Les tests statistiques dits non paramétrique

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Les tests statistiques dits non paramétrique"

Transcription

1 Les tests statistiques dits non paramétrique

2 Fréquence Fréquence Tout une histoire de paramètres et de distributions N(m, )??? 68% m m + Hauteur du Sapin de Douglas (Pseudotsuga menzii ) (m) n = 1000 observations Longueur samare de l Érable Plane (Acer platanoides) (mm) n = 10 observations Peut-on décrire la forme de la distribution d une variable avec juste des paramètres de moyenne (m) et de variance ( 2 )?

3 Retour sur les conditions à respecter pour les tests statistiques dits paramétriques Indépendance Les observations au sein d un échantillon doivent être indépendantes : tirage aléatoire avec remise ou sans remise dans une population de grande taille Normalité Homoscedasticité La variable mesurée au sein d un échantillon doit avoir une distribution Normale car chaque valeur est issue d une population qui suit une loi Normale de moyenne μ et d écart type Dans le cas de comparaisons de moyennes issues de plusieurs échantillons (test t de Student par exemple), les variances entre échantillons doivent être identiques Un test non paramétrique est un test basé sur l étude des rangs des observations qui ne fait pas d hypothèses particulières sur la forme de la distribution d origine (non paramétrée)

4 Fréquence Une mécanique basée sur les rangs des observations Contrairement aux test statistiques paramétriques qui se basent sur les valeurs des observations et la notion de barycentre (moyenne des observations), les tests non paramétrique se basent sur les rangs des observations et s intéressent à l ensemble de la distribution (somme des rangs) Valeurs des observations : (32 ; 40 ; 40 ; 41; 42 ; 42 ; 42 ; 43 ; 43 ; 44) Moyenne des observations = 40.9 Rangs des observations : (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10) Somme des rangs = 55 Il existe une grande diversité de tests non paramétriques qui sont généralement des équivalents de tests paramétriques Longueur samare de l Érable Plane (Acer platanoides) (mm)

5 Pour des variables mesurées de manière quantitative (données continues ou ordinales) 1 échantillon Tester les valeurs douteuses dans un échantillon : test de Dixon Tester si la valeur médiane de l échantillon s écarte d une valeur théorique : test de Wilcoxon Tester si la distribution de l échantillon suit une loi Normale : test de Kolmogorov-Smirnov 2 échantillons + de 2 échantillons Comparer la distribution de deux échantillons non appariés : test de Wilcoxon-Mann-Whitney Comparer la distribution de deux échantillons appariés : test de Wilcoxon apparié Comparer la distribution de plusieurs échantillons non appariés : test de Kruskal-Wallis Comparer la distribution de plusieurs échantillons appariés : test de Friedman

6 Pour des variables mesurées de manière qualitative (données de catégories) 1 échantillon Tester si la distribution de l échantillon suit une loi binomiale : test binomial 2 échantillons + de 2 échantillons Comparer la distribution de deux échantillons non appariés : test du Chi2 Comparer la distribution de deux échantillons appariés : test de McNemar Comparer la distribution de plusieurs échantillons non appariés : test du Chi2 Comparer la distribution de plusieurs échantillons appariés : test de Cochran

7 Les tests non paramétriques que nous allons aborder dans ce cours Données quantitatives : 2 échantillons Comparer deux échantillons non appariés : test de Wilcoxon-Mann-Whitney C est l homologue non paramétrique du test t de Student en paramétrique Comparer deux échantillons appariés : test de Wilcoxon apparié C est l homologue non paramétrique du test t de Student apparié en paramétrique Données quantitatives : + de 2 échantillons Comparer plusieurs échantillons non appariés : test de Kruskal-Wallis C est l homologue non paramétrique de l analyse de variance en paramétrique

8 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Comparer la distribution de deux échantillons non appariés pour une variable quantitative : test de Wilcoxon-Mann-Whitney (Wilcoxon rank-sum test) Frank Wilcoxon ( )

9 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Ce test permet de vérifier, pour une variable quantitative et au risque d erreur choisi (0.05 bien souvent), si deux échantillons non appariés sont issus d une même population ou bien de deux populations différentes vis-à-vis de la variable étudiée H0 : les deux échantillons appartiennent à la même population H1 : les deux échantillons sont issus de deux populations différentes NB : Il est important de remarquer qu ici on test des hypothèses H0 et H1 qui portent sur l ensemble de la population et non pas sur un paramètre bien spécifique de moyenne par exemple (cf. l équivalent de ce test en paramétrique qui n est autre que le test de comparaison de moyennes de Student) L équivalent paramétrique de ce test répond à la question : Peut-on déceler une différence entre les paramètres de moyennes estimées m1 et m2 à partir de deux échantillons non appariés et si oui, alors les moyennes réelles μ1 et μ2 sont issues de deux populations distinctes

10 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney L équivalent paramétrique du test de Wilcoxon-Mann-Whitney fonctionne ainsi : La moyenne μ réelle nous informe sur la population Population 1 Population 2 µ 1 µ 2 m 1 m 2 Echantillon 1 La moyenne m estimée Echantillon 2 nous informe sur la moyenne μ réelle

11 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney En non paramétrique, la philosophie du test est différente : Population 1 Population 2 Somme des rangs de l échantillon 1 Classement des observations après rassemblement des échantillons 1 et 2 Somme des rangs de l échantillon 2 Echantillon 1 Echantillon 2

12 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Rappel : dans le cadre paramétrique du test de comparaison de moyenne de Student, si H0 (les deux moyennes sont égales) n est pas rejetée, on peut conclure que les deux échantillons sont rigoureusement identiques et issus d une même population, mais seulement après avoir vérifier l hypothèse d homoscedasticité ou d égalité des variances Pourquoi : car deux échantillons ayant la même moyenne peuvent avoir des variances totalement différentes et donc provenir de deux populations distinctes Diamètre du Sapin pectiné (Abies alba) (cm) Diamètre du Sapin pectiné (Abies alba) (cm)

