Viscoélasticité pour le Calcul des structures

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1 Viscoélasticité pour le Calcul des structures Jean Salençon les presses des ponts et chaussées

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3 Viscoélasticité pour le calcul des structures Le dimensionnement d un ouvrage nécessite de déterminer, dans le cadre prescrit par les règlements, la réponse de celui-ci aux sollicitations statiques et dynamiques qui lui sont imposées. Ce dimensionnement se réfère à des critères qui portent sur sa résistance et son aptitude à satisfaire aux divers états de service. En ce qui concerne le premier de ces deux objectifs, la théorie du Calcul à la rupture formalise la démarche historiquement la plus ancienne qui ne s appuie que sur le concept de résistance du matériau constitutif sans considération de sa déformation. Avec la théorie de l Élasticité, puis la théorie de la Plasticité, le comportement du matériau constitutif étant pris en compte, le calcul des structures permet d envisager aussi le second critère en calculant les déformations et déplacements de l ouvrage sous l effet des diverses sollicitations. Les deux modèles de comportement évoqués ici peuvent être décrits comme instantanés pour signifier que la réponse à une variation de sollicitation imposée à un instant donné est entièrement acquise à cet instant. Le concept de comportement différé exprime le fait que la réponse à une variation de sollicitation imposée à un instant donné n est pas intégralement acquise à cet instant : à titre d exemple explicite, la réponse incrémentale à une variation d effort se traduit par une variation de déformation instantanée qui évolue (croît) ensuite avec le temps. La prise en compte des effets dus au comportement différé des matériaux fait partie de la pratique courante en calcul des structures. C est le cas notamment pour les ouvrages en béton pour lesquels les règlements français et internationaux énoncent des formules permettant de définir le comportement uniaxial de ce matériau et de calculer la réponse de l ouvrage au cours du temps, en tenant compte notamment de son mode de construction et de son histoire de chargement. La prise en considération de ce type de comportement est également souvent nécessaire pour des ouvrages géotechniques tels que les galeries ou les cavités de stockage. Pour la représentation du comportement différé des matériaux en calcul des structures on fait, en règle générale et plus ou moins explicitement, appel au modèle viscoélastique : l objet du présent ouvrage est de présenter ce modèle dans cette perspective, avec l hypothèse usuelle des petites perturbations. Le livre est organisé en deux chapitres, eux-mêmes articulés en deux parties. 3

4 4 Le premier chapitre se place du point de vue unidimensionnel, c est-à-dire en considérant que, pour l élément de matériau constitutif (ce terme étant pris dans un sens très général, tel que élément de poutre,...), la sollicitation et la réponse sont unidimensionnelles. Dans la première partie, la simplicité du modèle mécanique permet l introduction phénoménologique des concepts fondamentaux de la viscoélasticité à partir des expériences essentielles de retard et de relaxation. La loi de comportement viscoélastique apparaît comme une correspondance fonctionnelle entre l histoire de la sollicitation et l histoire de la réponse. La linéarité du comportement n est autre que la linéarité de cette correspondance, qui s exprime par le principe de superposition de Boltzmann, explicité par la formule de Boltzmann et l opérateur intégral correspondant. L invariance des propriétés mécaniques du matériau par rapport au temps, aussi appelée «absence de vieillissement», est une hypothèse supplémentaire introduite de façon distincte de la précédente : elle permet d expliciter l opérateur de Boltzmann sous la forme d une convolution de Stieltjes et d utiliser le calcul opérationnel au moyen de la transformation de Laplace-Carson. Par rapport à la majorité des présentations classiques, pour lesquelles la linéarité englobe les deux hypothèses précédentes, il y a là une originalité de l exposé, qui est essentielle en calcul des structures; en effet le vieillissement des matériaux constitutifs doit y être pris en compte (il apparaît dans les formules réglementaires) et il est même, parfois, mis à profit. On procède ensuite à l analyse et à la résolution du problème d évolution viscoélastique quasi-statique lorsque le matériau constitutif du système concerné obéit à une loi de comportement viscoélastique linéaire. Suivant la même démarche, l exposé met l accent sur la linéarité en montrant que, pour de nombreux problèmes pratiques, l utilisation symbolique de l opérateur de Boltzmann permet d obtenir la solution du problème d évolution à partir du problème homologue d élasticité linéarisée. La compréhension mécanique des phénomènes en cause est essentielle, notamment pour définir clairement l histoire de la sollicitation. En l absence de vieillissement, les résultats précédents se transposent sous forme algébrique au moyen de la transformation de Laplace-Carson et sont connus sous le nom de théorème de correspondance de Lee et Mandel. La deuxième partie du chapitre présente des exemples simples de mise en œuvre des résultats précédents dans le but non seulement d en montrer le caractère effectif mais aussi d illustrer quelques effets du comportement différé du matériau constitutif sur le comportement d une structure, notamment en présence de précontrainte. Le deuxième chapitre traite de la viscoélasticité linéaire tridimensionnelle. Le modèle géométrique et mécanique considéré est le milieu continu tridimensionnel classique sur lequel on construit, comme dans le cas unidimensionnel, la loi de comportement à partir des expériences fondamentales de retard et de relaxation. La démarche, essentiellement pratique, est de nouveau phénoménologique ; elle ne fait pas mention des restrictions imposées par la thermodynamique (notamment sur les fonctions de relaxation) pour lesquelles on trouvera les références pertinentes dans la bibliographie à la fin de l ouvrage. L utilisation symbolique de l opérateur intégral de Boltzmann permet, même en cas de vieillissement, l écriture de la loi de comportement sous une

5 forme algébrique semblable à la loi élastique linéaire. Le cas particulier du matériau isotrope apporte les simplifications connues en élasticité linéaire : la loi de comportement viscoélastique linéaire du milieu continu tridimensionnel isotrope s écrit algébriquement, avec l opérateur intégral de Boltzmann, sous la même forme qu en élasticité linéaire, au moyen de deux fonctions de relaxation, homologues des coefficients classiques. L analyse du problème d évolution quasi-statique dans l hypothèse des petites perturbations lorsque le matériau constitutif du système concerné est isotrope, viscoélastique linéaire, met l accent sur la linéarité comme au chapitre précédent. On montre que, pour un système homogène et des problèmes qui ne font intervenir qu une fonction de retard ou de relaxation du matériau constitutif, l utilisation symbolique de l opérateur de Boltzmann permet d obtenir la solution du problème d évolution directement à partir du problème homologue d élasticité linéarisé. La compréhension mécanique des phénomènes en cause est essentielle, notamment pour définir clairement l histoire de la sollicitation. Hors des conditions précédentes mais dans l hypothèse de non vieillissement, on peut écrire les équations du problème sous forme algébrique simple en transformées de Laplace-Carson et d en déduire, en transformées, la solution du problème à partir de la solution du problème d équilibre élastique linéarisé homologue par le théorème de correspondance. La deuxième partie du chapitre présente des exemples de mise en œuvre sur des problèmes tridimensionnels typiques, sans faire appel à l hypothèse de non vieillissement : outre l application directe des règles énoncées, dans le cas d histoires simples de sollicitation, on montre que l utilisation du principe de superposition permet la résolution du problème d évolution pour une histoire dans laquelle la nature de la sollicitation change au cours du temps. 5

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7 Sommaire I Approche unidimensionnelle 9 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 19 1 Évidences expérimentales Expériences uniaxiales Comportement linéaire Viscoélasticité linéaire Modèle linéaire non-vieillissant Modèles rhéologiques Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe Problèmes d évolutions quasi-statiques Exemples de mise en œuvre Précontrainte élastique et viscoélasticité Étude d une structure Récapitulatif des formules essentielles II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle 89 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 97 1 Approches multidimensionnelles Expériences fondamentales Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel Matériau viscoélastique linéaire isotrope Comportement viscoélastique linéaire en l absence de vieillissement Évolutions viscoélastiques quasi-statiques Exemples de mise en œuvre Barre cylindrique homogène Convergence d une cavité Récapitulatif des formules essentielles Bibliographie 143 Glossaire français-anglais 147 Index alphabétique 149 7

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9 Chapitre I Approche unidimensionnelle Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel Exemples de mise en œuvre 9

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11 Chapitre I Approche unidimensionnelle 11 En bref... Les expériences uniaxiales d identification du comportement des matériaux montrent que la réponse à une sollicitation instantanée, telle qu une mise en charge, est en règle générale constituée d une partie acquise instantanément et d une partie différée. L expérience de retard et l expérience de relaxation sont les expériences les plus simples qui mettent en évidence ces propriétés; elles sont complétées par l expérience de recouvrance et l expérience d effacement, cette dernière étant d ailleurs retenue comme expérience cruciale pour la définition de la viscoélasticité (sections 1 et 2). Lorsque le comportement étudié est linéaire, le «principe» de superposition ou «principe» de Boltzmann implique que ce comportement est complètement défini par les fonctions de retard ou par les fonctions de relaxation déterminées en effectuant les expériences correspondantes à tous les âges du matériau. La réponse à une histoire quelconque de contrainte (resp. déformation) s obtient au moyen de l opérateur intégral de Boltzmann et des fonctions de retard (resp. relaxation). Les fonctions de retard et de relaxation sont inverses les unes des autres du point de vue de cet opérateur (sections 3 et 4). L évolution des propriétés mécaniques au cours du temps indépendamment des sollicitations mécaniques auxquelles le matériau est soumis porte le nom général de vieillissement. Il est souvent possible, au moins sur une partie significative de la durée de «vie» d un matériau, de considérer que l hypothèse de non-vieillissement est valable. Lorsqu il en est ainsi, les réponses à deux histoires de sollicitations identiques mais translatées dans le temps à l intérieur du domaine de validité de l hypothèse sont elles aussi identiques et subissent la même translation (invariance par translation) (section 5). Il en résulte en particulier que, dans le cas de la viscoélasticité linéaire sans vieillissement, les fonctions de retard sont définies à partir d une seule fonction d une variable f(τ) qui est appelée la fonction de retard. De la même façon, les fonctions de relaxation sont définies à partir de la fonction de relaxation r(τ). L opérateur intégral de Boltzmann s identifie à la convolution de Riemann entre l histoire de contrainte (resp. déformation) et la dérivée (au sens des distributions) de la fonction de retard (resp. relaxation). Plutôt que de travailler dans l algèbre de convolution,

12 12 Chapitre I Approche unidimensionnelle on préfère utiliser le calcul symbolique au moyen de la transformation de Laplace-Carson (section 5). L analyse uniaxiale fournit le prototype de toute loi de comportement viscoélastique linéaire unidimensionnelle pour un système soumis à une sollicitation définie par un paramètre unique ou pour un élément de structure dont les efforts intérieurs sont unidimensionnels. À titre d exemples, les comportements viscoélastiques linéaires d une poutre droite en traction-compression ou en flexion s inscrivent dans le cadre ainsi défini. Les relations établies peuvent ensuite être utilisées, de la même façon qu en Résistance des matériaux, comme lois de comportement unidimensionnelles de l élément de poutre droite ou d arc de faible courbure (section 7). L approche unidimensionnelle du comportement viscoélastique linéaire non-vieillissant s appuie fréquemment sur l utilisation de modèles rhéologiques constitués d éléments simples élastiques (ressorts) et visqueux (amortisseurs ou dashpots) ; les modèles ainsi composés permettent de mettre en évidence et/ou de reproduire, au moins qualitativement, des comportements physiques unidimensionnels observés (section 6). Dans un essai harmonique l histoire de la sollicitation est une fonction sinusoïdale du temps à partir de l instant où elle est appliquée. Si le comportement du matériau étudié est viscoélastique linéaire sans vieillissement la réponse se met sous la forme de la somme d un terme transitoire qui tend vers zéro au fur et à mesure du déroulement de l essai et d un terme sinusoïdal, de même fréquence que la sollicitation, qui définit le régime harmonique asymptotique. Ce régime est gouverné par le module complexe qui met en évidence que, quelle que soit la nature force ou déplacement de la sollicitation, la force est toujours en avance sur le déplacement : le déphasage, appelé angle de perte, est lié à la dissipation d énergie due à l irréversibilité du comportement (section 8). Les problèmes quasi-statiques de viscoélasticité linéaire unidimensionnelle sont définis, dans l hypothèse des petites perturbations, par le système des équations de champs et des conditions aux limites sur la géométrie donnée du système étudié. Dans l écriture de ces équations, il est essentiel d identifier de façon précise la nature des données de façon à éviter tout contresens physique sur les phénomènes mis en jeu (retard ou relaxation). La résolution de ces problèmes peut parfois être effectuée directement, à partir de la solution du problème élastique homologue, au moyen de l opérateur de Boltzmann. C est le cas notamment, lorsque le système est constitué d un matériau homogène, pour des évolutions prescrites par des paramètres de chargement ou des paramètres cinématiques.

13 Chapitre I Approche unidimensionnelle 13 Lorsque le comportement viscoélastique linéaire est, de plus, sans vieillissement l utilisation du calcul symbolique ramène toujours le problème viscoélastique au problème élastique homologue portant sur les transformées de Laplace-Carson. Il convient ensuite de procéder à l inversion des transformées de Laplace-Carson pour obtenir les fonctions du temps, solutions du problème de viscoélasticité. C est le Théorème de correspondance(section 9).

14 14 Chapitre I Approche unidimensionnelle Principales notations Notation Signification 1 ère formule Y t (t) Fonction de Heaviside (2.1) (2.2) σ 0 Saut dans l expérience de retard (2.3) ε Déformation longitudinale (2.4) J(t 0, t ; σ 0 ) Fonction de retard (2.4) [ J(t 0, t 0 ; σ 0 ) ] Discontinuité de la fonction de retard (2.6) ε 0 Saut dans l expérience de relaxation (2.7) R(t 0, t ; ε 0 ) Fonction de relaxation (2.8) [ t ] F t σ(τ) Fonctionnelle de l histoire de contrainte (3.1) [ t ] R t ε(τ) Fonctionnelle de l histoire de déformation (3.2) F, R Correspondances fonctionnelles inverses (3.3) J(t 0, t) Fonction de retard en viscoélasticité linéaire (4.3) R(t 0, t) Fonction de relaxation en viscoélasticité linéaire (4.6) δ τ Mesure de Dirac à l abscisse τ (4.17) {ϕ} Distribution définie par la fonction ϕ (4.17) < ϕ, ψ > Produit scalaire de ϕ et ψ (4.28) ( ) Notation de l opérateur intégral (4.28) f(τ) Fonction de retard en viscoélasticité (5.11) linéaire sans vieillissement r(τ) Fonction de relaxation en viscoélasticité (5.12) linéaire sans vieillissement Symbole de la convolution de Riemann (5.18) Lϕ(p) Transformée de Laplace de ϕ(t) (5.25)

15 Chapitre I Approche unidimensionnelle 15 Principales notations Notation Signification 1 ère formule ϕ Transformée de Carson de ϕ (5.27) τ r Temps caractéristique en relaxation (6.10) τ f Temps caractéristique en retard (6.13) Symbole du produit tensoriel (7.1) Q Notation générique de la variable «force» (7.2) q Notation générique de la variable géométrique (7.2) associée à Q dans l expression du travail de déformation J(τ, t) Notation générique de la fonction de retard en (7.2) viscoélasticité linéaire R(τ, t) Notation générique de la fonction de relaxation en (7.3) viscoélasticité linéaire f(τ) Notation générique de la fonction de retard en (7.4) viscoélasticité linéaire sans vieillissement r(τ) Notation générique de la fonction de relaxation en (7.5) viscoélasticité linéaire sans vieillissement N Effort normal dans l élément de poutre droite (7.8) ε Déformation longitudinale de l élément de poutre (7.8) droite M Moment fléchissant dans l élément de poutre droite (7.11) χ Courbure de l élément de poutre droite (7.11) C Moment de torsion dans l élément de poutre droite (7.14) α Rotation différentielle de l élément de poutre droite (7.14) J Moment d inertie de torsion (7.15) Re[ ] Partie réelle (8.4) r (iω) Module complexe (8.10) M(ω) Module de r (iω) (8.10)

16 16 Chapitre I Approche unidimensionnelle Principales notations Notation Signification 1 ère formule σ él j ξ él j σj él ξ él j σ él k δ(ω) Angle de perte (8.10) f Coefficient de frottement intérieur (8.20) Q Vecteur chargement (9.1) Q j Paramètre de chargement (9.1) q Vecteur cinématique (9.2) q j Paramètre cinématique (9.2) ε él j,, q él j Solutions élémentaires pour Q j = 1 (9.1) (9.2) Λ(t 0 ) Matrice de complaisance élastique instantanée (9.2) ε él j,, q él j Solutions élémentaires pour Q j = 1 avec J t0 (t 0 ) = 1 (9.3) ε él k, ξ él, k Qél k σ él k Solutions élémentaires pour q k = 1 (9.6) (9.7) A(t 0 ) Matrice de module élastique instantanée (9.7) ε él k, ξ él, k Qél k Solutions élémentaires pour q k = 1 avec E t0 (t 0 ) = 1 (9.8)

