CALCUL ALGÉBRIQUE LES EXPRESSIONS LITTÉRALES. Dossier n 3 Juin 2005
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- Tristan St-Amand
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1 CALCUL ALGÉBRIQUE LES EXPRESSIONS LITTÉRALES Dossier n 3 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE
2 C. D. R. CALCUL ALGÉBRIQUE AGRIMEDIA Les expressions littérales Apprentissage Objectifs : - Lire et écrire une expression littérale - Développer, réduire et ordonner une expression littérale Contenu : - Rappel du vocabulaire relatif aux opérations - Vocabulaire relatif à l algèbre - Simplification d une expression littérale - Développement et réduction d une expression littérale - Exercices d application et correction CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 1
3 LIRE ET ÉCRIRE UNE EXPRESSION LITTÉRALE Chapitre 1 I - Rappel : VOCABULAIRE RELATIF AUX OPÉRATIONS Nom de l opération Signe de l opération Nom du résultat ADDITION + Somme des termes Exemple : dans l addition suivante : ,5 + 3 = 22,5 22,5 est la somme de 7 ; 12,5 et 3 7 ; 12,5 et 3 sont les termes de la somme SOUSTRACTION - Différence des termes Exemple : dans la soustraction suivante : = est la différence de 28 et et 12 sont les termes de la différence MULTIPLICATION x ou Produit des facteurs Exemple : dans la multiplication suivante : 2 x 12 x 4 = est le produit de 2 ; 12 et 4 2 ; 12 et 4 sont les facteurs de ce produit DIVISION ou ou / Quotient du dividende par le diviseur Exemple : dans la division suivante : 45 9 = 5 5 est le quotient de 45 par 9 45 est le dividende et 9 est le diviseur Définition : On appelle EXPRESSION LITTÉRALE une suite d opérations comportant une ou plusieurs LETTRES (associées ou non à des nombres). Travailler avec des expressions littérales, c est faire de l ALGÈBRE!!! Exemples : a + b ; 4 y ; 9 + c ; a ( 5 - d ) ; u 2 ; 3 + x CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 2
4 II - VOCABULAIRE RELATIF À L ALGÈBRE Abécédaire Découvrons ce vocabulaire. Exemples d expressions La somme de a et b a augmenté de b La différence de c et e c diminué de e Le produit de f et de g f facteur de g Le quotient de a par h a sur h Écritures littérales correspondantes a + b c - e f x g f. g f g a h ou a h Le double de b 2 x b 2. b 2 b Le triple de c 3 x c 3. c 3 c La moitié de y Le tiers de m 1 y y m m facteur de «a plus deux c» 5 ( a + 2c ) Le carré de d d au carré Le cube de w w au cube d 2 w 3 s à la puissance quatre s 4 L inverse de b La racine carrée de t 1 b t La racine cubique de n 3 n Le double du carré de r 2 x r 2 2 r 2 CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 3
5 Maintenant à vous! Exercice 1 Lorsque cela est possible, reliez les expressions données aux écritures littérales correspondantes comme dans l exemple proposé. c augmenté de 4 3 g h Le triple de b 1 t L inverse de t c + 4 Le double de k diminué de y 3 n t La différence de la racine a b carrée de b et de s 3 Le tiers du produit de a et b 3 b Le double du carré de d b - s Le triple du produit de g et h 2 k - y La somme du cube de n et du tiers de t b - s La racine carrée de la différence de b et s 2 d 2 Voir réponses page suivante CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 4
