Les tests statistiques dits non paramétrique
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- Joel Laporte
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1 Les tests statistiques dits non paramétrique
2 Fréquence Fréquence Tout une histoire de paramètres et de distributions N(m, )??? 68% m m + Hauteur du Sapin de Douglas (Pseudotsuga menzii ) (m) n = 1000 observations Longueur samare de l Érable Plane (Acer platanoides) (mm) n = 10 observations Peut-on décrire la forme de la distribution d une variable avec juste des paramètres de moyenne (m) et de variance ( 2 )?
3 Retour sur les conditions à respecter pour les tests statistiques dits paramétriques Indépendance Les observations au sein d un échantillon doivent être indépendantes : tirage aléatoire avec remise ou sans remise dans une population de grande taille Normalité Homoscedasticité La variable mesurée au sein d un échantillon doit avoir une distribution Normale car chaque valeur est issue d une population qui suit une loi Normale de moyenne μ et d écart type Dans le cas de comparaisons de moyennes issues de plusieurs échantillons (test t de Student par exemple), les variances entre échantillons doivent être identiques Un test non paramétrique est un test basé sur l étude des rangs des observations qui ne fait pas d hypothèses particulières sur la forme de la distribution d origine (non paramétrée)
4 Fréquence Une mécanique basée sur les rangs des observations Contrairement aux test statistiques paramétriques qui se basent sur les valeurs des observations et la notion de barycentre (moyenne des observations), les tests non paramétrique se basent sur les rangs des observations et s intéressent à l ensemble de la distribution (somme des rangs) Valeurs des observations : (32 ; 40 ; 40 ; 41; 42 ; 42 ; 42 ; 43 ; 43 ; 44) Moyenne des observations = 40.9 Rangs des observations : (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10) Somme des rangs = 55 Il existe une grande diversité de tests non paramétriques qui sont généralement des équivalents de tests paramétriques Longueur samare de l Érable Plane (Acer platanoides) (mm)
5 Pour des variables mesurées de manière quantitative (données continues ou ordinales) 1 échantillon Tester les valeurs douteuses dans un échantillon : test de Dixon Tester si la valeur médiane de l échantillon s écarte d une valeur théorique : test de Wilcoxon Tester si la distribution de l échantillon suit une loi Normale : test de Kolmogorov-Smirnov 2 échantillons + de 2 échantillons Comparer la distribution de deux échantillons non appariés : test de Wilcoxon-Mann-Whitney Comparer la distribution de deux échantillons appariés : test de Wilcoxon apparié Comparer la distribution de plusieurs échantillons non appariés : test de Kruskal-Wallis Comparer la distribution de plusieurs échantillons appariés : test de Friedman
6 Pour des variables mesurées de manière qualitative (données de catégories) 1 échantillon Tester si la distribution de l échantillon suit une loi binomiale : test binomial 2 échantillons + de 2 échantillons Comparer la distribution de deux échantillons non appariés : test du Chi2 Comparer la distribution de deux échantillons appariés : test de McNemar Comparer la distribution de plusieurs échantillons non appariés : test du Chi2 Comparer la distribution de plusieurs échantillons appariés : test de Cochran
7 Les tests non paramétriques que nous allons aborder dans ce cours Données quantitatives : 2 échantillons Comparer deux échantillons non appariés : test de Wilcoxon-Mann-Whitney C est l homologue non paramétrique du test t de Student en paramétrique Comparer deux échantillons appariés : test de Wilcoxon apparié C est l homologue non paramétrique du test t de Student apparié en paramétrique Données quantitatives : + de 2 échantillons Comparer plusieurs échantillons non appariés : test de Kruskal-Wallis C est l homologue non paramétrique de l analyse de variance en paramétrique
8 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Comparer la distribution de deux échantillons non appariés pour une variable quantitative : test de Wilcoxon-Mann-Whitney (Wilcoxon rank-sum test) Frank Wilcoxon ( )