17 Chapitre I Approche unidimensionnelle 17 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 1. Évidences expérimentales Expériences uniaxiales Expérience de retard, fonction de retard Expérience de relaxation, fonction de relaxation Premiers commentaires Recouvrance et effacement Autres expériences Expériences cruciales Comportement linéaire Principe de superposition : matériaux Boltzmanniens Élasticité linéaire Viscoélasticité linéaire Élasticité instantanée Fonctions de retard et de relaxation en viscoélasticité linéaire Réponse à une histoire de sollicitation quelconque Formules de Boltzmann Modèle linéaire non-vieillissant Vieillissement Matériau non-vieillissant Matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant Modèles rhéologiques Modèles élémentaires Modèle de Maxwell Modèle de Kelvin Solide linéaire standard Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel Point de vue uniaxial et modélisation unidimensionnelle Exemples d applications à des éléments de structure Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe Essai harmonique Régime harmonique asymptotique Exemple : sollicitation harmonique du solide linéaire standard Commentaire Problèmes quasi-statiques de viscoélasticité linéaire unidimensionnelle Problématique Principe de superposition Résolution Théorème de correspondance... 61

18 18 Chapitre I Approche unidimensionnelle Exemples de mise en œuvre 10. Précontrainte élastique et viscoélasticité Définition du problème Solution du problème d évolution Application pratique Étude d une structure Présentation Poutre homogène isostatique Poutre homogène hyperstatique Poutre hétérogène Récapitulatif des formules essentielles... 80

19 1 Évidences expérimentales 19 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 1 Évidences expérimentales La pratique quotidienne, tant domestique qu industrielle, abonde d exemples qui mettent en évidence le comportement différé de matériaux familiers. La lente déformation des étagères d une bibliothèque, le retour progressif (1) à sa forme initiale d un échantillon de polymère déformé par une sollicitation temporaire, le fluage du béton ou du bitume, etc. ne sont que quelques-unes des manifestations de ce type de comportement. Quelques précisions quant aux échelles de temps impliquées dans les phénomènes précédents sont ici utiles. Les qualificatifs «lente», «progressive», utilisés ci-dessus signifient que les temps caractéristiques de ces phénomènes sont très grands vis-à-vis des temps de propagation associés à la réponse «instantanée» du matériau dans le système étudié (pour un matériau élastique linéaire de module de Young E, de masse volumique ρ dans un système de dimension caractéristique l, ce temps est de l ordre de ρl 2 /E. Les effets de ces phénomènes sont différemment appréciés ou utilisés de diverses façons. On songe en premier lieu à des inconvénients au niveau du confort en service (pont à travées indépendantes par exemple, structure isostatique). Mais des conséquences plus graves peuvent apparaître, telles que des déformations incompatibles avec le fonctionnement de l ouvrage (chemins de roulement,... ), qui peuvent même se révéler catastrophiques par la redistribution des efforts au cours du temps dans les structures hyperstatiques compensées ou par des pertes de précontrainte (cf. sections 10 et 11). En revanche, les effets dissipatifs liés aux déformations différées expliquent l utilisation des bitumes, mastics et polymères divers comme amortisseurs dans l industrie. Il va de soi que les effets du comportement différé des matériaux sont d autant mieux maîtrisés que l on dispose d une modélisation de ce comportement suffisamment pertinente. L objet du présent chapitre est de construire de telles modélisations dans le cadre unidimensionnel pour la sollicitation et la réponse. On se limitera ici à des modélisations adaptées aux applications en calcul des structures dans la pratique courante et qui se placent dans l hypothèse des petites perturbations et dans le cadre isotherme. (1) Et éventuellement incomplet.

20 20 Chapitre I Approche unidimensionnelle 2 Expériences uniaxiales 2.1 Expérience de retard, fonction de retard Une expérience très simple permet de mettre en évidence et d identifier le comportement différé des matériaux : l expérience isotherme de retard, parfois appelée aussi expérience de fluage, sous sollicitation uniaxiale. Pratiquement on la réalise en imposant à un corps d épreuve de forme convenable (éprouvette de traction, éprouvette de compression,...), homogène, une sollicitation uniaxiale en contrainte, réputée homogène, selon l histoire suivante décrite, pour fixer les idées, dans le cas de l expérience de retard en traction simple sur une éprouvette de polymère en restant dans le cadre des petites déformations, la température étant maintenue constante. L éprouvette n est initialement pas chargée ; elle est en équilibre et son matériau constitutif est alors dans son état naturel (état de contrainte nul en tout point). À l instant t 0 on impose «instantanément» (cf. 2.3) un échelon de contrainte d amplitude σ 0. Cette contrainte est ensuite maintenue constante (figure 1a). On observe la réponse uniaxiale correspondante, c est-à-dire l évolution dans le temps, ou l histoire, de la déformation longitudinale ε, supposée homogène dans l éprouvette, comptée à partir de l état naturel pris comme référence géométrique (figure 1b). σ σ 0 σ(t) = σ 0 Y (t t 0 ) = σ 0 Y t0 (t) t 0 t Figure1 Expériencederetard(fluage)àl instant t 0 Par définition, ε(t) est nulle jusqu à l instant t 0. ε ε(t) = σ 0 J(t 0, t; σ 0 ) À t 0, «instantanément», une déformation ε(t 0 ) est produite, qui traduit le comportement instantané du matériau. Ensuite, pour t > t 0 la déformation évolue : elle croît en fonction de t, de façon continue et monotone, la concavité de la courbe étant dirigée vers le bas, comme le représente typiquement la figure 1b). La description mathématique de cette expérience est aisée. t 0 t

21 2 Expériences uniaxiales 21 On désigne par Y (t) la fonction «échelon» de Heaviside appliquée à l instant 0, définie par : (2.1) Y (t) = 0 t < 0, Y (t) = 1 t 0. et par Y τ (t) l échelon appliqué à l instant τ, soit (2.2) (2.3a) (2.3b) (2.4) où (2.5) Y τ (t) = Y (t τ). L histoire de σ représentée sur la figure 1a) s écrit alors : σ(t) = σ 0 Y t0 (t) σ = σ 0 Y t0. Il est commode de décrire la réponse correspondante par la formule : ε(t) = σ 0 J(t 0, t ; σ 0 ) J(t0, t ; σ 0 ) = 0 si t < t 0 J(t 0, t ; σ 0 ) croissante pour t t 0. La discontinuité de J(t 0, t ; σ 0 ) pour t = t 0, notée [ J(t 0, t 0 ; σ 0 ) ], traduit la réponse instantanée du matériau à l instant t 0, dans cette expérience. On conviendra dans toute la suite de désigner par J(t 0, t 0 ; σ 0 ) la valeur à droite, c est-à-dire pour t = t + 0, de cette fonction : (2.6) J(t 0, t 0 ; σ 0 ) = J(t 0, t + 0 ; σ0 ) = [J(t 0, t 0 ; σ 0 ) ], qui est positive, la valeur à gauche étant nulle par définition (2). Si le matériau ne subit pas de transformation physique ou chimique brutale qui modifierait instantanément ses propriétés mécaniques, la fonction J(t 0, t ; σ 0 ) est continue par rapport à la variable t 0. L expérience ainsi décrite est l expérience de retard, effectuée à l instant t 0 avec l amplitude σ 0. La fonction J(t 0, t ; σ 0 ) est la fonction de retard correspondante. 2.2 Expérience de relaxation, fonction de relaxation L expérience de relaxation isotherme est l homologue de la précédente dans laquelle la sollicitation imposée est désormais la déformation longitudinale ε et la réponse observée est la contrainte σ. (2) Dans le cas du matériau élastique, la réponse est ensuite constante.

22 22 Chapitre I Approche unidimensionnelle À partir de l état non chargé de l éprouvette, dans lequel le matériau est dans l étal naturel pris comme référence géométrique, on impose (cf. 2.3) l histoire de déformation (figure 2a) : (2.7a) ε(t) = ε 0 Y t0 (t) (2.7b) ε = ε 0 Y t0. et l on observe la réponse σ (figure 2b) que l on met sous la forme : (2.8) σ(t) = ε 0 R(t 0, t ; ε 0 ) où R(t 0, t ; ε 0 ) = 0 si t < t 0 [R(t 0, t 0 ; ε 0 ) ] > 0 pour t = t 0 (2.9) R(t 0, t ; ε 0 ) 0 pour t > t 0 R(t 0, t ; ε 0 ) décroissante pour t > t 0 À l instant t 0, après le saut correspondant à la réponse instantanée du matériau, la contrainte σ décroît en fonction de t > t 0, de façon continue et monotone, la concavité de la courbe étant dirigée vers le haut, comme le représente typiquement la figure 2b). ε ε 0 ε(t) = ε 0 Y (t t 0 ) = ε 0 Y t0 (t) σ σ(t) = ε 0 R(t 0, t; ε 0 ) t 0 t t 0 t Figure2 Expériencederelaxationàl instant t 0 Comme pour la fonction de retard, on convient de poser : (2.10) R(t 0, t 0 ; ε 0 ) = R(t 0, t + 0 ; ε0 ) = [R(t 0, t 0 ; ε 0 ) ], la valeur à gauche étant nulle par définition (3). Comme précédemment, si le matériau ne subit pas de transformation physique ou chimique brutale qui modifierait instantanément ses propriétés mécaniques, la fonction R(t 0, t ; ε 0 ) est continue par rapport à la variable t 0. L expérience ainsi décrite est l expérience de relaxation, effectuée à l instant t 0 avec l amplitude ε 0. La fonction R(t 0, t ; ε 0 ) est la fonction de relaxation correspondante. (3) Dans le cas du matériau élastique, la réponse est ensuite constante.

23 2 Expériences uniaxiales Premiers commentaires Retard et relaxation Malgré leur similitude apparente, il existe une différence importante entre les expériences de retard et de relaxation quant à la possibilité effective de les réaliser. L expérience de retard est toujours réalisable, quel que soit le matériau. En revanche, l expérience de relaxation n est réalisable que s il est possible d appliquer au matériau un échelon de déformation instantané, c est-à-dire si la réponse instantanée du matériau dans l expérience de retard est non nulle : [ J(t 0, t 0 ; σ 0 ] 0, σ 0 0. Par ailleurs, l expérience montre que les temps caractéristiques des phénomènes de retard et de relaxation sont, en règle générale, significativement différents : la relaxation est un phénomène plus rapide que le retard (fluage) Temps et chronologie Les descriptions précédentes sont évidemment valables quelle que soit l origine choisie pour la variable temps. Au plan pratique il va de soi que, puisque l on cherche par ces expériences à identifier certains aspects des comportements instantané et différé du matériau étudié, il sera commode de rattacher la chronologie à une origine qui soit significative pour l échantillon considéré. Ce pourra être, par exemple, l instant de son élaboration. Aussi, lorsque des échantillons d âges différents sont impliqués dans une même étude, on doit porter une grande attention au calage des diverses chronologies qui leur sont propres. On aura l occasion de revenir sur ce point ultérieurement ( 11.4) Sollicitations et réponses instantanées La discussion abordée dans la section 1 à propos des échelles de temps pour qualifier le caractère différé du comportement du matériau doit être reprise ici à propos de la mise en œuvre pratique de l échelon instantané de contrainte ou de déformation. En effet le temps de mise en charge correspondant (temps pratique de montée en plateau sur les figures 1a et 2a) doit être à la fois suffisamment court pour être considéré comme instantané et suffisamment long pour correspondre à une évolution quasi-statique : il doit donc être grand mais non très grand devant les temps de propagation évoqués dans la section Recouvrance et effacement Recouvrance L expérience de recouvrance n est autre que l expérience de charge-décharge relative à l expérience de retard. Elle consiste à imposer une sollicitation en «créneau» : le plateau de la figure 1a, d amplitude σ 0 à partir de l instant t 0, est interrompu par une décharge instantanée de même amplitude à l instant t 1, (figure 3a).

24 24 Chapitre I Approche unidimensionnelle σ σ 0 σ(t) = σ 0 Y t0 (t) σ 0 Y t1 (t) t 0 t 1 t ε Retour instantané Recouvrance t 0 t 1 t Figure 3 Expérience de recouvrance L histoire de la sollicitation s écrit ainsi, avec t 0 < t 1 : (2.11a) (2.11b) σ(t) = σ 0 [Y t0 (t) Y t1 (t)] σ = σ 0 (Y t0 Y t1 ). La réponse typique en déformation est représentée sur la figure 3b). Évidemment identique à celle de l expérience de retard pour t < t 1, elle comporte une réponse instantanée décroissante à l instant t 1, suivie d une évolution monotone décroissante pour t > t 1. Le phénomène de «récupération» du matériau ainsi mis en évidence porte le nom de recouvrance. Cette recouvrance (4) est dite totale si la déformation ε s annule pour t suffisamment grand ou lorsque t : il n y a alors pas de déformation permanente du matériau après décharge totale Effacement des contraintes L expérience d effacement se rattache à l expérience de relaxation, vis-à-vis de laquelle elle est l homologue de l expérience de recouvrance (figure 4). La sollicitation en créneau est, avec t 0 < t 1 (figure 4a) : (2.12a) (2.12b) ε(t) = ε 0 [Y t0 (t) Y t1 (t)] ε = ε 0 (Y t0 Y t1 ). La réponse typique en contrainte (figure 4b) est identique à celle de l expérience de relaxation pour t < t 1. Elle comporte une réponse instantanée décroissante à (4) Ce phénomène ne doit pas être confondu avec la résilience, qui caractérise la résistance des matériaux aux chocs et qui fut introduite par Thomas Young (1807) : «there is, however, a limit beyond which the velocity of a body striking another cannot be increased without overcoming its resilience and breaking it...». Pour l anecdote, on notera que Thomas Young était docteur en médecine de l université de Göttingen et que le concept de résilience est actuellement utilisé en psychanalyse

25 2 Expériences uniaxiales 25 l instant t 1 lorsque l on ramène la déformation à la valeur nulle, suivie d une évolution de la contrainte monotone décroissante en valeur absolue. Le phénomène correspondant porte le nom d effacement (de la contrainte). Si σ s annule pour t suffisamment grand ou lorsque t, l effacement est total. ε ε 0 ε(t) = ε 0 Y t0 (t) ε 0 Y t1 (t) t 0 t Autres expériences t Figure 4 Expérience d effacement σ t 0 t 1 t Effacement Les expériences décrites ci-dessus permettent d appréhender le comportement différé d un matériau mais ne suffisent pas pour le déterminer. Chaque histoire de sollicitation (en contrainte, en déformation, ou mixte) est un cas nouveau dont, en règle générale, la description ne peut être obtenue à partir des expériences précédentes. On traitera dans la suite du cas du comportement linéaire pour lequel l intérêt porté ci-dessus aux expériences fondamentales se révélera pleinement justifié puisqu il est alors possible d écrire la réponse à toute histoire de sollicitation isotherme à partir du seul «catalogue» des expériences de retard isothermes ou de celui des expériences de relaxation isothermes. 2.6 Expériences cruciales On sait que, pour un matériau élasto-plastique soumis à un processus de chargement uniaxial, l expérience de charge-décharge permet de distinguer les comportements élastique et plastique. En deçà du seuil de plasticité, l accroissement de déformation produit par un incrément de charge est instantané et est intégralement et instantanément récupéré lorsque l on effectue une décharge d amplitude équivalente. On parle ainsi de réversibilité de la déformation élastique. Au delà du seuil de plasticité, en effectuant la même expérience, la décharge révèle la partie élastique de l accroissement de déformation produit à la charge, dont le complément pour aboutir à l accroissement total est la partie plastique. En d autres termes, en se référant aux expériences décrites plus haut ( 2.4), l expérience cruciale qui est ainsi utilisée est l expérience de recouvrance : lorsque

26 26 Chapitre I Approche unidimensionnelle le comportement du matériau est élastique la réponse ε dans l expérience de recouvrance, t 0, t 1 > t 0, est un créneau proportionnel à celui de σ. En toute rigueur, l expérience de recouvrance doit être effectuée instantanément (t 1 t 0 ) pour exclure tout phénomène de vieillissement du matériau (par transformation physique ou chimique par exemple) susceptible de modifier ses caractéristiques élastiques (5). Dans l hypothèse habituelle d absence de vieillissement, la décharge dans l expérience de recouvrance peut être effectuée à n importe quel instant postérieur à la charge. Si, de plus, le matériau est linéairement élastique (6) le coefficient de proportionnalité est indépendant de la valeur (algébrique) de l incrément de charge et détermine le module d élasticité E du matériau : l amplitude du créneau de déformation est égale à σ 0 /E. Dans le cas particulier de ce comportement, les rôles de σ et de ε peuvent être échangés et, de façon équivalente, l expérience d effacement peut être utilisée comme expérience cruciale : la réponse σ dans l expérience d effacement, t 0, t 1 > t 0, est un créneau proportionnel à celui de ε, dont l amplitude est E ε 0 dans le cas de l élasticité linéaire. Puisque l on s intéresse désormais à un matériau dont la réponse n est pas instantanément acquise dans son intégralité, on s attache d abord à en qualifier le comportement instantané. À chaque instant t 0, cet aspect du comportement est révélé dans l expérience de recouvrance (2.11) effectuée «instantanément», c est-à-dire avec t 1 t 0. Par définition, le comportement instantané à l instant t 0 est élastique si les sauts de déformation observés à t 0 puis à t 1 sont opposés lorsque t 1 t 0, t 1 > t 0. Dans toute la suite on ne s intéresse qu à des matériaux dont le comportement instantané est élastique (pas de déformation instantanée irréversible, c est-à-dire pas de déformation plastique) et, de plus, pour les applications au calcul des structures industrielles ou au génie civil, on suppose que le module d élasticité instantané est fini, ce qui exclut les matériaux indéformables instantanément. En ce qui concerne le comportement différé, la distinction entre la viscoélasticité et la viscoplasticité se révèle plus délicate dans le cas général si l on s en tient à l approche phénoménologique sans prise en considération des phénomènes physiques mis en jeu dans le comportement différé. La simple transposition au niveau du comportement différé de l expérience de recouvrance comme expérience cruciale n est pas pertinente : l idée intuitive serait en effet alors de caractériser la viscoélasticité par la propriété de recouvrance totale, ce qui est immédiatement contredit par la considération d exemples simples (cf ). Mandel a proposé, d adopter l expérience d effacement comme expérience cruciale et de caractériser la viscoélasticité par la propriété d effacement total (7). Il semble que cette définition permette de couvrir l ensemble des modèles réalistes. (5) À titre d exemple, une élévation de température importante (de l ordre de 500 K) produit un affaiblissement puis, une fois la température critique atteinte, une chute brutale du module d élasticité de l acier. (6) Cf. section 3 (7) Cette caractérisation exclut le cas des matériaux indéformables instantanément