6 Exercice 1 RÉPONSES Lorsque cela est possible, reliez les expressions données aux écritures littérales correspondantes comme dans l exemple proposé. c augmenté de 4 3 g h Le triple de b 1 t L inverse de t c + 4 Le double de k diminué de y 3 n t La somme du triple de n et du tiers de t La différence de la racine a b carrée de b et de s 3 Le tiers du produit de a et b 3 b Le double du carré de d b - s Le triple du produit de g et h La somme du cube de n et du tiers de t n t 2 k - y b - s La racine carrée de la différence de b et s 2 d 2 CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 5
7 Exercice 2 Complétez le tableau suivant comme dans l exemple proposé. Expressions Le carré de c diminué du double de a Écritures littérales correspondantes c 2-2 a n ( b + 8 ) La différence de b et du double de c c Le carré de c augmenté du triple de a 3 a - 2 b La somme de a au cube et de b 3 a c d L inverse de la différence de d et j 1 + c 3 d Trois facteur de «a moins g» 4 m 2-3 c Le quart du produit de a au carré et de b b La racine carrée du produit de d par g au cube Voir réponses page suivante CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 6
8 Exercice 2 RÉPONSES Expressions Le carré de c diminué du double de a Écritures littérales correspondantes c 2-2 a n facteur de «b plus huit» n ( b + 8 ) ou La différence de b et du double de c Le tiers du carré de c augmenté de huit la somme du tiers du carré de c et de huit Le carré de c augmenté du triple de a b - 2 c c c a La différence du triple de a et du double de b La somme de a au cube et de b Le triple du produit de a, c et d L inverse de la différence de d et j La somme de l inverse de d et du cube de c 3 a - 2 b a 3 + b 3 a c d 1 d - j 1 + c 3 d Trois facteur de «a moins g» 3 ( a - g ) La différence du quadruple du carré de m et du triple de c Le quart du produit de a au carré et de b 4 m 2-3 c 1 a 2 b ou 4 a 2 b 4 La somme de b + 5 la racine carrée de la moitié de b et de cinq 2 La racine carrée du produit de d par g au cube d g 3 CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 7
9 CALCULS RELATIFS AUX EXPRESSIONS LITTÉRALES Chapitre 2 Prenez connaissance des quelques conventions d écriture suivantes : 2 multiplié par a ou 2 x a s écrit 2a a x b s écrit ab 3 x ( c + d ) s écrit 3 ( c + d ) ( z + t ) x ( u - v ) s écrit ( z + t ) ( u - v ) I - SIMPLIFIER UNE EXPRESSION LITTÉRALE Simplifier une expression littérale c est : regrouper les termes de même nature et calculer leur résultat, à savoir : regrouper et calculer les «nombres» avec les «nombres», regrouper et calculer les termes en «x» avec les termes en «x», regrouper et calculer les termes en «a b» avec les termes en «a b», regrouper et calculer les termes en «c 2» avec les termes en «c 2», regrouper et calculer les termes en «g d 3» avec les termes en «g d 3» etc Exemples : Expressions littérales Regroupement des termes de même nature (écrits dans la