9 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Ce test permet de vérifier, pour une variable quantitative et au risque d erreur choisi (0.05 bien souvent), si deux échantillons non appariés sont issus d une même population ou bien de deux populations différentes vis-à-vis de la variable étudiée H0 : les deux échantillons appartiennent à la même population H1 : les deux échantillons sont issus de deux populations différentes NB : Il est important de remarquer qu ici on test des hypothèses H0 et H1 qui portent sur l ensemble de la population et non pas sur un paramètre bien spécifique de moyenne par exemple (cf. l équivalent de ce test en paramétrique qui n est autre que le test de comparaison de moyennes de Student) L équivalent paramétrique de ce test répond à la question : Peut-on déceler une différence entre les paramètres de moyennes estimées m1 et m2 à partir de deux échantillons non appariés et si oui, alors les moyennes réelles μ1 et μ2 sont issues de deux populations distinctes
10 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney L équivalent paramétrique du test de Wilcoxon-Mann-Whitney fonctionne ainsi : La moyenne μ réelle nous informe sur la population Population 1 Population 2 µ 1 µ 2 m 1 m 2 Echantillon 1 La moyenne m estimée Echantillon 2 nous informe sur la moyenne μ réelle
11 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney En non paramétrique, la philosophie du test est différente : Population 1 Population 2 Somme des rangs de l échantillon 1 Classement des observations après rassemblement des échantillons 1 et 2 Somme des rangs de l échantillon 2 Echantillon 1 Echantillon 2
12 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Rappel : dans le cadre paramétrique du test de comparaison de moyenne de Student, si H0 (les deux moyennes sont égales) n est pas rejetée, on peut conclure que les deux échantillons sont rigoureusement identiques et issus d une même population, mais seulement après avoir vérifier l hypothèse d homoscedasticité ou d égalité des variances Pourquoi : car deux échantillons ayant la même moyenne peuvent avoir des variances totalement différentes et donc provenir de deux populations distinctes Diamètre du Sapin pectiné (Abies alba) (cm) Diamètre du Sapin pectiné (Abies alba) (cm)
13 Variance de l échantillon Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Le test non paramétrique de Wilcoxon-Mann-Whitney ne fait aucune hypothèse sur la forme de la distribution d origine S il est moins précis que son homologue paramétrique, il est aussi plus robuste car permet de déceler n importe quel type de différence entre deux échantillons Ce type de test est fortement recommandé quand les échantillons sont de petites tailles car la variance est de plus en plus variable, même pour des échantillons issus de la même population N(m, ) Par conséquent, le risque de ne pas satisfaire la condition d égalité des variances en paramétrique augmente Taille de l échantillon
14 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney On dispose de deux échantillons (mâles et femelles) de Souris des Cactus (Peromyscus eremicus), dont on a mesuré le poids (g) chez l individu adulte Echantillon femelle (n = 6) : 24 ; 30 ; 30 ; 30 ; 38 ; 40 Q : la population de souris femelles (F) est-elle significativement différente de celle des souris mâles (M) de par leur poids (cf. dimorphisme sexuel)? Si oui, avez vous une hypothèse a priori sur le sens de la différence? Echantillon mâle (n = 4) : 20 ; 24 ; 26 ; 28 Q : quelles sont les hypothèses H0 et H1 que vous allez formuler pour cet exemple?
15 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney H0 : mâles et femelles ont le même poids H1 : mâles et femelles ont des poids différents Réalité #1 sous hypothèse Normale Réalité #2 sous hypothèse Normale Réalité #3 sous hypothèse Normale Poids (g) Poids (g) Poids (g) Q : si les conditions d utilisation des test paramétriques étaient remplies, quel type de test utiliseriez vous? Q : sommes-nous réellement dans ce cas de figure?