27 3 Comportement linéaire 27 3 Comportement linéaire 3.1 Principe de superposition : matériaux Boltzmanniens Les évidences expérimentales relatives au comportement de divers matériaux pour des histoires de sollicitations complexes, en contrainte ou en déformation imposées, conduisent à introduire le concept de matériaux Boltzmanniens dont la définition s exprime par le principe de superposition (de Boltzmann) sous la forme concrète suivante. On se place dans l hypothèse des petites transformations qui justifie, d une façon générale, le recours au tenseur des contraintes de Cauchy σ et au tenseur des déformations linéarisé ε et à sa dérivée temporelle ε pour la description du comportement : Pour un matériau Boltzmannien, la superposition des sollicitations implique la superposition homologue des réponses. Dans une formulation plus mathématique, le principe de superposition énonce la linéarité du comportement du matériau considéré. Plus précisément, en se plaçant dans le cas de sollicitations isothermes et dans le cadre uniaxial, on se réfère à la loi de comportement isotherme du matériau, qui traduit la correspondance fonctionnelle entre l histoire de σ et l histoire de ε. À chaque instant t, la déformation ε(t) dépend de l histoire de la contrainte σ jusqu à cet instant. On exprimera cette correspondance univoque par l équation (3.1) [ t ] dans laquelle σ(τ) représente symboliquement l histoire de σ et où les bornes inférieure ( ) et supérieure (t) pour la variable τ traduisent le principe de causalité : l histoire de σ postérieure à l instant actuel t ne peut influer sur la valeur de ε(t). (3.1) (3.2) [ t ] ε(t) = F t σ(τ). Si la correspondance inverse de (3.1) est définie (8), elle s écrit de la même façon : [ t ] σ(t) = R t ε(τ). Sans entrer dans les détails mathématiques, l équation (3.1) définit, à partir de l ensemble des histoires de σ un ensemble d histoires de ε. On désigne par F la correspondance fonctionnelle univoque qui associe à chaque histoire de σ l histoire de ε ainsi définie : (3.3a) σ F ε. (8) En effet, les rôles de σ et de ε ne sont pas interchangeables : la correspondance inverse peut ne pas être univoque, une même histoire de ε peut être issue de plusieurs histoires de σ distinctes.

28 28 Chapitre I Approche unidimensionnelle Réciproquement, sur l ensemble des histoires de ε engendré par (3.3a), si (3.2) existe, on désigne par R la correspondance fonctionnelle inverse, qui associe à chacune de ces histoires l histoire de σ définie par (3.2) : (3.3b) ε R σ. Le principe de superposition s explicite mathématiquement en énonçant la linéarité de la fonctionnelle F. Considérant deux histoires σ (1) et σ (2) de σ et les deux histoires ε (2) et ε (2) qui leur sont associées par (3.1) et (3.2), alors l histoire de ε qui est associée à l histoire σ = λ 1 σ (1) + λ 2 σ (2), combinaison linéaire quelconque de σ (1) et σ (2), est la combinaison linéaire homologue ε = λ 1 ε (1) + λ 2 ε (2). Ainsi : (3.4a) F(λ 1 σ (1) + λ 2 σ (2) ) = λ 1 F(σ (1) ) + λ 2 F(σ (2) ) et pour la correspondance fonctionnelle inverse R on a de même (9) : (3.4b) 3.2 Élasticité linéaire R(λ 1 ε (1) + λ 2 ε (2) ) = λ 1 R(ε (1) ) + λ 2 R(ε (2) ). L exemple le plus classique de comportement Boltzmannien est évidemment celui de l élasticité linéaire déjà évoqué au paragraphe 2.6. Les correspondances fonctionnelles (3.1, 3.2) prennent alors les formes : [ t ] (3.5) ε(t) = F t σ(τ) = σ(t)/e. et (3.6) [ t ] σ(t) = R t ε(τ) = E ε(t). 4 Viscoélasticité linéaire 4.1 Élasticité instantanée On fait désormais l hypothèse, qui devra être validée par l expérience, que le comportement uniaxial du matériau étudié obéit au principe de superposition de Boltzmann exprimé par les équations (3.4a et 3.4b). On s attache d abord à qualifier le comportement instantané du matériau. Par définition, le comportement instantané à l instant t 0, révélé dans l expérience de recouvrance (2.11) est élastique si les sauts de déformation observés à t 0 puis à t 1 sont opposés lorsque t 1 t 0, t 1 > t 0. L expérience, qui est réversible, détermine ainsi le module d élasticité du matériau à l instant t 0 considéré. (10) Si les propriétés élastiques de ce matériau n évoluent pas avec le temps absence de «vieillissement» ce module instantané est constant. (9) Dans le cas uniaxial considéré ici la linéarité de F implique l existence et la linéarité de R. (10) Dans le cas d une expérience de traction simple, il peut être tentant de noter ce module E(t 0 ); on verra, au chapitre II ( et 5.5.2) que cette notation peut être cause de confusions.

29 4 Viscoélasticité linéaire Fonctions de retard et de relaxation en viscoélasticité linéaire L hypothèse de la linéarité de comportement implique des conséquences immédiates sur les fonctions de retard et de relaxation définies dans la section 2, qui constituent autant de tests pour la validation expérimentale de la pertinence de cette hypothèse Fonction de retard L application de (3.4) à l expérience de retard montre que, à t 0 fixé, ε(t) est proportionnelle à σ 0 quel qu en soit le signe (traction ou compression). Ainsi la fonction de retard définie par (2.4) est indépendante de σ 0 : σ(t) = σ 0 Y t0 (t) (4.1) ε(t) = σ 0 J(t 0, t), σ 0 ou encore (4.2) où l on a posé (4.3) F σ = σ 0 Y t0 ε = σ 0 J t0, σ 0, J t0 (t) = J(t 0, t) Fonction de relaxation De façon totalement homologue on déduit de la linéarité de la fonctionnelle R la propriété de la fonction de relaxation : ε(t) = ε 0 Y t0 (t) (4.4) σ(t) = ε 0 R(t 0, t), ε 0 ou encore (4.5) où l on a posé (4.6) R ε = ε 0 Y t0 σ = ε 0 R t0, ε 0, R t0 (t) = R(t 0, t) Propriétés des fonctions de retard et de relaxation Pour les matériaux considérés ici, dont le module d élasticité instantané est fini, dans le cas où l hypothèse de linéarité du comportement est validée, les fonctions J(τ, t) et R(τ, t) possèdent les propriétés mathématiques récapitulées dans les formules suivantes qui incluent les propriétés à τ fixé (2.5 et 2.9) déjà énoncées pour les fonctions J(t 0, t ; σ 0 ) et R(t 0, t ; ε 0 ).

30 30 Chapitre I Approche unidimensionnelle (4.7) et (4.8) (4.9) J(τ, t) = 0 pour t < τ J(τ, τ) > 0 J(τ, t) croissante (11) de t pour τ t J(τ, t) continue et continûment différentiable par rapport à τ et à t pour τ < t R(τ, t) = 0 pour t < τ 0 < R(τ, τ) < R(τ, t) 0 pour τ t R(τ, t) décroissante de t pour τ t R(τ, t) continue et continûment différentiable par rapport à τ et à t pour τ < t. On rappelle que, par définition (2.6 et 2.10), on a posé : J(τ, τ) = J(τ, τ + ) et R(τ, τ) = R(τ, τ + ) Expériences de recouvrance et d effacement Le principe de superposition permet de décrire les réponses dans les expériences de recouvrance et d effacement à partir des expériences de retard et de relaxation et des fonctions correspondantes. Recouvrance Par linéarité, la réponse à la sollicitation (2.11), σ = σ 0 (Y t0 Y t1 ), s obtient à partir de (4.1) et s écrit, σ 0, t 0, t 1 > t 0 : (4.10a) ou, de façon explicite, (4.10b) Effacement ε = σ 0 (J t0 J t1 ) ε(t) = σ 0 [J(t 0, t) J(t 1, t)]. De la même manière, la réponse à la sollicitation ε = ε 0 (Y t0 Y t1 ) de l expérience d effacement (2.12) s obtient à partir de (4.4) et s écrit, σ 0, t 0, t 1 > t 0 : (4.11a) σ = ε 0 (R t0 R t1 ) (11) J(τ, t) et R(τ, t) constantes pour τ t dans le cas du matériau élastique (cf ).

31 4 Viscoélasticité linéaire 31 ou, de façon explicite, (4.11b) σ(t) = ε 0 [R(t 0, t) R(t 1, t)]. Identification des comportements instantané et différé L expression (4.10) de la réponse dans l expérience de recouvrance, associée à la continuité de J(τ, t) par rapport à τ, montre que lorsque cette expérience est effectuée «instantanément», c est-à-dire avec t 1 t 0, les sauts de déformation observés à t 0 puis à t 1 sont opposés puisque : (4.12) lim {ε(t) = σ 0 [(J(t 0, t) J(t 1, t)]} = 0, t > t 1 > t 0. t 1 t 0,t 1>t 0 Ceci rend compte du caractère élastique du comportement linéaire instantané. Le module d élasticité instantané à l instant t 0 est égal à R(t 0, t 0 ) et les fonctions de retard et de relaxation vérifient la relation : (4.13) J(τ, τ)r(τ, τ) = 1, τ. En ce qui concerne le comportement différé, si l on retient la caractérisation de la viscoélasticité proposée par Mandel (cf. 2.6), en viscoélasticité linéaire la fonction de relaxation doit vérifier une propriété supplémentaire de comportement à l infini (12) : (4.14) Exemple de validation lim {(R(t 0, t) R(t 1, t)} = 0, t 0, t 1 > t 0. t À titre d exemple on considère le cas du béton pour lequel on examine dans quelle mesure son comportement uniaxial instantané et différé peut être représenté par le modèle viscoélastique linéaire. En ce qui concerne l expérience de retard, on constate habituellement que, pour les sollicitations en compression, la fonction de retard J(t 0, t ; σ 0 ) n est pas indépendante de σ 0 et apparaît, en fait, comme une fonction croissante de σ 0, ce qui est contradictoire avec l hypothèse de linéarité. Toutefois, il est courant d admettre que si σ 0 ne dépasse pas 70% de la contrainte de rupture en compression, l approximation J(t 0, t ; σ 0 ) = J(t 0, t) est légitime. Dans l expérience de recouvrance, la réponse ne suit pas la formule (4.10), le retour après décharge se révélant plus faible que celui prévu par cette formule. Malgré ces lacunes, on adopte le modèle viscoélastique linéaire pour modéliser le comportement uniaxial du béton en compression dans des applications courantes en calcul des structures, ne serait-ce que pour une première approche. Ce comportement est alors défini, comme on le verra dans la section suivante, par la seule donnée de la fonction de retard J(t 0, t). 4.3 Réponse à une histoire de sollicitation quelconque Les résultats précédents incitent naturellement à chercher à exprimer la réponse à une histoire de sollicitation quelconque en contrainte ou en déformation, c est-à-dire à (12) Ceci n implique évidemment pas la propriété homologue pour la fonction de retard!

32 32 Chapitre I Approche unidimensionnelle expliciter les correspondances (3.3) inverses l une de l autre. Le résultat cherché étant, en fait, relativement banal du point de vue mathématique sous réserve de quelques «précautions», il parait intéressant pour sa meilleure compréhension d en donner une présentation à caractère intuitif. Plutôt que de sollicitation en contrainte ou en déformation, on parlera dans la suite d histoire donnée de contrainte ou de déformation, la réponse étant l histoire de déformation ou de contrainte correspondante : on distingue ainsi les correspondances fonctionnelles F et R dans (3.3). Histoire de contrainte donnée On considère une histoire σ, nulle pour t < t 0, continue et dérivable, par morceaux, pour t > t 0. On désigne par τ i les instants où σ est discontinue, parmi lesquels figure éventuellement t 0, et par [ σ ] i les sauts correspondants. On convient désormais dans toutes les formules de désigner par σ(t), ε(t), etc., les valeurs à droite des fonctions concernées : en conséquence, l instant actuel t, s il est point de discontinuité, figure parmi les instants τ i tels que τ i t. On peut alors expliciter σ(t) sous la forme : (4.15) σ(t) = t t + 0 Y τ (t)dσ(τ) + τ i t[ σ ] i Y τi (t) c est-à-dire que σ apparaît comme la somme infinie d expériences de retard infinitésimales à l instant courant τ d amplitude dσ(τ), et d expériences de retard d amplitude finie [ σ ] i aux instants τ i t (figure 5). σ Y τ (t)dσ(τ) [ σ ] 0 Y τ0 (t) τ τ 0 τ i t (4.16) Figure 5 Interprétation de σ(t) comme une intégrale de Stieltjes La formule (4.15) est la définition de l intégrale de Stieltjes : σ(t) = t σ (τ)dτ, qui revient à interpréter la dérivée σ de σ sous l intégrale (4.16) au sens des distributions : (4.17) σ = {σ } + τ i t[ σ ] i δ τi,

33 4 Viscoélasticité linéaire 33 où δ τi est la mesure de Dirac en τ i et où {σ } désigne la distribution définie par la fonction dérivée de σ. La réponse à l histoire σ découle immédiatement de l application du principe de superposition à la formule (4.15) : (4.18) ε(t) = t t + 0 J(τ, t)dσ(τ) + τ i t[ σ ] i J(τ i, t) qui peut aussi s écrire sous la forme de l intégrale de Stieltjes : (4.19a) ε(t) = t J(τ, t)σ (τ)dτ ou encore, en tenant compte des propriétés de J τ, (4.19b) ε(t) = J(τ, t)σ (τ)dτ. La formule (4.18) fondée sur le raisonnement pragmatique de la Figure 5, pourrait conduire à une interprétation erronée (13). En effet, elle semble conférer à tous les instants τ i t (dont, éventuellement, l instant du début de l histoire) le caractère de points exceptionnels de la fonctionnelle ε(t), c est-à-dire tels que la modification des valeurs de σ en ces seuls instants entraînerait une variation de ε(t) pour tous les instants ultérieurs. Il n en est rien : la réponse ε(t) à l instant t est la même pour deux histoires de σ qui ne diffèrent l une de l autre que par leurs valeurs en des instants τ i strictement antérieurs à t, (τ i < t), : seul l instant actuel t possède le caractère de point exceptionnel. En effet l ambiguïté disparaît si l on procède à l intégration par parties de l intégrale dans (4.18), ce qui nécessite de bien prendre en compte les discontinuités de σ aux points τ i t et la condition à l infini σ( ) = 0. On obtient ainsi la formule de Boltzmann : (4.20) t ε(t) = σ(t)j(t, t) σ(τ) J (τ, t)dτ t 0 τ L importance de cette nouvelle expression tient au fait qu elle décompose la déformation actuelle ε(t) en la somme de deux termes physiquement significatifs. Le premier, σ(t)j(t, t), exprime la réponse instantanée, à l instant actuel t, à la sollicitation en ce même instant, c est-à-dire à σ(t). (On rappelle que l on a défini, de façon générale, J(τ, τ) = J(τ, τ + )). Le second, t t 0 σ(τ) J (τ, t)dτ, est l intégrale de mémoire de toute l histoire τ antérieure à t et exprime le résultat du comportement différé du matériau. Compte tenu des propriétés (4.7) énoncées pour la fonction J τ ce terme ne comporte aucune singularité. (13) L intégrale de Stieltjes (4.19) est sans ambiguïté.

34 34 Chapitre I Approche unidimensionnelle Il résulte de cette décomposition que le seul instant qui possède un caractère exceptionnel pour la fonctionnelle ε(t) est l instant actuel t, en manifestation de la réponse élastique instantanée du matériau. La formule (4.20) peut aussi se mettre sous la forme d une intégrale de Stieltjes en remarquant que la dérivée partielle par rapport à τ de J(τ, t), prise au sens des distributions est : J { J } (4.21) τ (, t) = τ (, t) J(t, t)δ t, d où l intégrale de Stieltjes (4.22) ε(t) = σ(τ) J (τ, t)dτ. τ Ceci permet de compléter l interprétation physique de la formule de Boltzmann : Issu de l expérience de retard, J(t, t) est la complaisance élastique qui donne la réponse instantanée à l échelon unité appliqué à l instant t. J (τ, t) est la réponse, observée à l instant t, à l impulsion unité appliquée à τ l instant τ, (τ < t), c est-à-dire à δ (14) τ. Histoire de déformation donnée On part maintenant d une histoire de ε donnée, nulle pour t =, continue et dérivable, par morceaux, par rapport au temps, et présentant des sauts [ ε ] i aux instants τ i. Sans reproduire dans le détail les raisonnements du paragraphe précédent, on voit que la réponse σ à cette histoire de déformation s obtient en permutant dans les formules précédentes les rôles de σ et de ε et en faisant intervenir la fonction de relaxation R(τ, t) au lieu de J(τ, t). Il en résulte les expressions suivantes : (4.23) σ(t) = t où, sous la forme d une intégrale de Stieltjes, (4.24) avec (4.25) (4.26) t + 0 σ(t) = R(τ, t)dε(τ) + τ i t[ ε ] i R(τ i, t) R(τ, t)ε (τ)dτ ε = {ε } + τ i t[ ε ] i δ τi. L intégration par parties conduit à la formule de Boltzmann : σ(t) = ε(t)r(t, t) t ε(τ) R (τ, t)dτ t 0 τ (14) On remarque que c est ici la réponse à l échelon unité qui joue le rôle primordial alors qu habituellement les analyses des comportements linéaires se réfèrent à la réponse à l impulsion unité. Ceci est évidemment dû à la nature physique de l expérience quasi-statique fondamentale.