13 Variance de l échantillon Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Le test non paramétrique de Wilcoxon-Mann-Whitney ne fait aucune hypothèse sur la forme de la distribution d origine S il est moins précis que son homologue paramétrique, il est aussi plus robuste car permet de déceler n importe quel type de différence entre deux échantillons Ce type de test est fortement recommandé quand les échantillons sont de petites tailles car la variance est de plus en plus variable, même pour des échantillons issus de la même population N(m, ) Par conséquent, le risque de ne pas satisfaire la condition d égalité des variances en paramétrique augmente Taille de l échantillon

14 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney On dispose de deux échantillons (mâles et femelles) de Souris des Cactus (Peromyscus eremicus), dont on a mesuré le poids (g) chez l individu adulte Echantillon femelle (n = 6) : 24 ; 30 ; 30 ; 30 ; 38 ; 40 Q : la population de souris femelles (F) est-elle significativement différente de celle des souris mâles (M) de par leur poids (cf. dimorphisme sexuel)? Si oui, avez vous une hypothèse a priori sur le sens de la différence? Echantillon mâle (n = 4) : 20 ; 24 ; 26 ; 28 Q : quelles sont les hypothèses H0 et H1 que vous allez formuler pour cet exemple?

15 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney H0 : mâles et femelles ont le même poids H1 : mâles et femelles ont des poids différents Réalité #1 sous hypothèse Normale Réalité #2 sous hypothèse Normale Réalité #3 sous hypothèse Normale Poids (g) Poids (g) Poids (g) Q : si les conditions d utilisation des test paramétriques étaient remplies, quel type de test utiliseriez vous? Q : sommes-nous réellement dans ce cas de figure?

16 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney R : étant donné la taille de nos échantillons mâle et femelle, leurs variances respectives ont de fortes chances d être différentes... Poids (g) Suivant le test de Fisher : H0 : 2 (F) = 2 (M) H1 : 2 (F) 2 (M) Var(F) = 35.2 Var(M) = 11.7 F obs = 35.2/11.7 = 3.0 < F crit (0.05, 5, 3) = 9.0 On ne rejette pas H0 Comme nous n avons pas d éléments pour contredire H0 les variances sont égales on pourrait éventuellement utiliser un test paramétrique du type test t de Student Pour plus de robustesse, on utilise le test non paramétrique de Wilcoxon sur échantillons non appariés encore appelé test de Mann- Whitney suivant la manière dont on calcul les rangs pour chaque échantillon

17 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Méthode de calcul des rangs T(M) et T(F) selon Wilcoxon : Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 12.5 T(F) = = 42.5

18 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Méthode de calcul des rangs U(M) et U(F) selon Mann-Whitney : M Tot F F Tot M U(M) = = 21.5 U(F) =

19 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Il existe une formule de passage entre l indice U des rangs de Mann-Whitney et l indice T des rangs de Wilcoxon : U(M) = n(m)*n(f) + [n(m)*(n(m) + 1)/2] T(M) = 4*6 + (4*5)/ = 21.5 U(F) = n(m)*n(f) + [n(f)*(n(f) + 1)/2] T(F) = 4*6 + (6*7)/ = 2.5 Conseil : Utiliser l une des deux méthodes de calcul des rangs (celle avec laquelle vous vous sentez le plus à l aise) et calculer ensuite les indices U respectifs si vous avez optez pour la méthode des rangs de Wilcoxon Pourquoi : Car la table de Mann-Whitney de détermination de la valeur critique est plus simple à utiliser que la table de Wilcoxon pour le cas de deux échantillons non appariés Pour comprendre la mécanique du test de Wilcoxon-Mann-Whitney, il faut (1) étudier les 2 cas limites : - les 2 échantillons sont totalement identiques - les 2 échantillons sont totalement différents et (2) calculer les rangs U(M) et U(F) dans chacun de ces 2 cas

20 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Le cas limite de 2 échantillons totalement identiques de par le poids (g) : 28 ; 28 ; 29 ; 29 ; 30 ; ; 29 ; 29 ; 30 Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 22 T(F) = = 33 U(M) = 4*6 + (4*5)/2 22 = 12 U(F) = 4*6 + (6*7)/2 33 = 12 Dans le cas limite de 2 échantillons identiques : U(M) = U(F) = (n(m)*n(f))/2

21 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Le cas limite de 2 échantillons totalement différents de par le poids (g) : 29 ; 29 ; 30 ; 31 ; 31 ; ; 27 ; 27 ; 28 Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 10 T(F) = = 45 U(M) = 4*6 + (4*5)/2 10 = 24 U(F) = 4*6 + (6*7)/2 45 = 0 Dans le cas limite de 2 échantillons différents : U(M) = n(m)*n(f) U(F) = 0

22 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Autre cas limite de 2 échantillons totalement différents de par le poids (g) : 26 ; 27 ; 27; 28 ; 29 ; ; 31 ; 31 ; 32 Poids M F M+F Rang Rang moyen Rang(M) Rang(F) T(M) = = 45 T(F) = = 10 U(M) = 4*6 + (4*5)/2 45 = 0 U(F) = 4*6 + (6*7)/2 10 = 24 Dans le cas limite de 2 échantillons différents : U(M) = 0 U(F) = n(m)*n(f)

23 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Seuil critique au risque Seuil critique au risque H0 rejeté H0 accepté H0 rejeté U lim (F/M) = 0 Echantillons totalement différents??? U lim (F/M) = 12??? Echantillons totalement identiques U lim (F/M) = 24 Echantillons totalement différents U = 0 U = (n 1 *n 2 )/2 U = n 1 *n 2 NB : la table de Mann-Whitney donne toujours la valeur de U critique pour les faibles valeurs de U Pourquoi : car le calcul de U critique devient plus fastidieux voir difficile lorsque les deux valeurs limites de U dépendent de n 1 et n 2 Dans ce cas, si U obs U crit alors on rejette H0 au risque, sinon si U obs > U crit alors on ne rejette pas H0

24 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney H0 rejeté U obs (F) = 2.5 H0 accepté U lim (F) = 0 U crit (F) = 2 Echantillons totalement différents U lim (F) = 12 Echantillons totalement identiques U obs (F) = 2.5 U obs (M) = 21.5 U obs (F) < U obs (M)

25 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Conclusion : on ne rejette H0 et donc on ne peut pas conclure, à partir des distributions observés au sein de nos deux échantillons, que les souris mâles et les souris femelles sont différentes en terme de poids Néanmoins, le résultat obtenu est trés proche de la significativité et si l on utilise l équivalent paramétrique de ce test (l égalité des variances étant respectée, on peut envisager cette option), on trouve un résultat qui est significatif???

