On souhaite réaliser cette pièce à l aide de tube de diamètre D. On étudie la partie AB, sollicitée en torsion. Données géométriques :

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1 EXERCICE 1 Torsion : (3 points 15 min) On étudie ici une griffe de jardin, outil servant aux jardiniers du dimanche à aérer la terre ou à désherber. En fonctionnement, cet outil est planté (considéré encastré) dans la terre au niveau du point noté A, et l utilisateur exerce deux efforts perpendiculaires au manche (partie DC) aux points D et C que l on estime à 400 maxi chacun. On souhaite réaliser cette pièce à l aide de tube de diamètre D. On étudie la partie AB, sollicitée en torsion. Données géométriques : Données Matériau : ح /3 1. Déterminer le moment de torsion appliqué à la barre AB C est un couple : Déterminer le diamètre minimal du tube permettant la résistance de l outil. Contrainte de cisaillement maxi dans la section : " #$% &'. *, " () + $-# avec./ 0.*1 2+ On en déduit l expression de D : ; &' : 3 17,58 ITII 1/5

2 EXERCICE 2 Traction : (4 points 15 min) Une éprouvette de traction en alliage d aluminium de type AU4G (Caractéristiques matériau : ; ν 0,32 ) de section carrée de coté et de longueur = 200 est soumise à un effort normal de 40. La contrainte σ >?@A vaut 200 MPa et l allongement % admissible vaut 20%, c'est-à-dire C C 0,2. Déterminez taille de la section D mini qu il faut pour respecter la contrainte admissible imposée et la taille de la section E% mini qu il faut pour respecter l allongement admissible imposé. Conclure. A la contrainte admissible : G #$% I $², G $-# 3 4 D 89: 3 14,14 A l allongement admissible : K #$% D :8L, M M.I M.$² N CO C $-# 3 P M.N Q Q O 89: 3 1,581 Conclusion : C est à la contrainte que la dimension de la section est la plus pénalisante. 3 14,14 ITII 2/5

3 EXERCICE 3 Torseur de cohésion : (6 points 45 min) La poutre ci-contre est posée sur deux appuis en A et C, soumise à une charge uniformément répartie R suivant ST de B à C, un couple T (intensité R. = + ) autour de UT en B. 1. Exprimez les actions aux appuis. Système matériel isolé : SMI={La poutre} On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en A autour de UT : Somme des forces sur ST : V W R. X. X V 2. =. YZ [ 0 YZ E V W R. X V YZ [ 0 C V 2 +. R. =² V 2. =. Y Z [ 0 YZ E V R. = V YZ [ 0 2. =. YZ [ \ \ 2 +. R. =+ \R. = + \ 2 +. R. =+ YZ E 5 ]. R. = YZ [ \ ^ ]. R. = 2. Exprimez les éléments différents de zéro du torseur d action de cohésion. Zone AB : Coté gauche _S`ab \cyz E d _S`ab \ 5 ]. R. = C eu`ab \c\yz E. ad eu`ab 5. R. =. a ] Zone BC : Coté droit _S`ab W R. X V YZ [ % _S`ab R. `2. = \ ab \ ^. R. = _S`ab \R. a V 2. R. = ] ] eu`ab W % R. `X \ ab. X V `2. = \ ab. YZ [ eu`ab R. `f%b² + \ ^. `2. = \ ab. R. = ] 3. Tracez les diagrammes de variation des éléments du torseur d action de cohésion en précisant les valeurs particulières. Ty Mfz ITII 3/5

4 EXERCICE 4 : Flexion (7 points 45 min) La poutre métallique ( 200 ) à section carrée de coté ci-contre est soumise à l action d une charge répartie (R 2048 /) orientée suivant l axe ST. Soit g 1,5. On peut montrer que le moment fléchissant est donné par la relation ci-dessous : eu`ab 5.R. + a+ \ 5.R. g. a + 1. Déterminer le lieu (sans calcul) et l expression de la flèche maxi. (Démarche à justifier) Lieu de la flèche maxi : La flèche est maxi au milieu puisque le problème est symétrique dans son chargement et dans sa géométrie. ypothèses : Matériau homogène, continu et isotrope ; Elasticité linéaire ; Petites perturbations Rotation de la section droite par rapport à la fibre neutre négligée. Cela implique que l on néglige l effort tranchant pour traduire le déplacement de la poutre. Ainsi i 0 -j -% k Déformations transversales :.. lm. -j`%bn.. -% n lm. -o`%b eu p.r. -% n a+ \ p.r. g. a n 1 ère intégration :.. lm. -j`%b p.r. -% q a2 \ p.r. g. a² V nd intégration :.. lm. r`ab p.r. n1 a] \ p.r. g. pn a2 V 5. a V + Conditions aux limites pour déterminer les constantes 5 et + En a 0 il y a un appui, donc pas de déplacement r`0b 0. On détermine la constante + :.. lm s 0 p.r. n1 0] \ p.r. g. pn 02 V 5 s 0 V En a g il y a un appui, donc pas de déplacement r`gb 0. On détermine la constante 5 :.. lm s 0 p.r. n1 `gb] \ p.r. g. pn `gb2 V 5 s g 0 5 p.r. g2 n1 Bilan.. lm. r`ab p n1.r. a] \ p pn.r. g. a2 V p n1.r. g2. a.. lm. -j`%b p.r. -% q a2 \ p.r. g. a² V p.r. g2 1 n1 La flèche maximale vaut donc : r N t + O r #$% 5 M.( uv. w p n1.r. Nt + O] \ p pn.r. g. Nt + O2 V p n1.r. g2 s N t + Ox r #$% ^.y.t1 2z].M.( uv ITII 4/5

5 2. La flèche maxi ne doit pas dépasser la portée divisée par Exprimer puis calculer la valeur de minimale. Détermination des dimensions de la section droite On connaît la flèche maxi autorisée : r #$% { t 5 ^.y.t 1 { t 2z].M.( uv 5 Quelle valeur pour.u? Dans le cas d une section carrée s, le moment quadratique.u est donné par la relation :.U $1 5+ Calcul de : 1 { 4 6+^.y.t; ].M { 48,205 ITII 5/5