35 4 Viscoélasticité linéaire 35 ou, sous la forme d une intégrale de Stieltjes, (4.27) σ(t) = 4.4 Formules de Boltzmann Opérateur intégral ε(τ) R (τ, t)dτ. τ On remarque que, dans leur structure, les expressions (4.20) et (4.26) sont strictement identiques, construites respectivement sur les fonctions de retard et de relaxation. Ainsi les correspondances fonctionnelles F et R, linéaires, inverses l une de l autre, s expriment avec le même opérateur intégral construit avec la dérivée J (τ, t) τ pour F et la dérivée R (τ, t) pour R, ces dérivées étant prises au sens des distributions. R Pour accroitre la lisibilité des formules et faciliter la comparaison avec le cas particulier du matériau non-vieillissant traité dans la suite (section 5), on peut adopter pour les correspondances fonctionnelles (3.3) la forme (4.28), explicitée par (4.20) et (4.26) : (4.28) σ F ε = < J, σ >= J ( )σ τ σ = < R, ε >= R ( )ε τ ε R Quelques identités autour de l opérateur intégral Élément neutre Si J(τ, t) = Y τ (t) = Y (t τ) ou R(τ, t) = Y τ (t) = Y (t τ), on a évidemment : σ, J ( )σ = σ (4.29) ε, R ( )ε = ε. Cette constatation ne doit pas surprendre car il s agit simplement de la forme des fonctions de retard et de relaxation dans le cas du comportement purement élastique linéaire (cf ) : (4.30) Formules d inversion J(τ, t) = 1 E Y τ(t) et R(τ, t) = E Y τ (t). En décrivant les expériences de retard et de relaxation au moyen des formules générales (4.28) on obtient les identités évidentes, valables t 0 :

36 36 Chapitre I Approche unidimensionnelle (4.31) J t0 = J ( )Y t0 (4.32) R t0 = R ( )Y t0 L inversion de (4.31) par (4.28) fournit la relation (4.33) et l inversion de (4.32) s écrit : t 0, R ( )J t0 = Y t0 (4.34) t 0, J ( )R t0 = Y t0. Ces deux formules explicitent la façon dont les fonctions de retard et de relaxation sont inverses les unes des autres pour l opérateur intégral. Elles s expriment aussi sous la forme : (4.35a) soit (4.35b) < R τ, J >=< J t 0 τ, R >= δ t0 t 0 R J (τ, t) (t 0, τ)dτ = τ t 0 J (τ, t) R(t 0, τ)dτ = δ(t t 0 ). τ t 0 Plus que les relations (4.35), les formules (4.33) et (4.34) se révèlent utiles dans la pratique comme formules d inversion «à vue». On peut enfin signaler que la formule d inversion entre le module élastique instantané et la complaisance instantanée (4.13) est une conséquence particulière de (4.33), (4.34) ou (4.35) En conclusion Les formules de Boltzmann mettent en évidence que la linéarité du comportement est une propriété forte qui implique que le comportement différé du matériau est, comme annoncé au paragraphe (4.2.4), entièrement décrit par la seule connaissance de ses fonctions de retard ou de ses fonctions de relaxation. Le qualificatif de «fondamentales» donné aux expériences correspondantes se trouve, dès lors, complètement justifié. 5 Modèle linéaire non-vieillissant 5.1 Vieillissement Après le choix d une origine pour la variable temps, effectué de façon physiquement significative pour le matériau étudié, les expériences d identification du comportement

37 5 Modèle linéaire non-vieillissant 37 montrent que les propriétés physiques du matériau étudié en particulier ses caractéristiques mécaniques peuvent évoluer indépendamment des sollicitations mécaniques auxquelles il est soumis. Ce peut être le résultat de causes et de phénomènes divers : température, hygrométrie, rayonnements 1umineux (notamment U.V.), rayonnements ionisants, réactions chimiques, cristallisation, fusion, propagation de défauts, etc. Ce phénomène général porte le nom de vieillissement. Ce terme est souvent associé à une connotation négative, impliquant une dégradation des propriétés mécaniques c est le cas, notamment, pour les polymères toutefois le vieillissement est loin d être toujours un phénomène néfaste : il suffit, pour s en convaincre, de considérer par exemple le cas du béton et de comparer ses propriétés à 1, 7 et 28 jours. 5.2 Matériau non-vieillissant Si le vieillissement est une propriété générale de tout matériau à partir de l instant de son élaboration, il se manifeste de façon plus ou moins marquée suivant les cas et suivant les époques de 1 histoire du matériau concerné. C est ainsi qu il existe souvent pour un matériau donné une période significative où ses propriétés mécaniques sont, en quelque sorte, «stabilisées» et n évoluent pas avec le temps. Le matériau est alors dit non-vieillissant. Mathématiquement cela signifie que si l on considère deux histoires de contrainte, soient σ et σ u, décalées l une de l autre dans le temps par translation d un intervalle u (5.1) u, τ, σ u (τ) = σ(τ u), les histoires de déformation correspondantes associées par les formules (3.1) et (3.2) sont ε et ε u, elles aussi décalées l une de l autre par la même translation de durée u (Figure 6). Ainsi : (5.2) σ, u, σ ε F F σ u εu avec ε u (τ) = ε(τ u) τ, soit (5.3) [ t u ] [ t ] F t u σ(τ) ) = F t σ(τ u), σ, u, et la formule homologue pour R (5.4) [ t u ] [ t ] R t u ε(τ) = R t ε(τ u), ε, u Fonctions de retard et de relaxation Si l on considère les deux expériences de retard définies par les histoires de sollicitation (5.5) σ(τ) = σ 0 Y (τ) et σ u (τ) = σ 0 Y u (τ) = σ 0 Y (τ u),

38 38 Chapitre I Approche unidimensionnelle replacemen sollicitation u τ réponse Figure 6 Invariance du comportement par translation sur le temps. qui sont décalées l une de l autre par translation dans le temps d amplitude u, les réponses s écrivent, par définition : (5.6) ε(τ) = σ 0 J(0, τ; σ 0 ) et ε u (τ) = σ 0 J(u, τ; σ 0 ). En conséquence de l hypothèse de non-vieillissement, il vient, en application de (5.2) et (5.3) : (5.7) (5.8) J(u, τ; σ 0 ) = J(0, τ u; σ 0 ). De la même façon, pour les fonctions de relaxation, on montre que : R(u, τ; ε 0 ) = R(0, τ u; ε 0 ). En d autres termes, les fonctions de retard et de relaxation, invariables par translation dans le temps, ne dépendent de leurs arguments temporels que par la différence de ceux-ci. On écrira : u τ (5.9) J(t0, t; σ 0 ) = f(t t 0 ; σ 0 ) avec f(τ; σ 0 ) = 0 si τ < 0 et (5.10) R(t0, t; ε 0 ) = r(t t 0 ; ε 0 ) avec r(τ; ε 0 ) = 0 si τ < 0. Les formules (5.7) et (5.8) fournissent évidemment des tests simples pour la validation de l hypothèse de non-vieillissement. 5.3 Matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant Fonctions de retard et de relaxation Si le comportement du matériau non-vieillissant considéré est viscoélastique linéaire, il suffit de rassembler les résultats des paragraphes 4.2 et 5.2 pour obtenir l ensemble des propriétés des fonctions de retard et de relaxation J(t 0, t) et R(t 0, t).

39 5 Modèle linéaire non-vieillissant 39 (5.11) et (5.12) Ainsi : J(t 0, t) = f(t t 0 ) f(τ) = 0 si τ < 0 f(0) > 0 f (τ) 0, f (τ) 0 pour τ > 0 R(t 0, t) = r(t t 0 ) r(τ) = 0 si τ < 0 r(0) > 0 r (τ) 0, r (τ) 0 pour τ > 0 Cela signifie que le «catalogue» des fonctions de retard se déduit de la seule fonction f qui ne dépend que d un argument et qui apparaît comme la fonction de retard pour l expérience effectuée «à l instant zéro». On l appelle couramment la fonction de retard du matériau. De même, r est la fonction de relaxation du matériau, qui permet de définir l ensemble des fonctions de relaxation. (5.13) On définit aussi f t0 et r t0 par : f t0 (t) = f(t t 0 ) et (5.14) Formules de Boltzmann r t0 (t) = r(t t 0 ). En substituant, dans les formules de Boltzmann (4.20, 4.22) et (4.26, 4.27) les expressions (5.11) et (5.12) de J(t 0, t) et R(t 0, t) respectivement, on obtient les formules suivantes qui font intervenir la fonction de retard et la fonction de relaxation du matériau et où l on rappelle que t 0 désigne l instant de début des histoires σ et ε : (5.15a) ou (5.15b) ε(t) = σ(t)f(0) + t t 0 σ(τ)f (t τ)dτ ε(t) = σ(τ)f (t τ)(intégrale de Stieltjes)

40 40 Chapitre I Approche unidimensionnelle et (5.16a) ou σ(t) = ε(t)r(0) + (5.16b) σ(t) = t ε(τ)r (t τ)dτ ε(τ)r (t τ)(intégrale de Stieltjes). Dans les formules (5.15a et 5.16a) f et r désignent les fonctions dérivées de f et r par rapport à leur argument; dans (5.15b et 5.16b) (intégrales de Stieltjes) les dérivées sont prises au sens des distributions (4.17) : (5.17) f = {f } + f(0)δ et r = {r } + r(0)δ. Sous l une ou l autre de leurs formes, les formules (5.15) et (5.16) permettent maintenant d identifier l opérateur intégral de Boltzmann dès lors que l on a affaire à un matériau non-vieillissant. On reconnaît en effet dans (5.15) le produit de convolution de Riemann de σ et de la dérivée f de f, noté classiquement : (5.18) de même, pour (5.16) : σ F ε = J ( )σ = f σ (5.19) ε R σ = R ( )ε = r ε Les identités (4.31, 4.32) énoncées précédemment autour de l opérateur de Boltzmann sont classiques pour ces produits de convolution si l on se rappelle que la dérivation d un produit de convolution s écrit typiquement : (f σ) = f σ = f σ. Ainsi : f t0 = f Y t0 = f (Y t0 ) = f δ t0, (5.20) r t0 = r Y t0 = r (Y t0 ) = r δ t0. Les identités (4.31) et (4.32) expriment que f et r sont inverses du point de vue de la convolution de Riemann et l on retrouve (4.35) : (5.21) r f = f r = (f r) = Y f r = δ.

41 5 Modèle linéaire non-vieillissant 41 (5.22) On en déduit en particulier que (15) : f(0)r(0) = 1 ce qui n est autre que l expression, pour le matériau non-vieillissant, de la formule d inversion entre le module élastique instantané et la complaisance élastique instantanée (4.13). De plus, dans l hypothèse où les fonctions de retard et de relaxation tendent chacune vers une limite finie quand t, notées respectivement f( ) et r( ), on peut établir le résultat nouveau (16) : (5.23) f( )r( ) = 1 Ce résultat n a rien de physiquement évident et il est, pour cela, remarquable : il exprime une relation entre les «comportements à l infini» en retard et en relaxation. Il fait apparaître r( ) comme un «module à l infini» dans l expérience de relaxation et f( ) comme une «complaisance à l infini» dans l expérience de déformation retardée, inverses l un de l autre. Recouvrance et effacement La formule (4.10) établie dans le cas général de la viscoélasticité linéaire pour la réponse dans l expérience de recouvrance devient, en l absence de vieillissement : (5.24) ε(t) = σ 0 [f(t t 0 ) f(t t 1 )] ; de même pour la réponse dans l expérience d effacement : (5.25) σ(t) = ε 0 [r( t 0 ) r(t t 1 )]. Il en résulte que, pour le matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant : si f( ) est finie, la recouvrance est totale, si r( ) est finie, l effacement est total, ou encore, compte tenu de (5.22), si f( ) ou r( ) est finie non nulle la recouvrance et l effacement sont totaux. (15) La démonstration découle directement des expressions (5.17) de f et r qui, transportées dans (5.20), montrent que f(0) r(0) δ = δ. (16) L intégration de (5.20) donne directement : [f r](t) = t Y (t). En décomposant f et r sous la forme f(t) = f( )Y (t) + u(t) et r(t) = r( )Y (t) + ν(t), où u(t) et ν(t) sont des fonctions bornées qui tendent vers 0 à l infini, il vient t Y (t) = f( ) r( ) t Y (t)+ 3 termes complémentaires dont on peut démontrer qu ils sont infiniment petits par rapport à t.

42 42 Chapitre I Approche unidimensionnelle Utilisation du calcul opérationnel Il apparaît sur les formules précédentes que tous les calculs concernant le matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant opèrent dans l algèbre de la convolution de Riemann. La transformation de Laplace fournit le moyen de leur substituer des calculs algébriques ordinaires effectués sur des transformées, fonctions de la variable p, inverse d un temps. Définition et propriétés élémentaires de la transformation de Laplace En supposant satisfaites les hypothèses mathématiques nécessaires, la transformée de Laplace de la distribution ϕ(t) de support R +, notée Lϕ, est la fonction de p définie par : (5.26) Lϕ(p) =< ϕ, e pt >= ϕ(t)e pt dt. Dans les applications à venir, les distributions concernées seront définies par des fonctions, dérivables et continues, par morceaux, de support R + et par leurs dérivées au sens des distributions (cf. (5.17)) : l intégrale dans (5.25) est une intégrale de Stieltjes. (5.27) Les propriétés essentielles sont résumées dans le tableau suivant (17) L(a b) = L(a) L(b) Lδ = 1 Lδ = p Lϕ = L(ϕ δ ) = p Lϕ Lδ u = e pu Lϕ u = L(ϕ δ u ) = e pu Lϕ où ϕ u désigne la translatée de ϕ (18) Transformation de Laplace-Carson On a vu par la formule (5.20) que f et r sont inverses l une de l autre dans la convolution de Riemann : f r = δ. Ceci incite à utiliser la transformation dite de (Laplace-Carson), de la distribution ϕ, notée ϕ, qui est la transformée de Laplace de la dérivée de ϕ (au sens des distributions) : (17) Pour ces distributions on a aussi : L[tϕ(t)] = d ϕ(t) (Lϕ), L[ϕ(t) ] = Lϕ(u) du, dt = Lϕ(p) dp. dp t t (18) p 0 0 Cf. (5.19).

43 5 Modèle linéaire non-vieillissant 43 (5.28) ϕ = Lϕ = p Lϕ (5.29) En conséquence de cette définition on a évidemment : (a b ) = a b ; il s ensuit que les formules (5.17), (5.18) et (5.20) s écrivent simplement, en transformées de Carson : (5.30) ε (p) = f (p)σ (p) σ (p) = r (p)ε (p) f (p)r (p) = 1 La fonction r (p) est souvent appelée module opérationnel. Par ce moyen tous les calculs se trouvent ramenés à des calculs algébriques ordinaires portant sur les transformées de f, r, σ, ε, qui sont des fonctions de p. Comme on le verra par la suite ( 9.4), l intérêt essentiel de ce passage aux transformées réside dans le fait que ces calculs sont identiques à ceux rencontrés en élasticité linéaire, pour lesquels on peut donc utiliser les résultats déjà acquis. La difficulté est évidemment reportée sur le retour aux fonctions originales, fonctions de t, par inversion de la transformation de Carson (19). Formulaire pratique de quelques transformées de Carson usuelles (5.31) ϕ (0) = ϕ( ) ϕ (20) ( ) = ϕ(0) (19) La structure formelle des calculs est évidemment identique dans l algèbre de convolution et, disposant d une bonne pratique du calcul dans cette algèbre, on peut y poursuivre les mêmes développements. (20) Où l on suppose que ϕ(t) ϕ( ) quand t. Cf. les notes (15) et (16) du paragraphe (5.3.2).

44 44 Chapitre I Approche unidimensionnelle ϕ δ C Y (t) ϕ (p) e at Y (t) t n Y (t) (1 e at )Y (t) [ b a (1 b ] a )e at Y (t) e at Y (t)sin ωt e at Y (t)cos ωt 6 Modèles rhéologiques p C p p + a n! p n a p + a p + b p + a p ω (p + a) 2 + ω 2 p (p + a) (p + a) 2 + ω 2 L emploi des modèles rhéologiques est un support de la pensée qui se révèle commode dans la formulation des modèles de comportement uniaxial, notamment (mais cela n est pas exclusif d autres applications) en viscoélasticité linéaire pour le matériau non-vieillissant. L avantage essentiel attaché à cette méthode est qu elle permet de concrétiser facilement l intuition que l on peut avoir de certains aspects du comportement tout en étant assuré de respecter les principes de la thermodynamique. Le paragraphe 6.1 présente les deux modèles élémentaires de base. On désigne de façon générique par σ la force s exerçant sur le modèle et par ε la variable conjuguée dans l expression du travail de déformation de cet élément (21). 6.1 Modèles élémentaires Les modèles rhéologiques utilisés en viscoélasticité linéaire pour le matériau non vieillissant en calcul des structures sont constitués à partir des deux modèles élémentaires représentés sur la Figure 7. (21) En se référant à la représentation géométrique des modèles, on dira couramment que ε représente l allongement du modèle.

