Chapitre 2 section 6. Classe de jeux dynamiques spécifiques : jeux dits «répétés»

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1 Chapitre 2 section 6 Classe de jeux dynamiques spécifiques : jeux dits «répétés»

2 Chapitre 2 section 6 Classe de jeux dynamiques spécifiques : jeux dits «répétés» capte des situations où les joueurs se «rencontrent» régulièrement interactions répétées

3 Chapitre 2 section 6 Classe de jeux dynamiques spécifiques : jeux dits «répétés» capte des situations où les joueurs se «rencontrent» régulièrement interactions répétées rôle explicite du temps : apprentissage, acquisition d une réputation, incitations à coopérer (cadre non coopératif)

4 Soit le jeu EG de concurrence entre deux firmes : Firme 1 Entente Guerre Firme 2 Entente Guerre

5 Situation du type «dilemme du prisonnier où l EN (G, G) est Pareto dominé par (E, E) : Firme 1 Entente Guerre Firme 2 Entente Guerre

6 Mais admettons que les deux firmes se «rencontrent» régulièrement, avec les mêmes actions possibles à chaque fois,

7 Mais admettons que les deux firmes se «rencontrent» régulièrement, avec les mêmes actions possibles à chaque fois, par exemple pendant T 2 périodes en supposant que chacune observe ce qu a fait l autre à la fin de chaque période

8 Mais admettons que les deux firmes se «rencontrent» régulièrement, avec les mêmes actions possibles à chaque fois, par exemple pendant T 2 périodes en supposant que chacune observe ce qu a fait l autre à la fin de chaque période le jeu simultané EG ne représente qu une occurrence (étape) d un jeu plus long à T périodes jeu répété, fini (T < périodes seulement)

9 Mais admettons que les deux firmes se «rencontrent» régulièrement, avec les mêmes actions possibles à chaque fois, par exemple pendant T 2 périodes en supposant que chacune observe ce qu a fait l autre à la fin de chaque période le jeu simultané EG ne représente qu une occurrence (étape) d un jeu plus long à T périodes jeu répété, fini (T < périodes seulement) question :émergence à LT de la coopération?

10 problème : le nombre de stratégies possibles pour chaque joueur augmente rapidement avec T :

11 problème : le nombre de stratégies possibles pour chaque joueur augmente rapidement avec T : rappel : une stratégie est un plan contingent i.e. spécifie ce que fait un joueur à chacun de ses ensembles d info.

12 problème : le nombre de stratégies possibles pour chaque joueur augmente rapidement avec T : rappel : une stratégie est un plan contingent i.e. spécifie ce que fait un joueur à chacun de ses ensembles d info. Supposons T = 2

13 Représentation sous forme extensive (sans les gains) : F1 Etape 1 E F 2 G E G E G F1 Etape 2 E G E G E G E G F2

14 Jeu simultané à l étape 1 F1 E G Etape 1 E F 2 G E 3 G E G E F1 G -1 0 Etape 2 E G E G E G E G F2

15 Idem en chaque sous jeu à l étape 2 F1 Etape 1 E F 2 G E G E G F1 Etape 2 E G E G E G E G F2 E E 3 G -1 G

16 exemple : nb de stratégies de F1 si T = 2?

17 exemple : nb de stratégies de F1 si T = 2? F1 a 1 nœud de décision en t=1 4 nœuds de décision en t=2 F2 a 1 ensemble d info. en t=1 4 ensembles d info. en t=2

18 exemple : nb de stratégies de F1 si T = 2? F1 a 1 nœud de décision en t=1 4 nœuds de décision en t=2 F2 a 1 ensemble d info. en t=1 4 ensembles d info. en t=2 à l étape 2, F1 a deux actions possibles à chacun de ses 4 nœuds de décision,

19 exemple : nb de stratégies de F1 si T = 2? F1 a 1 nœud de décision en t=1 4 nœuds de décision en t=2 F2 a 1 ensemble d info. en t=1 4 ensembles d info. en t=2 à l étape 2, F1 a deux actions possibles à chacun de ses 4 nœuds de décision, soit : 4 2 = 16 arrangements possibles en tenant compte des 2 actions à l étape 1, ceci donne : 2 x 4 2 = 32 stratégies pour F1 du type : (E ; E E E E) (E ; G E E E) (E ; E G E E) (G ; E E E E) (G ; G G G G) etc

20 Si T=3, F1 a 1 nœud de décision en t=1 4 en t=2 16 en t=3 D où un nb de stratégies = 2 x 4 2 x 16 2 = 8192 conséquence : quand T devient grand, le nb de stratégies devient très élevé ( T=20, plusieurs millions)! Donc potentiellement complexe à analyser

21 Néanmoins dans la mesure où le jeu est fini,

22 Néanmoins dans la mesure où le jeu est fini, i.e. l horizon des joueurs est borné (il existe pour eux une date terminale pour le jeu : T < ), alors un jeu répété fini est très simple à analyser

23 Néanmoins dans la mesure où le jeu est fini, i.e. l horizon des joueurs est borné (il existe pour eux une date terminale pour le jeu : T < ), alors un jeu répété fini est très simple à analyser l applica on du concept d EPSJ requiert qu une combinaison de stratégies n est un EPSJ que s il induit un équilibre de Nash dans chacun de ses sous jeux

24 or, chaque joueur sait : qu à l étape 2, chaque sous jeu est identique au jeu statique (peu importe l histoire passée, i.e. les gains/pertes antérieures)

25 or, chaque joueur sait : qu à l étape 2, chaque sous jeu est identique au jeu statique (peu importe l histoire passée, i.e. les gains/pertes antérieures) que le seul EN du jeu statique est (G, G) (G, G) est donc l unique EN dans chaque sous jeu