16 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney R : étant donné la taille de nos échantillons mâle et femelle, leurs variances respectives ont de fortes chances d être différentes... Poids (g) Suivant le test de Fisher : H0 : 2 (F) = 2 (M) H1 : 2 (F) 2 (M) Var(F) = 35.2 Var(M) = 11.7 F obs = 35.2/11.7 = 3.0 < F crit (0.05, 5, 3) = 9.0 On ne rejette pas H0 Comme nous n avons pas d éléments pour contredire H0 les variances sont égales on pourrait éventuellement utiliser un test paramétrique du type test t de Student Pour plus de robustesse, on utilise le test non paramétrique de Wilcoxon sur échantillons non appariés encore appelé test de Mann- Whitney suivant la manière dont on calcul les rangs pour chaque échantillon
17 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Méthode de calcul des rangs T(M) et T(F) selon Wilcoxon : Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 12.5 T(F) = = 42.5
18 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Méthode de calcul des rangs U(M) et U(F) selon Mann-Whitney : M Tot F F Tot M U(M) = = 21.5 U(F) =
19 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Il existe une formule de passage entre l indice U des rangs de Mann-Whitney et l indice T des rangs de Wilcoxon : U(M) = n(m)*n(f) + [n(m)*(n(m) + 1)/2] T(M) = 4*6 + (4*5)/ = 21.5 U(F) = n(m)*n(f) + [n(f)*(n(f) + 1)/2] T(F) = 4*6 + (6*7)/ = 2.5 Conseil : Utiliser l une des deux méthodes de calcul des rangs (celle avec laquelle vous vous sentez le plus à l aise) et calculer ensuite les indices U respectifs si vous avez optez pour la méthode des rangs de Wilcoxon Pourquoi : Car la table de Mann-Whitney de détermination de la valeur critique est plus simple à utiliser que la table de Wilcoxon pour le cas de deux échantillons non appariés Pour comprendre la mécanique du test de Wilcoxon-Mann-Whitney, il faut (1) étudier les 2 cas limites : - les 2 échantillons sont totalement identiques - les 2 échantillons sont totalement différents et (2) calculer les rangs U(M) et U(F) dans chacun de ces 2 cas
20 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Le cas limite de 2 échantillons totalement identiques de par le poids (g) : 28 ; 28 ; 29 ; 29 ; 30 ; ; 29 ; 29 ; 30 Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 22 T(F) = = 33 U(M) = 4*6 + (4*5)/2 22 = 12 U(F) = 4*6 + (6*7)/2 33 = 12 Dans le cas limite de 2 échantillons identiques : U(M) = U(F) = (n(m)*n(f))/2
21 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Le cas limite de 2 échantillons totalement différents de par le poids (g) : 29 ; 29 ; 30 ; 31 ; 31 ; ; 27 ; 27 ; 28 Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 10 T(F) = = 45 U(M) = 4*6 + (4*5)/2 10 = 24 U(F) = 4*6 + (6*7)/2 45 = 0 Dans le cas limite de 2 échantillons différents : U(M) = n(m)*n(f) U(F) = 0
22 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Autre cas limite de 2 échantillons totalement différents de par le poids (g) : 26 ; 27 ; 27; 28 ; 29 ; ; 31 ; 31 ; 32 Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 45 T(F) = = 10 U(M) = 4*6 + (4*5)/2 45 = 0 U(F) = 4*6 + (6*7)/2 10 = 24 Dans le cas limite de 2 échantillons différents : U(M) = 0 U(F) = n(m)*n(f)
23 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Seuil critique au risque Seuil critique au risque H0 rejeté H0 accepté H0 rejeté U lim (F/M) = 0 Echantillons totalement différents??? U lim (F/M) = 12??? Echantillons totalement identiques U lim (F/M) = 24 Echantillons totalement différents U = 0 U = (n 1 *n 2 )/2 U = n 1 *n 2 NB : la table de Mann-Whitney donne toujours la valeur de U critique pour les faibles valeurs de U Pourquoi : car le calcul de U critique devient plus fastidieux voir difficile lorsque les deux valeurs limites de U dépendent de n 1 et n 2 Dans ce cas, si U obs U crit alors on rejette H0 au risque, sinon si U obs > U crit alors on ne rejette pas H0
24 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney H0 rejeté U obs (F) = 2.5 H0 accepté U lim (F) = 0 U crit (F) = 2 Echantillons totalement différents U lim (F) = 12 Echantillons totalement identiques U obs (F) = 2.5 U obs (M) = 21.5 U obs (F) < U obs (M)
25 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Conclusion : on ne rejette H0 et donc on ne peut pas conclure, à partir des distributions observés au sein de nos deux échantillons, que les souris mâles et les souris femelles sont différentes en terme de poids Néanmoins, le résultat obtenu est trés proche de la significativité et si l on utilise l équivalent paramétrique de ce test (l égalité des variances étant respectée, on peut envisager cette option), on trouve un résultat qui est significatif???
