Jeux stratégiques de marché dans le modèle à générations imbriquées.

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1 Jeux sraégques de marché dans le modèle à généraons mbrquées Francs de MOROGUES GREQAM (UMR CRS 6579), rue de la Charé 300 Marselle Tél: e-mal: Documen de raval du GREQAM 98A09 Résumé: Ce arcle éend l analyse des jeux sraégques de marché au modèle à généraons mbrquées Ce processus d échanges perme de raer des aspecs monéares de l échange neremporel mas auss d analyser un équlbre dynamque de concurrence mparfae Le modèle smple que nous proposons perme l éude de l ensemble des conceps relafs aux relaons neremporelles dans une économe avec une monnae de créd ous donnons les condons d exsence d un équlbre symérque, saonnare e non auarcque e analysons les équlbres non saonnares Absrac: We develop a dynamc equlbrum model of mperfec compeon by embeddng he Shapley-Shubk model of marke games no an overlappng generaons framework The smplcy of he model allows us o sudy he concep of neremporel exchanges wh cred money The exsence of a non rval symmerc and saonnary equlbrum s shown here Mos-clés: Equlbre général, Concurrence mparfae, Généraons mbrquées, monnae Keywords: General equlbrum, Imperfec compeon, Overlappng generaons, money JEL Classfcaon umbers: D50, D9, C7 Je ens à remercer hllpe Mchel e Therry aul pour leurs commenares Ce raval a bénéfcé des crques du groupe de raval «généraons mbrquées» du GREQAM Inroducon

2 Un jeu sraégque de marché à la Shapley e Shubk (977) es une modélsaon des échanges enre agens sraégques qu se caracérse par une nsuon monéare e une règle de formaon des prx L nsuon monéare recouvre l ensemble des règles qu permeen les échanges e noammen l exsence d une monnae comme seul nermédare des échanges Les prx son foncon des sraéges des agens, ce qu fa des jeux sraégques de marché un nsrumen d analyse de la concurrence mparfae Il exse ros ypes de modèles: ) les modèles avec un ben-monnae où la monnae es une marchandse qu possède une ulé propre (Shapley-Shubk (977), Dubey-Shubk (978), Dubey-Shapley (994)), ) les modèles avec monnae-sgnal ou monnae de créd (oselwae- Schmedler (978) eck-shell (99), eck-shell-spear (99), Dubey- Shapley (994), Sorn (994)), ) les modèles où ou ben es une monnae, c es à dre que ous les bens peuven s échanger drecemen enre eux (Amr-Sah-Shubk-Yao (990), Sah-Yao (989)) Toues ces conrbuons éuden une économe saque L obje de ce raval es d éendre le modèle de jeu sraégque de marché à une économe dynamque La dffculé prncpale de ce exercce en en la naure de l nsrumen monéare nécessare aux relaons neremporelles Le modèle à généraons mbrquées présene alors un erran d éude adéqua dans la mesure où l y es possble de séparer les relaons nergénéraonnelles des relaons nragénéraonnelles On peu noer deux conrbuons récenes qu assocen jeux sraégques de marché e généraons mbrquées Forges e eck (995) ulsen ce ype de modèle pour éuder les relaons enre équlbres de âches solares e équlbres corrélés Ils éven les problèmes sraégques en consdéran un connuum d agens à chaque généraon Goenka e Spear (996), par conre, s aachen à démonrer l exsence d un équlbre non rval dans une économe avec un nombre fn d agens à chaque dae, pluseurs bens e une monnae-sgnal Leur démonsraon se base sur celle de Balasko e Shell (980) Ils consdèren une économe ronquée à une dae T Ils dsposen ans d une économe fne e ulsen les résulas de eck, Shell e Spear (99) pour obenr l exsence d un équlbre où ous les marchés son acfs En fasan endre la dae T vers l nfn, ls démonren l exsence d un équlbre de l économe dans son ensemble Au ravers d exemples, ls éuden dfférenes propréés de l équlbre comme la mulplcé des sraéges d équlbre, la convergence vers un équlbre walrasen quand le nombre d agens end vers l nfn, e les effes de la «lqudé» des marchés sur le ben-êre des agens ore conrbuon s aache à éablr un cadre d analyse smple e clar qu perme l éude de l ensemble des conceps relafs aux relaons

