a(n) une amplitude (complexe) inconnue ou un bruit multiplicatif b(n) un bruit blanc gaussien additif circulaire et stationnaire Exemple : a(n) appartient à une modulation MDA-2/BPSK Harmonic with f=.1 and SNR= 1dB Harmonic with f=.1 and SNR=dB Harmonic with f=.1 and SNR=1dB Real part of harmonic 2 2 Real part of harmonic 2 2 Real part of harmonic sample index sample index sample index RSB= 1dB RSB=dB RSB=1dB idem avec la partie imaginaire Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 25 / 4

29 Définition de la circularité Circularité (au sens strict) Soit Z une variable aléatoire centrée à valeurs complexes Z est dit circulaire au sens strict ssi Z et Ze iθ ont la même densité de probabilité pour tout θ Propriété : E[Z } {{ Z }} Z {{ Z } ] = dès que p q p fois q fois Remarque : Z est circulaire (jusqu à l ordre M 1), et de manière équivalente, non-circulaire (à partir l ordre M) ssi E[Z } {{ Z }} Z {{ Z } ] = dès que p q et p + q < M p fois q fois Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 26 / 4

30 Signal non-circulaire Remarque Toute constellation usuelle admet une symétrie de rotation d angle 2π/M ce qui implique une non-circularité à l ordre M Constellation MDA-P MDP-P MAQ-P Taille M 2 P 4 Hypothèses : a(n) est non-circulaire à l ordre M E[a(n) M ] a(n) est gaussien ou pas a(n) est coloré ou pas Remarque : hypothèses réalistes en communications numériques Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 27 / 4

31 Signal non-circulaire au second ordre (I) Comme u a () = E[a 2 (n)], on a z(n) = y 2 (n) = u a ()e 2iπ(2f )n + e(n) où e(n) est un bruit additif non-gaussien et non-stationnaire Remarques Estimation de fréquence dans un bruit multiplicatif et additif Estimation de fréquence dans un bruit additif non-standard Périodogramme basé sur y 2 (n) au lieu de y(n) Si a(n) est coloré, périodogramme non exhaustif Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 28 / 4

32 Signal non-circulaire au second ordre (II) En posant u a (τ) = E[a(n + τ)a(n)], on a ( ) z τ (n) = y(n + τ)y(n) = u a (τ)e 2iπf τ e 2iπ(2f)n + e τ (n) ˆfN = arg max J N (f) = f = T τ= T N z τ (n)e 2iπ(2f)n N n= N z(n)e 2iπ(2f)n N n= avec z(n) = [z T (n),..., z T (n)] T Remarque : Périodogramme pour signal vectoriel Estimateur de l élévation au carré (étendu) Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 29 / 4

33 Signal non-circulaire aux ordres supérieurs MDP-P (1983) E[a(n) P ] ˆf N = arg max f N y P (n)e 2iπ(Pf)n N n= MAQ-P (21 et 24) E[a(n) 4 ] ˆf N = arg max f N y 4 (n)e 2iπ(4f)n N n= L estimateur de l élévation à la puissance Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 3 / 4

34 Analyse asymptotique Consistance Normalité asymptotique (avec vitesse de convergence de 3) Covariance asymptotique γ ont été établies et calculées pour le problème suivant ˆfN = arg max J N (α) = f N z(n)e 2iπ(Mf)n N n= avec z(n) = αe 2iπ(Mf)n + e(n) et e(n) un processus centré Remarque Analyse valide pour les signaux non-circulaires ( M) Covariance asymptotique γ dépend des statistiques de e(n) EQM = γ N 3 Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 31 / 4

35 Simulations a(n) appartient à une MDA-2/BPSK N = 1 8 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=1 and SNR= 1dB 3 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=1 and SNR=dB 25 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=1 and SNR=1dB FFT norm based on y FFT norm based on y 2 1 FFT norm based on y frequency index frequency index frequency index 4 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=1 and SNR= 1dB 12 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=1 and SNR=dB 12 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=1 and SNR=1dB FFT norm based on y FFT norm based on y FFT norm based on y frequency index frequency index frequency index RSB= 1dB RSB=dB RSB=1dB Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 32 / 4

36 EQM en fonction du RSB a(n) = s n +.75s n 1 s n blanc gaussien t.q. E[ s n 2 ] = 1 et E[s 2 n] =.75 N = MSE versus SNR Theoretical MSE Empirical MSE MSE SNR (N=1 ; rho=.75 ; a=.75) Questions EQM théorique inexacte à faible RSB phénomène de décrochement Sommes-nous loin de la CRB? Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 33 / 4