26 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney NB : pour des échantillons de tailles plus grandes n 1 10 et n 2 10, on peut considérer une approximation par la loi Normale et utiliser la table des valeurs critiques Z de la loi Normale plutôt que la table des valeurs critiques U de Mann-Whitney Z 1 = (U 1 m)/ Z 2 = (U 2 m)/ avec m = (n 1 *n 2 )/2 et 2 = [n 1 *n 2 *(n 1 + n 2 + 1)]/12 Il suffit ensuite de comparer max(z 1, Z 2 ) avec la valeur Z critique de 1.96 au risque de 5% Si max(z 1, Z 2 ) 1.96, on rejette H0 et donc on accepte H1 au risque de 5% Si max(z 1, Z 2 ) < 1.96, on ne rejette pas H0
27 Test de Wilcoxon apparié Comparer la distribution de deux échantillons appariés pour une variable quantitative : test de Wilcoxon apparié (Wilcoxon signed-rank test) 1945 Frank Wilcoxon ( )
28 Test de Wilcoxon apparié Cette fois-ci, on considère le cas de deux échantillons dits appariés, i.e., qui ne sont pas indépendants l un de l autre Par exemple, il peut s agir d une variable qui a été mesurée : - deux fois de suite par le même opérateur dans des conditions différentes de traitement (effet d un facteur de traitement) ; - par deux opérateurs différents dans les mêmes conditions de traitement (effet observateur) ; - à deux instants t 1 et t 2 pour étudier l effet d un traitement au cours du temps (effet temporel) ; - etc. Tout autre type de données qui suggèrent un appariement (cf. comparaison biométrique des membres droit et gauche chez des organismes à symétrie bilatérale)
29 Test de Wilcoxon apparié Clône A N On dispose de 13 clônes de Peuplier dont on a mesuré la concentation en Aluminium dans le bois (μg/g) a deux instants différents (Août et Novembre) au sein d une zone polluée Q : peut-on observer entre Août (A) et Novembre (N) une différence de concentration en Aluminium dans le bois de Peuplier? Si oui, avez vous une hypothèse a priori sur le sens de la différence (cf. phytoremédiation)? Q : quelles sont les hypothèses H0 et H1 que vous allez formuler pour cet exemple?
30 Test de Wilcoxon apparié H0 : la concentration en Aluminium reste inchangée entre Août et Novembre H1 : la concentration en Aluminium est plus forte en Novembre qu en Août Q : Peut-on simplifier les hypothèses H0 et H1? R : oui, comme les deux échantillons sont appariés, on peut simplifier le problème en s intéressant à la distribution des paires de différences entre les mois d Août et de Novembre En gros, on retombe sur le cas d un échantillon simple dont on veut tester la valeur médiane observée par rapport à la valeur médiane théorique nulle H0 : [Al(N)] [Al(A)] = 0 H1 : [Al(N)] [Al(A)] > 0 (NB : ici H1 est une hypothèse directionelle)
31 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A Suivant le test de Fisher : H0 : 2 (A) = 2 (N) H1 : 2 (A) 2 (N) Var(A) = 11.9 Var(N) = 47.4 F obs = 47.4/11.9 = 3.98 > F crit (0.05, 12, 12) = 2.69 On accepte H1 au risque de 5% [Al(N)] [Al(A)] (μg/g) On ne peut pas recourir à un test paramétrique ici, la seule solution c est d utiliser un test non paramétrique approprié
32 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A N-A Rang Rang+ Rang W obs (+) = 75 W obs (-) = 16 Quelles sont les valeurs de W obs (+) et W obs (-) pour les deux cas limites? [Al(N)] = [Al(A)] [Al(N)] > [Al(A)]
33 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A N-A Rang Rang+ Rang W lim (+) = 39 W lim (-) = 39 Attention : n = 12 NB : on élimine toujours les observations nulles
34 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A N-A Rang Rang+ Rang W lim (+) = 91 W lim (-) = 0