3 nergénéraonnelles En effe, consdérer un jeu sraégque de marché dans le modèle à généraons mbrquées avec une monnae-sgnal soulève une dffculé concepuelle qu apparaî avec la présence de relaons nergénéraonnelles Lorsque les échanges s effecuen à l néreur d une même généraon ou enre généraons présenes à une même dae, c es à dre sans ransacons nergénéraonnelles, les agens ne se soucen pas des généraons passées e fuures Tou les marchés s ouvren e se fermen à l néreur d une même pérode, les agens peuven ulser une monnae dfférene à chaque pérode L ensemble des créances e des dees conracées par les agens es soldé à chaque dae Dans l hypohèse nverse, quand les agens souhaen échanger enre généraons, conraremen au cadre des marchés conngens à la Arrow-Debreu, dans le modèle à généraons mbrquées les agens ne peuven éablr de conras avec les généraons non encore exsanes La possblé offere aux agens d effecuer des ransacons nergénéraonelles nécesse alors une garane des échanges Consdérer une monnae-sgnal ne perme pas cee garane our analyser ce problème, nous nous nscrvons dans le cadre d un model avec un ben physque e des agens denques Les agens nés en même emps vven dans les mêmes condons e n on aucun nérê à échanger Ce cadre d analyse perme une approche smple des relaons nergénéraonnelles Dans un premer emps nous décrvons les mécansmes de l échange d un jeu sraégque de marché dans une économe d échanges en généraons mbrquées avec une monnae-sgnal La deuxème pare nous perme de défnr l équlbre e nous donnons ses propréés ous consdérons, dans le rosème pon, une resrcon de ce jeu nal au cas où les agens ne son présen que d un coé du marché, nous monrons qu un équlbre de ce jeu es un équlbre du jeu non resren Dans la quarème secon, nous analysons les équlbres symérques saonnares suvan le sgne de l épargne agrégée e nous donnons les condons d apparon de el ou el ype d équlbre en foncon des fondamenaux de l économe ore dernère éude es consacrée aux équlbres non saonnares I/ oon de jeu sraégque de marché dans le modèle à généraons mbrquées I) Les agens Consdérons une économe déchange avec un ben e des généraons mbrquées Le emps se déroule de mons l nfn à plus lnfn A chaque Ce horzon de emps perme une éude générale recouvran la possblé d épargne négave En effe, dans le cas d une épargne négave, la présence d une dae nale pose le problème de la présence d une dee orgnelle dans la doaon des premers veux 3

4 dae naî une généraon dagens, deffecf Tous les agens vven deux pérodes Chaque agen reço une doaon du ben ω 0 en premère pérode de ve e ω 0 en seconde pérode Ces doaons ne son pas smulanémen nulles Tous les consommaeurs on la même foncon dulé dfférenable, srcemen concave e crossane en ses deux argumens qu son les consommaons des deux pérodes du cycle de ve, c e d: U( c, d): R + R + R () Un agen né à la dae prend quare décsons: b, q, e, z où: + + q [ 0,ω ] es la quané de ben qu l offre en pérode, z + [ ] b 0,ω es la quané de ben qu l offre en pérode +, R + es un sgnal représenan sa demande en valeur en pérode, e+ R + es un sgnal représenan sa demande en valeur en pérode + Les prx dépenden des décsons de l agen d après la règle de formaon des prx sur les marché présenée au paragraphe suvan Lorsque les deux marchés en e + son acfs la conrane de budge neremporelle de l agen es: q + z b + e () Ses consommaons c e d + dépenden de ses décsons e des prx sur les marchés Lorsque les prx son défns e que la conrane budgéare neremporelle de l agen es vérfée ses consommaons son: c ω - q + b (3) d + ω - z + + e + + Une sraége de l agen né en es un quadruplé b, q, e, z On défn l ensemble des sraéges de l agen par: ( ) Σ ( b q e + z+ ) R + [ 0 ω] R+ [ 0 ω ] + + { ( ) ( ) ( ) ( )}, + 0, 0 alors b, e+ 0, 0 s q z,,,,, / Il fau remarquer qu un agen peu agr smulanémen sur les deux côés du marché e qu un agen qu n offre aucune quané de ben posve ne peu pas fare de demande en valeur posve (4) 4

5 Les sraéges des aures agens nés à la même dae son noées Le profl de sraéges des agens nés en es noé (, ) Σ Σ I) Fonconnemen du marché e de l nsuon Dans cee économe l exse une nsuon qu es accepée comme unque nermédare des échanges par ous les agens Les agens, qu son présen à une même dae, vennen apporer à l nsuon une quané de ben qu caracérse leurs offres e ransmeen des sgnaux qu corresponden à leurs demandes en valeur Le fonconnemen du marché s effecue au sen de l nsuon Défnon Le marché du ben à la dae es d acf s l exse smulanémen une offre srcemen posve de ben e un sgnal de demande srcemen posf Snon l es nacf Ans, le marché A es acf ou non selon les profls de sraéges e des agens nés en - e Sur un marché acf le prx es donné par la règle: b + (5) e (, ) q + z La foncon () radu la règle de formaon du prx, elle es la même pour ous les marchés acfs ndépendammen du emps e des agens Les argumens de cee foncon monren l nfluence sur le prx que les agens possèden va leurs offres physques e les sgnaux qu ls adressen au marché, c es l aspec concurrence mparfae des jeux sraégques de marché L nsuon exse sur oue la durée de fonconnemen de l économe Elle reço les sgnaux en valeurs e les bens physques des agens, en reour elle arbue, à chaque agen né en, une allocaon de ben physque ( B E ) son:, + pour ou e ou Les consommaons de l agen c ω - q + B d ω - z + E (6) Dans les veceurs de sraéges e seules les composanes ndcées par nfluencen le prx de la dae 5

