Opérations sur les dérivées 1ère S Calculs de dérivées Exemple 2 I. Dérivée d une somme 1 ) Propriété 3 ) Remarque 2 ) Exemples

Transcription

1 ère S Opératios sr les dériées Calcls de dériées O écrit. O pose la ormle. O remplace aec les expressios précédetes. Das le capitre précédet, o a la otio de «octio dériée» et l o a otammet doé les octios dériées de octios de «base». Ce capitre ait site a précédet. Le bt d cors est d appredre à calcler des dériées de octios qelcoqes. Il est importat de sigaler qe les dériées apparaisset de maière cacée sr les grapiqes (le ombre dérié est le coeiciet directer de la tagete). E gééral, o e représete pas la corbe de la octio dériée (elle est pas itéressate por sa représetatio grapiqe). Il est ormal de e pas bie oir ecore l tilité des dériées. I. Dériée d e somme ) Propriété et sot dex octios dériables sr iteralle I. La octio + est dériable sr I et la dériée est doée par la ormle. (La dériée d e somme est égale à la somme des dériées). ) Exemples Exemple : x x x Calcler la dériée de. Métode : O décompose. O pose x x x x ( et sot dex octios de réérece). (O passe e «mode dériée») x x x x x x (le idiqe qe l o ait la dériée ; o dit qe l o a «dérié» la octio) Exemple O pose x x x x 0 x x x ) Remarqe : x x x x La ormle de dériée d e somme s appliqe por la somme de pls de dex termes. La dériée d e somme aec ombre qelcoqe de termes est égale à la somme des dériées. II. Dériée d prodit d e octio par réel ) Propriété est e octio dériable sr iteralle I et k est réel. La octio k est dériable sr I et la dériée est doée par la ormle k k. (Por dérier, o garde la costate ; o dérie la octio). ) Exemples Exemple : x 5x Calcler la dériée de.

2 Métode : O décompose («o diise e dex»). O pose x x k = 5 ( est e octio de réérece). (O passe e «mode dériée») x x O écrit = k. O pose la ormle k. O remplace aec les expressios précédetes (o mltiplie). x Exemple Réécritre : x x x Exemple Réécritre : x x 0x x : x x x x x : x x x * x x x III. Dériée d prodit ) Propriété et sot dex octios dériables sr iteralle I. La octio est dériable sr I et la dériée est doée par la ormle. ) Mise e garde Attetio, la ormle est pls compliqée ; la dériée d prodit est pas égale a prodit des dériées. «C est comme les idetités remarqables» ) Exemples Voir exercices. Utilisatio de paretèses. Calcls aisat itereir des «sos-dériées» (oir exercices). IV. Dériée de l ierse d e octio ) Propriété est e octio dériable sr iteralle I, qi e s ale pas sr I. La octio est dériable sr I et la dériée est doée par la ormle. (attetio, la ormle est complexe) ) Exemple Voir exercices. Utilisatio de paretèses. V. Dériée d qotiet ) Propriété et sot dex octios dériables sr iteralle I telles qe e s ale pas sr I. La octio est dériable sr I et la dériée est doée par la ormle. (attetio, la ormle est complexe) 4

3 ) Commetaires Attetio à bie mémoriser cette ormle Le d at ; l ordre des acters ; pas de dériée e bas. Ça cage raimet qelqe cose si l o ait a lie de à case d sige (alors qe por le prodit, qe l o asse o, ça e cage rie à case d sige +). ) Exemple Voir exercices. Calcls aisat itereir des «sos-dériées» (oir exercices). VI. Dériée d e pissace d exposat etier atrel ) Propriété (admise sas démostratio) est e octio dériable sr iteralle I et est etier atrel. La octio est dériable sr I et la dériée est doée par la ormle (attetio, la ormle est complexe) ) Cas particlier importat : exposat. VII. Dériée de l ierse d e pissace d exposat etier atrel ) Propriété (admise sas démostratio) est e octio dériable sr iteralle I e s alat pas sr I et est etier atrel. La octio est dériable sr I et la dériée est doée par la ormle. (attetio, la ormle est complexe) ) Cas particlier importat : exposat (déjà e) VIII. Tablea récapitlati et sot dex octios dériables sr iteralle I, k est réel, est etier atrel. Foctio Dériée k k 0 0 O combie ce tablea aec le tablea des dériées des octios de réérece. IX. Dériatio des octios polyômes et ratioelles (coséqece des règles de dériatio) ) Propriété (dériabilité des octios polyômes) Tote octio polyôme est dériable sr. ) Propriété (dériabilité des octios ratioelles) Tote octio ratioelle est dériable sr so esemble de déiitio. ) Remarqe Cette aée, os étdieros srtot des octios polyômes et des octios ratioelles (aisi qe qelqes octios trigoométriqes). X. Mise e pratiqe ) Recoaître la o les ormle(s) à tiliser O aalyse la orme de l expressio (prodit, qotiet ). ) Pricipe des «sos-dériées» (dériée à l itérier d e dériée) 5 ) Résltat atted Il est éidemmet primordial de bie aire la distictio etre e octio et sa dériée. La octio qe l o dérie est la octio «ormale», o octio de «base» o octio «origiale». 6

