LES IDÉAUX MINIMAUX DANS LES ANNEAUX ASSOCIATIFS 1

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1 LES IDÉAUX MINIMAUX DANS LES ANNEAUX ASSOCIATIFS 1 JEAN DIEUDONNé 1. On sait que les idéaux minimaux jouent un rôle fondamental dans l'étude classique des algèbres (associatives) de rang fini, et plus généralement dans celle des anneaux d'artin (anneaux satisfaisant à la condition minimale pour les idéaux). J'ai montré en 1942 [2] comment la considération de ces idéaux dans un anneau (associatif) quelconque conduit aussi à des résultats intéressants, et permet entre autres de définir une classe nouvelle d'anneaux simples, qui généralisent directement les anneaux de matrices classiques, mais où la condition minimale n'est plus vérifiée. Au cours de ses importantes recherches sur la notion de "radical" et de "semi-simplicité", N. Jacobson est parvenu indépendamment, en 1945, à une partie de mes résultats, qu'il a étendus en 1947 à la catégorie des anneaux "primitifs" introduite par lui ([3], [4], et [5]). Je me propose dans ce qui suit de rappeler brièvement les points essentiels de la théorie des idéaux minimaux, et de montrer comment on peut déduire directement de mes résultats de 1942 ceux obtenus par Jacobson en 1947, ainsi que des théorèmes s'appliquant à des catégories d'anneaux plus générales. 2. Un idéal minimal à droite (resp. gauche) d'un anneau A est un sousmodule simple de A, considéré comme A-module à droite (resp. gauche). Si r est un tel idéal, on a r 2 = r ou r 2 = 0; si r, r' sont deux idéaux à droite minimaux isomorphes (en tant que A -modules), tout isomorphisme de r sur r' est de la forme x > ax (avec a G r'); en outre, on a rr' = r si r' est idempotent, rr' = 0 si x' est nilpotent. La somme de tous les idéaux minimaux à droite (resp. gauche) d'un anneau A est ce que j'ai appelé le socle droit (resp. gauche) de A. Si XQ est un idéal minimal à droite de A, la somme des idéaux à droite minimaux de A isomorphes à r 0 est appelée un pied du socle droit S. On démontre les propriétés suivantes [2] : (a) Tout pied du socle droit S est un idéal bilatère de A, somme directe d'idéaux à droite minimaux de A tous isomorphes; S est un idéal bilatère de A, somme directe de ses pieds. (b) Si a est un pied du socle droit S, la somme fj des idéaux à droite minimaux nilpotents contenus dans a est un idéal bilatère de A, qui est l'intersection de a et de Pannulateur à droite de a dans A. (c) Si a 2 9 e 0, l'intersection de a et de son annulateur à gauche dans A est réduite à 0. (d) Si a 2 5* 0, tout idéal à droite dans l'anneau a est aussi un idéal à droite dans A. 3. Un anneau A est dit quasi-simple à droite (resp. à gauche) s'il est identique à un des pieds de son socle droit (resp. gauche) et si A 2 9 e 0. Soit K l'opposé du 1 Cette communication était mentionnée sur le programme imprimé sous le titre Minimal ideals. 44

2 LES IDÉAUX MINIMAUX DANS LES ANNEAUX ASSOCIATIFS 45 corps des endomorphismes d'un idéal à droite minimal de A. On démontre qu'il existe un espace vectoriel à gauche E sur K et un sous-espace vectoriel E f de l'espace dual E* de E (espace vectoriel à droite sur K), non réduit à 0, tels que A soit isomorphe à l'anneau %(E, E') des endomorphismes u de E, tels que u~ l (Qi) soit l'intersection d'un nombre fini d'hyperplans de la forme a/' /_1 (0), où x f G E f (ce qui implique que u est de mng fini) ; inversement, tout anneau %(E, E f ) défini de cette façon est quasi-simple à droite. Tout idéal à droite de %(E, E f ) peut être défini de la façon suivante: c'est l'ensemble des endomorphismes u G %(E, E') tels que u(e) Cl H, où H est un sous-espace vectoriel quelconque de E. Si on tient compte des propriétés (a) et (d) du 2, on voit que la structure du socle droit d'un anneau quelconque peut être considérée comme complètement déterminée. 