même couleur) Expressions littérales simplifiées 3 x + 7 x x + 7 x x + 8 a a + 2 a + 6 a a b b Pas de termes de même nature Pas de simplification possible 5 h 3-7 a h + 3 h 2-2 h 3 5 h 3-2 h 3-7 a h + 3 h 2 3 h 3-7 a h + 3 h 2 14 a c - 8 c - a c + 2 a + c 14 a c - a c - 8 c + c + 2 a 13 a c - 7 c + 2 a - 5 g s 3 + s 3-6 g s g s 3-5 g s g s 3 + s 3-6 g s 2-2 g s 3 + s 3-6 g s u + 5 u v + 7 v u + 5 u v + 7 v u + 5 u v + 7 v 9 x 2 y + 5 x y 2-7 y x 2 Pas de termes de même nature Pas de simplification possible 6 x 2 y + 3 x y x 2 - x y 2 6 x 2 y + 3 x y 2 - x y x 2 6 x 2 y + 2 x y x 2 CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 8
10 Maintenant à vous! Complétez le tableau suivant comme dans l exemple précédent : Expressions littérales Regroupement des termes de même nature Expressions littérales simplifiées 4 x + 10 x + 15 a m - 3 a q + 6 a + 2 q m 4 b z + 3 c z - 2 b z + z - 4 a 3-7 a h + 3 a 2-2 a 3 2 a + 8 y - a y + y - 14 a y - 2 s 3-8 b d b d 2 + b d 3-2 u - u u v + 7 u + 20 u v 2 9 x x - 7 d a x 2 5 x 2 y + 8 x 2 y a x 2 - a - x 2 Voir réponses page suivante CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 9
11 RÉPONSES Expressions littérales Regroupement des termes de même nature (écrits dans la même couleur) Expressions littérales simplifiées 4 x + 10 x x + 10 x x + 15 a m - 3 a q + 6 a + 2 q m Pas de termes de même nature Pas de simplification possible 4 b z + 3 c z - 2 b z + z 4 b z - 2 b z + 3 c z + z 2 b z + 3 c z + z - 4 a 3-7 a h + 3 a 2-2 a 3-4 a 3-2 a 3-7 a h + 3 a 2-6 a 3-7 a h + 3 a 2 2 a + 8 y - a y + y - 14 a y 2 a + 8 y + y - a y - 14 a y 2 a + 9 y - 15 a y - 2 s 3-8 b d b d 2 + b d 3-2 s 3-8 b d 3 + b d b d 2-2 s 3-7 bd bd 2-2 u - u uv + 7u + 20 uv 2-2 u + 7 u - u uv + 20 uv 2 5 u - u uv + 20 uv 2 9 x x - 7 d a x 2 Pas de termes de même nature Pas de simplification possible 5 x 2 y + 8 x 2 y a x 2 - a - x 2 Pas de termes de même nature Pas de simplification possible Très bien! Passons à la suite!! CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 10
12 II - DÉVELOPPER ET RÉDUIRE UNE EXPRESSION LITTÉRALE Développer et réduire une expression littérale c est : effectuer les produits de facteurs indiqués puis simplifier les résultats obtenus. Exemple 1 : Développons l expression suivante : 2 ( 3 + 4b ) elle se lit deux facteur de «trois plus quatre b» elle se calcule en multipliant 2 par ( 3 + 4b ) ou ( 3 + 4b ) par 2 Posons l opération : b x b D où : 2 ( b ) = b En résumé : Pour multiplier une somme algébrique par un nombre, on multiplie chaque terme de cette somme algébrique par ce nombre et on additionne les résultats obtenus. Exemple : 6 ( 3 a - 5 b + 1 ) = 18 a - 30 b + 6 Multiplier par CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 11
13 Maintenant à vous! EXERCICE Développez les expressions littérales suivantes : Expressions littérales à développer développées 4 ( 2 a - g + 7 z ) 3 a ( t + 5 h - 4 j ) - 5 ( 2 k - t + 4 y ) x ( x - 5 y - 8 k ) - 6 c ( 4 q + 12 a b - 8 ) Voir réponses page suivante CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 12
