Transparents du deuxième cours. Théorie quantique des champs. Graphes de Feynman

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1 Transparents du deuxième cours Théorie quantique des champs Graphes de Feynman 1

2 Lagrangien Hamiltonien S = L(q, q) dt d dt ( L q j ) L q j = 0 L(q, q) = 1 2 m q2 V (q) λ : T q C T q C λ( q) = q L(q, q) T q C λ 1? T q C T q C λ( q) = p q p q L(q, q) stationnaire 2

3 Hamiltonien H(p, q) = p λ 1 (p) L(q, λ 1 (p)), p T q C L(q, q) dt = p dq H dt L H symétrique {f, g} = f p, g q f q, g p d dt f = {H, f} H(p, q) = p2 2m + V (q) 3

4 Lagrangien en QFT S (φ) = L(φ) d D x L(φ) = 1 2 ( φ)2 m2 2 φ2 L int (φ). ( φ) 2 = g µν µ φ ν φ [g µν ] = Lagrangien libre L 0 (φ) = 1 2 ( φ)2 m2 2 φ2 4

5 Intégrale de Feynman Amplitude de probabilité exp ( i S(φ) ) O = N O(φ) e i S(φ) D[φ], N 1 = e i S(φ) D[φ] 5

6 Hamiltonien en QFT V (φ) = L(q, q) = 1 2 t q(t) = φ(t, ) C φ(x) 2 d D 1 x V (φ) ( 1 2 ( φ)2 + m2 2 φ2 + L int (φ)) d D 1 x T C TC, Hamiltonien H(π, φ) = a(x) b(x) d D 1 x ( 1 2 π ( jφ) 2 + m2 2 φ2 + L int (φ)) d D 1 x 6

7 Quantification canonique [ φ(x), φ(y)] = 0, [ π(x), π(y)] = 0, [ π(x), φ(y)] = i δ(x y) φ(t, x) = e i t H φ(x) e i t H σ t (T) = e i t H T e i t H Algèbre A et dynamique σ t AutA 7

8 Etat de vide ρ est une représentation irréductible Il existe un opérateur positif non-borné H sur H tel que ρ(σ t (A)) = e i t H ρ(a) e i t H, A A Il existe un unique vecteur propre 0 H, H 0 = 0 et ρ(a) 0 H est dense dans H ψ(a) = 0 ρ(a) 0, A A F(t) = ψ(a σ t (B)) KMS i.e. T = 0, Dirac coeff. A et B : T > 0. ψ β (A) = Z 1 Tr(A e β H ), Z = Tr(e β H b) 8

9 QFT Définition des observables et de la dynamique Classification des états de vide. Trois propriétés Causalité Positivité de l énergie Unitarité [ φ(x), φ(y)] = 0, (x, y), (x y) 2 < 0 F(t) = ψ(a σ t (B)) F(z) Iz 0 ψ(a A) 0, A A 9

10 Exemple très simple X = S 1 R L(φ) = 1 2 ( ( 0 φ) 2 ( 1 φ) 2 m 2 φ 2) S(φ) = L(φ) dx dt = L(t) dt L(t) = S 1 H(φ, π) = 1 2 ( 1 2 S 1 φ ( ) ) 2 1 φ 2 ( φ)2 m2 2 φ2 dx ( π(x) 2 + ( φ(x)) 2 + m 2 φ 2 (x) ) dx φ(x) π(x) dx R S1 10

11 Fourier H = k Z 1 2 ( πk π k + (k 2 + m 2 ) φ k φ k ) Réalité φ k = φ k π k = π k k Z [p, q] = i H = 1 2 (p2 + ω 2 q 2 ) = ω a a (+ 1 2 ) [a k, a k ] = 1 k Z [a k, a l ] = 0, [a k, a l ] = 0 k l H b = k Z ω k a k a k ω k = k 2 + m 2 11

