GREYC, université de Caen. Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.1/20

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1 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes Loïck LHOTE et Brigitte VALLÉE GREYC, université de Caen Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.1/20

2 Analyse Dynamique analyse classique Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.2/20

3 Analyse Dynamique analyse Dynamique Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.2/20

4 Analyse Dynamique analyse Dynamique+constantes Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.2/20

5 Systèmes Dynamiques (SD) un intervalle I I Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.3/20

6 Systèmes Dynamiques (SD) un intervalle I une partition P = (I a ) a A de I I a I b ex: P = (I a,i b ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.3/20

7 Systèmes Dynamiques (SD) T un intervalle I une partition P = (I a ) a A de I ex: P = (I a,i b ) une fonction T (ou shift) surjective par morceaux st. monotone par morceaux I a I b Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.3/20

8 Systèmes Dynamiques (SD) un intervalle I une partition P = (I a ) a A de I ex: P = (I a,i b ) I a a I b b une fonction T (ou shift) surjective par morceaux st. monotone par morceaux un codage de la partition ex: I a a, I b b Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.3/20

9 Mots a x b M(x) = Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.4/20

10 Mots a x b M(x) = a Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.4/20

11 Mots a x b M(x) = a b Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.4/20

12 Mots a x b M(x) = a b a Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.4/20

13 Mots a x b M(x) = a b a a Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.4/20

14 Mots a x b M(x) = a b a a... Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.4/20

15 Ex: SD des Fractions Continues intervalle: I = [0,1] [ ] partition: I j = 1 j+1, 1 j shift: T FC (x) = { } 1 x codage: I j j M(x) = Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.5/20

16 Ex: SD des Fractions Continues M(x) = x= intervalle: I = [0,1] [ ] partition: I j = 1 j+1, 1 j shift: T FC (x) = { } 1 x codage: I j j Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.5/20

17 Exemple 1 d utilisation Système Dynamique= source Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.6/20

18 Exemple 1 d utilisation Système Dynamique= source paramètres de la source? entropie, proba. de 2-coïncidence,... action sur les structures? hauteur moyenne des tries, longueur moyenne de cheminement,.. Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.6/20

19 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

20 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

21 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 a 1 = a 2 q 2 + a 3 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

22 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 a 1 = a 2 q 2 + a 3. a p 1 = a p q p + 0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

23 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 a 1 = a 2 q 2 + a 3. a p 1 = a p q p + 0 Retourner a p Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

24 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 T FC ( a 1 a 0 ) = a 2 a 1 a 1 = a 2 q 2 + a 3. a p 1 = a p q p + 0 Retourner a p Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

25 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 a 1 = a 2 q 2 + a 3. T FC ( a 1 a 0 ) = a 2 a 1 T FC ( a 2 a 1 ) = a 3 a 2 a p 1 = a p q p + 0 Retourner a p Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

26 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 a 1 = a 2 q 2 + a 3. T FC ( a 1 a 0 ) = a 2 a 1 T FC ( a 2 a 1 ) = a 3. a 2 a p 1 = a p q p + 0 T FC ( a p a p 1 ) = 0 Retourner a p Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

27 Exemple 2 d utilisation: algorithmes euclidiens Algorithme d Euclide classique Départ: (a 0,a 1 ) avec a 0 a 1 > 0 a 0 = a 1 q 1 + a 2 a 1 = a 2 q 2 + a 3. T FC ( a 1 a 0 ) = a 2 a 1 T FC ( a 2 a 1 ) = a 3. a 2 a p 1 = a p q p + 0 T FC ( a p a p 1 ) = 0 Retourner a p se généralise à tous les algorithmes euclidiens Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.7/20

28 operateurs de transfert T notation: h m = T 1 I m I 1 I 2 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.8/20

29 operateurs de transfert f 1? T notation: h m = T 1 I m densité initiale f 0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.8/20

30 operateurs de transfert f 1? T notation: h m = T 1 I m transformateur de densité f 1 = G[ f 0 ] = m A h m f 0 h m densité initiale f 0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.8/20

31 operateurs de transfert f 1? T notation: h m = T 1 I m transformateur de densité f 1 = G[ f 0 ] = m A h m f 0 h m perturbation opérateurs de transfert G s [ f ] = m A h m s f h m densité initiale f 0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.8/20