35 Test de Wilcoxon apparié H0 rejeté W crit (-) W crit (+) H0 accepté H0 rejeté W lim (-) = 0 [Al(N)] > [Al(A)] W = 0??? W lim (-/+) = 39??? [Al(N)] = [Al(A)] W = (n*(n+1))/4 W = (12*13)/4 = 39 W lim (+) = 91 [Al(N)] > [Al(A)] W = (n*(n+1))/2 W = (13*14)/2 = 91 NB : notre hypothèse H1 étant directionnelle, nous ne représentons pas l autre cas de figure pour lequel on supposerait le cas limite [Al(N)] < [Al(A)], mais ce cas serait symétrique inverse avec W lim (+) = 0 et W lim (-) = 91 Dans ce cas, si W obs (-) W crit (-) ou si W obs (+) W crit (+) alors on accepte H1 au risque, sinon on ne rejette pas H0
36 Test de Wilcoxon apparié W crit (-) = 21 W crit (+) = 70
37 Test de Wilcoxon apparié H0 rejeté W crit (-) W crit (+) H0 accepté H0 rejeté W lim (-) = 0 [Al(N)] > [Al(A)] 21 W lim (-/+) = [Al(N)] = [Al(A)] W lim (+) = 91 [Al(N)] > [Al(A)] W obs (-) < W crit (-) W obs (+) > W crit (+) On accepte H1 au risque W obs (-) = 16 W obs (+) = 74
38 Test de Wilcoxon apparié Conclusion : au risque de 5%, on valide notre hypothèse H1 de départ et on peut affirmer que l Aluminium s est concentré dans le bois de Peuplier entre les mois d Août et de Novembre et donc que le Peuplier permet, pour l Aluminium, une phytoremédiation des sols
39 Test de Wilcoxon apparié NB : Si nous avions supposé l hypothèse H1 opposé de baisse de la concentration en Aluminium dans le bois de Peuplier entre Août et Novembre : H0 rejeté W crit (+) W crit (-) H0 accepté H0 rejeté W lim (+) = 0 [Al(N)] < [Al(A)] 21 W lim (-/+) = [Al(N)] = [Al(A)] W lim (-) = 91 [Al(N)] < [Al(A)] W obs (-) = 16 W obs (+) = 74 Si W obs (+) W crit (+) ou W obs (-) W crit (-), alors on accepte H1 au risque, sinon on accepte H0 W obs (+) > W crit (+) W obs (-) < W crit (-) On ne rejette pas H0
40 Test de Wilcoxon apparié NB : pour des échantillons de tailles plus grandes n1 10 et n2 10, on peut considérer une approximation par la loi Normale et utiliser la table des valeurs critiques Z de la loi Normale plutôt que la table des valeurs critiques W de Wilcoxon Z obs (+) = (W obs (+) m)/ Z obs (-) = (W obs (-) m)/ avec m = (n*(n + 1))/4 et 2 = [n*(n + 1)*(2*n + 1)]/24 Il suffit ensuite de comparer max(z obs (+), Z obs (-)) avec la valeur Z critique de 1.96 au risque de 5% Si max(z obs (+), Z obs (-)) 1.96, on accepte H1 au risque de 5% Si max(z obs (+), Z obs (-)) < 1.96, on accepte H0
41 Test de Kruskal-Wallis Comparer la distribution de k > 2 échantillons non appariés pour une variable quantitative : test de Kruskal-Wallis (Kruskal-Wallis test) William Kruskal ( ) 1952
42 Test de Kruskal-Wallis Ce test vérifie si plusieurs échantillons (k > 2) appartiennent à la même population Il s agit de l homologue non paramétrique de l analyse de variance à un facteur mais avec le sérieux avantage de ne pas tenir compte de la loi de distribution de la variable étudiée ni de l égalité des variances entre échantillons Ce test est une extention (généralisation) du test de Wilcoxon-Mann-Whitney et par conséquent fonctionne sur le même principe de remplacement des valeurs de la variable d étude par leurs rangs respectifs Comme pour le test de Wilcoxon-Mann-Whitney, les échantillons sont indépendants et chaque échantillon peut avoir un nombre différent d observations Généralement, on note : - k le nombre total d échantillons ; - N le nombre total d observations ; - n i le nombre d observation dans l échantillon i ; - r i la somme des rangs dans l échantillon i
43 Test de Kruskal-Wallis Soit trois forages d eau dont on a mesuré la concentration en Magnésium dans l eau de manière quotidienne pendant 5 jours (mg/l) Forage 1 Forage 2 Forage Q : peut-on observer une différence de concentration en Magnésium dans l eau entre les différents forages? Q : quelles sont les hypothèses H0 et H1 que vous allez formuler pour cet exemple?