6 Cee nsuon remple un double rôle, d une par elle garan les ransfers nergénéraonnels en l absence de marché enre agens qu apparennen à des généraons dfférenes, d aure par elle vérfe la solvablé des agens qu parcpen au marché Sa foncon es donc de ( ) chosr une sue nfne ( B, E + ) fonconnemen de l nsuon: + conformémen à la règle de S les marchés A e A + son acfs e la conrane de budge b e + neremporelle de l agen es vérfée alors B, E + Snon, + c es à dre s A es nacf, ou A + es nacf, ou A e A + son acfs mas la conrane de budge de l agen es volée alors B 0, E 0 Cee règle es connue de ous les agens Tros suaons caracérsen un marché nacf So aucune offre de ben nes fae e les sgnaux de demande en valeur son nuls, le marché es alors nacf de par la voloné de ous les agens So l exse une proposon déchange en ben sans conrepare en valeur alors la règle de fonconnemen de l nsuon mpose que ces offres de ben soen confsquées au seul préjudce de leurs propréares La présence de la seule demande en valeur lasse le marché nacf 3 Il y a une punon lorsque les annonces d un agen ne respecen pas sa conrane de budge neremporelle La punon nrodue c, avec l affecaon du couple B 0, E 0 + à l agen fauf, reven à confsquer oue ses offres physques Hors équlbre, l nsuon ne sera jamas en défc, mas elle peu êre amenée à dérure du ben En effe, s le marché es acf à la dae, par applcaon de la règle de fonconnemen, l équaon compable B E j du prx l ven j B + E q + z j j j b j + + j b j e e j j sera oujours respecée ar défnon q j + + z j e donc S le marché n es pas acf la resuon es nulle e l nsuon confsque oues les offres de bens 4 Sancon smlare au modèle de oslewae e Schmedler (978) 6

7 I3) Foncon de gans our un agen né en sa foncon de paemen sera son ulé de cycle de ve U( c, d + ) Il prend les sraéges des aures agens,,,, comme données Ses consommaons fnales son : + c d ω - q + B ω - z + E Comme les marchés A e A + son acfs ou non en foncon des veceurs de sraéges B B,,, e E E, e + nous avons ( + ) ( + ) +,,, L ulé d un agen s exprme ans en foncon des sraéges: U( c, d ) U( -,,, ) + (7) + Cee relaon me en évdence la dépendance des gans des agens nés en par rappor aux sraéges des agens nés en - e des sraéges des agens nés en + Ces mêmes agens on des foncons de gans qu dépenden des sraéges des agens nés avan e après eux Il y a donc une nerdépendance ndrece de ous les agens de l économe II/ L équlbre de ash II) Défnon de l équlbre Le problème d un agen né en es de maxmser son ulé, éan donné les décsons des aures joueurs, sous la conrane des règles de fonconnemen de l nsuon e de fxaon des prx Il es ule d nrodure les noaons suvanes pour soler la sraége d un agen né en des sraéges des aures joueurs: b + β (8) q + γ + e z + + λ + + µ + + β es la somme en valeur des sgnaux de ous les aures joueurs, ceux de sa généraon e ceux de la généraon précédene, à la dae so: j b j ( ) β + e, β β,, γ es la conrbuon oale en ben de ous les aures joueurs, à la dae so: j q j z ( ) γ + γ γ,,, 7

8 λ + es la demande en valeur de ous les aures joueurs, à la dae + so: + j e b j ( + ),,, + λ + λ λ e µ + es la conrbuon oale en ben de ous les aures joueurs, à la dae + so: + j z q j,, ( + ) + µ + µ µ Défnon Une sue de profls de sraéges + ( ) avec Σ es un équlbre de ash du jeu sraégque de marché s pour ou, ou e oue sraége τ Σ on a: U U,,, +, τ,, + (9) ( ) ( ) II) ropréés de l équlbre de ash ropréé our un agen né en, s l un des deux marchés sur lesquels l nerven, A ou A +, es nacf à l équlbre de ash alors sa sraége 0, 0, 0, 0 d équlbre es ( ) Démonsraon S A ou A + es nacf alors, par la règle de fonconnemen de l nsuon, nous avons B 0, E + 0 Comme la foncon d ulé es srcemen crossane en ses argumens cec condu à des offres de bens nulles: q 0, z 0 ar défnon de l ensemble de sraége d un agen s q + 0, z 0 alors b 0, e Cqfd ropréé S A e A + son acfs, alors pour ou agen né en la conrane de budge neremporelle es vérfée à l égalé Démonsraon ) Supposons que la conrane de budge neremporelle d un agen ne so pas vérfée alors par applcaon de la règle de fonconnemen de l nsuon nous avons B 0, E + 0 Comme la foncon d ulé es srcemen crossane en ses argumens le programme de maxmsaon de l ulé condu l agen à une offre de ben nulle: q 0, z 0 ar défnon de l espace de sraége de l agen l ven b 0, e+ 0 ar conséquen la conrane de budge neremporelle es vérfée à l égalé + 8