26 Test de Wilcoxon-Mann-Whitney NB : pour des échantillons de tailles plus grandes n 1 10 et n 2 10, on peut considérer une approximation par la loi Normale et utiliser la table des valeurs critiques Z de la loi Normale plutôt que la table des valeurs critiques U de Mann-Whitney Z 1 = (U 1 m)/ Z 2 = (U 2 m)/ avec m = (n 1 *n 2 )/2 et 2 = [n 1 *n 2 *(n 1 + n 2 + 1)]/12 Il suffit ensuite de comparer max(z 1, Z 2 ) avec la valeur Z critique de 1.96 au risque de 5% Si max(z 1, Z 2 ) 1.96, on rejette H0 et donc on accepte H1 au risque de 5% Si max(z 1, Z 2 ) < 1.96, on ne rejette pas H0

27 Test de Wilcoxon apparié Comparer la distribution de deux échantillons appariés pour une variable quantitative : test de Wilcoxon apparié (Wilcoxon signed-rank test) 1945 Frank Wilcoxon ( )

28 Test de Wilcoxon apparié Cette fois-ci, on considère le cas de deux échantillons dits appariés, i.e., qui ne sont pas indépendants l un de l autre Par exemple, il peut s agir d une variable qui a été mesurée : - deux fois de suite par le même opérateur dans des conditions différentes de traitement (effet d un facteur de traitement) ; - par deux opérateurs différents dans les mêmes conditions de traitement (effet observateur) ; - à deux instants t 1 et t 2 pour étudier l effet d un traitement au cours du temps (effet temporel) ; - etc. Tout autre type de données qui suggèrent un appariement (cf. comparaison biométrique des membres droit et gauche chez des organismes à symétrie bilatérale)

29 Test de Wilcoxon apparié Clône A N On dispose de 13 clônes de Peuplier dont on a mesuré la concentation en Aluminium dans le bois (μg/g) a deux instants différents (Août et Novembre) au sein d une zone polluée Q : peut-on observer entre Août (A) et Novembre (N) une différence de concentration en Aluminium dans le bois de Peuplier? Si oui, avez vous une hypothèse a priori sur le sens de la différence (cf. phytoremédiation)? Q : quelles sont les hypothèses H0 et H1 que vous allez formuler pour cet exemple?

30 Test de Wilcoxon apparié H0 : la concentration en Aluminium reste inchangée entre Août et Novembre H1 : la concentration en Aluminium est plus forte en Novembre qu en Août Q : Peut-on simplifier les hypothèses H0 et H1? R : oui, comme les deux échantillons sont appariés, on peut simplifier le problème en s intéressant à la distribution des paires de différences entre les mois d Août et de Novembre En gros, on retombe sur le cas d un échantillon simple dont on veut tester la valeur médiane observée par rapport à la valeur médiane théorique nulle H0 : [Al(N)] [Al(A)] = 0 H1 : [Al(N)] [Al(A)] > 0 (NB : ici H1 est une hypothèse directionelle)

31 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A Suivant le test de Fisher : H0 : 2 (A) = 2 (N) H1 : 2 (A) 2 (N) Var(A) = 11.9 Var(N) = 47.4 F obs = 47.4/11.9 = 3.98 > F crit (0.05, 12, 12) = 2.69 On accepte H1 au risque de 5% [Al(N)] [Al(A)] (μg/g) On ne peut pas recourir à un test paramétrique ici, la seule solution c est d utiliser un test non paramétrique approprié

32 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A N-A Rang Rang+ Rang W obs (+) = 75 W obs (-) = 16 Quelles sont les valeurs de W obs (+) et W obs (-) pour les deux cas limites? [Al(N)] = [Al(A)] [Al(N)] > [Al(A)]

33 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A N-A Rang Rang+ Rang W lim (+) = 39 W lim (-) = 39 Attention : n = 12 NB : on élimine toujours les observations nulles

34 Test de Wilcoxon apparié Clône A N N-A N-A Rang Rang+ Rang W lim (+) = 91 W lim (-) = 0

35 Test de Wilcoxon apparié H0 rejeté W crit (-) W crit (+) H0 accepté H0 rejeté W lim (-) = 0 [Al(N)] > [Al(A)] W = 0??? W lim (-/+) = 39??? [Al(N)] = [Al(A)] W = (n*(n+1))/4 W = (12*13)/4 = 39 W lim (+) = 91 [Al(N)] > [Al(A)] W = (n*(n+1))/2 W = (13*14)/2 = 91 NB : notre hypothèse H1 étant directionnelle, nous ne représentons pas l autre cas de figure pour lequel on supposerait le cas limite [Al(N)] < [Al(A)], mais ce cas serait symétrique inverse avec W lim (+) = 0 et W lim (-) = 91 Dans ce cas, si W obs (-) W crit (-) ou si W obs (+) W crit (+) alors on accepte H1 au risque, sinon on ne rejette pas H0

36 Test de Wilcoxon apparié W crit (-) = 21 W crit (+) = 70

37 Test de Wilcoxon apparié H0 rejeté W crit (-) W crit (+) H0 accepté H0 rejeté W lim (-) = 0 [Al(N)] > [Al(A)] 21 W lim (-/+) = [Al(N)] = [Al(A)] W lim (+) = 91 [Al(N)] > [Al(A)] W obs (-) < W crit (-) W obs (+) > W crit (+) On accepte H1 au risque W obs (-) = 16 W obs (+) = 74

38 Test de Wilcoxon apparié Conclusion : au risque de 5%, on valide notre hypothèse H1 de départ et on peut affirmer que l Aluminium s est concentré dans le bois de Peuplier entre les mois d Août et de Novembre et donc que le Peuplier permet, pour l Aluminium, une phytoremédiation des sols