45 6 Modèles rhéologiques 45 E σ Figure 7 Modèles élémentaires viscoélastiques linéaires non-vieillissants Élément élastique linéaire : ressort On désigne par E la raideur de l élément définie par la relation linéaire indépendante du temps : (6.1) (6.2) La fonction de retard est donc : et la fonction de relaxation (6.3) σ(t) = E ε(t). f(t) = 1 E Y (t) d ou f (p) = 1 E r(t) = E Y (t) d ou r (p) = E On remarque que contrairement à un énoncé courant, les fonctions de retard et de relaxation correspondant à cet élément ne sont pas des constantes mais des fonctions «échelons». L oubli de cette remarque évidente est la cause d erreurs assez fréquentes. η σ Élément visqueux linéaire : amortisseur Cet élément porte aussi parfois le nom anglais de «dashpot», Son coefficient de viscosité est noté η défini par la relation linéaire indépendante du temps : (6.4) (6.5) (6.6) La fonction de retard est donc : σ(t) = η ε (t). f(t) = t η Y (t) d où f (p) = 1 η p Pour la fonction de relaxation, on déduit de la formule précédente, par (5.29) : r (p) = η p d où r = η δ

46 46 Chapitre I Approche unidimensionnelle Ce résultat ne doit pas surprendre car, physiquement, on sait que cet élément n a pas d élasticité instantanée : il est impossible d imposer un saut instantané sur ε. En fait, dans les applications à venir, il ne sera jamais considéré seul : il sera toujours associé en série à un élément élastique linéaire en sorte que le comportement instantané du modèle global sera élastique comme, à titre d exemple, dans le modèle de Maxwell représenté sur la Figure 8. À noter que pour l élément visqueux linéaire, la recouvrance est partielle et qu il n y a pas d expérience d effacement. 6.2 Modèle de Maxwell E Figure 8 Modèle de Maxwell Le modèle de Maxwell est composé d un ressort et d un amortisseur montés en série. La fonction de retard de ce modèle s obtient en appliquant la règle évidente : La fonction de retard d un modèle constitué d éléments montés en série s obtient en additionnant les fonctions de retard de ces éléments. (6.7) (6.8) Il vient ainsi : f(t) = ( 1 E + t η) Y (t) et f (p) = 1 E + 1 η p. Par (5.29) on obtient la transformée de la fonction de relaxation : r (p) = E p p + E η dont on déduit, par inversion de la transformée de Carson : (6.9) r(t) = E e E η t Y (t). Ainsi la fonction de relaxation décroit exponentiellement vers zéro, le temps caractéristique du phénomène de relaxation étant : (6.10) On voit que pour ce modèle on a : τ r = η E., η f(0) = 1/E et r(0) = E, ce qui exprime que le comportement instantané correspond à la seule contribution du ressort, σ

47 6 Modèles rhéologiques 47 f n a pas de limite finie quand t tandis que r( ) = 0, en conséquence du comportement de l amortisseur qui se détend indéfiniment. Il est intéressant de considérer les expériences de recouvrance et d effacement : on constate que la recouvrance est partielle tandis que l effacement est total. Cet élément viscoélastique linéaire simple est aussi appelé liquide de Maxwell. 6.3 Modèle de Kelvin E Figure 9 Modèle de Kelvin Le modèle de Kelvin est composé d un ressort et d un amortisseur montés en parallèle. La fonction de relaxation de ce modèle s obtient en appliquant la règle évidente : η La fonction de relaxation d un modèle constitué d éléments montés en parallèle s obtient en additionnant les fonctions de relaxation de ces éléments. σ Il vient ainsi : (6.11) r (p) = E + η p et r = η δ + E Y. On constate que, comme au paragraphe 6.1.2, le modèle ne présente pas d élasticité instantanée. La transformée de Carson de la fonction de retard s obtient par (5.29) et l on procède ensuite à son inversion : (6.12) f (p) = 1 1 η p + E η On voit que pour ce modèle on a : d où f(t) = 1 E (1 e E η t )Y (t). f(0) = 0, ce qui correspond à l absence d élasticité instantanée, f( ) = 1/E et r( ) = E, car au bout d un temps infini, il n y a plus d effort dans l amortisseur et le comportement est assuré par le ressort seul.

48 48 Chapitre I Approche unidimensionnelle Le phénomène de retard est régi par une exponentielle dont le temps caractéristique est τ f : (6.13) τ f = η E. Ce matériau n ayant pas d élasticité instantanée, l expérience d effacement ne peut être effectuée. En revanche on observe que la recouvrance est totale. Ce modèle est aussi appelé solide de Kelvin-Voigt. 6.4 Solide linéaire standard Le solide linéaire standard est représenté par deux modèles équivalents : le solide de Kelvin-Voigt à élasticité instantanée (Figure 10a) et le modèle de Zener (Figure 10b). E E 1 η 1 σ Figure 10 Solide linéaire standard E 2 K η 2 σ Solide de Kelvin-Voigt à élasticité instantanée Ce modèle est composé d un ressort et d un solide de Kelvin-Voigt montés en série (Figure 10a). On obtient ainsi rapidement la fonction de retard : [ 1 f(t) = E + 1 ] (6.14) (1 e E 1 η t 1 ) Y (t) et f (p) = 1 E 1 E + 1 E 1 + η 1 p. (6.15) La fonction de retard f(t) décroit exponentiellement de la valeur à la valeur (6.16) f(0) = 1 E f( ) = 1 E + 1 E 1 = 1 K. E apparaît ainsi comme le module d élasticité instantané du modèle. La complaisance à l infini est 1/K où K, défini par (6.16), est égal à : (6.17) K = E E 1 E + E 1.

49 6 Modèles rhéologiques 49 (6.18) τ f est le temps caractéristique en retard : en sorte que f(t) s écrit aussi : (6.19) τ f = η 1 Il vient ensuite par (5.29) : (6.20) r (p) = E E 1 + η 1 p E + E 1 + η 1 p E 1 [ 1 f(t) = K + ( 1 E 1 t K )e τ f ) ]Y (t). (E+E 1 ) η d ou, par inversion, r(t) = [K + (E K)e t 1 )] Y (t). On vérifie que r(0) = 1/f(0) = E, conformément à (5.21) et aussi que, le module à l infini est r( ) = K = 1/f( ), comme annoncé par (5.22). La fonction de relaxation décroit exponentiellement; le temps caractéristique en relaxation est (6.21) d où pour r(t) : (6.22) (6.23) τ r = η 1 E + E 1 r(t) = [K + (E K)e t τr )] Y (t). On remarque que τ r τ f = K E ce qui manifeste le fait que la relaxation des efforts est un phénomène plus rapide que la déformation retardée. Enfin, on note que pour ce modèle la recouvrance est totale et l effacement est total Modèle de Zener Le modèle est représenté sur la Figure 10b. Il est constitué d un ressort et d un liquide de Maxwell montés en parallèle. On obtient ainsi rapidement sa fonction de relaxation : (6.24) r(t) = [K + E 2 e E 2 η t 2 )] Y (t). On remarque que, pour t = 0, r(0) = K + E 2 et que, à l infini, on a r( ) = K. De plus la forme de (6.24) est identique à celle de (6.20). En fait les deux modèles de la Figure 10 sont équivalents en y identifiant les valeurs de K et en faisant : (6.25) K + E 2 = E et η 2 E 2 = η 1 E + E 1.

50 50 Chapitre I Approche unidimensionnelle Applications Le solide linéaire standard est le modèle unidimensionnel le plus simple de comportement viscoélastique linéaire, sans vieillissement, pour un matériau avec élasticité instantanée dont la recouvrance est totale et l effacement total. Ce modèle peut être caractérisée par son module d élasticité instantanée E et ses temps caractéristiques en retard et en relaxation τ f et τ r avec τ f > τ r, qui permettent de déterminer le module à l infini K. Ce modèle a notamment été proposé dans certaines recommandations techniques pour la représentation du comportement différé du béton lorsque le chargement est effectué suffisamment longtemps après la mise en œuvre pour que l hypothèse de non-vieillissement puisse être considérée comme réaliste. 6.5 Généralisation Modèle de Maxwell généralisé Le solide linéaire standard est un cas particulier du modèle de Maxwell généralisé qui est composé de m modèles de Maxwell assemblés en parallèle. Une branche parallèle supplémentaire constituée simplement d un ressort assure que la recouvrance est totale, ce qui correspond à un comportement «solide» (figure 11). E E 1 η 1 E 2 η 2 σ E m η m Figure 11 Modèle de Maxwell généralisé La fonction de relaxation de ce modèle s obtient en appliquant la règle énoncée au paragraphe 6.3 à partir des fonctions de relaxation à partir des expressions (6.3) et (6.9) : (6.26) j=m r(t) = E Y (t) + (E j e E j η t j )Y (t). j=1 Cette formule met en évidence le spectre discret de temps caractéristiques en relaxation [τ r ] j = η j. E j

51 6 Modèles rhéologiques 51 Le module d élasticité instantané est égal à r(0) = E + j=m E j tandis que r( ) = E : l effacement est total et la recouvrance est totale. (6.27) Le module opérationnel est j=m r p (p) = E + (E j ), p + 1/[τ r ] j j=1 dont on déduit f (p) par l inversion algébrique (5.29), puis f(t) par inversion de la transformée de Carson, mettant ainsi en évidence le spectre des temps caractéristiques en retard Modèle de Kelvin généralisé De la même façon le solide linéaire standard est un cas particulier du modèle de Kelvin généralisé, qui est composé de n modèles de Kelvin assemblés en série avec un ressort qui apporte l élasticité instantanée (figure 12). E j=1 E 1 E 2 E n η 1 η 2 η n σ Figure 12 Modèle de Kelvin généralisé Par la règle énoncée au paragraphe 6.2 et à partir de (6.2) et (6.12) on obtient la fonction de retard de ce modèle : (6.28) f(t) = 1 j=n E Y (t) + (1 e E i η t i )Y (t). i=1 Le spectre discret des temps caractéristiques en retard est ici évident : [τ f ] i = η i E i. 1 Le module élastique instantané est f(0) = E. La complaisance à l infini est f( ) = 1 i=n E + i=1 1. E i La recouvrance est totale et l effacement est total.

52 52 Chapitre I Approche unidimensionnelle (6.29) En transformées de Carson : f (p) = 1 i=n E + i=1 1 E i + η i p = 1 i=n E + Å ã 1 1 η i p + 1/[τ f ] i dont on déduit r (p) par l inversion algébrique (5.29), puis r(t) par inversion de la transformée de Carson, mettant ainsi en évidence le spectre des temps caractéristiques en relaxation Équivalences Les inversions algébriques (fastidieuses) des transformées de Carson f (p) au paragraphe ou r (p) au paragraphe mettent en évidence l équivalence des deux modèles des figures 11 et 12. On comprend que dans la pratique, selon le type de phénomène mis en jeu dans le problème étudié, on choisira de se référer à l un ou l autre modèle pour faciliter les calculs. Un théorème général permet en outre d établir que tout assemblage en parallèle et/ou en série de ressorts et d amortisseurs, dont la recouvrance est totale et dont le module d élasticité instantané est fini, est équivalent à un modèle de Maxwell ou de Kelvin généralisé. Enfin, en généralisant les formules (6.26) ou (6.28) on peut introduire, au lieu des spectres discrets de temps caractéristiques en relaxation ou en retard, des spectres continus. 7 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel i=1 7.1 Point de vue uniaxial et modélisation unidimensionnelle L exemple choisi aux paragraphes 2.1 et 2.2 permet d illustrer la différence entre l analyse d une expérience du point de vue uniaxial et une modélisation unidimensionnelle. En effet on a considéré une éprouvette tridimensionnelle, soumise d abord à une expérience de retard sous une sollicitation de traction simple : du point de vue du matériau constitutif il s agit d une sollicitation homogène en contrainte uniaxiale qui s écrit en notation tensorielle : (7.1) σ(t) = σ 0 e x e x Y t0 (t). La réponse du matériau est évidemment tridimensionnelle mais on a choisi de ne considérer que la déformation longitudinale, supposée homogène, ε xx (t) = ε(t). C est ainsi que l on a défini la fonction de retard en traction simple (2.4). Pour la définition de la fonction de relaxation (2.8), on a imaginé l expérience «duale» de la précédente, c est-à-dire sur cette même éprouvette dans les mêmes conditions de traction simple, en imposant la seule composante ε xx (t) = ε(t) = ε 0 (t)y t0 (t) de ε xx (t) et en suivant la réponse σ(t), amplitude de σ(t) qui est uniaxial.

53 7 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 53 En fait, ce point de vue uniaxial ne décrit pas le comportement du matériau constitutif de l éprouvette (cf. chapitre II, section 1) mais celui de l éprouvette ellemême, considérée comme un élément de structure soumis à des sollicitations de traction ou compression. L analyse développée dans les sections 3 à 5 fournit le prototype de toute loi de comportement viscoélastique linéaire unidimensionnelle, de la même façon que la loi de Hooke, sous sa forme originale «Ut tensio sic vis», en élasticité. De façon générique, on désigne par Q la variable «force» et par q la variable géométrique qui lui est associée dans l expression du travail de déformation de l élément concerné (contrainte et déformation généralisées unidimensionnelles). On introduit les fonctions de retard J(τ, t) et les fonctions de relaxation R(τ, t) avec les propriétés homologues de (4.7 et 4.8) : (7.2) (7.3) Q F q = < J,Q > = J( )Q, τ Q = < R,q > = R ( )q. τ q R Si le matériau est non-vieillissant, avec f et r pour la fonction de retard et la fonction de relaxation : (7.4) Q F q = f Q q = f Q (7.5) q Q R = r q Q = r q avec : (7.6) et (7.7) f(τ) = 0 si τ < 0 f(0) > 0 f (τ) 0,f (τ) 0 pour τ > 0 r(τ) = 0 si τ < 0 r(0) > 0 r (τ) 0,r (τ) 0 pour τ > 0

54 54 Chapitre I Approche unidimensionnelle 7.2 Exemples d applications à des éléments de structure Poutre en traction-compression N Figure 13 Élément de poutre en traction-compression On se place ici dans le cadre de la modélisation des milieux curvilignes. Pour l élément de poutre droite, la variable «force» est l effort normal habituellement noté N et la variable géométrique associée à N dans l expression du travail de déformation est la déformation longitudinale ε. D où pour (7.3) : (7.8) Q = N, q = ε = J( )N. Dans le cas particulier où la modélisation curviligne est celle d un élément de barre tridimensionnel, de section S, constitué d un matériau homogène isotrope dont la fonction de retard en traction simple est J(τ, t), on verra au chapitre II ( 7.2) que : (7.9) ε = J ( ) N S. Autrement dit, la fonction de retard pour cet élément de poutre en tractioncompression est : (7.10) J(τ, t) = J(τ, t) S Poutre en flexion M Figure 14 Élément de poutre en flexion On est encore dans le cadre de la modélisation des milieux curvilignes. Pour l élément de poutre droite, la variable «force» est maintenant le moment de flexion M et la variable géométrique associée à M dans l expression du travail de déformation est la courbure χ de la déformée de l élément; d où pour (7.3) : (7.11) Q = M, q = χ = J( )M. Dans le cas particulier où la modélisation curviligne est celle d un élément de barre tridimensionnel, de section S, constitué d un matériau homogène isotrope dont

55 7 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 55 la fonction de retard en traction simple est J(τ, t), si la flexion est effectuée autour d un axe principal d inertie de la section droite, I désignant le moment d inertie par rapport à cet axe principal, on verra au chapitre II ( 7.3) que : (7.12) χ = J ( ) M I. Autrement dit, la fonction de retard pour l élément de poutre en flexion est alors : (7.13) Poutre en torsion J(τ, t) J(τ, t) =. I Figure 15 Élément de poutre en torsion On se place encore dans le cadre de la modélisation des milieux curvilignes. Pour l élément de poutre droite, la variable «force» est maintenant le moment de torsion C et la variable géométrique associée à C dans l expression du travail de déformation est α, rotation différentielle de l élément autour de l axe x; d où pour (7.3) : (7.14) C Q = C, q = α = J( )C. Dans le cas particulier où la modélisation curviligne est celle d un élément de barre tridimensionnel, de section S, constitué d un matériau homogène isotrope dont la fonction de retard en cisaillement simple est γ(τ, t), en désignant par J le moment d inertie de torsion de la section droite, on verra au chapitre II ( 7.4) que : x (7.15) α = γ ( ) C J. (7.16) Autrement dit, la fonction de retard pour l élément de poutre en torsion est : γ(τ, t) J(τ, t) =. J Poutre sous sollicitations «complexes» La linéarité de la loi de comportement permet d utiliser les résultats précédents pour traiter le cas où l élément de poutre droite est soumis à une sollicitation comportant à la fois la traction-compression et la flexion selon un axe qui n est pas un axe principal d inertie. En effet, il suffit, comme en élasticité linéaire, d appliquer le principe de superposition ( 3.1). Comme en Résistance des matériaux, les formules (7.8), (7.11) et (7.14) sont aussi utilisées comme lois de comportement de l élément infinitésimal de poutre courbe (arc de faible courbure).