14 RÉPONSES Développez les expressions littérales suivantes : Expressions littérales à développer développées 2 a - g + 7 z x 4 4 ( 2 a - g + 7 z ) 8 a - 4 g + 28 z 4 ( 2 a - g + 7 z ) = 8 a - 4 g + 28 z De même pour les exercices suivants : 3 a ( t + 5 h - 4 j ) 3 a ( t + 5 h - 4 j ) = 3 a t + 15 a h - 12 a j - 5 ( 2 k - t + 4 y ) - 5 ( 2 k - t + 4 y ) = - 10 k + 5 t - 20 y x ( x - 5 y - 8 k ) x ( x - 5 y - 8 k ) = 2 x + 3 x 2-5 x y - 8 k x - 6 c ( 4 q + 12 a b - 8 ) - 6 c ( 4 q + 12 a b - 8 ) = - 24 c q - 72 a b c + 48 c Très bien! Passons à la suite!! CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 13
15 Exemple 2 : Développons l expression suivante : ( b - 5 ) ( 3 a - 2 ) elle se lit «b moins cinq» facteur de «trois a moins deux» elle se calcule en multipliant ( b - 5 ) par ( 3 a - 2 ) ou ( 3 a - 2 ) par ( b - 5 ) Posons l opération sur ce parchemin : 3 a - 2 X b a a b - 2 b 3 a b - 2 b - 15 a + 10 D où : ( b - 5 ) ( 3 a - 2 ) = 3 a b - 2 b - 15 a + 10 En résumé : Pour multiplier entre elles deux sommes algébriques, on multiplie chaque terme de la 1 ère par chaque terme de la seconde et on additionne les résultats obtenus. Exemple : ( 6-2 c ) ( 3 a - 5 b ) = 18 a - 30 b - 6 a c + 10 b c CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 14
16 Exemple 3 : Développons l expression suivante : ( 4 a - 1 ) ( 5 a + 4 ) elle se lit «quatre a moins un» facteur de «cinq a plus quatre» elle se calcule en multipliant ( 4 a - 1 ) par ( 5 a + 4 ) ou ( 5 a + 4 ) par ( 4 a - 1 ) Posons l opération sur ce parchemin : 4 a - 1 X 5 a a a 2-5 a 20 a a - 4 D où : ( 4 a - 1 ) ( 5 a + 4 ) = 20 a a - 4 En résumé : Pour multiplier entre elles deux sommes algébriques, on multiplie chaque terme de la 1 ère par chaque terme de la seconde, puis on additionne et on réduit les résultats obtenus. Exemple : ( 6-2 c ) ( 3 c - 5 ) = 18 c c c = 18 c + 10 c c 2 = 28 c c 2 On écrit habituellement : ( 6-2 c ) ( 3 c - 5 ) = - 6 c c - 30 CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 15
17 Maintenant à vous! EXERCICES Exercice 1 : Développez et réduisez les expressions littérales suivantes : Expressions littérales à développer développées et réduites A = ( a + 4 ) ( b - 3 ) B = ( 6 c - 1 ) ( 2 - d ) C = ( 6 a + 8 ) ( 2-3 a ) D = ( x ) ( - 4 x b ) E = ( 6 a a ) ( 5 a - 8 ) Voir réponses page suivante CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 16
18 RÉPONSES Exercice 1 : Développez et réduisez les expressions littérales suivantes : Expressions littérales à développer développées et réduites A = a b - 3 a + 4 b - 12 A = ( a + 4 ) ( b - 3 ) A = - 3 a + 4 b + a b - 12 Convention 1 : on écrit les termes en suivant l ordre alphabétique des lettres, puis on écrit les nombres. B = ( 6 c - 1 ) ( 2 - d ) B = 12 c - 6 c d d B = 12 c + d - 6 c d - 2 C = 12 a - 18 a a C = - 18 a 2-12 a + 16 C = ( 6 a + 8 ) ( 2-3 a ) Convention 2 : on écrit les termes par ordre décroissant des puissances des lettres (ici : d abord les «a 2», puis les «a», puis les nombres). D = - 12 x b - 8 x 2-10 x + 4 b x D = ( x ) ( - 4 x b ) D = - 22 x b - 8 x b x D = - 8 x b - 22 x + 4 b x - 15 E = ( 6 a a ) ( 5 a - 8 ) E = 30 a 3-48 a a 2-64 a E = 30 a 3-8 a 2-64 a Remarque : Ordonner une expression littérale c est écrire cette expression en respectant les deux conventions citées ci-dessus. Très bien! Passons à la suite!! CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 17