39 Test de Wilcoxon apparié NB : Si nous avions supposé l hypothèse H1 opposé de baisse de la concentration en Aluminium dans le bois de Peuplier entre Août et Novembre : H0 rejeté W crit (+) W crit (-) H0 accepté H0 rejeté W lim (+) = 0 [Al(N)] < [Al(A)] 21 W lim (-/+) = [Al(N)] = [Al(A)] W lim (-) = 91 [Al(N)] < [Al(A)] W obs (-) = 16 W obs (+) = 74 Si W obs (+) W crit (+) ou W obs (-) W crit (-), alors on accepte H1 au risque, sinon on accepte H0 W obs (+) > W crit (+) W obs (-) < W crit (-) On ne rejette pas H0

40 Test de Wilcoxon apparié NB : pour des échantillons de tailles plus grandes n1 10 et n2 10, on peut considérer une approximation par la loi Normale et utiliser la table des valeurs critiques Z de la loi Normale plutôt que la table des valeurs critiques W de Wilcoxon Z obs (+) = (W obs (+) m)/ Z obs (-) = (W obs (-) m)/ avec m = (n*(n + 1))/4 et 2 = [n*(n + 1)*(2*n + 1)]/24 Il suffit ensuite de comparer max(z obs (+), Z obs (-)) avec la valeur Z critique de 1.96 au risque de 5% Si max(z obs (+), Z obs (-)) 1.96, on accepte H1 au risque de 5% Si max(z obs (+), Z obs (-)) < 1.96, on accepte H0

41 Test de Kruskal-Wallis Comparer la distribution de k > 2 échantillons non appariés pour une variable quantitative : test de Kruskal-Wallis (Kruskal-Wallis test) William Kruskal ( ) 1952

42 Test de Kruskal-Wallis Ce test vérifie si plusieurs échantillons (k > 2) appartiennent à la même population Il s agit de l homologue non paramétrique de l analyse de variance à un facteur mais avec le sérieux avantage de ne pas tenir compte de la loi de distribution de la variable étudiée ni de l égalité des variances entre échantillons Ce test est une extention (généralisation) du test de Wilcoxon-Mann-Whitney et par conséquent fonctionne sur le même principe de remplacement des valeurs de la variable d étude par leurs rangs respectifs Comme pour le test de Wilcoxon-Mann-Whitney, les échantillons sont indépendants et chaque échantillon peut avoir un nombre différent d observations Généralement, on note : - k le nombre total d échantillons ; - N le nombre total d observations ; - n i le nombre d observation dans l échantillon i ; - r i la somme des rangs dans l échantillon i

43 Test de Kruskal-Wallis Soit trois forages d eau dont on a mesuré la concentration en Magnésium dans l eau de manière quotidienne pendant 5 jours (mg/l) Forage 1 Forage 2 Forage Q : peut-on observer une différence de concentration en Magnésium dans l eau entre les différents forages? Q : quelles sont les hypothèses H0 et H1 que vous allez formuler pour cet exemple?

44 Test de Kruskal-Wallis H0 : les trois forages présentent les mêmes concentrations en Magnésium dans l eau et proviennent de la même source H1: au moins deux forage présentent des concentrations en Magnésium dans l eau qui sont différentes F1 F2 F3 Rang Rg(F1) Rg(F2) Rg(F3) ; ; ; 6 ; 7 6 ; ; ; 9 ; 10 9 ; ; ; Totaux

45 Test de Kruskal-Wallis On calcul l indice H de Kruskal-Wallis suivant la formule : H obs H obs 2 12 r i 3 ( 1) N N N i ni Pour appréhender la signification de cette valeur H, étudions les deux cas limites : - les rangs moyens des concentrations en Magnésium dans l eau sont les mêmes dans les trois forages - les rangs moyens des concentrations en Magnésium dans l eau sont différents dans chacun des trois forages

46 Test de Kruskal-Wallis Soit trois échantillons totalement identiques : F1 F2 F3 Rang Rg(F1) Rg(F2) Rg(F3) ; 2 ; ; 5 ; ; 8 ; ; 11 ; ; 14 ; Totaux H lim

47 Test de Kruskal-Wallis Soit trois échantillons totalement différents : F1 F2 F3 Rang Rg(F1) Rg(F2) Rg(F3) 15 ; 15 ; 15 1 ; 2 ; 3 2 ; 2 ; 2 16 ; 16 4 ; ; ; 18 ; 18 6 ; 7 ; 8 7 ; 7 ; 7 19 ; 19 9 ; ; ; ; ; ; ; ; Totaux H lim

48 Test de Kruskal-Wallis H0 H obs = H1 H lim = 0 Echantillons totalement identiques H crit = H lim = 12.5 Echantillons totalement différents H obs < H crit On accepte H0

49 Test de Kruskal-Wallis Conclusion : on valide notre hypothèse H0 de départ et on peut affirmer que les trois forages présentent des concentrations similaires en Magnésium dans l eau provenant ainsi de la même source

50 Avantages et inconvénients des tests statistiques non paramétriques + Pas d hypothèses sur la forme de la distribution de la population dont l échantillon est tiré S emploie pour des échantillons de taille trés faible (N = 6) Peut s utiliser sur des variables ordinales ou même qualitatives Méthodes intuitives Robustesse du test - Perte de puissance pour déceler un effet faible sur la variable étudiée

51 TD1 : Comparaison de l Empan entre le groupe des filles et le groupe des garçons

52 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées Orchis de Fuchs Serapias à labelle allongé Orchis singe Ophrys abeille Ophrys bourdon

53 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées A B C D

54 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées A B C D

55 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées 1 3 1) ( 12 2 N n r N N H i i i obs Formules générales : Ajustement en cas d ex æquo dans les rangs : 2 1 ) ( 1) ( 12 R R n N N H k j j j obs 2 1 ) ( 1 R R n V H k j j j obs j i j i N N r N V, 2 2, 4 1) ( 1 1