4. Pour qu'un anneau %(E, E 1 ) soit simple, il faut et il suffit que la relation (x, x') = 0 pour tout x r G E f entraîne x = 0 dans E. Alors E peut être considéré comme sous-espace du dual E'* de E f, et on montre que l'application qui, à tout endomorphisme u G %(E, E r ), fait correspondre son transposé l u, est un isomorphisme de %(E, E f ) sur l'anneau opposé de %(E', E). Cela montre en particulier que %(E, E') a alors des idéaux minimaux à gauche, tous isomorphes, et est somme de ses idéaux minimaux à gauche (autrement dit, est identique à un pied de son socle gauche). Si on considère sur E la topologie a(e, E f ) (topologie de la convergence simple dans E r ), %(E, E') peut encore être défini comme l'anneau des endomorphismes continus de E qui sont de rang fini. La topologie de la convergence uniforme dans E est compatible avec la structure d'anneau de % (E, E f ), et un système fondamental de voisinages de 0 pour cette topologie est formé des annulateurs à droite des parties finies de %(E, E f ) (qui sont des idéaux à droite de $(E, E')). Soit Ë le complété de E (pour la topologie cr(e, E')), identique au dual algébrique E f * de E f ; le complété de l'anneau topologique ^(E, E') peut être identifié à l'anneau ( ($, E f ) de tous les endomorphismes de È continus pour la topologie cr(ë, E'). U convient de noter que le socle droit de &(Ê, E') est %(Ê, E'), qui contient %(E, E') et en est en général distinct; on vérifie en outre aisément que tout idéal à droite minimal dans E(Ë, E f ) est fermé dans cet anneau. Enfin, les sous-anneaux de (&(É, E'), dont le socle est %(E, E f ), peuvent être caractérisés comme les sous-anneaux (contenant $(E, E')) de l'anneau &(E, E') des endomorphismes continus de Vespace E: en effet, si u est un endomorphisme continu de Ê tel que, pour un x G E, on ait u(x) = a $ E, pour l'idéal à droite minimal r C $(E, E') formé des endomorphismes v tels quev(e) ClKx, wrest un idéal minimal de E(JË, E') qui n'est pas contenu dans %(E, E'). 6. Après cette étude des anneaux quasi-simples et des anneaux simples ayant des idéaux minimaux, revenons à l'étude des socles d'un anneau quelconque A. Si A possède des idéaux minimaux nilpotents, les relations entre socle droit et socle gauche de A sont assez complexes (voir [1] pour l'étude du cas où A est

3 46 JEAN DIEUDONNÉ un anneau d'artin). Toutefois, si a est un pied du socle droit S de A ne contenant pas d'idéal nilpotent, a est aussi un pied du socle gauche S f de A : en effet, û est alors un anneau simple, donc contient des idéaux à gauche minimaux ( 4); en outre, si I est un idéal à gauche minimal dans Vanneau a, al est un idéal à gauche dans A, contenu dans ï, et qui ne peut être réduit à 0, puisque l'annulateur à droite de a a une intersection avec a réduite à 0 ( 2 b) ; on a donc al = I, ce qui prouve que tout idéal à gauche dans a est aussi un idéal à gauche dans A, et par suite que a est un pied de S'. 6. Nous" allons, nous-borner désormais à l'étude des j anneaux. A ne, contenant pas d'idéaux nilpotents. U résulte du 5 que, dans un tel anneau, les socles droit et gauche sont identiques à un même idéal bilatère S, et que S est somme directe d'anneaux simples de la forme }$(E a, E a ). Désignons par T Vannulateur à droite de AS dans A; c'est un idéal bilatère de A, et on a S fl T = 0 puisqu'il n'y a pas d'idéaux nilpotents dans A; donc TS d S H T = 0, ce qui montre que T est aussi l'annulateur à gauche de S. Cela étant, considérons sur A la topologie T dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé des annulateurs à droite des parties finies de S + T. Cette topologie est compatible avec la structure d'anneau