37 Phénomène de décrochement On s intéresse à l estimateur de l élévation à la puisssance ˆfN = 1 M arg max α ] 1/2,1/2] N y(n) M e 2iπαn N n= avec y(n) M = ue 2iπMfn + e(n) Ce périodogramme est maximisé en deux étapes une étape grossière détectant le pic une étape fine raffinant l estimation autour du pic Remarque A faible RSB et/ou quand le nombre d échantillons est petit, l étape grossière peut échouer phénomène de décrochement Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 34 / 4

38 Exemple Modèles Estimation DA Estimation NDA a(n) apparttient à une MDA-2/BPSK RSB= 5dB 14 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=1 and SNR= 5dB 45 Harmonic in multiplicative noise with f=.1, N=5 and SNR= 5dB FFT norm based on y FFT norm based on y frequency index frequency index Périodogramme avec N = 1 Périodogramme avec N = 5 Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 35 / 4

39 Erreur quadratique moyenne EQM exacte Si la fréquence recherchée est au centre de l intervalle de recherche, alors EQM = p 12 + (1 p)eqm s.d. où p est la probabilité que l étape grossière échoue EQM s.d. est l EQM classique (ne prenant pas en compte le phénomène de décrochement) Résultats EQM s.d. disponible dans la littérature (cf. planches précédentes) p disponible dans la littérature a(n) constant (1974) a(n) blanc et appartient à une constellation usuelle (26) Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 36 / 4

40 Simulations : EQM en fonction du RSB Theoretical and Empirical MSE versus Eb/N (N=128 QPSK/4QAM) Theoretical and Empirical MSE versus Eb/N (N= QAM) 1 1 Empirical MSE Theoretical MSE (w/o outliers) 1 2 Theoretical MSE (w. outliers) MSE 1 6 MSE Eb/N 1 1 Empirical MSE Theoretical MSE (w/o outliers) Theoretical MSE (w. outliers) Eb/N MAQ-4 et N = 128 MAQ-256 et N = 128 Analyse de seuil Pour MAQ-4, RSB seuil = 6dB si N = 128 Pour MAQ-P (avec P > 4), palier pour p pas de seuil Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 37 / 4

41 Simulations : EQM en fonction de N Theoretical and Empirical MSE versus N (Eb/N=5dB QPSK/4QAM) Theoretical and Empirical MSE versus N (Eb/N=2dB 256QAM) 1 1 Empirical MSE Empirical MSE Theoretical MSE (w/o. outliers) Theoretical MSE (w/o. outliers) 1 2 Theoretical MSE (w. outliers) 1 2 Theoretical MSE (w. outliers) MSE 1 6 MSE N N MAQ-4 et E b /N = 5dB MAQ-256 et E b /N = 2dB Quand N augmente, p décroît (pas de palier) N importe quelle EQM est réalisable MAIS parfois avec N grand Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 38 / 4

42 Problèmes non traités 1. Conception de la séquence d apprentissage? 2. Sommes-nous loin de la CRB? 3. Comment calculer la CRB dans un contexte autodidacte 4. Décrochement : est-ce intrinsèque au problème ou juste à l estimateur de l élévation à la puissance? 5. Extension à l OFDM Méthode supervisée : démarche identique Méthode autodidacte : sous-porteuses nulles (détecteur d énergie, méthode sous-espace), égalisation entre porteuses, non-circularité,... Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 39 / 4

43 Bibliographie E. Hannan, "The estimation of frequency", Journal of Applied Probability, D. Rife et R. Boorstyn, "Single-tone parameter estimation from discrete-time observations", IEEE Trans. on Information Theory, Septembre A. Viterbi, "Non-linear estimation of PSK-modulated carrier phase with application to burst digital transmissions", IEEE Trans. on Information Theory, Juillet U. Mengali et A. d Andrea, "Synchronisation techniques for digital receivers", Plenum Press, H. Meyr et al., " Digital communications receivers", Wiley, M. Ghogho, A. Swami et A. Nandi, "Non-linear least squares estimation for harmonics in multiplicative and additive noise", Signal Processing, Octobre M. Morelli et U. Mengali, "Carrier frequency estimation for transmissions over selective channels", IEEE Trans. on Communications, Septembre 2. P. Ciblat et al., "Asymptotic analysis of blind cyclic correlation based symbol rate estimation", IEEE Trans. on Information Theory, Juillet 22. N. Noels et al., "Turbosynchronization : an EM algorithm interpretation", IEEE International Conf. on Communications (ICC), 23. Y. Wang et al., "Optimal blind carrier recovery for M-PSK burst transmissions", IEEE Trans. on Communications, Septembre 23. P. Ciblat et al., "Training Sequence Optimization for joint Channel and Frequency Offset estimation", IEEE Trans. on Signal Processing, Août 28. Philippe Ciblat Estimation de la fréquence 4 / 4