56 TD2 : Richesse des pelouses sèches en orchidées V n n n r t n i n i , 1 1 Tests post-hoc de comparaisons de moyennes de Steel-Dwass : k(k-1)/2 combinaisons de paires de moyennes Soit K 1 (n 1 observations) et K 2 (n 2 observations), deux échantillons parmi les k échantillons à comparer deux à deux : j i n n n n r n n n n n n V j i, , La statistique suit alors une loi des écarts «studentisés» de Tukey de paramètre k (nombre de groupes) et de degrés de liberté infini (ddl)

Tests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique»

Tests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique» Tests de comparaison de moyennes Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique» Test de Z ou de l écart réduit Le test de Z : comparer des paramètres en testant leurs différences

Plus en détail

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42 TABLE DES MATIERES Chapitre I : Echantillonnage A - Rappels de cours 1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique 1 1.1 Définitions et caractérisations 1 1.2 Les propriétés de convergence

Plus en détail

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,

Plus en détail

Principe d un test statistique

Principe d un test statistique Biostatistiques Principe d un test statistique Professeur Jean-Luc BOSSON PCEM2 - Année universitaire 2012/2013 Faculté de Médecine de Grenoble (UJF) - Tous droits réservés. Objectifs pédagogiques Comprendre

Plus en détail

Introduction à l approche bootstrap

Introduction à l approche bootstrap Introduction à l approche bootstrap Irène Buvat U494 INSERM buvat@imedjussieufr 25 septembre 2000 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-1 Plan du cours Qu est-ce que le bootstrap?

Plus en détail

Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes

Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Biostatistique Pr. Nicolas MEYER Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale Fac. de Médecine de Strasbourg Mars 2011 Plan 1 Introduction

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Introduction à la statistique non paramétrique

Introduction à la statistique non paramétrique Introduction à la statistique non paramétrique Catherine MATIAS CNRS, Laboratoire Statistique & Génome, Évry http://stat.genopole.cnrs.fr/ cmatias Atelier SFDS 27/28 septembre 2012 Partie 2 : Tests non

Plus en détail

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction

Plus en détail

Biostatistiques : Petits effectifs

Biostatistiques : Petits effectifs Biostatistiques : Petits effectifs Master Recherche Biologie et Santé P. Devos DRCI CHRU de Lille EA2694 patrick.devos@univ-lille2.fr Plan Données Générales : Définition des statistiques Principe de l

Plus en détail

distribution quelconque Signe 1 échantillon non Wilcoxon gaussienne distribution symétrique Student gaussienne position

distribution quelconque Signe 1 échantillon non Wilcoxon gaussienne distribution symétrique Student gaussienne position Arbre de NESI distribution quelconque Signe 1 échantillon distribution symétrique non gaussienne Wilcoxon gaussienne Student position appariés 1 échantillon sur la différence avec référence=0 2 échantillons

Plus en détail

Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE

Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE Chapitre 5 UE4 : Biostatistiques Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.

Plus en détail

T de Student Khi-deux Corrélation

T de Student Khi-deux Corrélation Les tests d inférence statistiques permettent d estimer le risque d inférer un résultat d un échantillon à une population et de décider si on «prend le risque» (si 0.05 ou 5 %) Une différence de moyennes

Plus en détail

Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire

Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire CHAPITRE 3 Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire Parmi les analyses statistiques descriptives, l une d entre elles est particulièrement utilisée pour mettre en évidence

Plus en détail

Lecture critique d article. Bio statistiques. Dr MARC CUGGIA MCU-PH Laboratoire d informatique médicale EA-3888

Lecture critique d article. Bio statistiques. Dr MARC CUGGIA MCU-PH Laboratoire d informatique médicale EA-3888 Lecture critique d article Rappels Bio statistiques Dr MARC CUGGIA MCU-PH Laboratoire d informatique médicale EA-3888 Plan du cours Rappels fondamentaux Statistiques descriptives Notions de tests statistiques

Plus en détail

Chapitre 6 Test de comparaison de pourcentages χ². José LABARERE

Chapitre 6 Test de comparaison de pourcentages χ². José LABARERE UE4 : Biostatistiques Chapitre 6 Test de comparaison de pourcentages χ² José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Nature des variables

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Probabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences. Avner Bar-Hen

Probabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences. Avner Bar-Hen Probabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences Avner Bar-Hen Université Aix-Marseille III 2000 2001 Table des matières 1 Introduction 3 2 Introduction à l analyse statistique 5 1 Introduction.................................

Plus en détail

Le risque Idiosyncrasique

Le risque Idiosyncrasique Le risque Idiosyncrasique -Pierre CADESTIN -Magali DRIGHES -Raphael MINATO -Mathieu SELLES 1 Introduction Risque idiosyncrasique : risque non pris en compte dans le risque de marché (indépendant des phénomènes

Plus en détail

Biostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke

Biostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke www.fundp.ac.be/biostats Module 140 140 ANOVA A UN CRITERE DE CLASSIFICATION FIXE...2 140.1 UTILITE...2 140.2 COMPARAISON DE VARIANCES...2 140.2.1 Calcul de la variance...2 140.2.2 Distributions de référence...3

Plus en détail

Chapitre 2/ La fonction de consommation et la fonction d épargne

Chapitre 2/ La fonction de consommation et la fonction d épargne hapitre 2/ La fonction de consommation et la fonction d épargne I : La fonction de consommation keynésienne II : Validations et limites de la fonction de consommation keynésienne III : Le choix de consommation

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

Statistique : Résumé de cours et méthodes

Statistique : Résumé de cours et méthodes Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère

Plus en détail

FORMULAIRE DE STATISTIQUES

FORMULAIRE DE STATISTIQUES FORMULAIRE DE STATISTIQUES I. STATISTIQUES DESCRIPTIVES Moyenne arithmétique Remarque: population: m xμ; échantillon: Mx 1 Somme des carrés des écarts "# FR MOYENNE(série) MOYENNE(série) NL GEMIDDELDE(série)

Plus en détail

Régression linéaire. Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr

Régression linéaire. Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr Régression linéaire Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr 2005 Plan Régression linéaire simple Régression multiple Compréhension de la sortie de la régression Coefficient de détermination R

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Calcul élémentaire des probabilités

Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 16-02-2006 Sommaire La loi de Poisson. Définition. Exemple. 1 La loi de Poisson. 2 3 4

Plus en détail

TESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ². http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme

TESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ². http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme TESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ² http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme Logo du Second International Congress of Eugenics 1921. «Comme un arbre, l eugénisme tire ses constituants de nombreuses sources

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

VI. Tests non paramétriques sur un échantillon

VI. Tests non paramétriques sur un échantillon VI. Tests non paramétriques sur un échantillon Le modèle n est pas un modèle paramétrique «TESTS du CHI-DEUX» : VI.1. Test d ajustement à une loi donnée VI.. Test d indépendance de deux facteurs 96 Différentes

Plus en détail

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. 3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions

Plus en détail

La nouvelle planification de l échantillonnage

La nouvelle planification de l échantillonnage La nouvelle planification de l échantillonnage Pierre-Arnaud Pendoli Division Sondages Plan de la présentation Rappel sur le Recensement de la population (RP) en continu Description de la base de sondage

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses

Plus en détail

Lire ; Compter ; Tester... avec R

Lire ; Compter ; Tester... avec R Lire ; Compter ; Tester... avec R Préparation des données / Analyse univariée / Analyse bivariée Christophe Genolini 2 Table des matières 1 Rappels théoriques 5 1.1 Vocabulaire....................................

Plus en détail

Introduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R

Introduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R Introduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R Christophe Lalanne Christophe Pallier 1 Introduction 2 Comparaisons de deux moyennes 2.1 Objet de l étude On a mesuré le temps de sommeil

Plus en détail

Localisation des fonctions

Localisation des fonctions MODALISA 7 Localisation des fonctions Vous trouverez dans ce document la position des principales fonctions ventilées selon l organisation de Modalisa en onglets. Sommaire A. Fonctions communes à tous

Plus en détail

Nouveau Barème W.B.F. de points de victoire 4 à 48 donnes

Nouveau Barème W.B.F. de points de victoire 4 à 48 donnes Nouveau Barème W.B.F. de points de victoire 4 à 48 donnes Pages 4 à 48 barèmes 4 à 48 donnes Condensé en une page: Page 2 barèmes 4 à 32 ( nombre pair de donnes ) Page 3 Tous les autres barèmes ( PV de

Plus en détail

Document d orientation sur les allégations issues d essais de non-infériorité

Document d orientation sur les allégations issues d essais de non-infériorité Document d orientation sur les allégations issues d essais de non-infériorité Février 2013 1 Liste de contrôle des essais de non-infériorité N o Liste de contrôle (les clients peuvent se servir de cette

Plus en détail

Note de service À : De :

Note de service À : De : Note de service À : De : Tous les Fellows, affiliés, associés et correspondants de l Institut canadien des actuaires et autres parties intéressées Jim Christie, président Conseil des normes actuarielles

Plus en détail

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels Etab=MK3, Timbre=G430, TimbreDansAdresse=Vrai, Version=W2000/Charte7, VersionTravail=W2000/Charte7 Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Plus en détail

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites La problématique des tests Cours V 7 mars 8 Test d hypothèses [Section 6.1] Soit un modèle statistique P θ ; θ Θ} et des hypothèses H : θ Θ H 1 : θ Θ 1 = Θ \ Θ Un test (pur) est une statistique à valeur

Plus en détail

Chapitre 3. Les distributions à deux variables

Chapitre 3. Les distributions à deux variables Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles

Plus en détail

Lois de probabilité. Anita Burgun

Lois de probabilité. Anita Burgun Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage

Plus en détail

Méthode : On raisonnera tjs graphiquement avec 2 biens.

Méthode : On raisonnera tjs graphiquement avec 2 biens. Chapiittrre 1 : L uttiilliitté ((lles ménages)) Définitions > Utilité : Mesure le plaisir / la satisfaction d un individu compte tenu de ses goûts. (On s intéresse uniquement à un consommateur rationnel

Plus en détail

Statistiques. Rappels de cours et travaux dirigés. Master 1 Biologie et technologie du végétal. Année 2010-2011

Statistiques. Rappels de cours et travaux dirigés. Master 1 Biologie et technologie du végétal. Année 2010-2011 Master 1 Biologie et technologie du végétal Année 010-011 Statistiques Rappels de cours et travaux dirigés (Seul ce document sera autorisé en examen) auteur : Jean-Marc Labatte jean-marc.labatte@univ-angers.fr

Plus en détail

Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch

Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch Pre-MBA Statistics Seances #1 à #5 : Benjamin Leroy-Beaulieu Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch Mise à niveau statistique Seance #1 : 11 octobre Dénombrement et calculs de sommes 2 QUESTIONS

Plus en détail

Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014

Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 Tests du χ 2 Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 A. Lourme http://alexandrelourme.free.fr Outline

Plus en détail

Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés

Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Professeur Patrice Francour francour@unice.fr Une grande partie des illustrations viennent

Plus en détail

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Un exemple de régression logistique sous

Un exemple de régression logistique sous Fiche TD avec le logiciel : tdr341 Un exemple de régression logistique sous A.B. Dufour & A. Viallefont Etude de l apparition ou non d une maladie cardiaque des coronaires 1 Présentation des données Les

Plus en détail

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs

Plus en détail

Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison

Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance Mars 2012 IREM: groupe Proba-Stat Estimation Term.1 Intervalle de fluctuation connu : probabilité p, taille de l échantillon n but : estimer une fréquence

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Cours de Tests paramétriques

Cours de Tests paramétriques Cours de Tests paramétriques F. Muri-Majoube et P. Cénac 2006-2007 Licence Ce document est sous licence ALC TYPE 2. Le texte de cette licence est également consultable en ligne à l adresse http://www.librecours.org/cgi-bin/main?callback=licencetype2.