32 operateurs de transfert f 1? T notation: h m = T 1 I m transformateur de densité f 1 = G[ f 0 ] = m A h m f 0 h m perturbation opérateurs de transfert G s [ f ] = m A h m s f h m densité initiale f 0 généralisation opérateurs contraints Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.8/20

33 exemples operateurs de transfert Branches inverses: h m (x) = 1, m > 0, x [0,1]. m + x Opérateur de transfert G s [ f ](x) = m>0 1 (m + x) 2s f ( 1 m + x ) Opérateur de transfert contraint 1 G s [ f ](x) = m pair (m + x) 2s f ( 1 m + x ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.9/20

34 Utilisation des opérateurs de transfert Exemple pour les algorithmes euclidiens: Série de Dirichlet de coût: F C (s) = (u,v) Ω C(u, v) v s = n 1 x n n s Pour C(u,v) = 1 F C (s) = (u,v) Ω 1 v s = (I G s/2) 1 [1](0) singularité simple en s = 2 x n = O(n(logn) 0 ) (en fait = n 1) Pour C(u,v) = coût en bits sur l entrée (u,v) F C (s) = (I G s/2 ) 1... (I G s/2 ) 1... (I G s/2 ) 1 [1](0) singularité triple en s = 2 x n = O(n(logn) 2 ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.10/20

35 Analyse Dynamique analyse Dynamique+constantes Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.11/20

36 Spectre des opérateurs de transfert spectre des opérateurs de transfert (sur un espace fonctionnel convenable): Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.12/20

37 Objectif Proposer une méthode générale pour calculer λ(s). Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.13/20

38 Objectif Proposer une méthode générale pour calculer λ(s). Application au calcul de trois types de constantes: λ(a) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.13/20

39 Objectif Proposer une méthode générale pour calculer λ(s). Application au calcul de trois types de constantes: λ(a) λ (a), λ (a) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.13/20

40 Objectif Proposer une méthode générale pour calculer λ(s). Application au calcul de trois types de constantes: λ(a) λ (a), λ (a) a tel que λ(a) = 1 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.13/20

41 constantes de type λ(a) λ(2)= probabilité de 2-coïncidence liée à la probabilité que deux mots commencent par le même préfixe Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.14/20

42 constantes de type λ(a) λ(2)= probabilité de 2-coïncidence liée à la probabilité que deux mots commencent par le même préfixe exemple: structure de trie code les dictionnaires Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.14/20

43 constantes de type λ(a) λ(2)= probabilité de 2-coïncidence liée à la probabilité que deux mots commencent par le même préfixe structure de trie: code les dictionnaires hauteur moyenne 2logn/ logλ(2) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.14/20

44 constantes de type λ(a) λ(2)= probabilité de 2-coïncidence liée à la probabilité que deux mots commencent par le même préfixe structure de trie: code les dictionnaires hauteur moyenne 2logn/ logλ(2) Algorithme de Gauss (LLL) λ(r) comparaison de deux nombres Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.14/20

45 constantes de type λ (a),λ (a) λ (1)= entropie de la source (du SD) mesure l incertitude de la source la source qui produit a ou b uniformement est plus incertaine que la source qui produit a avec proba 1/4 et b avec proba 3/4 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.15/20

46 constantes de type λ (a),λ (a) λ (1)= entropie de la source (du SD) mesure l incertitude de la source la source qui produit a ou b uniformement est plus incertaine que la source qui produit a avec proba 1/4 et b avec proba 3/4 influence sur les tries: longueur moyenne de cheminement (nlogn)/λ (1) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.15/20

47 constantes de type λ (a),λ (a) Algorithme d Euclide classique: Le nombre d étapes est asymptotiquement gaussien Sur des entrées (u,v) telles que 0 < u < v N, on a Espérance: Variance: E[X N ] 1 λ (1) log(n) Var[X N ] c H log(n) = 2 λ (1) λ (1) 2 avec c H la constante de Hensley. λ (1) 3 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.16/20

48 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.17/20

49 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor ex: ensemble triadique de Cantor Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.17/20

50 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor ex: ensemble triadique de Cantor 1 intervalle de longueur 1 2 intervalles de longueur 1/3 4 intervalles de longueur 1/9. 2 n intervalles de longueur (1/3) n Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.17/20

51 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor ex: ensemble triadique de Cantor 1 intervalle de longueur 1 2 intervalles de longueur 1/3 4 intervalles de longueur 1/9. 2 n intervalles de longueur (1/3) n compact, non dénombrable mais mesure= lim2 n ( 1 3 )n = 0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.17/20