19 Exercice 2 : Développez, réduisez et ordonnez les expressions littérales suivantes : A = 6 x 2 + ( 3-2 x ) ( x - 1 ) + 2 x - 14 B = ( 9 b + 7 c - 7) ( 3 - b ) + 13 c b 2 - b c + 22 C = a 2 ( 5 a + 8 ) - ( 4 a - 5 ) ( a a ) + 6 a ( a 2-9 ) D = - 3 (- 2 x + 7 ) ( 4 x 2 + x - 1 ) - 24 x x 2 - ( 50 x + 21 ) E = ( 2 x - y ) ( 5 x y - 13 ) + ( 9 x y - 1 ) ( x + 2 y ) + x x 2 y 2-6 x 2 y F = x + 5 ( 5 x + 3 ) ( - x + 9 ) - 6 ( x + 7 ) ( x - 7 ) + 31 x 2-14 x + 7 Voir réponses pages 19 et 20 CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 18
20 RÉPONSES Exercice 2 : Développez, réduisez et ordonnez les expressions littérales suivantes : A = 6 x 2 + ( 3-2 x ) ( x - 1 ) + 2 x ) développons les produits de facteurs : A = 6 x x x x + 2 x ) regroupons les termes de même nature : A = 6 x 2-2 x x + 2 x + 2 x ) réduisons et ordonnons l expression littérale : A = 4 x x - 17 A = 6 x 2 + ( 3-2 x ) ( x - 1 ) + 2 x - 14 = 4 x x - 17 Appliquons les mêmes règles pour les expressions littérales suivantes. B = ( 9 b + 7 c - 7) ( 3 - b ) + 13 c b 2 - b c + 22 B = 27 b - 9 b c - 7 b c b + 13 c b 2 - b c + 22 B = - 9 b b c b + 7 b + 21 c - 7 b c - b c B = 13 c b + 21 c - 8 b c + 1 B = ( 9 b + 7 c - 7) ( 3 - b ) + 13 c b 2 - b c + 22 = 13 c b + 21 c - 8 b c + 1 C = a 2 ( 5 a + 8 ) - ( 4 a - 5 ) ( a a ) + 6 a ( a 2-9 ) C = 5 a a 2 - ( 4 a a 2-5 a 2-10 a ) + 6 a 3-54 a C = 5 a a 2 - ( 4 a a 2-10 a ) + 6 a 3-54 a C = 5 a a 2-4 a 3-3 a a + 6 a 3-54 a C = 5 a 3-4 a a a 2-3 a a - 54 a C = 7 a a 2-44 a C = a 2 ( 5 a + 8 ) - ( 4 a - 5 ) ( a a ) + 6 a ( a 2-9 ) = 7 a a 2-44 a CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 19
21 D = - 3 (- 2 x + 7 ) ( 4 x 2 + x - 1 ) - 24 x x 2 - ( 50 x + 21 ) D = - 3 ( - 8 x 3-2 x x + 28 x x - 7 ) - 24 x x 2-50 x - 21 D = 24 x x 2-6 x - 84 x 2-21 x x x 2-50 x - 21 D = 24 x 3-24 x x 2-84 x x 2-6 x - 21 x - 50 x D = - 66 x 2-77 x D = - 3 (- 2 x + 7 ) ( 4 x 2 + x - 1 ) - 24 x x 2 - ( 50 x + 21 ) = - 66 x 2-77 x E = ( 2 x - y ) ( 5 x y - 13 ) + ( 9 x y - 1 ) ( x + 2 y ) + x x 2 y 2-6 x 2 y E = 10 x 2 y - 26 x - 5 x y y + 9 x 2 y + 18 x y 2 - x - 2 y + x x 2 y 2-6 x 2 y E = x x 2 y x 2 y + 9 x 2 y - 6 x 2 y - 5 x y x y 2-26 x - x + 13 y - 2 y E = x x 2 y x 2 y + 13 x y 2-27 x + 11 y E = x x 2 y x 2 y + 13 x y 2-27 x + 11 y F = x + 5 ( 5 x + 3 ) ( - x + 9 ) - 6 ( x + 7 ) ( x - 7 ) + 31 x 2-14 x + 7 F = x + 5 ( - 5 x x - 3 x + 27 ) - 6 ( x 2-7 x + 7 x - 49 ) + 31 x 2-14 x + 7 F = x + 5 ( - 5 x x + 27 ) - 6 ( x 2-49 ) + 31 x 2-14 x + 7 F = x - 25 x x x x 2-14 x + 7 F = - 25 x 2-6 x x 2 + x x - 14 x F = 197 x F = x + 5 ( 5 x + 3 ) ( - x + 9 ) - 6 ( x + 7 ) ( x - 7 ) + 31 x 2-14 x + 7 = 197 x Fin CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n 3 20
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