56 56 Chapitre I Approche unidimensionnelle 8 Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe 8.1 Essai harmonique En appliquant une sollicitation sinusoïdale dont la pulsation est suffisamment faible pour que les effets d inertie demeurent négligeables on réalise un essai harmonique qui permet de mettre en évidence et de caractériser les conséquences pratiques de l irréversibilité du comportement viscoélastique. On se place ici dans le cas du comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel sans vieillissement avec les notations définies en (7.4) et (7.5). (8.1) La sollicitation est imposée sur la variable «déplacement» : q(t) = q 0 cos ωt Y (t) qu il est commode de mettre sous la forme (8.2) q(t) = q 0 Re[e iωt Y (t)]. La réponse à cette sollicitation, c est-à-dire la «force» Q(t) se déduit de (7.5) : (8.3) d où, avec (8.2) (8.4) q R Q = r q. qui s explicite en : Q(t) = q 0 Re[r e iω(.) ] Y (t) (8.5) Q(t) = q 0 Re[ r (τ)e iω(t τ) Y (t τ)dτ]. 8.2 Régime harmonique asymptotique (8.6) La réponse (8.5) est nulle pour t < 0 en conséquence de (7.7). Pour t 0, on décompose (8.5) sous la forme : Q(t) = q 0 Re[e iωt r (τ)e iωt dτ] q 0 Re[e iωt r (τ)e iωτ dτ], qui permet de faire apparaitre au second membre la valeur de la transformée de Carson r pour p = iω : (8.7) Q(t) = q 0 Re[e iωt r (iω)] q 0 Re[e iωt r (τ)e iωτ dτ]. t t

57 8 Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe 57 Au total la réponse (8.5) s écrit, t : (8.8) Q(t) = q 0 Re[e iωt r (iω)] Y (t) q 0 Re[e iωt r (τ)e iωτ dτ] Y (t) On y distingue un premier terme qui représente une réponse harmonique, auquel s ajoute le terme complémentaire q 0 Re[e iωt r (τ)e iωτ dτ] Y (t) qui tend vers t zéro lorsque t si l effacement est total (22). Il en résulte alors que la réponse tend vers le régime harmonique asymptotique : t (8.9) Q(t) = q 0 Re[e iωt r (iω)]. On dit alors qu il y a accommodation pour signifier que, dans le diagramme sollicitation-réponse, la représentation [Q(t), q(t)] du comportement tend vers un cycle fermé (ellipse). Pour expliciter (8.9) on décompose le module complexe r (iω) en module et argument M(ω) > 0 et δ(ω) : (8.10) r (iω) = M(ω)e iδ(ω). La détermination de M(ω) et δ(ω) nécessite d expliciter les parties réelle et imaginaire de r (iω), soit : (8.11) (8.12) Re[r (iω)] = r (τ)cos ωτ dτ et Im [r (iω)] = Ces deux quantités sont positives. En effet, on peut écrire : Im[r (iω)] = π ω 0 [r (τ + π ω ) r (τ)] sin ωτ dτ + 3π ω 2π ω r (τ)sin ωτ dτ. [r (τ + π ω ) r (τ)] sin ωτ dτ + etc. dont chaque terme du deuxième membre est positif en conséquence de (7.7); et aussi : π Re[r 2ω (8.13) (iω)] = r(0) + r (τ)cos ωτ dτ + r (τ)cos ωτ dτ π 0 où la somme des deux premiers termes du deuxième membre est bornée inférieurement par r( ) et où le dernier terme est positif par le même raisonnement que pour (8.12). (8.14) On en déduit que 0 δ(ω) < π 2 (22) On rappelle que r(τ) est de signe constant ; en conséquence r (τ) e iωτ dτ est bornée par t r( ) r(t). 2ω

58 58 Chapitre I Approche unidimensionnelle (8.15) Ainsi : Q(t) = q 0 M(ω)cos[ωt + δ(ω)] définit le régime harmonique asymptotique dans lequel Q(t) est déphasé par rapport à q(t) : l encadrement (8.14) montre que la force est en avance sur le déplacement. Fonction de ω, le déphasage δ(ω) tend vers zéro quand ω 0, tandis que M(ω) r( ). Également, quand ω, δ(ω) tend vers zéro et M(ω) r(0). Le déphasage δ(ω) est aussi appelé angle de perte en raison de sa relation avec la dissipation d énergie due à l irréversibilité du comportement. Sur un cycle du régime harmonique asymptotique l énergie dissipée est égale à (8.16) W = 2π ω 0 Q(τ)q (τ)dτ soit, compte tenu de (8.15) et tous calculs faits : (8.17) W = (q 0 ) 2 M(ω)π sin δ(ω). On introduit alors l énergie élastique moyennée sur un cycle (8.18) W = 2π ω 2π ω soit, par (8.15), Q(τ)q(τ)dτ (8.19) W = 1 4 (q0 ) 2 M(ω)sinδ(ω), pour définir le coefficient de frottement intérieur f par f = W/2W, d où : (8.20) f = W 2W = 2π tan δ(ω) 8.3 Exemple : sollicitation harmonique du solide linéaire standard Pour illustrer de façon explicite les résultats précédents, on étudie le comportement, sous sollicitation harmonique, du solide linéaire standard ( 6.4) dont la fonction de relaxation (6.22) s écrit d après (6.21 et 6.23), en introduisant le module instantané E et les temps caractéristiques en retard et en relaxation τ f et τ r : [ τr r(t) = E + (1 τ ] r )e t τr Y (t) d où r (p) = E τ r + E(1 τ r p (8.21) ). τ f τ f τ f τ f p + 1/τ r

59 8 Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe 59 (8.22) La sollicitation est : ε(t) = ε 0 cos ωt Y (t). La réponse s obtient directement soit en utilisant les transformées de Carson, soit par intégration de (8.4) qui s écrit ici : (8.23) σ(t) = ε 0 Re[r e iω(.) Y ](t). Il vient ainsi : [ (8.24) ε(t) = ε 0 Re iω ] ) e iωt Y (t) τ f iω + 1/τ r 1 ] ) e t τr Y (t) τ f iω + 1/τ r E τ r τ f + E(1 τ r [ + ε 0 Re E( 1 1 τ r où l on reconnaît les deux termes de (8.8) : régime harmonique asymptotique et terme transitoire évanescent quand t. E K M(ω) ω 1/τr τ f tan δ(ω) ω Figure 16 Module et argument du module complexe On calcule le module et l argument du module complexe r (iω) qui sont représentés sur la figure 16 : ω2 + (1/τ f ) (8.25) M(ω) = E 2 ω2 + (1/τ r ) 2 et (8.26) tanδ(ω) = ω 1/τ r 1/τ f ω 2 avec 0 δ(ω) < π + 1/τ r τ f 2. Conformément aux résultats généraux énoncés plus haut, on constate que le module M(ω) croît de façon monotone depuis la valeur K = E τ r = r( ) jusqu à la τ f valeur E = r(0) quand ω croît de zéro à l infini. Dans le même temps, le déphasage croît depuis zéro jusqu à son maximum atteint pour ω = 1/τ r τ f puis décroît jusqu à zéro. Pour les applications pratiques on met ainsi en évidence la plage de fréquences

60 60 Chapitre I Approche unidimensionnelle la plus favorable pour bénéficier des propriétés d amortissement du matériau ; corrélativement, l énergie dissipée sous forme de chaleur doit être maitrisée afin de limiter l augmentation de température qui pourrait en résulter et modifier les caractéristiques viscoélastiques du matériau. 8.4 Commentaire Si la sollicitation harmonique est imposée sur la «force» l analyse de la réponse peut être menée de manière identique. Elle conduit aux mêmes résultats : même régime harmonique asymptotique, même retard du déplacement sur la force, même module. 9 Problèmes d évolutions quasi-statiques en viscoélasticité linéaire unidimensionelle 9.1 Problématique Les problèmes étudiés, dans l hypothèse des petites perturbations, concernent des structures ou des systèmes mécaniques constitués d éléments pour lesquels les efforts intérieurs et les déformations associées sont unidimensionnels. Ils se posent comme en Élasticité ou en Résistance des matériaux classiques. Le système d équations typique correspondant comprend, du point de vue des variables spatiales, les équations de champ et les conditions aux limites. (23) Les données qui interviennent dans ces équations sont des fonctions du temps qui décrivent l histoire de la sollicitation du système étudié : elles concernent les forces de masse ou de volume et les efforts et les déplacements sur des parties complémentaires du contour. La 1oi de comportement, sous la forme (7.2) ou (7.3), fait explicitement intervenir la variable temps. Dans la définition de ces problèmes d évolution il est essentiel d identifier de façon précise la nature des données (sollicitations) et leurs histoires. La différence entre les expériences de retard et de relaxation illustre parfaitement comment la confusion entre sollicitation et réponse, qui parait parfois sans conséquence dans le cadre de l élasticité linéaire, conduit à un contresens grave en ce qui concerne la réponse différée. Dans la pratique, les sollicitations du système étudié sont plus complexes que dans cet exemple trop simple et l équivoque s installe ainsi plus facilement. L histoire de la sollicitation est souvent morcelée dans le temps, par exemple entre l époque de la construction et de l assemblage des éléments du système et l époque de l exploitation qui lui fait suite. Un aspect important de la nécessité d une détection précise du type de phénomène mécanique mis en jeu apparaît avec la différence des temps caractéristiques en retard et en relaxation signalée à propos du solide linéaire standard et qui est une caractéristique générale : on conçoit qu une erreur de "diagnostic" peut avoir des conséquences graves sur l estimation de la durée de vie d un ouvrage de génie civil par exemple (cf ). (23) On rappelle que, compte tenu du cadre d hypothèses choisi, ces équations sont écrites sur la configuration initiale sans recours aux notations lagrangiennes.

61 9 Problèmes d évolutions quasi-statiques Principe de superposition Dans l hypothèse des petites perturbations, la linéarité du comportement du matériau implique la linéarité du problème d évolution. Cela signifie que la réponse du système étudié dépend linéairement de l histoire de la sollicitation. C est le principe de superposition (cf. chapitre II 6.4). On prendra soin de valider les hypothèses nécessaires tout au long de l évolution. 9.3 Résolution La résolution du problème d évolution viscoélastique présente évidemment 1es difficultés du problème d élasticité ou de Résistance des matériaux homologue, qui sont accrues par le caractère fonctionnel de la loi de comportement. Dans certaines circonstances, les identités et les formules d inversion énoncées autour de l opérateur de Boltzmann ( 4.4) permettent de ramener la résolution du problème d évolution viscoélastique linéaire à celle du problème d élasticité linéaire homologue Évolution prescrite par des paramètres de chargement On considère le cas où les données qui définissent l histoire de la sollicitation du système sont de la forme suivante : déplacements donnés aux limites nuls forces de masse et efforts donnés aux limites qui dépendent linéairement de n paramètres de chargement Q j (t), composantes du vecteur chargement Q(t). On désigne par q j (t) les paramètres cinématiques associés aux Q j (t) dans l expression du travail de tous les efforts extérieurs appliqués au système. Le vecteur q(t) est le vecteur cinématique. On désigne désormais par σ, ε les champs d efforts intérieurs et de déformations unidimensionnels de l élément constitutif du système étudié (Q et q des sections 7 et 8); le champ de déplacement est noté ξ. On décrit la réponse élastique instantanée du système à l instant t 0 sous le chargement Q(t 0 ) (24) (9.1) σ(x, t 0 ) = σ él j (x, t 0)Q j (t 0 ) ε(x, t 0 ) = ε él j (x, t 0)Q j (t 0 ) ξ(x, t 0 ) = ξ él (x, t j 0)Q j (t 0 ) et qui correspond au paramètre cinématique (9.2) q(t 0 ) = q él (t j 0)Q j (t 0 ) = Λ(t 0 ).Q(t 0 ), où Λ(t 0 ) est la matrice symétrique de complaisance élastique instantanée du système à l instant t 0. (24) Ces notations seront reprises, mutatis mutandis, au chapitre II (section 6); on fait la convention implicite de sommation sur les indices répétés.

62 62 Chapitre I Approche unidimensionnelle Si le système est constitué d un matériau homogène dont la fonction de retard est J(τ, t), on vérifie sans difficulté que les fonctions σ él j, εél j, ξél et qél sont de la j j forme : σ él j (x, t 0) = σj él(x) εj él(x, t 0) = ε él j (x)j t 0 (t 0 ) (9.3) ξ él (x, t j 0) = ξ él (x)j j t 0 (t 0 ) q él(t j 0) = q élj j t 0 (t 0 ) et la solution du problème d évolution défini par l histoire du vecteur chargement Q(t) est donnée à chaque instant par : (9.4) σ(x, t) = σj él(x)q j(t) ε(x, t) = ε él j (x)[ J ( )Q j ](t) ξ(x, t) = ξ él (x)[ J ( )Q j j ](t). En effet, compte tenu de la dépendance linéaire des données sur les efforts visà-vis des paramètres Q j (t), le champ σ de (9.4) satisfait évidemment les équations d équilibre et les conditions aux limites tandis que les champs ε et ξ sont, à chaque instant, géométriquement compatibles avec les données aux limites nulles sur les déplacements : c est l application du principe de superposition comme au paragraphe Il en résulte : (9.5) q(t) = 1 J t0 (t 0 ) Λ(t 0).[ J ( )Q](t) = R t0 (t 0 )Λ(t 0 ).[ J ( )Q](t) Ainsi, sous les hypothèses indiquées, la solution du problème d évolution viscoélastique du système est explicitement obtenue à partir de la connaissance de la réponse élastique instantanée, à travers l opérateur intégral Évolution prescrite par des paramètres cinématiques De la même façon, on considère maintenant le cas où les données qui définissent l histoire de la sollicitation du système sont de la forme suivante : déplacements donnés aux limites qui dépendent linéairement de m paramètres cinématiques q k (t), composantes du vecteur cinématique q(t). forces de masse et efforts donnés aux limites nulles On désigne par Q k (t) les paramètres de chargement associés aux q k (t) dans l expression du travail de tous les efforts extérieurs appliqués au système. Le vecteur Q(t) est le vecteur chargement.

63 9 Problèmes d évolutions quasi-statiques 63 Avec les mêmes notations typiques que dans (9.1 et 9.2), on décrit la réponse élastique instantanée du système à l instant t 0 sous la sollicitation q(t 0 ) : (9.6) σ(x, t 0 ) = σ él k (x, t 0)q k (t 0 ) ε(x, t 0 ) = ε él k (x, t 0)q k (t 0 ) ξ(x, t 0 ) = ξ él (x, t k 0)q k (t 0 ) et qui correspond au paramètre de chargement (9.7) Q(t 0 ) = Q él k (t 0)q k (t 0 ) = A(t 0 ).q(t 0 ), où A(t 0 ) est la matrice symétrique de module élastique instantané du système à l instant t 0. Avec la même hypothèse d homogénéité du système et en désignant par R(τ, t) la fonction de relaxation du matériau constitutif, σ él k, εél k, ξél et Qél sont de la forme : k k σ él k (x, t 0) = σk él(x)r t 0 (t 0 ) ε él k (x, t 0) = ε él k (9.8) (x) ξ él (x, t k 0) = ξ él (x) k Q él (t k 0) = Q él R k t 0 (t 0 ) et la solution du problème d évolution défini par l histoire du vecteur cinématique q(t) est donnée par l application du principe de superposition : σ(x, t) = σk él(x)[ R ( )q k ](t) (9.9) ε(x, t) = ε él k (x)q k(t) et (9.10) ξ(x, t) = ξ él k (x)q k(t) 1 Q(t) = R t0 (t 0 ) A(t 0).[ R ( )q ](t) = J t0 (t 0 )A(t 0 ).[ R ( )q ](t) qui explicitent, sous les hypothèses indiquées, l évolution viscoélastique du système à partir de la connaissance de la réponse élastique instantanée, à travers l opérateur intégral.

64 64 Chapitre I Approche unidimensionnelle Il est à noter que si les paramètres de chargement au paragraphe sont les paramètres associés aux paramètres cinématiques ci-dessus, les équations (9.5) et (9.10) sont tout simplement inverses l une de l autre Applications pratiques Pour les problèmes rencontrés dans la pratique, il est fréquent que l histoire des sollicitations soit composée d épisodes successifs d évolutions prescrites par des paramètres de chargement et d évolutions prescrites par des paramètres cinématiques. Par application du principe de superposition, si l hypothèse d homogénéité du système est satisfaite, les résultats des paragraphes précédents ramènent formellement la résolution du problème d évolution viscoélastique à celle du problème d élasticité instantanée. 9.4 Théorème de correspondance Idée directrice On se place désormais hors de l hypothèse d homogénéité du matériau constitutif adoptée dans la section précédente. On a vu qu en absence de vieillissement l utilisation de la transformation de Laplace-Carson ramène la loi de comportement viscoélastique linéaire à une simple équation algébrique, identique à une équation de comportement élastique linéaire (5.29) pour les transformées. L idée de l analyse qui conduit au théorème de correspondance consiste à appliquer la transformation de Carson à toutes les équations qui définissent le problème d évolution. Compte tenu de l hypothèse des petites perturbations, les domaines géométriques sur lesquels sont écrites les équations de la statique et les conditions aux limites du problème sont invariables dans le temps. Il en résulte qu en appliquant la transformation de Carson à ces équations, on n a à se préoccuper que des fonctions qui dépendent explicitement du temps : ce sont les champs donnés et les champs inconnus, dont les transformées sont des fonctions de x et de p. Les équations de la statique et les conditios aux limites du problème sont ainsi transformées en des équations algébriques formellement identiques pour les transformées. Au total, le système complet des équations en transformées de Carson des équations du problème est formellement identique à un problème d équilibre élastique linéaire portant sur les transformées des champs donnés et inconnus avec la loi de comportement élastique (5.29) écrite pour les transformées. Si la solution explicite de ce problème d équilibre élastique linéaire homologue du problème d évolution est connue il suffit d appliquer les formules correspondantes aux transformées pour obtenir explicitement la transformée de la solution du problème original d évolution viscoélastique. Il ne reste plus alors qu à inverser la transformation de Laplace-Carson pour obtenir la solution cherchée. Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de correspondance de Lee- Mandel. On y reviendra plus en détails au chapitre II ( 6.6).