4 XI. Rédactio et présetatio déiities des calcls ) Exemple x x 4x 0x D = est dériable sr (octio polyôme). x x x 4 x 0 0 (O dérie caqe moôme) x ) Exemple x x x 4 D = \ 4 x 6x 8x 0 est dériable sr \ 4 x \ 4 x Versio a propre x x x 4 4 Utiliser des paretèses («paretèses de sécrité») x \ 4 x 9 x 4 O e déeloppe pas le déomiater. O pose x x x 4 x x x x Broillo x x x 4 x Reteir qe, das e ersio a propre, o écrit pas la ormle de calcl por la dériée. XII. Démostratios des opératios algébriqes ) Tablea et sot dex octios dériables sr iteralle I. k est réel. a I x a a a a a a a a lim 0 L x x a a a L k L x x L 4 a a k a a a a a a a a a a x k a x ) Jstiicatio de la e coloe Lige L x x x a a a a Lige L x k x a a a a a a a a a a k a k a a a k a a a a a a 7 8

5 Lige L x x x a a a a itrodits de orce a a a a a a a a a a a a a a Lige L 4 x x a a a a a a a a a ) Jstiicatio de la e coloe a a a a a a a a a O passe de la e coloe à la e a a coloe e aisat lim. 0 H : est dériable e a H : est dériable e a a a H : lim 0 a a H : lim 0 a a O passe de la e coloe à la e a a coloe e preat lim. 0 9 Lige L a a lim a a 0 Lige L a a lim 0 Lige L k a a a lim a a a a 0 O admet ititiemet qe lim a a 4 ) Atres ormles 0 (o coaît la dériée d prodit) (astce : réécritre) (o coaît la dériée d prodit et d ierse) XIII. Utilisatio d otils de calcl ormel Lorsqe les calcls sot trop teciqes o lorsqe l o et ériier le résltat d e dériée qi a été eecté à la mai, o pet tiliser logiciel de calcl ormel o e calclatrice qi ait d calcl ormel. O tilise la commade itégrée por dérier e octio. Le résltat ori est maleresemet pas tojors exploitable directemet. Ce qi os itéresse la plpart d temps por e dériée c est d aoir e orme actorisée (lorsqe c est possible) ai d étdier pls commodémet so sige. Por cela, il at parois tiliser e atre commade por actoriser la première expressio de la dériée. 0

6 XIV. Expressio d e dériée : simpliicatios, trasormatios d écritres ) Applicatio des ormles ; orme d résltat O retiedra qe les ormles de dériées doet résltat «brt» q il est possible d arrager selo les besois q o ara (e particlier, le besoi d sige qe l o ara das le capitre à eir). Le résltat doit être doé sos e orme qi permet d étdier acilemet so sige. Lorsqe le sige apparaît pas clairemet, o priilégiera les ormes actorisées. Das ce capitre, les ormes attedes serot caqe ois précisées e exercice. Exemple : x x x ( ) 6 ( x) 6x x O a le droit de remplacer 6x x par 6x (x ), pls commode por étdier le sige. ) Cas d e somme Das ce capitre, o arragera l expressio a miimm. Cas particlier : dériée d e octio polyôme doée sos orme déeloppée : e appliqat les ormles de dériatio, o obtiet e expressio sos orme déeloppée. Il est atrel de simpliier a miimm comme das les exemples. Das ce capitre, o ira pas pls loi. ) Cas d qotiet Exemple : Le mérater est déeloppé (e appliqat les règles algébriqes selles). Le déomiater e reace est e gééral pas déeloppé. O retiedra pricipe gééral : o e déeloppe jamais le déomiater d e dériée. Comme os l aos déjà dit, das ce capitre, les ormes attedes serot caqe ois précisées e exercice. Voir ote pls bas ) Stabilité des amilles de octios La dériée d e octio polyôme est e octio polyôme. Soit e octio polyôme. Si deg = aec, alors deg =. La dériée d e octio ratioelle est e octio ratioelle. XV. Perspecties por l aée procaie ) Dériées d ordres spériers Lorsqe l o a dérié e octio, o pet cercer à dérier de oea. C est e qestio atrelle. O obtiet aisi e oelle octio appelée dériée secode. O pet de oea recommecer. O obtiet la dériée troisième et aisi de site Por e octio polyôme, o obtiedra 0 à partir d certai rag. Ce est pas rai e reace por des octios ratioelles. E gééral, o obtiet des octios ratioelles de pls e pls compliqées. Nos erros e Termiale q il est possible de cosidérer la dériée de la dériée («dériée secode») et même de recommecer. Comme os e aros pas l sage, os e le eros pas cette aée. Nos erros éamois cette aée e applicatio des dériées première et secode aec les otios de itesse et d accélératio qi sera reprise das le cors de pysiqe de Termiale. ) Primities octio Historiqe dérier «primitier» Cette aée, o doe e octio ; o cerce la dériée. dériée L aée procaie, o étdiera le problème ierse : o doera e octio et l o cercera les octios dot c est la dériée (capitre sr les primities). Nos aros des ormlaires qi permettet de détermier rapidemet des primities. Historiqemet, la otio de primitie est appare très tôt, dès le XVII e siècle, a momet où les matématicies ot ieté les dériées. E eet, les matématicies de cette époqe se sot reds compte qe les primities poaiet serir à résodre des problèmes d aires. Nos allos expliqer brièemet le pricipe qi sera étdié e détail e Termiale cela restera éamois pe abstrait cette aée. Si l o cosidère e octio déiie et cotie (le ses est ici à predre das ses ititi : «la corbe est tracée sas leer le crayo») sr iteralle [a ; b], alors admet des primities sr [a ; b] et si F est l e qelcoqe de ces primities l aire etre la corbe représetatie de das repère ortogoal d pla et l axe F b F a. La recerce de primitie est reliée à la otio d aire. des abscisses est égale à

7 a F b F a b Lorsqe la octio est égatie, l aire at F a F b. Ce type de problème est appelé problème de qadratre. Ces problèmes serot étdiées e Termiale das le capitre sr les itégrales.