Plus en détail

Étude comparative sur les salaires et les échelles salariales des professeurs d université. Version finale. Présentée au

Étude comparative sur les salaires et les échelles salariales des professeurs d université. Version finale. Présentée au Étude comparative sur les salaires et les échelles salariales des professeurs d université Version finale Présentée au Syndicat général des professeurs et professeures de l Université de Montréal (SGPUM)

Plus en détail

2010 Minitab, Inc. Tous droits réservés. Version 16.1.0 Minitab, le logo Minitab, Quality Companion by Minitab et Quality Trainer by Minitab sont des

2010 Minitab, Inc. Tous droits réservés. Version 16.1.0 Minitab, le logo Minitab, Quality Companion by Minitab et Quality Trainer by Minitab sont des 2010 Minitab, Inc. Tous droits réservés. Version 16.1.0 Minitab, le logo Minitab, Quality Companion by Minitab et Quality Trainer by Minitab sont des marques déposées de Minitab, Inc. aux Etats-Unis et

Plus en détail

14. Introduction aux files d attente

14. Introduction aux files d attente 14. Introduction aux files d attente MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: Files d attente 1/24 Plan 1. Introduction 2. Modèle M/M/1 3. Modèle M/M/1/K MTH2302D: Files

Plus en détail

Informations techniques

Informations techniques Informations techniques Force développée par un vérin Ø du cylindre (mm) Ø de la tige (mm) 12 6 16 6 20 8 25 10 32 12 40 16 50 20 63 20 80 25 100 25 125 32 160 40 200 40 250 50 320 63 ction Surface utile

Plus en détail

Une variable binaire prédictrice (VI) et une variable binaire observée (VD) (Comparaison de pourcentages sur 2 groupes indépendants)

Une variable binaire prédictrice (VI) et une variable binaire observée (VD) (Comparaison de pourcentages sur 2 groupes indépendants) CIVILITE-SES.doc - 1 - Une variable binaire prédictrice (VI) et une variable binaire observée (VD) (Comparaison de pourcentages sur 2 groupes indépendants) 1 PRÉSENTATION DU DOSSIER CIVILITE On s intéresse

Plus en détail

23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement

23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement 23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement 23.1. Critères de jugement binaires Plusieurs mesures (indices) sont utilisables pour quantifier l effet traitement lors de l utilisation d

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

La valeur présente (ou actuelle) d une annuité, si elle est constante, est donc aussi calculable par cette fonction : VA = A [(1-1/(1+k) T )/k]

La valeur présente (ou actuelle) d une annuité, si elle est constante, est donc aussi calculable par cette fonction : VA = A [(1-1/(1+k) T )/k] Evaluation de la rentabilité d un projet d investissement La décision d investir dans un quelconque projet se base principalement sur l évaluation de son intérêt économique et par conséquent, du calcul

Plus en détail

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes

Plus en détail

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes

Plus en détail

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun

Plus en détail

La crise économique vue par les salariés français

La crise économique vue par les salariés français La crise économique vue par les salariés français Étude du lien entre la performance sociale et le contexte socioéconomique Baggio, S. et Sutter, P.-E. La présente étude s intéresse au lien entre cette

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES Université Paris 13 Cours de Statistiques et Econométrie I UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 Licence de Sciences Economiques L3 Premier semestre TESTS PARAMÉTRIQUES Remarque: les exercices 2,

Plus en détail

Cours 9 : Plans à plusieurs facteurs

Cours 9 : Plans à plusieurs facteurs Cours 9 : Plans à plusieurs facteurs Table des matières Section 1. Diviser pour regner, rassembler pour saisir... 3 Section 2. Définitions et notations... 3 2.1. Définitions... 3 2.2. Notations... 4 Section

Plus en détail

Unity Real Time 2.0 Service Pack 2 update

Unity Real Time 2.0 Service Pack 2 update Unity Real Time 2.0 Service Pack 2 update Configuration des Objectifs Analytiques La nouvelle version permet, en un écran, de configurer un lot, un panel ou un instrument. Le menu est accessible au moyen

Plus en détail

Exercices M1 SES 2014-2015 Ana Fermin (http:// fermin.perso.math.cnrs.fr/ ) 14 Avril 2015

Exercices M1 SES 2014-2015 Ana Fermin (http:// fermin.perso.math.cnrs.fr/ ) 14 Avril 2015 Exercices M1 SES 214-215 Ana Fermin (http:// fermin.perso.math.cnrs.fr/ ) 14 Avril 215 Les exemples numériques présentés dans ce document d exercices ont été traités sur le logiciel R, téléchargeable par

Plus en détail

IBM SPSS Direct Marketing 21

IBM SPSS Direct Marketing 21 IBM SPSS Direct Marketing 21 Remarque : Avant d utiliser ces informations et le produit qu elles concernent, lisez les informations générales sous Remarques sur p. 109. Cette version s applique à IBM SPSS

Plus en détail

Analyse de variance à deux facteurs (plan inter-sujets à deux facteurs) TP9

Analyse de variance à deux facteurs (plan inter-sujets à deux facteurs) TP9 Analyse de variance à deux facteurs (plan inter-sujets à deux facteurs) TP9 L analyse de variance à un facteur permet de vérifier, moyennant certaines hypothèses, si un facteur (un critère de classification,

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

TP N 57. Déploiement et renouvellement d une constellation de satellites

TP N 57. Déploiement et renouvellement d une constellation de satellites TP N 57 Déploiement et renouvellement d une constellation de satellites L objet de ce TP est d optimiser la stratégie de déploiement et de renouvellement d une constellation de satellites ainsi que les

Plus en détail

Rampes et garde-corps

Rampes et garde-corps Rampes et garde-corps Aluminium (intérieur - etérieur) Bois (intérieur) 25 1987 2012 Configurateur et vidéos de montage en ligne www.sogem-sa.com Square Tableau des accessoires livrés sous blister S1 S3

Plus en détail

LISTE D EXERCICES 2 (à la maison)

LISTE D EXERCICES 2 (à la maison) Université de Lorraine Faculté des Sciences et Technologies MASTER 2 IMOI, parcours AD et MF Année 2013/2014 Ecole des Mines de Nancy LISTE D EXERCICES 2 (à la maison) 2.1 Un particulier place 500 euros

Plus en détail

TD d économétrie appliquée : Introduction à STATA

TD d économétrie appliquée : Introduction à STATA Ecole normale supérieure (ENS) Département d économie TD d économétrie appliquée : Introduction à STATA Marianne Tenand marianne.tenand@ens.fr OBJECTIFS DU TD Découvrir le logiciel d économétrie STATA,