44 Test de Kruskal-Wallis H0 : les trois forages présentent les mêmes concentrations en Magnésium dans l eau et proviennent de la même source H1: au moins deux forage présentent des concentrations en Magnésium dans l eau qui sont différentes F1 F2 F3 Rang Rg(F1) Rg(F2) Rg(F3) ; ; ; 6 ; 7 6 ; ; ; 9 ; 10 9 ; ; ; Totaux
45 Test de Kruskal-Wallis On calcul l indice H de Kruskal-Wallis suivant la formule : H obs H obs 2 12 r i 3 ( 1) N N N i ni Pour appréhender la signification de cette valeur H, étudions les deux cas limites : - les rangs moyens des concentrations en Magnésium dans l eau sont les mêmes dans les trois forages - les rangs moyens des concentrations en Magnésium dans l eau sont différents dans chacun des trois forages
46 Test de Kruskal-Wallis Soit trois échantillons totalement identiques : F1 F2 F3 Rang Rg(F1) Rg(F2) Rg(F3) ; 2 ; ; 5 ; ; 8 ; ; 11 ; ; 14 ; Totaux H lim
47 Test de Kruskal-Wallis Soit trois échantillons totalement différents : F1 F2 F3 Rang Rg(F1) Rg(F2) Rg(F3) 15 ; 15 ; 15 1 ; 2 ; 3 2 ; 2 ; 2 16 ; 16 4 ; ; ; 18 ; 18 6 ; 7 ; 8 7 ; 7 ; 7 19 ; 19 9 ; ; ; ; ; ; ; ; Totaux H lim
48 Test de Kruskal-Wallis H0 H obs = H1 H lim = 0 Echantillons totalement identiques H crit = H lim = 12.5 Echantillons totalement différents H obs < H crit On accepte H0
49 Test de Kruskal-Wallis Conclusion : on valide notre hypothèse H0 de départ et on peut affirmer que les trois forages présentent des concentrations similaires en Magnésium dans l eau provenant ainsi de la même source
50 Avantages et inconvénients des tests statistiques non paramétriques + Pas d hypothèses sur la forme de la distribution de la population dont l échantillon est tiré S emploie pour des échantillons de taille trés faible (N = 6) Peut s utiliser sur des variables ordinales ou même qualitatives Méthodes intuitives Robustesse du test - Perte de puissance pour déceler un effet faible sur la variable étudiée
51 TD1 : Comparaison de l Empan entre le groupe des filles et le groupe des garçons
52 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées Orchis de Fuchs Serapias à labelle allongé Orchis singe Ophrys abeille Ophrys bourdon
53 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées A B C D
54 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées A B C D
55 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées 1 3 1) ( 12 2 N n r N N H i i i obs Formules générales : Ajustement en cas d ex æquo dans les rangs : 2 1 ) ( 1) ( 12 R R n N N H k j j j obs 2 1 ) ( 1 R R n V H k j j j obs j i j i N N r N V, 2 2, 4 1) ( 1 1
56 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées V n n n r t n i n i , 1 1 Tests post-hoc de comparaisons de moyennes de Steel-Dwass : k(k-1)/2 combinaisons de paires de moyennes Soit K 1 (n 1 observations) et K 2 (n 2 observations), deux échantillons parmi les k échantillons à comparer deux à deux : j i n n n n r n n n n n n V j i, , La statistique suit alors une loi des écarts «studentisés» de Tukey de paramètre k (nombre de groupes) et de degrés de liberté infini (ddl)
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