9 ) Supposons que la conrane ne so pas saurée : q + z > b + e alors deux cas se présenen so q > b so z > e Dans le cas où q négaf nous avons q > b comme le marché A es acf e le sgnal non > 0 S β 0 par défnon du prx l ven q b γ ce qu donne q b en conradcon avec nore hypohèse, donc β > 0 S le marché es acf en e + e l agen respece sa conrane de budge neremporelle alors sa consommaon de premère pérode es b : c ω q + Comme la foncon d ulé es srcemen crossane en ses argumens la varaon margnale de l ulé dépend de l expresson c b + < 0 ous avons monré que l agen peu amélorer son q b + β ulé en dmnuan son offre de ben de premère pérode sans modfer sa consommaon de seconde pérode Dans le cas où + z+ > e+ le même prncpe de démonsraon peu êre employé ce qu nous amène au résula Cqfd Défnon 3 S le marché A es acf, l épargne réelle d un agen né en b es s q L épargne agrégée de la pérode es s S ropréé 3 S à l équlbre le marché A es acf e S 0 alors quel que so τ, A τ es acf e τ S τ S consane Démonsraon ) our τ> S A es acf alors le prx es défn e l épargne d un agen es par défnon s b q S S 0 alors l exse au mons un agen el que s 0 our consuer son épargne ce agen a ulsé une sraége ( ),,, En ulsan la conraposé de la propréé cec mplque que A + es acf ar défnon de l épargne agrégée nous avons: la défnon du prx donne S q b q b e z 9

10 La propréé assure qu à l équlbre les agens sauren leur conrane de budge neremporelle En somman ces conranes sur ous les agens présens en nous avons ar défnon du prx en + l ven q b e z q b e z la défnon de l épargne pour la pérode + donne + + q b S ce qu condu au résula S + S + ous avons monré que A + es acf e S + 0 donc par le même rasonnemen l ven A + es acf e S + S + + S+ La récurrence se poursu pour ou τ> ce qu condu au résula : A τ es acf e S τ S τ ) our τ< Dans le pon ) nous avons obenu e z 0 donc l exse au mons un agen né en - el que e z 0 auss sa sraége ( ) 0, 0, 0, 0 En ulsan la conraposé de la propréé cec mplque que A - es acf Le même rasonnemen que dans le pon ) condu au résula Cqfd II3) Dfférens ypes d équlbre Il exse oujours un équlbre auarcque Celu où ous les agens ne fon n offre n demande: ( 0, 0, 0, 0) pour ou e ou Alors ous les marchés son nacfs C es un équlbre car s un agen né en rend acfs les marchés en e + (avec q > 0, z > 0, b > 0, e > 0 ) alors les prx + + b e + vérfen e + Ses consommaons resen nchangées e l q z+ ne peu pas augmener son ulé Les équlbres dans lesquels les agens fon des offres srcemen posves sur des marchés acfs mas où l épargne agrégée es nulle, S 0 pour ou, son des équlbres sans échanges nergénéraonnels S l épargne agrégée es nulle cela reven à ce que oues les épargnes ndvduelles soen nulles car dans l économe que nous éudons les agens 0

11 son denques A chaque dae les agens consommen leur doaon our ous les agens le prx sur chaque marché acf es égal au rappor de leurs propres demandes en valeur e offres en ben Des modfcaons de ces offres e demandes ne peuven pas accroîre leurs gans En effe, le gan d un agen dmnue quand l ne vérfe pas sa conrane de budge neremporelle à l égalé Il ne change pas quand l la vérfe à l égalé Enfn consdérons un équlbre où à une dae le marché es acf e l épargne agrégée non nulle alors ous les marchés son acfs e oues les épargnes agrégées son égales en valeurs C es un équlbre avec échanges nergénéraonels 5 our démonrer l exsence de l équlbre, la dffculé essenelle résde dans le nombre rop mporan d nsrumens sraégques ar exemple, à sraéges des aures joueurs données, un agen peu reenr une nfné de couple offre de monnae-offre de ben d une même dae sans en affecer sa consommaon fnale Auss la démonsraon d exsence d un équlbre s effecue en pluseurs éapes La premère consse à rédure l espace des sraéges, l s ag ensue d éablr que ou équlbre dans ce jeu resren es un équlbre dans le jeu non resren Enfn, l fau monrer l exsence d un équlbre dans le jeu resren III/ Exsence de l équlbre, prncpe de démonsraon III) Le jeu de marché aux sraéges resrenes ous allons nous resrendre aux suaons où les agens ne parcpen au marché que d un seul côé, so comme offreur so comme demandeur de ben e ce pour chacune des daes 6 So R Σ le sous ensemble des sraéges d un agen né en qu vérfe: R Σ / b q 0 e e z 0 (0) oons ~ R des aures joueurs né en avec { + + } une sraége de l agen,, ( ) R R le veceur des sraéges 5 L équlbre physque des équlbres nergénéraonnels es oujours vérfé : or S c ω S e d ω + - S c + d ω + ω S 6 C es la resrcon des modèles saques «acha ou vene»