12 Champ Quantique φ(t, x) = e it H b φ(0, x) e ith b, où ( ak e ikx + a k e ikx) (2ω k ) 1/2 φ(0, x) = k Z O 1 O 2 12

13 Causalité φ(f) = f(x) φ(0, x) dx, f C (S 1 ) [σ t φ(f), φ(g)] = [φ(f), φ(g)] = 0 c(x, y, t) f(x) g(y) dx dy, c(x, y, t) = k e ik(x y) ( e iω kt e iω k t ) ω 1 k = c(x y, t) où c satisfait l équation de Klein-Gordon ( m2) c = 0 avec c(x,0) = 0, / t c(x,0) = λ δ 0 (x) 13

14 Etat de vide H b = k Z (H k,ω k ) U(O) algèbre de von Neumann dans H b engendrée par les fonctions des φ(f) avec Support f O Causalité U(O 1 ) U(O 2 ) Positivité de l énergie H b 0 Unitarité KMS β ψ β (A) = Z 1 Tr(A e β H b), Z = Tr(e β H b) 14

15 Fonctions de Green G N (x 1,..., x N ) = 0 T φ(x 1 )... φ(x N ) 0 Dyson G N (x 1,..., x N ) = N t 1 t 2... t N e i S(φ) S(φ) = S 0 (φ) + S int (φ) dλ = exp(i S 0 (φ)) D[φ], φ(x 1 )... φ(x N ) D[φ] n=0 i n n! G N (x 1,..., x N ) = φ(x 1 )... φ(x N ) S int (φ) n dλ i n n=0 n! S int (φ) n dλ 1 15

16 Gellman-Low φ F champs libres ( n=0 G N (x 1,..., x N ) = i n ) 0 Tφ F (x 1 )... φ F (x N ) L int (y j ) 0 dy j n! ( i n ) 1 0 T L int (y j ) 0 dy j n! n=0 G F 2(x, y) = φ(x)φ(y) exp(i S 0 (φ)) D[φ] 16

17 Intégration sous exp Q(X) 2 D[X] V espace vectoriel réel, Q V V forme quadratique non-dégénérée. Q Hom(V, V ) Q 1 Hom(V, V ) Q 1 (L) 1 2 Q = L P(X) L(X) exp Q(X) 2 D[X] = P(X) Q 1 (L)(exp Q(X) 2 ) D[X] = Q 1 (L)(P(X)) exp Q(X) 2 D[X] Q 1 = Propagateur 17

18 Intégration sous exp(i S 0 (φ)) D[φ] S 0 (φ) = (2π) D 1 2 (p2 m 2 ) ˆφ(p)ˆφ( p) d D p φ(x) = (2π) D ˆφ(p) e ip.x d D p N 0 ˆφ(p 1 ) ˆφ(p 2 ) exp(i S 0 (φ)) D[φ] = i(2π) D δ(p 1 + p 2 )(p 2 1 m2 ) 1 G F 2 (x, y) = i(2π) D e ±ip.(x y) p 2 m 2 dd p 18

19 Lemme Lim ǫ 0+ Soient u > 0 et ω > 0 alors R e ± ip u p 2 ω 2 + iǫ dp = π i ω e i u ω F(ω) = R e ip u p 2 ω 2 dp définit une fonction holomorphe de ω I(ω) < 0. Pour a > 0 on a F( ia) = π a e u a d où F(ω) = π i ω e i u ω, ω C, I(ω) < 0. On applique à la racine ω de ω 2 iǫ 19

20 Feynman p 2 m 2 + iǫ k Z 0 φ F (t, x)φ F (s, y) 0 = (2ω k ) 1 e i(k(x y) (t s)ω k) t s > 0 + Lemme e i(t s)ω k =... 0 T φ F (t, x)φ F (s, y) 0 = i 2π k Z R e i(k(x y) k 0(t s)) k 2 0 k2 m 2 + iǫ dk 0 G F 2 (x, y) = i(2π) D e ±ip.(x y) p 2 m 2 + iǫ dd p 20