de A : en effet, comme tout voisinage de 0 du système précédent est un idéal à droite, pour tout zo G A, y» yxo est continue au point y = 0, et (x, y) > xy continue au> point (0, 0) ; enfin y» x Q y est continue au point y = 0, car si a G S + T, la relation (axo)y = 0 équivaut à a(x 0 y) = 0, et ax 0 G S + T. La topologie Test séparée, car l'intersection de tous les voisinages de 0 est un idéal annulant à droite S + T, donc contenu dans T; mais comme il n'y a pas d'idéal nilpotent dans A, cette intersection est réduite à 0. Soit alors Ä le complété de l'anneau topologique A, S et T les adhérences de S et T dans Ä (qui sont isomorphes aux complétés des sous-anneaux S et T de A). On a les propriétés suivantes: (a) Un système fondamental de voisinages de 0 dans Ä est encore constitué par les annulateurs à droite dans Ä des parties finies de S + T; en effet, l'annulateur à droite ti dans Ä d'une partie finie F de S + T contient l'adhérence de l'annulateur à droite r de F dans A; comme r est un idéal ouvert dans A, son adhérence dans Ä est un idéal ouvert dans Ä, et a fortiori Xi est ouvert dans Ä; mais comme A est partout dense dans Ä, cela entraîne que ri est l'adhérence de r. 7 (b) Comme la topologie de Ä est séparée, l'annulateur à droite de S + T dans Ä est réduit à 0. Soit alors ï y* 0 un idéal à gauche dans Ä, et x ^ 0 un élément de I; par hypothèse, il existe a G S + T tel que ax 9 e 0; comme A est partout dense dans Ä, il existe y G A tel que a (x y) = 0, d'où ay = ax 9* 0; mais ax G ï, donc ay G ï fl A 2 ; en d'autres termes, I fl A 2 n'est pas réduit à Û. Cela montre aussitôt en particulier que Ä ne contient pas d'idéaux nilpotents. (c) La topologie induite par 3~sur S est celle pour laquelle un système fondamental de voisinages de 0 est formé des annulateurs à droite (dans S) des parties

4 LES IDÉAUX MINIMAUX DANS LES ANNEAUX ASSOCIATIFS 47 finies de 8. D'après le 4, S est isomorphe à l'anneau produit des anneaux topologiques &(É a, E a ). En particulier, B admet un élément unité e, et la décomposition de Peirce x = ex + (x ex) montre que Ä est somme directe de S et de son annulateur (à gauche et à droite) T\ H> T. (d) L'anneau Ti ne contient pas d'idéaux minimaux (en d'autres termes, tous les idéaux minimaux de A sont contenus dans B). Supposons le contraire, et soit r un idéal à droite de longueur finie dans Ti. Les voisinages de 0 dans r pour la topologie induite par celle de Ä sont des idéaux à droite dans Ti, donc leur longueur est bornée par celle de r, et une suite strictement décroissante de tels idéaux est donc finie, ce qui prouve que la topologie induite sur r est discrète. Nous allons en déduire que r fi T = 0. En effet, dans le cas contraire, x Ci T serait un idéal à droite non nul de T; comme r est discret, tout idéal à droite r' de T contenu dans r H T 7 est identique à son adhérence dans r; mais cette adhérence est l'intersection de r et de l'adhérence de r' dans A, et par suite c'est un idéal à droite dans Ti ; x fi T serait par suite un idéal de longueur finie dans T. Or, il n'existe aucun idéal 9*0 de cette nature dans T: en effet, si ri est un idéal à droite minimal dans T, x±t n'est pas nul, puisqu'aucun élément 9*0 de T n'annule T; XiT est alors un idéal à droite dans A, contenu dans T et par suite égal à ri, et ri est alors un idéal à droite minimal dans A, ce qui est contraire à la définition de T. Considérons alors le socle U de Ti ; s'il n'était pas nul, chacun de ses éléments 9*0 appartiendrait à un idéal à droite de T\, de longueur finie, donc ne serait pas dans T\ autrement dit, on aurait U fi T = 0; mais cela est contradictoire avec (b), puisque U est un idéal à gauche dans Ä. (e) Si l'anneau A est sans radical (au sens de