12 Lemme Consdérons les sraéges des agens nés en -, e +:,, Σ Σ Σ Consdérons un agen né en, pour les + + sraéges des aures agens,,, + fxées, l exse une sraége ~ R au mons auss bonne en erme d ulé que la sraége Σ Démonsraon ) S le marché A ou A + n es pas acf avec les sraéges,, + ~ 0, 0, 0, 0 donne une ulé supéreure alors pour l agen né en la sraége ( ) ou égale à celle qu résule de la sraége Σ ) S les marchés A e A + son acfs avec les sraéges,, + ous pouvons opérer le changemen de varable qu nrodu l épargne réelle de b l agen né en : s q Il fau remarquer que cee épargne peu êre posve, négave ou nulle 7 En assocan cee dernère égalé avec la défnon du prx de la dae, à sraéges des aures joueurs données, le calcul donne l expresson du prx en en foncon de l épargne réelle de l agen : β () γ + s La consommaon de premère pérode sera: c ω s () Exprmer la consommaon de seconde pérode en foncon de l épargne réclame quelques calculs préalables De la propréé l ven q b e+ + z+ avec le changemen de varable on oben: s e+ + z+ De l expresson de + en foncon des sraéges des aures agens on en dédu: µ + e+ + z+ + λ + en combnan avec l égalé précédene l ven, s + λ + + µ + so: βs + λ ( s + + γ ) (3) + µ s + γ + ( ) La consommaon de seconde pérode deven avec ces expressons des prx e le changemen de varable 7 Goenka e Spear (996) ulsen l expresson de l épargne en monnae-sgnal

13 avec d + ω + Ψ, ( s ) (4), ( ) Ψ s + s (5) so: ( s ) β µ s β + λ + γ + Ψ, s + ( s ) Le seul chox de s, éan données les sraéges des aures joueurs, déermne les consommaons de l agen Donc oue aure sraége avec la même épargne donne les mêmes consommaons Cqfd Dans le modèle non resren, l épargne se présene sous deux formes So c es un ransfer posf de la jeunesse vers la vellesse que l on peu assocer aux modèles sandards avec épargne réelle Dans ce cas, la sraége rédue ~ R qu condu au même veceur de consommaon (6) ( c, d + ) es ~ βs 0, s,, 0 So c es une épargne négave, c es γ + s à dre une dee conracée duran la jeunesse gagée sur les recees fuures Dans ce cas, la sraége rédue qu donne les mêmes consommaons es ~ βs, 0, 0, Ψ, ( s ) γ + s Lemme Un équlbre dans le jeu sraégque de marché avec les ensembles de sraéges R es auss un équlbre dans le jeu sraégque de marché avec les ensembles de sraéges Σ Démonsraon So ~ ( * + ), ~ * R un équlbre dans le jeu de marché resren ar défnon l vérfe pour ou e ou l négalé: * * * * * * * ( + ) ( + ) U ~, ~, ~, ~ U ~, ~, ~, ~ ~ pour ou R En applcaon du lemme pour oue sraége Σ, éan données les sraéges des aures joueurs ( ~ *, ~ *, ~ * + ), l exse une sraége ~ que: U ( ~, ) U( ), ~, ~ ~ ~ * * * *,, ~ *, ~ * + + R elle 3

14 L ulé rerée de cee sraége ~ R celle de la sraége de l équlbre, donc es, par défnon, nféreure ou égale à *, *, *, * * ( ) U + U,, *, * ( ) pour ou + Σ Cqfd IV/ L équlbre saonnare e symérque IV) L équlbre saonnare symérque dans le jeu resren our obenr l exsence d un équlbre dans le jeu sraégque de marché l suff de démonrer l exsence d un équlbre dans le jeu resren Dans la sue, nous supposons que la populaon es consane: pour ou roposon La foncon de gan d un agen né en, à sraéges des aures joueurs fxées: ( ) V, ( s) U ω s, ω + Ψ, ( s) es une foncon srcemen concave de s [ ω ω], Démonsraon: vor l annexe A Ce résula perme de caracérser les équlbres à l ade de la condon du premer ordre : ( ω, ω +, ( )), ( ) d ω, ω +, ( ) ( ) U s Ψ s Ψ s U s Ψ s (7) c Un équlbre saonnare e symérque de populaon consane correspond à une sraége (b,q,e,z) R qu vérfe : β ( ) b + e (8) γ λ b + ( ) e µ q + ( ) z + ( ) q + z A l équlbre symérque saonnare de populaon consane nous avons d une par une épargne réelle s s pour ou e d aure par des prx s Ψ s consans d où nous rons l égalé : ( ) 4