21 Fonctions de Schwinger G N (x 1,..., x N ) = valeur au bord de S N (x 1,..., x N ) fonctions holomorphes du temps complexifié z j de x j = (z j, v j ) dans le cône I z 1 < I z 2 <... < I z N S N (x 1,..., x N ) = 0 φ(v 1 ) e i(z 2 z 1 ) H... φ(v N 1 ) e i(z N z N 1 ) H φ(v N ) 0 0 φ(v 1 ) e i z H φ(v 2 ) 0, I z 0 Condition KMS 21

22 Rotation de Wick τ = i t O E = N O(φ E ) e S E (φ E ) D[φ E ] N 1 = e S E (φ E ) D[φ E ] S E (φ E ) = L E (φ E ) d D x L E (φ E ) = 1 2 ( φ E) 2 + m2 2 φ2 E + L int(φ E ) ( φ) 2 = g µν µ φ ν φ g µν = δ µν 22

23 Développement perturbatif S N (x 1,..., x N ) = n=0 ( 1) n n! φ E (x 1 )... φ E (x N ) S int (φ E ) n dλ n=0 ( 1) n n! S int (φ E ) n dλ 1 Graphes de Feynman 23

24 Graphes de Feynman L(φ) = 1 2 ( φ)2 m2 2 φ2 g 3! φ3 φ E (x 1 ) φ E (x 2 ) S int (φ E ) 2 dλ S int (φ E ) = g 3! φ 3 E (x) dd x = (2π) 2D g 3! ˆφ(k 1 ) ˆφ(k 2 ) ˆφ(k 3 ) δ(k 1 + k 2 + k 3 ) d D k j φ E (x j ) = (2π) D ˆφ(p) e ipx j d D p ˆφ(p 1 ) ˆφ(p 2 ) ˆφ(k 1 ) ˆφ(k 2 ) ˆφ(k 3 ) ˆφ(q 1 ) ˆφ(q 2 ) ˆφ(q 3 ) dλ δ(k 1 +k 2 +k 3 ) δ(q 1 +q 2 +q 3 ) d D k j d D qj d D pj =

25 Accouplement l 1 l 2 (2π) D δ(l 1 + l 2 ) 1 l m2 p 1 p 2 k 1 q 1, k 2 q 2, k 3 q 3 k 1 k 2, k 3 q 1, q 2 q 3 15 =

26 Tadpole p 1 k 1, p 2 k 2 k 3 q 1, q 2 q 3 δ(q 2 + q 3 ) δ(q 1 + q 2 + q 3 ) q 1 = 0 k 3 = 0 δ(p 1 + p 2 ) Graphe connexe avec une patte externe = Tadpole 0 φ(x) 0 = = 36 26

27 Deux tadpoles p 1 k 1, p 2 q 1, k 2 k 3, q 2 q 3 δ(k 2 + k 3 ) δ(k 1 + k 2 + k 3 ) k 1 = 0 p 1 = = 18 27

28 Self-Energie p 1 k 1, p 2 q 1, k 2 q 2, k 3 q 3 p + k p k p g 2 2 δ(p 1 + p 2 ) 1 p m2 1 p m2 1 1 k 2 + m 2 ((p 1 + k) 2 + m 2 ) dd k = 36 Facteurs (2π) N D, d D k (2π) D, δ( ) (2π) D 28

29 Renormalisation de la Masse e λ k2 d D k = λ D/2 π D/2 1 1 k 2 + m 2 ((p + k) 2 + m 2 ) dd k = π D/2 Γ(2 D 2 ) 1 0 (x(1 x)p2 + m 2 ) D/2 2 dx Hydrodynamique Green 1830 F = m a m m + δm 29

30 v X = Grad h, h = 0 h(x, y, z) = v 2 (r 3 + 2) z, r 2 = x 2 + y 2 + z 2 E(x, y, z) = v2 8 E = 1 2 δm v2, x 2 + y 2 + 4z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 4 ρ dxdydz δm = 1 2 M 30

31 J. Collins, Renormalization, Cambridge Monographs in Math. Physics, Cambridge University Press, P. Dirac, The quantum theory of the emission and absorption of radiation. Proc. London Royal Soc. 114 (1927) R. Feynman, The reason for antiparticles, Elementary Particles and the Laws of Physics, Cambridge Univ. Press (1987). 31

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