Sphères et boules. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre.
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- Angèline Coutu
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1 Sphères et boules C H A P I T R E 10 Énigme du chapitre. Les enfants du capitaine Grant font le tour de la terre le long d un parallèle. De retour à leur point de départ, ils ont parcouru 3486 km. À quelle latitude se trouvent-ils? (on pourra prendre km pour longueur de l équateur.) Objectifs du chapitre. Connaître la nature de la section d une sphère par un plan. Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. Représenter la sphère et certains de ses grands cercles.
2 I/ Sphère et boule Activité A. Un nouveau solide Pour décorer le plafond d un gymnase, on suspend des cerceaux en plastique à des tiges métalliques verticales, comme le montre ci-contre. Tige Plafond Cerceau 1. Lorsque le cerceau tourne autour de la tige, il décrit un solide. (a) Ce solide est-il plein ou creux? (b) Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ce solide. En mathématiques, un tel solide s appelle une sphère. (c) Citer des objets de la vie courante pouvant être assimilés à une sphère. 2. On remplace un cerceau par un disque metallique. Lorsque le disque tourne, il décrit un autre solide. (a) Ce solide est-il plein ou creux? (b) Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ce solide. En mathématiques, un tel solide s appelle une boule. (c) Citer des objets de la vie courante pouvant être assimilés à une boule. 3. La figure ci-contre est une représentation d une sphère de rayon 2 cm. (a) En réalité, quelle est la longueur de [AB]? de [F H]?. Justifier les réponses. (b) En réalité, quelle est la nature des triangles AOF et IOB? Justifier les réponses. Citer tous les triangles de la figure qui ont la même nature que ceux-ci. (c) Quelle est la nature du triangle EIG? Justifier la réponse.
3 Définition Dans l espace, La sphère de centre O et de rayon r (r > 0) est l ensemble des points M tels que OM = r. La boule de centre O et de rayon r (r > 0) est l ensemble des points M tels que OM r. Remarques On peut dire que la sphère est l enveloppe de la boule (comme la peau d une orange) tandis que la boule est l intérieur. [AB] est un diamètre de la sphère (segment qui joint 2 points de la sphère passant par le centre de la sphère). Le cercle vert est un grand cercle de la sphère (cercle de centre O et de rayon r). Faire les exercices F
4 II/ Section d une sphère Activité B. Section d une sphère 1. Observation (a) On coupe une orange. Quelle forme voit-on apparaître? Que peut-on dire de la droite passant par le centre de l orange et le centre de la section? (b) On coupe une balle de ping-pong. Quelle est la section apparente? 2. On considère une sphère de centre O et sa section par un plan passant par un point O 0 du diamètre [NS] et perpendiculaire à ce diamètre. (a) M est un point du cercle de section. Que peut-on dire du triangle OO 0 M dans la réalité? (b) Que peut-on dire de la section lorsque le plan passe par le point O? (c) Que peut-on dire de la section lorsque le plan passe par le point N? (d) On a coupé une sphère de centre O et de rayon 5 cm par un plan et on a obtenu un cercle de section de centre O 0 et de rayon 3 cm. À quelle distance OO 0 du centre de la sphère a-t-on coupé? Propriété La section d une sphère de centre O par un plan est un cercle de centre O 0. Lorsque le plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite (OO 0 ) est perpendiculaire au plan de section.
5 Propriété Quand la distance OO 0 correspond au rayon de la sphère, la section est alors réduite au point O 0. On dit que le plan est tangent à la sphère en O 0. Exemple Une sphère de rayon 4 cm est coupée par un plan à 3 cm de son centre. La section d une sphère par un plan est un cercle. M est un point de la section. La droite (OO 0 ) est perpendiculaire au plan de section et en particulier au rayon de la section [O 0 M]. Donc : le triangle OO 0 M est rectangle en O 0. O M O 0 D après le théorème de Pythagore : OM 2 = O 0 M 2 + O 0 O 2 16 = O 0 M O 0 M 2 = 16 9 O 0 M 2 = 7 d où O 0 M = p 7 cm. Le rayon de la section de cette sphère mesure p 7 cm. Remarques Le rayon de la section est toujours plus petit ou égal au rayon de la sphère. Dans le cas où le plan de section passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est égal au rayon de la sphère. La section est alors appelée grand cercle. Faire les exercices F 9 F 10 F Vu au brevet : Faire les exercices 11 F 12 F
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