65 9 Problèmes d évolutions quasi-statiques 65 Il est particulièrement intéressant ici de considérer les cas, fréquents dans la pratique, des évolutions prescrites par des paramètres de chargement ou par des paramètres cinématiques Évolution prescrite par des paramètres de chargement Lorsque l évolution est prescrite par des paramètres de chargement, le problème d équilibre élastique homologue n est autre que le problème d élasticité instantanée. L application du théorème de correspondance s exprime par le schéma suivant : (9.11) Équilibre élastique Évolution viscoélastique σ(x = σ él j (x, 0)Q j σ (x, p) = [ σ él j ] (x, p)q j (p) ε(x) = ε él j (x, 0)Q j ε (x, p) = [ ε él j ] (x, p)q j (p) ξ(x) = ξ él (x, 0)Q j j ξ (x, p) = [ ξ él j ] (x, p)q j (p) (9.12) q = Λ(0).Q(t 0 ) q (p) = [Λ] (p).q (p) Dans ce schéma, les champs σ él (x, 0), εél(x, 0) et ξél(x, 0) ainsi que Λ(0) décrivent j les réponses élastiques instantanées élémentaires. Les champs [ σ él j ] (x, p), [ ε él j ] (x, p) et [ ξ él j ] (x, p) ainsi que [Λ] (p) symbolisent les expressions explicites de (x, 0), εél(x, 0), ξél(x, 0) et Λ(0) écrites avec la loi de comportement (5.29). σ él j (9.13) (9.14) j j La solution à l infini en résulte par application de (5.31) : j σ(x, ) = [ σ él j ] (x, 0)Q j ( ) ε(x, ) = [ ε él j ] (x, 0)Q j ( ) ξ(x, ) = [ ξ él j ] (x, 0)Q j ( ) q( ) = [Λ] (0).Q( ) Évolution prescrite par des paramètres cinématiques De la même façon, pour une évolution prescrite par des paramètres cinématiques, l application du théorème de correspondance s explicite sous la forme : j

66 66 Chapitre I Approche unidimensionnelle (9.15) Équilibre élastique Évolution viscoélastique σ(x) = σ él k (x, 0)q k σ (x, p) = [ σ él k ] (x, p)qk (p) ε(x) = ε él k (x, 0)q k) ε (x, p) = [ ε él k ] (x, p)qk (p) ξ(x) = ξ él (x, 0)q k k ξ (x, p) = [ ξ él ] (x, p)q k k (p) (9.16) Q) = A(0).q Q (p) = [A] (p).q (p) avec la solution à l infini obtenue par application de (5.31) σ(x, ) = [ σ él k ] (x, 0)q k ( ) (9.17) ε(x, ) = [ ε él k ] (x, 0)q k ( ) ξ(x, ) = [ ξ él k ] (x, 0)q k ( ). (9.18) Commentaires Q( ) = [A] (0).q( ). On vérifie sans peine que, dans le cas d un système homogène on retrouve bien par passage aux originales les résultats établis dans la section 9.3 particularisés ici par l absence de vieillissement. Le caractère opératoire systématique du théorème de correspondance peut inciter, lorsque les hypothèses nécessaires sont satisfaites, à se borner à poser le problème d élasticité instantané initial, à appliquer les schémas (9.11 et 9.12) ou (9.15 et 9.16) et à procéder aux calculs algébriques correspondants sans plus réfléchir à la nature mécanique des phénomènes mis en jeu au cours de l évolution. Il est néanmoins toujours recommandable de poser complètement le problème d évolution en fonction des variables (x, t) : ceci permet d éviter qu une erreur d interprétation sur la nature des sollicitations, sans conséquence apparente au niveau de la réponse élastique initiale, n aboutisse à un contresens physique pour le problème d évolution.

67 10 Précontrainte élastique et viscoélasticité 67 Exemples de mise en œuvre 10 Précontrainte élastique et viscoélasticité 10.1 Définition du problème Le système étudié est le modèle rhéologique représenté sur la figure 17. Il est constitué d un élément 1 linéaire élastique de module d élasticité E et d un élément 2 viscoélastique linéaire dont les fonctions de retard et de relaxation sont respectivement J(τ, t) et R(τ, t). Ces deux éléments sont assemblés en parallèle à l instant t 0. La contrainte dans l élément 1 est alors : (10.1) et la contrainte dans l élément 2 est (10.2) σ 1 (t 0 ) = σ 0 σ 2 (t 0 ) = σ 0. Le système est ainsi précontraint à l instant t 0. E 1 σ J(τ, t) R(τ, t) Figure 17 Précontrainte d un élément viscoélastique Par rapport à l état naturel (sous contrainte nulle) de l élément 1, la déformation est (10.3) ε 1 (t 0 ) = σ0 et pour l élément 2, par rapport à son état naturel : (10.4) E 1 ε 2 (t 0 ) = σ 0 J(t 0, t 0 ) = σ 0 1 R(t 0, t 0 ).

68 68 Chapitre I Approche unidimensionnelle 10.2 Solution du problème d évolution Sans chargement extérieur pour t > t 0 les contraintes σ 1 (t) et σ 2 (t) dans les éléments du système vont évoluer en raison du comportement différé de l élément 2. Les équations de ce problème d évolution sont : La condition d autocontrainte du système (10.5) σ 1 (t) + σ 2 (t) = σ(t) = 0 pour t t 0 La condition de liaison qui exprime que les déformations des deux éléments, à partir de l instant t 0, sont égales : (10.6) (10.7) ε 1 (t) ε 1 (t 0 ) = ε 2 (t) ε 2 (t 0 ) pour t t 0. Compte tenu des comportements des éléments 1 et 2 on déduit de (10.6) : d où, compte tenu de (10.5), (10.8) 1 [σ 1 (t) σ 0 Y t0 (t)] = [J ( )σ 2 ](t) + σ 0 J(t 0, t 0 ) E 1 [J + 1 Y t0 ]( )σ 2 = σ 0[ J(t 0, t 0 ) + 1 ] Y t0. E 1 R 1 Cette équation met en évidence la fonction de retard relative à σ 2 pour le modèle, soit : (10.9) J(t 0, t) = J(t 0, t) + 1 E 1 Y t0 (t). en désignant par R(t 0, t) la fonction de relaxation correspondante définie par (10.10) R( )J t0 = Y t0, on déduit de (10.8) l évolution de la contrainte σ 2 (t) : (10.11) 10.3 Application pratique σ 2 (t) = σ 0 R(t 0, t) R(t 0, t 0 ). Du point de vue pratique, le système unidimensionnel de la figure 17 est une schématisation de nombreux exemples de précontrainte d un élément viscoélastique par un élément élastique, tel que celui représenté sur la figure 18 : un bloc de béton, dont le comportement est modélisé comme viscoélastique linéaire, est précontraint en compression entre deux plaques indéformables au moyen d une tige en acier élastique mise en tension et ancrée sur les deux plaques. En se reportant à la figure 17, la tige élastique est représentée par l élément 1 et le bloc de béton par l élément 2. L équation (10.11) donne l évolution de la précontrainte dans le bloc de béton : cette évolution est semblable à une «relaxation»

69 10 Précontrainte élastique et viscoélasticité 69 Figure 18 Précontrainte en compression mais la fonction de relaxation qui y intervient n est pas celle du béton mais R(t 0, t) définie par (10.10) : c est l inverse au sens de l opérateur intégral ( ) de la somme des fonctions de retard du béton 2 et de l acier 1. Ainsi, du point de vue de la précontrainte, ces deux éléments fonctionnent en série. À titre d exemple, si l élément 2 est un solide linéaire standard dont la fonction de retard est : [ Å 1 1 f 2 (t) = K + E Kã 1 e t τ (10.12) f ]Y (t) la fonction de retard J(t 0, t) de (10.9) s écrit : (10.13) soit (10.14) avec (10.15) [ 1 J(t 0, t) = f(t t 0 ) = f(τ) = K E 1 [ Å 1 1 f(τ) = K + E Kã 1 e τ τ f ]Y (τ) K = KE 1 et E = EE 1. K + E 1 E + E 1 Å 1 E 1 ã e τ τ f ]Y (τ) K La fonction de relaxation correspondante R(t 0, t) définie par (10.10) est alors : (10.16) R(t 0, t) = r(t t 0 ) = r(τ) = [K + (E K)e τ Tr ] Y (τ) où le temps caractéristique de relaxation est (10.17) K T r = τ f E = τ E + E 1 r K + E 1 supérieur à celui du béton.

70 70 Chapitre I Approche unidimensionnelle L évolution de la précontrainte dans le béton est ainsi, en application de (10.11) : (10.18) σ 2 (t) = σ [ 0 K + (E K)e t t 0 Tr ] Y t0 (t). E On y reconnaît la relaxation d un solide linéaire standard, dont le temps caractéristique de relaxation est T r, depuis σ 2 (t 0 ) = σ 0 jusqu à la valeur σ 2 ( ) = σ 0K E. 11 Étude d une structure 11.1 Présentation L objet de cette section est de présenter, sur une structure extrêmement simple quelques aspects de la prise en compte du comportement différé du matériau constitutif sur le comportement d un système. La structure étudiée est représentée sur la figure 19. Il s agit d une poutre console OA encastrée en O, de longueur l = 2a. y l = 2a O Figure 19 Poutre console Sous les chargements envisagés la poutre console n est soumise qu à des effets de flexion. La loi de comportement de l élément de poutre est donnée, en chaque point de la poutre, par (7.11) où l on désigne par χ(x) la courbure de la déformée à l abscisse x et par M(x) le moment fléchissant. ν(x) est le déplacement selon Oy. (11.1) χ(x) = J(x)( )M(x). Dans la suite, on examinera successivement le cas de la poutre homogène soumise à divers types d histoires de sollicitation et, pour une poutre hétérogène, quelques effets de l hétérogénéité Poutre homogène isostatique Charge uniformément répartie Ainsi que cela est représenté symboliquement sur la figure 20, la poutre est soumise à une charge uniformément répartie sur OA de densité p(t) selon Oy. Les conditions aux limites sont l encastrement parfait en O et l extrémité libre en A. A x

71 11 Étude d une structure 71 y O l = 2a p(t) Figure 20 Poutre console sous charge uniformément répartie Il s agit donc d une histoire de sollicitation définie par un paramètre de chargement unique Q(t), auquel est associé le paramètre cinématique q(t) : Q(t) = p(t) (11.2) q(t) = ν(x, t)dx. OA La résolution procède directement du paragraphe On part de la solution élastique instantanée, sous la forme (9.1, 9.3), qui s écrit ici : M(x, t 0 ) = M él (l x)2 (x, t 0 )p(t 0 ) = p(t 0 ) 2 (l x)2 (11.3) χ(x, t 0 ) = X él (x, t 0 )p(t 0 ) = ν(x, t 0 ) = V él (x, t 0 )p(t 0 ) = x2 2 Å 2 l 2 A x J t0 (t 0 )p(t 0 ) 2 lx 3 + x2 12 ã J t0 (t 0 )p(t 0 ). On en déduit immédiatement, sans calculs, la solution du problème d évolution sous la forme (9.4) : (l x)2 M(x, t) = p(t) 2 (l x)2 (11.4) χ(x, t) = [J( )p](t) Å 2 ν(x, t) = x2 l lx ã 3 + x2 [J( )p](t). 12 En particulier le déplacement vertical à l extrémité A est égal à : (11.5) ν(l, t) = l4 8 [J( )p](t). Ces formules décrivent notamment la déformation retardée ou «fluage» de la console sous l effet de son poids propre p(t) = p Y t0 (t) après décoffrage ou décintrement :

72 72 Chapitre I Approche unidimensionnelle (l x)2 M(x, t) = p Y t0 (t) Å 2 ν(x, t) = x2 l lx ã (11.6) 3 + x2 pj t0 (t) 12 ν(l, t) = pl4 8 pj t 0 (t) Charge concentrée Ainsi que cela est représenté symboliquement sur la figure 21, la poutre est soumise à une charge concentrée dirigée selon Oy, appliquée en A, d intensité F(t). L autre condition aux limites est l encastrement parfait en O y O l = 2a F(t) Figure 21 Poutre console sous charge concentrée La sollicitation est définie par le paramètre de chargement Q(t), auquel est associé le paramètre cinématique q(t) : Q(t) = F(t) (11.7) q(t) = ν(l, t). Sans qu il soit nécessaire de reprendre explicitement les raisonnements précédents, on obtient la solution de ce problème d évolution à partir de la solution du problème d élasticité instantanée : M(x, t) = (l x)f(t) (11.8) ν(x, t) = 1 6 x2 (3l x)[j( )F ](t) q(t) = ν(l, t) = l3 [J( )F ](t) 3 d où, par inversion : (11.9) F(t) = 3 [R( )q ](t), l3 où R(τ, t) est la fonction inverse de J(τ, t) au sens de l opérateur de Boltzmann : (11.10) t 0,R( )J t0 = Y t0. A x

73 11 Étude d une structure Poutre homogène hyperstatique État initial naturel Les conditions aux limites de la poutre sont l encastrement en O et l appui bilatéral en A (figure 22). La poutre est soumise à une charge uniformément répartie sur OA de densité p(t) selon Oy. y l = 2a p(t) O Figure 22 Poutre hyperstatique Le paramètre de chargement et le paramètre cinématique associé sont encore définis par (11.7). Il s agit à nouveau d une évolution prescrite par un paramètre de chargement, dont la solution se déduit de celle du problème d élasticité instantanée. En désignant par H(t) la réaction verticale hyperstatique en A : (l x)(l 4x) M(x, t) = p(t) 8 (11.11) ν(x, t) = x2 (l x)(3l 2x) [J( )p](t) 48 H(t) = 3l 8 p(t). On remarque que ce résultat s obtient aussi, directement, à partir des deux cas de charge de la poutre isostatique étudiés précédemment, de la même façon qu en élasticité. Il suffit en effet de déterminer la valeur de la réaction hyperstatique H(t) en écrivant que le déplacement du point A est constamment nul en raison de la liaison d appui ; ainsi, par (11.5) et (11.8) : (11.12) ν(l, t) = l4 8 [J( )p](t) + l3 [J( )H ](t) = État initial précontraint par dénivellation d appui En élasticité linéaire et en Résistance des matériaux, dans l hypothèse des petites perturbations, la notion d état initial précontraint ne présente pas de difficulté : l état initial d efforts intérieurs autoéquilibrés fait partie des données du problème et il suffit ensuite d appliquer le principe de superposition. Il n y a, en apparence, rien à changer à cette description lorsque, dans le même cadre de l hypothèse des petites perturbations, le comportement de l élément de A x

74 74 Chapitre I Approche unidimensionnelle poutre est viscoélastique linéaire. En fait, l introduction du comportement différé du matériau nécessite que la description de la précontrainte soit précisée. L état précontraint est, en effet, mis en place en imposant, à un instant donné, à des éléments constitutifs de la structure, des déformations géométriquement incompatibles, dont la compatibilité est assurée par un champ d efforts intérieurs autoéquilibrés et qui sont ensuite maintenues. Il apparaît ainsi, qu à la différence des exemples de chargement actifs étudiés plus haut pour lesquels l évolution est décrite par l histoire de paramètres de chargement, l évolution de la précontrainte relève de la description par l histoire de paramètres cinématiques. On se propose d envisager ce type de problème sur l exemple simple de la poutre console de la figure 23 où la précontrainte est imposée par une dénivellation de l appui à l extrémité A. y O l = 2a p(t) Figure 23 Poutre hyperstatique précontrainte par dénivellation d appui On suppose ici que la précontrainte est obtenue en imposant à l instant t 0 une dénivellation verticale de l appui A, d amplitude ν A qui est ensuite maintenue constante. Le problème d évolution ainsi défini, indépendamment du chargement actif qui sera introduit dans la suite, est décrit par l histoire du paramètre cinématique ν(l, t) auquel est associé le paramètre de chargement H(t), réaction d appui en A : (11.13) ν(l, t) = ν A Y t0 (t). On peut évidemment effectuer la résolution de ce problème comme indiqué au paragraphe Il est plus simple de se reporter au paragraphe ci-dessus. L équation (11.9) détermine l évolution de la réaction d appui due à la dénivellation : (11.14) la distribution du moment fléchissant (25) (11.15) et la déformée de la poutre (11.16) ν A H(t) = 3 l 3 ν A[R( )Y t0 ](t) = 3 l 3 ν A R t0 (t), M(x, t) = 3 l 3 (l x)ν A R t0 (t) ν(x, t) = x2 (3l x) 2l 3 ν A Y t0 (t). (25) Cette distribution est autoéquilibrée du point de vue du système constitué par la poutre et son appui en A. A x