Plus en détail

Statistique inférentielle TD 1 : Estimation

Statistique inférentielle TD 1 : Estimation POLYTECH LILLE Statistique inférentielle TD : Estimation Exercice : Maîtrise Statistique des Procédés Une entreprise de construction mécanique fabrique de pièces demoteurdevoiturepourungrandconstructeur

Plus en détail

1 Définition de la non stationnarité

1 Définition de la non stationnarité Chapitre 2: La non stationnarité -Testsdedétection Quelques notes de cours (non exhaustives) 1 Définition de la non stationnarité La plupart des séries économiques sont non stationnaires, c est-à-direqueleprocessusquiles

Plus en détail

Statistiques Appliquées à l Expérimentation en Sciences Humaines. Christophe Lalanne, Sébastien Georges, Christophe Pallier

Statistiques Appliquées à l Expérimentation en Sciences Humaines. Christophe Lalanne, Sébastien Georges, Christophe Pallier Statistiques Appliquées à l Expérimentation en Sciences Humaines Christophe Lalanne, Sébastien Georges, Christophe Pallier Table des matières 1 Méthodologie expérimentale et recueil des données 6 1.1 Introduction.......................................

Plus en détail

techniques de tirs a l avant - partie 2

techniques de tirs a l avant - partie 2 techniques de tirs a l avant - partie 2 1 - direction a - tir long b - tir court c - tir droit 2 - feintes a - aile ou sur place b - roulette avec appel c - appel dans un jeu en mouvement d - aller-retour

Plus en détail

la comparaison des ampoules

la comparaison des ampoules description la comparaison des ampoules 6 e année, Sciences et technologie Source : Adapté de TDSB, Heat in the Environment Au cours de cette activité d apprentissage, les élèves exploreront leur utilisation

Plus en détail

Représentation d une distribution

Représentation d une distribution 5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque

Plus en détail

Package TestsFaciles

Package TestsFaciles Package TestsFaciles March 26, 2007 Type Package Title Facilite le calcul d intervalles de confiance et de tests de comparaison avec prise en compte du plan d échantillonnage. Version 1.0 Date 2007-03-26

Plus en détail

ING Turbos Infinis. Avantages des Turbos Infinis Potentiel de rendement élevé. Pas d impact de la volatilité. La transparence du prix

ING Turbos Infinis. Avantages des Turbos Infinis Potentiel de rendement élevé. Pas d impact de la volatilité. La transparence du prix ING Turbos Infinis Produit présentant un risque de perte en capital et à effet de levier. Les Turbos sont émis par ING Bank N.V. et sont soumis au risque de défaut de l émetteur. ING Turbos Infinis Les

Plus en détail

Prudence, Epargne et Risques de Soins de Santé Christophe Courbage

Prudence, Epargne et Risques de Soins de Santé Christophe Courbage Prudence, Epargne et Rique de Soin de Santé Chritophe Courbage ASSOCIATION DE GENÈVE Introduction Le compte d épargne anté (MSA), une nouvelle forme d intrument pour couvrir le dépene de anté en ca de

Plus en détail

Tableau 1 : Structure du tableau des données individuelles. INDIV B i1 1 i2 2 i3 2 i4 1 i5 2 i6 2 i7 1 i8 1

Tableau 1 : Structure du tableau des données individuelles. INDIV B i1 1 i2 2 i3 2 i4 1 i5 2 i6 2 i7 1 i8 1 UN GROUPE D INDIVIDUS Un groupe d individus décrit par une variable qualitative binaire DÉCRIT PAR UNE VARIABLE QUALITATIVE BINAIRE ANALYSER UN SOUS-GROUPE COMPARER UN SOUS-GROUPE À UNE RÉFÉRENCE Mots-clés

Plus en détail

Mesure de la surface spécifique

Mesure de la surface spécifique Mesure de la surface spécifique Introducing the Acorn Area TM Acorn Area est un instrument révolutionnaire conçu pour mesurer la surface spécifique des nanoparticules en suspension dans un liquide. Utilisant

Plus en détail

4. Résultats et discussion

4. Résultats et discussion 17 4. Résultats et discussion La signification statistique des gains et des pertes bruts annualisés pondérés de superficie forestière et du changement net de superficie forestière a été testée pour les

Plus en détail

Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles)

Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles) Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles) GMMA 106 GMMA 106 2014 2015 1 / 32 Cas d étude Temperature (C) 37.0 37.5 38.0 0 20 40 60 80 100 Figure 1: Temperature

Plus en détail

POKER ET PROBABILITÉ

POKER ET PROBABILITÉ POKER ET PROBABILITÉ Le poker est un jeu de cartes où la chance intervient mais derrière la chance il y a aussi des mathématiques et plus précisément des probabilités, voici une copie d'écran d'une main

Plus en détail

COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 2 COUVERTURE DU BESOIN DE FINANCEMENT CHOIX DU NIVEAU DU FONDS DE ROULEMENT

COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 2 COUVERTURE DU BESOIN DE FINANCEMENT CHOIX DU NIVEAU DU FONDS DE ROULEMENT COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 2 COUVERTURE DU BESOIN DE FINANCEMENT CHOIX DU NIVEAU DU FONDS DE ROULEMENT SEANCE 2 COUVERTURE DU BESOIN DE FINANCEMENT CHOIX DU NIVEAU DU FONDS DE ROULEMENT

Plus en détail

DEVENEZ UN POKER-KILLER AU TEXAS HOLD EM!

DEVENEZ UN POKER-KILLER AU TEXAS HOLD EM! DEVENEZ UN POKER-KILLER AU TEXAS HOLD EM! NIVEAU DEBUTANT http://www.poker-killer.com/ 1 INTRODUCTION Je m'appelle david Jarowsky, 53 ans. Je n ai jamais été le premier de la clase, ni quelqu un d extraordinaire.

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX

FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX 1. L effet d une variation du revenu. Les lois d Engel a. Conditions du raisonnement : prix et goûts inchangés, variation du revenu (statique comparative) b. Partie

Plus en détail