26 or, chaque joueur sait : qu à l étape 2, chaque sous jeu est identique au jeu statique (peu importe l histoire passée, i.e. les gains/pertes antérieures) que le seul EN du jeu statique est (G, G) (G, G) est donc l unique EN dans chaque sous jeu le seul EPSJ du jeu répété à T=2 correspond donc à une combinaison de stratégies où chacun des joueurs choisit partout G généralisable à tout T <

27 en d autres termes, connaissant la date terminale T (quelle qu elle soit : T 2),

28 en d autres termes, connaissant la date terminale T (quelle qu elle soit : T 2), il est individuellement inutile (irrationnel) de tenter de se construire une réputation d agent coopératif en choisissant unilatéralement «Entente», quel que soit l instant du jeu et la longueur de T

29 en d autres termes, connaissant la date terminale T (quelle qu elle soit : T 2), il est individuellement inutile (irrationnel) de tenter de se construire une réputation d agent coopératif en choisissant unilatéralement «Entente», quel que soit l instant du jeu et la longueur de T puisqu à la date terminale, chacun choisira «Guerre» par raisonnement inductif à rebours, c est vrai à chaque date

30 en d autres termes, connaissant la date terminale T (quelle qu elle soit : T > 2), il est individuellement inutile (irrationnel) de tenter de se construire une réputation d agent coopératif en choisissant unilatéralement «Entente», quel que soit l instant du jeu et la longueur de T puisqu à la date terminale, chacun choisira «Guerre» par raisonnement inductif à rebours, c est vrai à chaque date la coopéra on ne peut pas émerger omme EPSJ dans un jeu répété fini à info complète

31 jeu répété infini l argument d induc on à rebours u lisé pour le jeu fini (effet dead line) n a plus de pertinence à tout moment, l avenir du jeu (gains/pertes) influence les décisions présentes

32 jeu répété infini l argument d induc on à rebours u lisé pour le jeu fini (effet dead line) n a plus de pertinence à tout moment, l avenir du jeu (gains/pertes) influence les décisions présentes conséquence : tout est possible! la coopération, comme la guerre mul plicité d EN et d EPSJ

33 Résultat général : Folk théorèmes dans un jeu répété à l infini, où les joueurs ont un nombre fini d actions à chaque occurrence, toute combinaison d actions répétée sur une séquence finie peut constituer l unique résultat d un équilibre du jeu;

34 Résultat général : Folk théorèmes dans un jeu répété à l infini, où les joueurs ont un nombre fini d actions à chaque occurrence, toute combinaison d actions répétée sur une séquence finie peut constituer l unique résultat d un équilibre du jeu; condition requise (2 joueurs) : une certaine valeur du taux d actualisation

35 Argument : En horizon fini, il n est pas possible de se construire une réputation (coopération) ni d inciter l autre à coopérer (punition) en raison de la dead line T

36 Argument : En horizon fini, il n est pas possible de se construire une réputation (coopération) ni d inciter l autre à coopérer (punition) en raison de la dead line T En horizon infini, en revanche, à chaque occurrence du jeu, il reste toujours à venir un grand nb de périodes (une infinité de répétitions du jeu) qui peut inciter un joueur à user de représailles (punir l autre, au moins sur une durée finie) afin d inciter l autre à coopérer

37 On va montrer que jouer E à chaque période pour les deux joueurs, peut être maintenant obtenu comme le résultat d un EN du jeu répété à l infini Jouer E à l infini si l autre joue aussi E à l infini, donne à chaque joueur un gain cumulé égal à : t=1 x δ t 1 x (3) = 3 x ( t=1 x δ t 1 ) = 3/(1 δ) C est le gain max, pour tout δ < 1 mais supporté par différentes stratégies!

38 Mais montrons d abord que (G,G) est aussi un EN du jeu infini Jouer G à l infini si l autre joue aussi G à l infini, donne à chaque joueur un gain cumulé égal à : t=1 x δ t 1 x 0 = 0 Donc, une déviation unilatérale E (à la date 1, par exemple) donnerait un gain négatif 1 + t=2 x δ t 1 x 0 = 1 Donc, pas d incitation à dévier (en tout t)!

39 En fait, il existe beaucoup d autres types d EN (en termes de stratégies) induisant la coopération (en termes de résultat) stratégies «œil pour œil» : Jouer E dès le départ, et tant que l autre joue E; mais dès que l autre joue G, jouer G à l infini donne à chaque joueur un gain cumulé égal à : t=1 x δ t 1 x (3) = δ /(1 δ) à l équilibre (i.e. si l autre la joue)

40 inversement, une déviation unilatérale G (à la date 2, par exemple) donnerait un gain : δ + t=3 x δ t 1 x 0 = δ Donc, pas d incitation à dévier si : 3 δ /(1 δ) > 4 δ 3 > 4 x (1 δ) 4 x δ > 1 δ > 1/4 «œil pour œil» donne 1 EN avec coopération pour certaines valeurs de δ Є (1/4, 1)

41 Idée : les représailles sont crédibles si T, mais peuvent être coûteuses punir seulement pour certaines périodes peut être suffisant Jouer alternativement E puis G dès le départ, et tant que l autre joue E; sinon, jouer G à l infini Stratégies dites «tit for tat» jouer E initialement; puis jouer en t ce que l autre a joué en t 1

42 Conclusion : Présenter des concepts clés pour analyser le fonctionnement des marchés, dès que l on sort des deux cas polaires que sont la CPP et le monopole Utilisés dans le champ suivant, mais aussi, suite du cursus: L3, M instruments fondamentaux de l éco moderne essen els aussi dans le champ de l économie du droit ( Law & Economics)