Chevalley-Jacobson) il en est de même de Ä. Remarquons d'abord que le radical de A est toujours contenu dans T, et celui de Ä dans T\ ; tout revient donc à prouver que si T est sans radical, il en est de même de Ti. Soit Ri le radical de Ti ; s'il est 9*0, comme c'est un idéal à gauche de Ä, sa trace sur T n'est pas nulle d'après (b), donc R = Ri fl T, qui est le radical de T, n'est pas nul; nous allons en déduire que le radical de T n'est pas nul. D'après (b), R fi T 2 n'est pas nul; soit z 9* 0 un de ses éléments. Par hypothèse, lorsque y parcourt T, l'ensemble des y + yz est identique à T [4, pp ]; lorsque x parcourt T, l'ensemble des x + xz est donc partout dense dans T. Soient alors a et & deux éléments quelconques de T 7 ; par définition de la topologie de T, il exister G T tel que a(b x xz) = 0, c'est-à-dire ab = (ax) + (ax)z. L'ensemble des u-}- uzoùu T, contient donc T 2, et en particulier, il existe u G T tel que z u + uz, autrement dit, z a un quasi-inverse à gauche dans T. Pour tout c G T 7, on a encore cz G R H T 2, donc cz a aussi un quasi-inverse à gauche dans T, ce qui prouve que z appartient au radical de T [4, pp ]. 7. Si T = 0, on a JTI = 0, car Ti, idéal à gauche de Ä, doit avoir d'après le 6 (b), une intersection avec A non réduite à 0 s'il est lui-même 9*0; dans ce cas, on a Ä = B, d'où S CZ A CZ 3, on retrouve un résultat récent de P.

5 48 JEAN DIEUDONNÉ Jaffard [6] ; en particulier, si A est primitif et admet des idéaux minimaux, on obtient la caractérisation de ces anneaux donnée par N. Jacobson [5]. Mais en général, lorsque T 9* 0, on peut avoir T 9* Ti 2 Remarquons que, dans Ä, l'annulateur de T (à droite et à gauche) est S, car il contient S et ne peut contenir aucun élément 9*0 de Ti, sans quoi son intersection avec Ti serait un idéal à gauche 9*0 dans Ä, et aurait donc une intersection 9*0 avec T ( 6 (b)) ce qui est contraire à l'hypothèse. L'intersection S fi A = ASO est donc l'annulateur de T dans A (à droite et à gauche) ; on peut aussi le caractériser comme le plus grand idéal de A (à droite ou à gauche) contenant S et ne contenant aucun élément annulant S (à droite ou à gauche) : car si un idéal à gauche a contient S et un élément x Q $ So, il contient Tx 0, qui par hypothèse n'est pas nul et est contenu dans T, donc annule S. Remarquons encore que S est le socle de l'anneau SQ, car si r est un idéal à droite minimal dans So, il contient xs 0, qui n'est pas nul puisque xs 9* 0, donc r = XSQ, et r est un idéal minimal dans A, donc contenu dans S. BIBLIOGRAPHIE 1. J. DiBUDONNB, Sur les systèmes hyper complexes, J. Reine Angew. Math. t. 184 (1942) pp , Sur le socle d f un anneau et les anneaux simples infinis, Bull. Soc. Math. France t. 70 (1942) pp N. JACOBSON, Structure theory of simple rings without finiteness assumptions, Trans. Amer. Math. Soc. t. 57 (1945) pp ' o 4., The radical and semi-simplicity for arbitrary rings, Amer. J. Math. t. 67 (1945) pp , On the theory of primitive rings, Ann. of Math. t. 48 (1947) pp P. JAFFABD, Détermination de certains anneaux, C. R. Acad. Sci. Paris t. 229 (1949) pp UNIVEESITY OP NANCY, NANCY, FRANCE. 2 Soit E un espace vectoriel admettant une base dénombrable (e n ), et soit E' le sousespace du dual E* engendré par les formes coordonnées e n. Dans le produit S (E, E') X Z, où Z est Panneau des entiers rationnels, le socle JS est g(i, E')\ soit A le sous-anneau de ce produit engendré par les éléments (s, 2n), où s Ç $(E, E') et n G Z, et par l'élément {u, 1), où u est l'application linéaire de E dans lui-même définie par u(e n ) = e n+ i pour tout n. Comme u n tend vers 0 dans Qi(E, E') lorsque n croît indéfiniment, on voit aisément que T se compose des éléments (0, 2n), tandis que T\ est formé des éléments (0,n).