15 Lemme 3 S l équaon U ( s s) ( ) U s s c ω, ω + d ω, ω + adme une soluon s>0 8 alors, pour ou nombre e>0, le profl de sraéges consanes (0,s,e,0) consuen un équlbre symérque saonnare avec épargne posve du jeu sraégque de marché aux sraéges dans R Démonsraon Supposons qu l exse une soluon s>0 à l équaon U ( s s) ( ) U s s c ω, ω + d ω, ω + ous allons monrer que la sraége (0,s,e,0), pour ou e>0, jouée par ous les agens vérfe les condons d équlbre symérque e saonnare du jeu sraégque de marché aux sraéges resrenes e avec épargne posve Consdérons la sraége (0,s,e,0) nous avons avec les équaons (8) les égalés: β e γ ( ) s λ ( ) e µ s Un smple calcul monre que cee sraége vérfe l égalé de l équlbre βµ s symérque saonnare s Ψ ( s), avec Ψ( s) La condon du βs + λ( s + γ ) premer ordre (7) es nécessare e suffsane pour qu l exse une soluon néreure au problème du consommaeur, avec βγλµ Ψ ( s) β + λ s + λγ le calcul donne: Ψ ( s) (( ) ) (9) Cqfd Le prx en l équlbre symérque saonnare es par défnon e Ans le seul chox de e déermne le nveau du prx s 8 Une soluon s>0 mplque que la doaon nale de premère pérode so srcemen posve 5

16 Lemme 4 S l équaon Uc( ω s, ω + s) Ud( ω s, ω + s) adme une soluon s<0 9 alors, pour ou nombre e>0, le profl de sraéges consanes (e,0,0,-s) consuen un équlbre symérque saonnare du jeu sraégque de marché avec des sraéges dans R Démonsraon ous allons procéder comme dans la démonsraon précédene Supposons qu l exse une soluon s<0 à l équaon Uc( ω s, ω + s) Ud( ω s, ω + s) Consdérons la sraége (e,0,0,-s) nous avons avec les équaons (8) les égalés: β ( ) e γ s λ e µ ( ) s Le calcul monre que cee sraége vérfe l égalé de l équlbre symérque βµ s saonnare s Ψ ( s), avec Ψ( s) La condon nécessare e βs + λ( s + γ ) suffsane pour qu l exse une soluon néreure au problème du consommaeur es l équaon (7) Le calcul donne: (0) Ψ ( s) Cqfd ( ) ( ) Uc ω s, ω + s Hypohèse Le aux margnal de subsuon TMS(s) U ω s, ω + s es une foncon de s connue, monoone crossane e surjecve de ω, ω sur ]0,+ [ ] [ our une foncon d ulé séparable, U(c,d)u(c)+v(d), cee hypohèse es vérfée dés lors que les foncons u() e v() son srcemen concaves e que lm u( c) + e lm v( d) + c 0 d 0 Théorème Sous l hypohèse, l exse un équlbre symérque e saonnare du jeu sraégque de marché aux sraéges dans R el que d, 9 Une soluon s<0 mplque que la doaon nale de seconde pérode so srcemen posve 6

17 s posve ( ω, ω ) ( ω, ω ) Uc TMS( 0) < U d alors l équlbre es à épargne s TMS( 0) > alors l équlbre es à épargne négave Snon l n exse pas d aure équlbre symérque e saonnare que l auarce Démonsraon our les deux premers pons c es une applcaon mmédae des lemmes 3 e 4 assocés à l hypohèse de crossance du TMS(s) S le TMS(0) apparen à l nervalle [, ], l n exse pas d équlbre symérque saonnare du jeu sraégque resren avec marchés acfs e épargne non nulle Dans ce cas, le seul équlbre de ash es l auarce e l épargne es nulle Cqfd Un graphque, avec l épargne en abscsse e le aux margnal de subsuon en ordonnées, nous perme de synhéser ces résulas ω, ω e le aux margnal de L épargne apparen à l nervalle ] [ subsuon à ]0,+ [ La foncon TMS(s) es crossane our qu l y a équlbre avec épargne négave, comme le pon E, l fau une double condon : que le TMS prenne la valeur (/(-)) e ce en une valeur négave de s Le pon E caracérse un équlbre avec épargne posve our la courbe TMSa l n exse pas d équlbre symérque saonnare avec marchés acfs e épargne non nulle 7

18 ous avons donc monré qu l exse un équlbre symérque saonnare non auarcque dans le jeu de marché aux sraéges resrenes s le TMS en zéro n apparen pas à l nervalle [, ] Le lemme perme d éendre ce résula d exsence au jeu sraégque de marché aux sraéges dans Σ Les condons obenues résulen du fonconnemen non concurrenel des marchés à l équlbre du jeu sraégque de marché Quand le nombre d agens end vers plus l nfn, les condons obenues dans les deux cas d épargne posve e d épargne négave, on la même lme : TMS(s) C es la condon de l équlbre concurrenel IV) Inerpréaon des résulas de l équlbre symérque saonnare La décson d épargne s prend en compe l nfluence sur les deux prx e + ; en premère pérode par la quané de ben offere, en seconde pérode par le volume d offre de monnae-sgnal Cee double nfluence se rerouve dans l expresson du revenu margnal de seconde pérode en erme de ben de seconde pérode d un agen né en : Ψ, ( s) L expresson de Ψ, ( s) es: Ψ, ( s) + s + s + 8