52 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor ex: ensemble triadique de Cantor 1 intervalle de longueur 1 2 intervalles de longueur 1/3 4 intervalles de longueur 1/9. 2 n intervalles de longueur (1/3) n compact, non dénombrable mais mesure= lim2 n ( 1 3 )n = 0 Comment mesurer cet ensemble? Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.17/20

53 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor Comment mesurer cet ensemble? Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.18/20

54 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor Comment mesurer cet ensemble? mesure= lim2 n ( 1 3 )n Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.18/20

55 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor Comment mesurer cet ensemble? mesure= lim2 n ( 1 3 )ns Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.18/20

56 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor Comment mesurer cet ensemble? mesure= lim2 n ( 1 3 )ns log2 log3 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.18/20

57 constantes de type a tq λ(a) = 1 dimension de Hausdorff d ensemble de Cantor Comment mesurer cet ensemble? mesure= lim2 n ( 1 3 )ns mesure=1 dimension de Hausdorff= log2 log3 log2 log3 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.18/20

58 lien avec les SD Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.19/20

62 lien avec les SD opérateur de transfert G s [ f ] = 1 3 s f ( x 3 ) s f ( x 1 3 ) s f ( x 2 3 ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.19/20

63 lien avec les SD opérateur de transfert G s [ f ] = 1 3 s f ( x 3 ) s f ( x 1 3 ) s f ( x 2 3 ) opérateur de transfert contraint G s [ f ] = 1 3 f ( x s 3 ) f ( x 2 s 3 ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.19/20

64 lien avec les SD opérateur de transfert G s [ f ] = 1 3 s f ( x 3 ) s f ( x 1 3 ) s f ( x 2 3 ) opérateur de transfert contraint G s [ f ] = 1 3 f ( x s 3 ) f ( x 2 s 3 ) unique valeur propre dominante λ(s) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.19/20

65 lien avec les SD opérateur de transfert G s [ f ] = 1 3 s f ( x 3 ) s f ( x 1 3 ) s f ( x 2 3 ) opérateur de transfert contraint G s [ f ] = 1 3 f ( x s 3 ) f ( x 2 s 3 ) unique valeur propre dominante λ(s) dim. de Hausdorff= s tel que λ(s) = 1 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.19/20

66 lien avec les SD opérateur de transfert G s [ f ] = 1 3 s f ( x 3 ) s f ( x 1 3 ) s f ( x 2 3 ) opérateur de transfert contraint G s [ f ] = 1 3 f ( x s 3 ) f ( x 2 s 3 ) unique valeur propre dominante λ(s) dim. de Hausdorff= s tel que λ(s) = 1 Généralisable à tout SD ayant au moins 3 branches Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.19/20

67 Objectif Proposer une méthode générale pour calculer λ(s). Application au calcul de trois types de constantes: λ(a) λ (a), λ (a) a tel que λ(a) = 1 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.20/20

68 Objectifs Objectif: proposer une methode pour le calcul (numérique) prouvé des trois types de constantes. Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.21/20

69 Objectifs Objectif: proposer une methode pour le calcul (numérique) prouvé des trois types de constantes. Pour tous les SD? Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.21/20

70 Objectifs Objectif: proposer une methode pour le calcul (numérique) prouvé des trois types de constantes. Pour tous les SD? NON Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.21/20

71 Objectifs Objectif: proposer une methode pour le calcul (numérique) prouvé des trois types de constantes. Pour tous les SD? NON Propriété de contraction Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.21/20

72 Propriétés de contraction pas de point fixe indifférent avec sans Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.22/20

73 Propriétés de contraction pas de point fixe indifférent avec sans conséquence: ralentissement des algorithmes Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.22/20

74 Propriétés de contraction Condition suffisante: contraction h i (D g ) D g Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.23/20

75 Propriétés de contraction Condition suffisante: contraction h i (D g ) D g condition de contraction forte h i (D g ) D p Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.23/20

76 DFV méthode DFV= Daudet, Flajolet et Vallée Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.24/20

77 DFV méthode DFV= Daudet, Flajolet et Vallée méthode utilisée mais non prouvée Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.24/20

78 DFV méthode DFV= Daudet, Flajolet et Vallée méthode utilisée mais non prouvée Sur un espace convenable, G s est une matrice infinie Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.24/20

