Numération. Table des matières. 1 Notre système de numération. Paul Milan. Professeurs des écoles le 29 septembre

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1 TABLE DES MATIÈRES Numération Paul Milan Professeurs des écoles le 9 septembre 009 Table des matières Notre système de numération. Définition Avantages et difficultés de ce système Avantages Inconvéniants Ecriture en lettres, oralité Petit historique de la numération. Le système additif : l écriture égyptienne hiéroglyphique Le système additif mésopopamien Le système romain Systèmes hybrides Système hybride partiel Système hybride Système de position Systèmes avant l écriture Notion de base 4 3. Définition Traduire un nombre dans un système en base n Notre système de numération. Définition Notre système de numération est un système décimal de position. Il est constitué de 0 chiffres dont la position indique le nombre d unités de la puissance de 0 indiquée par le rang. 340 = Il a fallu attendre le XII ème siècle pour que ce système inventé en Inde arrive en occident.

2 . AVANTAGES ET DIFFICULTÉS DE CE SYSTÈME. Avantages et difficultés de ce système.. Avantages. Utilisation d un petit nombre de symboles (0). Facilité de lecture quelque soit l importance du nombre 3. Symboles abstraits simples à écrire 4. Aucune limitation de la taille du nombre.. Facilité des opérations (+,,, ) grâce à des algorithmes simples. 6. Algorithme de formation simple 0u = d, on décale d un rang en mettant un dans le rang supérieur et un zéro 0 dans de rang considéré... Inconvéniants. Symboles abstraits qui ne donne pas de renseignements sur la quantité qu il représente.. Différence entre l oralité (système mixte) et l écriture chiffrée (système de position). exemples «quatre-vingt douze» ne s écrit pas 80, «sept cent trois» ne s écrit pas L algoritme de formation peut poser quelques problèmes : 8, 9, (passage de 9 à 0)..3 Ecriture en lettres, oralité Irrégularité jusqu à 00 du fait de la variation du système et de la base au cours du temps. Hésitation en effet entre la base 0 et la base 0 : «onze, douze,..., seize, dix-sept, dix-huit» ou «cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts». De plus on dit «vingt et un» mais «vingt deux» Après cent : on utilise une base de 00 associé à un nom pour chaque puissance de mille : «mille, million, milliard, billion, billiard...». Quelques exeptions par exemple pour les dates : on dit parfois «onze cents» pour «mille cent». Le terme billion n est pas utilisé du fait que dans les pays anglo-saxon il signifie million : on dit par exemple «cent mille milliards de poèmes». Petit historique de la numération. Le système additif : l écriture égyptienne hiéroglyphique La base choisie est la base 0. On a un symbole pour chaque puissance de 0 et on répète ce symbole autant de fois qu il y a d unités dans cette puissance. : : 0 3 : 00 4 : 000 : : : : PAUL MILAN 9 septembre 009 PROFESSEURS DES ÉCOLES

3 . LE SYSTÈME ADDITIF MÉSOPOPAMIEN 3. Le système additif mésopopamien La base cette fois-ci est 60 : sexagésimale. On pense que cette base serait la fusion entre la base, la base 0 et la base. On a un symbole pour chaque puissance de 60 : 60, 60 = 3 600, 60 3 = De plus, pour indiquer les unités dans une puissance de 60, il y a une base 0 intermédiaire donnant ainsi les symboles pour 0, 600 et Nous avons gardé cette base pour les unités de temps et les mesures d angles..3 Le système romain 9h3 = secondes La base est 0 avec une base intermédiaire à. Les symboles sont : I =, V =, X = 0, L = 0, C = 00, D = 00, M = 000, V = 000, X = 0 000,... A ceci, on adopte un système soustractif si un symbole (puissance de dix), est placé devant un symbole supérieur : Par exemple : IV = 4, IX = 9, XL = 40, CD = 400, CM = XLV MCMLXXIII MCMXCV VMMDCLIX.4 Systèmes hybrides.4. Système hybride partiel Ce système comprend le symbole de l unité ( ) plus un symbole pour chaque puissance de 0 dans un système décimal. Exemple : si on note X, C et M les symboles respectifs des puissances de 0 : 0,0 et 0 3, on a alors : 7 69 :.4. Système hybride M C X Ce système est basé sur 9 symboles représentants les chiffres de à 9, puis un symbole pour chaque puissance de 0 si le système est décimal. C est le système utilisé par les chinois ou notre système d écriture en lettres des nombres. L inconvéniant est donc d avoir un symbole pour chaque puissance de 0. Exemple : si on utilise les chiffres de à 9 et si on note X, C et M les symboles respectifs des puissances de 0 : 0,0 et 0 3, on a alors :. Système de position 7 69 = 9M 6C X 9 On a utilisé le système de position à Babylone, en Chine et chez les Mayas. Le système de position consiste à associer un chiffre et un rang. Le chiffre zéro sert à indiquer l absence d unité pour un rang donné. Les Mayas possèdaient chiffres : le un et le cinq. Le zéros était noté avec un coquillage «r». Leur système était en base 0 avec une irrégularité au 3 ème PAUL MILAN 9 septembre 009 PROFESSEURS DES ÉCOLES

4 .6 SYSTÈMES AVANT L ÉCRITURE 4 rang : 360 au lieu de 0 = 400. Cette irrégularité serait dû à l identification aux nombres de jours dans une année. exemples avec 7, Systèmes avant l écriture Avant l écriture, les humains notaient les nombres avec :. Un système d entailles.. Avec la main 3. Avec une ficelle et des nœuds. 3 Notion de base 3. Définition Définition Dans un système de position en base n, on note par exemple un nombre de trois chiffres par abc n. Ce nombre s écrit dans notre système décimal de position par : abc n = a n + b n + c n 0 = an + bn + c Avec a, b, c des chiffres strictement inférieur à n. En base n, il ne peut y avoir que n chiffres En base, il n y a que chiffres : 0 et 0 = = = En base, il y a chiffres : 0,,, 3 et 4 Exemples 3 = = = = 66 En base, il y a douze chiffres. Comme nous n avons que 0 chiffres dans notre système décimal, on prend souvent pour les deux derniers chiffres α pour le chiffre 0 et β pour le chiffre. Les douze chiffres sont donc : 0,,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, α et β. α6 = = = 70 PAUL MILAN 9 septembre 009 PROFESSEURS DES ÉCOLES

5 3. TRADUIRE UN NOMBRE DANS UN SYSTÈME EN BASE N 3. Traduire un nombre dans un système en base n Règle Pour déterminer l écriture d un nombre dans notre système de numération dans un système en base n, on effectue des divisions successives de ce nombre par n. On obtient le nombre en base n, on prenant le dernier quotient et en remontant tous les restes de ces divisions.. Déterminer 3 en base = 0 Exemples. Déterminer en base 0 = Déterminer 0 en base = 39α le premier reste étant 0, on le transcrit en α PAUL MILAN 9 septembre 009 PROFESSEURS DES ÉCOLES