19 L équaon (6) monre que le rappor es une foncon + décrossane de s pour ou s Ans à l équlbre saonnare nous avons Ψ ( s) + s e < 0 s s + + S l équlbre es à épargne posve alors Ψ (s) es nféreur à un S l équlbre es à épargne négave alors Ψ (s) es supéreur à un Cec monre que l avanage reré par un agen d une épargne non nulle es pondéré par l avanage sraégque qu l a à manpuler les prx Consdérons un équlbre avec épargne posve our analyser l effe séparé sur, supposons que + so fxé alors De s s l équaon () qu exprme le prx en nous obenons s Compe enu de l expresson de γ nous avons ( s ) Ψ + De même, supposons que so fxé alors De l égalé (4) nous avons + s s + λ µ + + γ + s, so, à + fxé, s s + s µ s s + + En remplaçan e µ + s + données précédemmen e compe enu de l égalé s s donne, à fxé, Ψ ( s ) Le faceur ( + ) s + e nous obenons par les expressons + + le calcul représene donc la combnason des effes sur les deux prx Le carré proven de ce double effe e le faceur mesure le degré de concurrence sur les marchés V/ L équlbre non saonnare our llusrer l analyse des équlbres non saonnares nous consdérons le cas de l épargne posve 9

20 V) L équlbre symérque non saonnare avec épargne posve Consdérons un équlbre du jeu sraégque de marché où l ensemble des sraéges es R qu vérfe s s >0 pour ou ]-,+ [ e ou roposon A l équlbre symérque avec épargne posve l offre de monnae-sgnal es la même à chaque pérode e pour chaque agen e e, e>0 pour ou e ou Démonsraon Reprenons la propréé 3 de l équlbre : l épargne agrégée à chaque dae es égale à une consane M so S M pour ou our un équlbre avec épargne posve M sera posf Consdérons un équlbre symérque de populaon M consane nous avons alors s, pour ou La sraége d équlbre avec épargne posve d un agen né en es ( 0, s, e+, 0) Sa conrane de budge neremporelle es s e + La propréé monre qu en l équlbre la conrane de budge des agens es saurée, nous M avons donc s e + ous obenons la sue d égalés s e+ e pour ou e ou Cqfd L équaon récurrene qu caracérse la rajecore d un équlbre symérque avec épargne posve pore sur la seule épargne réelle roposon 3 A l équlbre symérque avec épargne posve, le revenu margnal de seconde pérode vérfe: Ψ ( s ) + Démonsraon A l équlbre symérque avec épargne posve la sraége d un agen né en 0, s, e, 0, ce qu donne es ( ) β γ λ µ e + ( ) s ( ) s + + e 0

21 Lorsque ous les agens suven la même sraége ( 0, s, e, 0) du revenu margnal de seconde pérode d un agen deven : Ψ β γ λ ( s ) + µ + β + λ s + λ γ (( + ) + + ) Avec les expressons précédenes nous obenons ar défnon, le prx en es s s Ψ + ( s ) e Donc nous avons s s s + + roposon 4 Consdérons e>0 e une sue ( s ), avec s ] 0 [ + des sraéges ( ) s e 0,,, 0 ( ) ( ),, +, l expresson Cqfd,ω La sue avec pour ou consue un équlbre symérque dans l ensemble des sraéges rédues R s e seulemen s la sue ( s ) + vérfe pour ou l équaon: + ( ω, ω + ) ( ω, ω + ) U s s c + s s U s s d + Démonsraon La sraége d équlbre avec une épargne posve d un agen né en es ( 0, s, e+, 0) La conrane de budge neremporelle de ce agen es s e + La condon nécessare e suffsane de l équlbre es: ( ω, ω + Ψ, ( )) Ψ, ( ) d ω, ω + Ψ, ( ) ( ) U s s s U s s c avec Ψ s s, ( ) + our un équlbre symérque la proposon 3 nous donne Ψ ( s ) + Ψ s s ( ) + e s s De cee dernère égalé nous obenons Cqfd V) Cas séparable Consdérons le cas séparable, U(c,d)u(c)+v(d) La condon d équlbre décr une sue de > ] [ s u (ω s ) s + ( ) v (ω + s + ) s e s + 0, ω

22 F(s ) s u(ω s ) e H(s + ) s + ( ) v(ω + s + ) La foncon F es une foncon crossane La sue des quanés échangées qu défn l équlbre es caracérsée par la relaon: s F o H(s + ) On rerouve c la formulaon de la dynamque de l équlbre de concurrence parfae de Grandmon (985) au faceur ( ) prés Auss, les élémens de son éude sapplquen La présence de concurrence mparfae nfluence le volume des ransacons de léqulbre saonnare mas les élémens qu caracérsen la rajecore des quanés échangées resen les mêmes Ce résula peu êre auss obenu en consdéran une économe concurrenelle avec des agens denques e une foncon d ulé de la forme: u(c) + (- ) v ( d ) Les condons d équlbre de cee économe son les mêmes que celles du jeu sraégque de marché avec une ulé de la forme u(c)+v(d) Ans oue soluon dynamque de concurrence parfae, qu elle so saonnare, cyclque où chaoque es un équlbre de concurrence mparfae du jeu sraégque de marché On rerouve ben alors ous les problèmes éudés par Grandmon (985) dans une économe concurrenelle V) Cas non séparable L équaon de récurrence qu caracérse l équlbre de concurrence mparfae es: s U c (ω s,ω + s + ) ( ) s + U d (ω s,ω + s + ) on peu alors éuder le nombre d équlbres en suvan lanalyse de Mchel e BWgnolle (993) Concluson L analyse des jeux sraégques de marché dans le modèle à généraons mbrquées nous a perms d denfer les dffculés concepuelles qu nassen avec la présence de relaons neremporelles dans une économe d échanges avec une monnae-sgnal Ces dffculés son de deux ordres : assurer la garane des échanges enre agens qu