79 DFV méthode DFV= Daudet, Flajolet et Vallée méthode utilisée mais non prouvée Sur un espace convenable, G s est une matrice infinie calcul de valeurs propres facile ssi on a des matrices finies Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.24/20

80 DFV méthode DFV= Daudet, Flajolet et Vallée méthode utilisée mais non prouvée Sur un espace convenable, G s est une matrice infinie calcul de valeurs propres facile ssi on a des matrices finies Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.24/20

81 DFV méthode: théorie G s : A (D p ) A (D g ) A (D g ) avec A (D) = {fonctions holomorphes sur D et continues sur le bord} Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.25/20

82 DFV méthode: théorie G s : A (D p ) A (D g ) A (D g ) avec A (D) = {fonctions holomorphes sur D et continues sur le bord} toute fonction de A (D) s écrit f (z) = a k (z x 0 ) k k 0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.25/20

83 DFV méthode: théorie G s : A (D p ) A (D g ) A (D g ) avec A (D) = {fonctions holomorphes sur D et continues sur le bord} toute fonction de A (D) s écrit opérateur de troncature: f (z) = a k (z x 0 ) k k 0 π n [ f ](s) = n a k (z x 0 ) k k=0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.25/20

84 DFV méthode: théorie G s : A (D p ) A (D g ) A (D g ) avec A (D) = {fonctions holomorphes sur D et continues sur le bord} toute fonction de A (D) s écrit opérateur de troncature: M n = π n G s π n f (z) = a k (z x 0 ) k k 0 π n [ f ](s) = n a k (z x 0 ) k k=0 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.25/20

85 Analyse fonctionnelle cercle C comme dans le dessin Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.26/20

86 Analyse fonctionnelle cercle C comme dans le dessin on pose α C = sup (M z Id) 1 z C Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.26/20

87 Analyse fonctionnelle cercle C comme dans le dessin on pose α C = sup (M z Id) 1 z C Si { 1 M M n min, 2α C 1 2r C αc 2, 1 8r 2 α 3 C } Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.26/20

88 Analyse fonctionnelle Alors M n admet une unique valeur propre λ n (s) dans C et λ n (s) λ(s) 2rα C M n M Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.27/20

89 Premier résultat Premier résultat: M n M K ( ) n Rp R g Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.28/20

90 Premier résultat Premier résultat: M n M K ( ) n Rp R g conséquence: la précision obtenue sur λ(s) est linéaire en la taille de la matrice Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.28/20

91 Premier résultat Premier résultat: M n M K ( ) n Rp R g conséquence: la précision obtenue sur λ(s) est linéaire en la taille de la matrice corollaire: Si les M n sont calculables en temps polynomial, λ(s) est calculable en temps polynomial. Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.28/20

92 vers des résultats numériques Problèmes: déterminer un cercle C Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.29/20

93 vers des résultats numériques Problèmes: déterminer un cercle C calculer α C Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.29/20

94 vers des résultats numériques Problèmes: déterminer un cercle C calculer α C Le problème reste ouvert dans le cadre général des systèmes dynamiques à forte contraction Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.29/20

95 vers des résultats numériques Problèmes: déterminer un cercle C calculer α C Le problème reste ouvert dans le cadre général des systèmes dynamiques à forte contraction cas de la source des fractions continues Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.29/20

96 Cercle C Cercle C: estimation simple de λ(s) minoration du saut spectral Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.30/20

97 Cercle C Cercle C: estimation simple de λ(s): Si µ G s[ f ] f ν, alors µ λ(s) ν minoration du saut spectral Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.30/20

98 Cercle C Cercle C: estimation simple de λ(s) Si µ G s[ f ] f ν, alors µ λ(s) ν minoration du saut spectral TrG 2 s = λ vp de Gs λ 2 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.30/20

99 Cercle C Cercle C: estimation simple de λ(s) Si µ G s[ f ] f ν, alors µ λ(s) ν minoration du saut spectral TrG 2 s = λ vp de Gs λ 2 γ 2 TrG 2 s λ(s) 2 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.30/20

100 Cercle C Cercle C: estimation simple de λ(s) Si µ G s[ f ] f ν, alors µ λ(s) ν minoration du saut spectral TrG 2 s = λ vp de Gs λ 2 γ 2 TrG 2 s λ(s) 2 TrG 2 s est calculable en temps polynomial Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.30/20