23 apparennen à des généraons dfférenes e conrôler la solvablé des agens L économe que nous avons consdérée perme l éude des équlbres avec une épargne posve ou négave ous donnons les condons d exsence d un équlbre symérque, saonnare e non auarcque Elles dépenden du degrés de concurrence sur le marché Le modèle smple que nous avons développé offre un cadre adéqua à l analyse des aspecs de la dynamque de l équlbre de concurrence mparfae en relaon avec le degrés de concurrence Cec ouvre un domane de recherche qu a éé peu éudé 3

24 Annexe A Démonsraon de la proposon Vérfons que la foncon ( s) Ψ, ( s) Ψ, es srcemen concave Sa dérvée es: β γ λ µ + + (( β ) ) + λ + s + λ + γ + > 0 " La dérvée seconde es négave: Ψ, < 0 So la foncon H : R R, ( s,, ( s) ) ( f ( s), g, ( s) ) s ω ω + Ψ ( ) alors V, ( s) U H U f s g ( s) o,, ( ), So λ ] 0 [ [ ω ω] [ ω ω],, s, e s,, s s, alors ( ) ( f ( s) f ( s), g, ( s s) ) ( λ + ( λ) ) ( λ + ( λ) ), ( λ + ( λ) ) λ + ( λ) λ + ( λ) H s s f s s g s s car f es lnéare,, Comme g, es une foncon crossane e concave l ven ( λ + ( λ) ) > λ + ( λ) g s s g ( s ) g ( s ),,, La foncon U(c,d) es srcemen concave e crossane par rappor à ses deux argumens donc: ( λ + ( λ) ), ( λ + ( λ) ) + ( ) + ( ) V s s, Uo H s s ( λ ( ) λ ( ), λ, ( ) λ, ( )) U f s f s g s g s Comme U es srcemen concave nous avons ( λ ( ) ( λ) ( ), λ, ( ) ( λ), ( )) U f s + f s g s + g s > ( ( ),, ( ) ) ( λ) ( ( ),, ( )) λu f s g s + U f s g s ( λ) λv ( s ) + V ( s ),, Cqfd 4

25 References: Amr R, Sah S, Shubk M, Yao S, ( 990 ): A sraegc marke game wh complee markes, Journal of Economc Theory 5, 6-43 Balasko Y, Shell K, ( 980 ): The overlappng-generaons model, I : The case of pure exchange whou money, Journal of Economc Theory, 3, pp Dubey, Shapley LS, ( 994 ): oncooperave general exchange wh a connuum of raders: Two models, Journal of Mahemacal Economcs, 3, pp Dubey, Shubk M, ( 978 ): The oncooperave Equlbra of a Closed Tradng Economy wh Marke Supply and Bddng Sraeges, Journal of Economc Theory, 7, pp -0 Forges F, eck J, ( 995 ): Correlaed Equlbrum and Sunspo Equlbrum, Economc Theory, 5, pp Goenka A, Spear SE, ( 996 ): Marke Games and he Overlappng Generaons Model: Exsence and Saonary Equlbra, Mmeo Grandmon JM, ( 985 ): On endogenous Compeve Busness Cycles, Economerca, 53, pp Mchel, Wgnolle B, ( 993 ): Une présenaon smple des dynamques complexes, Revue Economque, 44, pp eck J, Shell K, ( 99 ): Marke Uncerany: Correlaed and Sunspo equlbra n Imperfecly Compeve Economes, Revew of Econmc Sudes, 58, pp 0-09 eck J, Shell K and Spear SE, ( 99 ): The marke game: Exsence and srucure of equlbrum, Journal of Mahemacal Economcs, pp 7-99 oslewae A, Schmedler D, ( 978 ): Approxmae effcency of non- Walras ash equlbra, Economerca,46, pp 7-35 Sah LS, Yao S, ( 989 ): The noncooperave equlbra of a radng economy wh complee markes and conssen prces, Journal of Mahemacal Economcs, 8, pp Shapley LS, Shubk M, ( 977 ): Trade Usng One Commody as Means of aymen, Journal of olcal Econome, 85(5), pp Sorn S, ( 996 ): Sraegc Marke Games wh Exchange Raes, Journal of Economc Theory 69, pp

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