101 Constante α C α C = sup (G s zi) 1 z C Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.31/20

102 Constante α C α C = sup (G s zi) 1 z C Pb: en général difficile à calculer sauf si l opérateur satisfait une propriété de normalité. (G s zi) 1 = 1 dist(c,spectre) = 1 r C Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.31/20

103 Constante α C α C = sup (G s zi) 1 z C Pb: en général difficile à calculer sauf si l opérateur satisfait une propriété de normalité. (G s zi) 1 = 1 dist(c,spectre) = 1 r C Pb: G n est pas normal sur A (D p ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.31/20

104 Constante α C α C = sup (G s zi) 1 z C Pb: en général difficile à calculer sauf si l opérateur satisfait une propriété de normalité. (G s zi) 1 = 1 dist(c,spectre) = 1 r C Pb: G n est pas normal sur A (D p ) G s est normal sur un autre espace H Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.31/20

105 Constante α C α C = sup (G s zi) 1 z C Pb: en général difficile à calculer sauf si l opérateur satisfait une propriété de normalité. (G s zi) 1 = 1 dist(c,spectre) = 1 r C Pb: G n est pas normal sur A (D p ) G s est normal sur un autre espace H + relations: H A (D g ) et G s [A (D g )] H Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.31/20

106 Constante α C α C = sup (G s zi) 1 z C Pb: en général difficile à calculer sauf si l opérateur satisfait une propriété de normalité. (G s zi) 1 = 1 dist(c,spectre) = 1 r C Pb: G n est pas normal sur A (D p ) G s est normal sur un autre espace H + relations: H A (D g ) et G s [A (D g )] H borne sur (G s zi) 1 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.31/20

107 Résultat 2 Dans le cadre des Fractions Continues, λ(s) est calculable numériquement en temps polynomial Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.32/20

108 Constantes de type λ(a) probabilité de 2-coïncidence λ(2) = 0.51 λ(s) s Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.33/20

109 Constantes de type a tq λ(a) = 1 A N Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.34/20

110 Constantes de type a tq λ(a) = 1 A N E A = {x [0,1] développement en fraction continue contraint à A} Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.34/20

111 Constantes de type a tq λ(a) = 1 A N E A = {x [0,1] développement en fraction continue contraint à A} Opérateurs de transfert concernés: G s [ f ](x) = i A 1 (i + x) 2s f ( 1 i + x ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.34/20

112 calcul numérique prouvé Valeurs pour A = {1,2} digits temps dimension de Hausdorff 5 2mn mn mn h h h Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.35/20

113 Calcul de λ (a), λ (a) Formule de Taylor+inégalité triangulaire λ (1) λ n(1 + h) + λ n (1 h) 2λ n (1) h 2 h2 12 sup λ (4) ]1 h,1+h[ + 1 h 2 [ λ n(1 + h) λ(1 + h) + λ n (1 h) λ(1 h) + λ n (1) λ(1) ] Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.36/20

114 Calcul de λ (a), λ (a) Formule de Taylor+inégalité triangulaire λ (1) λ n(1 + h) + λ n (1 h) 2λ n (1) h 2 h2 12 sup λ (4) ]1 h,1+h[ + 1 h 2 [ λ n(1 + h) λ(1 + h) + λ n (1 h) λ(1 h) + λ n (1) λ(1) ] Etape 1: majorer sup (possible dès que α C est connu) Etape 2: determiner h tel que bleu soit < précision 2 Etape 3: déterminer n tel que rouge soit < précision 2 Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.36/20

115 applications numériques entropie λ (1) = entropie= π2 6log2 constante de Hensley = 2 λ (1) λ (1) 2 λ (1) 3 c H = Première valeur numérique PROUVÉE Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.37/20

116 Conclusion 2 types d algorithmes basés sur la même méthode: des algorithmes théorique: on ne connait pas α C des algorithmes numérique: tout est connu (cas des Fractions Continues) première valeur numérique prouvée pour la constante de Hensley un nouvel algorithme polynomial pour les dimensions de Hausdorff généralisable à d autres problèmes (FC à contraintes périodiques, analyse en distribution d algorithmes Euclidiens,... ) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.38/20

117 A faire Traitement des erreurs de calcul pour le calcul de la matrice pour le calcul de la valeur propre généraliser à d autres SD Résoudre le problème des constantes α C (difficile) Algorithmes polynomiaux pour le calcul numérique prouvé de constantes p.39/20