75 11 Étude d une structure 75 Cet exemple confirme le résultat annoncé au paragraphe : la déformée de la poutre due à la précontrainte est invariable à partir de t 0 tandis que la réaction d appui et la distribution du moment fléchissant de précontrainte décroissent comme la fonction de relaxation du matériau. En conséquence, pour la structure soumise au chargement actif du paragraphe , on obtient en application du principe de superposition à partir de (11.11) et (11.14 à 11.16) : (l x)(l 4x) M(x, t) = p(t) l 3 (l x)ν A R t0 (t) (11.17) ν(x, t) = x2 (l x)(3l 2x) [J( )p](t) + x2 (3l x) 48 2l 3 ν A Y t0 (t) H(t) = 3l 8 p(t) + 3 l 3 ν AR t0 (t). Ce résultat fait apparaître la superposition du phénomène «de type fluage» lié au chargement actif et du phénomène de relaxation lié à la précontrainte. Les effets de la conjugaison de ces deux phénomènes sont particulièrement évidents dans le cas d une structure compensée sous poids propre. Dans ce cas, la densité p(t) représente le poids propre linéique appliqué à l instant t 0 du décoffrage ou du décintrement : (11.18) p(t) = p Y t0 (t). La précontrainte est réglée à l instant t 0 de façon à ce que le moment d encastrement en O soit nul, ce qui implique un moment fléchissant positif dans toute la structure à cet instant. La dénivellation d appui correspondante résulte de (11.17) et elle est maintenue constante pour t t 0 : (11.19) ν A (t) = l 4 24R t0 (t 0 ) p Y t 0 (t). On déduit de (11.17) l évolution de la réaction d appui : (11.20) H(t) = 3pl 8 Y t 0 (t) + pl 8 R t0 (t) R t0 (t 0 ). Le deuxième terme de (11.20) représente la réaction compensatrice due à la dénivellation d appui. Elle décroît proportionnellement à la fonction de relaxation du matériau. Le diagramme du moment fléchissant dans la poutre est donné par : (11.21) (l x)(l 4x) l(l x) R t0 (t) M(x, t) = p Y t0 (t) + p 8 8 R t0 (t 0 ). En conséquence le moment d encastrement en O, initialement nul, devient négatif et suit la fonction de relaxation jusqu à sa valeur «à l infini» : Å M(0, ) = p l2 1 R ã t 0 ( ) (11.22). 8 R t0 (t 0 )

76 76 Chapitre I Approche unidimensionnelle Dans les sections voisines de l encastrement, le moment de flexion change de signe au cours de temps : ces «inversions de flexion» peuvent être dangereuses si elles n ont pas été prévues au projet. Ces phénomènes expriment la redistribution des efforts due à la déformation différée du matériau dans une structure précontrainte (figure 24). O M(x) t = t 0 A x M(x) t Figure24 Diagrammesdumomentfléchissantàlamiseenchargeetquand t Le suivi de l évolution de la valeur de la réaction compensatrice est le moyen pratique d évaluer la précontrainte effective dans la structure à un instant donné ; il s effectue par «pesée». Lorsque la précontrainte tend à devenir insuffisante, on procède à une dénivellation d appui complémentaire. Une autre façon évidente d aborder le problème pour éviter les inversions de flexion consiste à calculer la dénivellation d appui en se fondant sur le comportement à l infini du matériau : (11.23) ν A (t) = O l 4 24R t0 ( ) p Y t 0 (t). A x 11.4 Poutre hétérogène Description de la structure étudiée On reprend la structure hyperstatique du paragraphe ci-dessus, sollicitée à partir de l état naturel (pas de précontrainte). Afin de mettre en évidence des effets de l hétérogénéité on considère le cas (d école) où la poutre est constituée de deux tronçons homogènes de longueur a solidarisés en B. On peut imaginer par exemple, comme cela sera étudié dans la suite ( ), deux éléments constitués du même matériau physique mais d âges différents. Les éléments constitutifs de chacun des tronçons sont viscoélastiques linéaires et, dans une chronologie commune même origine des temps on désigne respectivement par J 1 (τ, t) et J 2 (τ, t) leurs fonctions de retard dans l équation (7.11) du paragraphe Le processus de chargement est représenté par la charge uniformément répartie de densité linéique p(t) selon Oy appliquée à l instant t 0 sur les deux tronçons de la

77 PSfrag 11 Étude d une structure 77 y a l = 2 a O p(t) B Figure 25 Poutre hétérogène hyperstatique poutre OA et maintenue constante pour t t 0 : ceci modélise par exemple le poids (11.18) de la poutre appliqué à l instant du décintrement, la poutre étant alors dans son état naturel (pas de précontrainte) Résolution du problème d évolution Comme au paragraphe , la résolution du problème se ramène à la détermination de l évolution de la réaction hyperstatique H(t) en A, qui fournit ensuite la distribution du moment fléchissant M(x, t) et la déformée ν(x, t) pour t t 0. On peut suivre le raisonnement suivant. Distribution du moment fléchissant sur OA (11.24) Déformée du tronçon OB (2a x)2 M(x, t) = p Y t0 (t) + H(t)(2a x). 2 a A x Avec la loi de comportement (11.25) χ(x, t) = d2 ν dx 2 (x, t) = [J1 ( )M ](x, t); par intégration, compte tenu de l encastrement, il vient : (11.26) Déformée du tronçon BA (2a x)4 ν(x, t) = p Å a3 x + 2 ãj 3 a4 1 t 0 (t) Å (2a x) a 2 x 4 ã 6 3 a3 [J 1 ( )H ](t). La loi de comportement s écrit : (11.27) χ(x, t) = d2 ν dx 2 (x, t) = [J2 ( )M ](x, t);

78 78 Chapitre I Approche unidimensionnelle l intégration, avec la condition d appui en A, donne (11.28) (2a x)4 ν(x, t) = p J 2 (2a x)3 t 24 0 (t) + p [J 2 ( )H ](t) (2a x)[j 2 ( )C ](t). 6 où C(τ) est une fonction du temps déterminée, en même temps que H(t), par la condition de raccord continu des deux tronçons en B. Détermination de la réaction d appui en A Après des calculs fastidieux, on obtient ainsi l évolution de la réaction d appui en A. Celle-ci est la solution de l équation fonctionnelle : (11.29) [ (7J 1 + J 2 )( )H ] = 3 pa 8 (15J1 t 0 + J 2 t 0 ), qu il n est pas possible d expliciter dans le cas général Commentaire Évolution de la réaction d appui Sans qu il soit nécessaire de disposer de sa solution explicite l équation fonctionnelle (11.29) met en évidence la différence essentielle introduite par l hétérogénéité de la structure : la réaction d appui H(t) et donc la distribution de moment fléchissant ne sont désormais plus constantes pour t t 0 : dans le cas général, il y a redistribution des efforts. Si les fonctions J 1 (τ, t) et J 2 (τ, t) sont proportionnelles les efforts demeurent constants. Cette condition est évidemment suffisante d après (11.29); elle est également nécessaire comme on le voit en faisant H(t) = H Y t0 (t) dans (11.29) : on obtient (11.30) J 2 56 H 45 pa t 0 (t) = 8 H 3 pa J1 t 0 (t), t t 0, qui démontre la condition de proportionnalité et détermine la valeur constante de la réaction d appui si cette condition est satisfaite. Effet des différences d âge On s intéresse ici au cas évoqué plus haut où les deux tronçons de la poutre sont constitués du même matériau physique mais dont l âge est différent dans OB et BA. En désignant par J(τ, t) la fonction de retard de ce matériau physique dans sa chronologie propre, c est-à-dire par rapport à sa propre origine des temps, les fonctions de retard J 1 t 0 (t) et J 2 t 0 (t) dans une chronologie commune unique s écrivent : J 1 t 0 (t) = J(t 0 t 1, t t 1 ) (11.31) J 2 t 0 (t) = J(t 0 t 1, t t 2 )

79 11 Étude d une structure 79 On voit alors que : Si le matériau est non-vieillissant, les deux fonctions J 1 t 0 (t) et J 2 t 0 (t) sont égales. La condition de proportionnalité est satisfaite. Il n y a pas de redistribution des efforts due à l hétérogénéité. Ce résultat est banal car la poutre est, de fait, homogène. Si l on adopte, pour la prise en compte du vieillissement du matériau, la forme très simple de fonction de retard (26) : (11.32) J t0 (t) = 1 E(t 0 ) f(t t 0)Y t0 (t) 1 où le vieillissement n intervient qu à travers le facteur multiplicatif, la condition E(t 0 ) de proportionnalité est encore satisfaite et il n y a pas, dans ce cas, de redistribution des efforts due à la différence d âge. (26) Cette forme est parfois adoptée pour la modélisation du comportement viscoélastique du béton en compression.

80 80 Chapitre I Approche unidimensionnelle Récapitulatif des formules essentielles Expérience de Retard σ(t) = σ 0 Y t0 (t) Viscoélasticité linéaire : ε(t) = σ 0 J(t 0, t) Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : ε(t) = σ 0 f(t t 0 ) Expérience de Relaxation ε(t) = ε 0 Y t0 (t) Viscoélasticité linéaire : σ(t) = ε 0 R(t 0, t) Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : σ(t) = ε 0 r(t t 0 ) Expérience de Recouvrance σ(t) = σ 0 [Y t0 (t) Y t1 (t)] Viscoélasticité linéaire : ε(t) = σ 0 [J(t 0, t) J(t 1, t)] Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : ε(t) = σ 0 [f(t t 0 ) f(t t 1 )]

81 Récapitulatif des formules essentielles 81 Expérience d Effacement ε(t) = ε 0 [Y t0 (t) Y t1 (t)] Viscoélasticité linéaire : σ(t) = ε 0 [R(t 0, t) R(t 1, t)] Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : σ(t) = ε 0 [r(t t 0 ) r(t t 1 )] Viscoélasticité linéaire Formules de Boltzmann : ß ß J J R R (, t) = (, t) J(t, t)δ t (, t) = (, t) R(t, t)δ t τ τ τ τ t ε(t) = σ(t)j(t, t) σ(τ) J t (τ, t)dτ ε(t) = σ(τ) J (τ, t)dτ t 0 τ t 0 τ t σ(t) = ε(t)r(t, t) ε(τ) R t (τ, t)dτ σ(t) = ε(τ) R (τ, t)dτ t 0 τ t 0 τ ε = < J, σ >= J ( )σ τ σ = < R, ε >= R ( )ε τ σ F ε R J(τ, τ)r(τ, τ) = 1, τ J t0 = J ( )Y t0 R t0 = R ( )Y t0 R ( )J t0 = Y t0 J ( )R t0 = Y t0 < R τ, J τ 0 >=< J τ, R τ 0 >= δ t0

82 82 Chapitre I Approche unidimensionnelle Viscoélasticité linéaire sans vieillissement Formules de Boltzmann : f = {f } + f(0)δ r = {r } + r(0)δ ε(t) = σ(t)f(0) + σ(t) = ε(t)r(0) + t t t 0 σ(τ)f (t τ)dτ ε(t) = ε(τ)r (t τ)dτ σ(t) = σ F ε = f σ ε R f t0 = f Y t0 = f (Y t0 ) = f δ t0 r t0 = r Y t0 = r (Y t0 ) = r δ t0 σ = r ε r f = f r = (f r) = Y f r = δ σ(τ)f (t τ)dτ f(0)r(0) = 1 f( )r( ) = 1 ε(τ)r (t τ)dτ Transformation de Laplace Lϕ(p) = ϕ, e pt = L(a b) = L(a) L(b) Lδ = 1 Lδ = p Lϕ = L(ϕ δ ) = p Lϕ Lδ u = e pu Lϕ u = L(ϕ δ u ) = e pu Lϕ ϕ(t)e pt dt

83 Récapitulatif des formules essentielles 83 Transformation de Carson ϕ = Lϕ = p Lϕ ε (p) = f (p)σ (p) σ (p) = r (p)ε (p) f (p)r (p) = 1 ϕ δ C Y (t) e at Y (t) t n Y (t) ϕ (p) (1 e at )Y (t) [ b a (1 b a )e at] Y (t) e at Y (t)sin ωt e at Y (t)cos ωt ϕ (0) = ϕ( ) ϕ ( ) = ϕ(0) p C p p + a n! p n a p + a p + b p + a p ω (p + a) 2 + ω 2 p(p + a) (p + a) 2 + ω 2

84 84 Chapitre I Approche unidimensionnelle Solide linéaire standard [ Å 1 1 f(t) = K + E Kãe 1 t τ f ]Y (t) ] r(t) = [K + (E K)e t τr Y (t) τ r τ f = K E Modélisation unidimensionnelle Viscoélasticité linéaire : Q F q = < J,Q > = J( )Q τ Q = < R,q > = R ( )q τ q R Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : Q F q = f Q q = f Q q R Q = r q Q = r q Élément de poutre en traction-compression : ε = J( )N = J ( ) N S Élément de poutre en flexion : χ = J( )M = J ( ) M I Élément de poutre en torsion : α = J( )C = J ( ) C J

85 Récapitulatif des formules essentielles 85 Essai harmonique Sollicitation q(t) = q 0 cosωt Y (t) Réponse Q(t) = q 0 Re[e iωt r (iω)] Y (t) q 0 Re[e iωt r (τ)e iωτ dτ] Y (t) Régime harmonique asymptotique Q(t) = q 0 Re[e iωt r (iω)] Module complexe r = M(ω)e iδ(ω) Problème d évolution Paramètres de chargement σ(x, t 0 ) = σ él j (x, t 0)Q j (t 0 ) ε(x, t 0 ) = ε él j (x, t 0)Q j (t 0 ) ξ(x, t 0 ) = ξ él j (x, t 0)Q j (t 0 ) q(t 0 ) = q él j (t 0)Q j (t 0 ) = Λ(t 0 ).Q(t 0 ) système homogène σ él j (x, t 0) = σ él j (x) ε él j (x, t 0) = ε él j (x)j t 0 (t 0 ) ξ él (x, t j 0) = ξ él (x)j j t 0 (t 0 ) q él (t j 0) = q élj j t 0 (t 0 ) t

86 86 Chapitre I Approche unidimensionnelle σ(x, t) = σj él(x)q j(t) ε(x, t) = ε él j (x[ J ( )Q j ](t) ξ(x, t) = ξ él (x)[ J ( )Q j j ](t) q(t) = R t0 (t 0 )Λ(t 0 ).[ J ( )Q](t) Paramètres cinématiques σ(x, t 0 ) = σ él k (x, t 0)q k (t 0 ) ε(x, t 0 ) = ε él k (x, t 0)q k (t 0 ) ξ(x, t 0 ) = ξ él (x, t k 0)q k (t 0 ) Q(t 0 ) = Q él (t k 0)q k (t 0 ) = A(t 0 ).q(t 0 ), système homogène σ él k (x, t 0) = σk él(x)r t 0 (t 0 ) ε él k (x, t 0) = ε él k (x) ξ él (x, t k 0) = ξ él (x) k Q él k (t 0) = Q él k R t 0 (t 0 ) σ(x, t) = σk él(x)[ R ( )q k ](t) ε(x, t) = ε él k (x)q k(t) ξ(x, t) = ξ él (x)q k k(t) 1 Q(t) = R t0 (t 0 ) A(t 0).[ R ( )q ](t)

87 Récapitulatif des formules essentielles 87 Théorème de correspondance Évolution prescrite par des paramètres de chargement σ(x) = σ él j (x, 0)Q j ε(x) = ε él j (x, 0)Q j ξ(x) = ξ él (x, 0)Q j j σ (x, p) = [ σ él j ] (x, p)q j (p) ε (x, p) = [ ε él j ] (x, p)q j (p) ξ (x, p) = [ ξ él j ] (x, p)q j (p) q = Λ(0).Q q (p) = [Λ] (p).q (p) σ(x, ) = [ σ él j ] (x, 0)Q j ( ) ε(x, ) = [ ε él j ] (x, 0)Q j ( ) ξ(x, ) = [ ξ él j ] (x, 0)Q j ( ) q( ) = [Λ] (0).Q( ) Évolution prescrite par des paramètres cinématiques σ(x) = σ él k (x, 0)q k ε(x) = ε él k (x, 0)q k ξ(x) = ξ él (x, 0)q k k σ (x, p) = [ σ él k ] (x, p)qk (p) ε (x, p) = [ ε él k ] (x, p)qk (p) ξ (x, p) = [ ξ él k ] (x, p)qk (p) Q = A(0).q Q (p) = [A] (p).q (p) σ(x, ) = [ σ él k ] (x, 0)q k ( ) ε(x, ) = [ ε él k ] (x, 0)q k ( ) ξ(x, ) = [ ξ él k ] (x, 0)q k ( ) Q( ) = [A] (0).q( )

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89 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel Exemples de mise en œuvre 89

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91 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle 91 En bref... Dans l hypothèse de la linéarité du comportement, les expériences de retard et de relaxation généralisées au cadre tridimensionnel conduisent à définir les tenseurs de retard et de relaxation, fonctions de l instant initial de la sollicitation et du temps. Les symétries de ces tenseurs résultent de celles des tenseurs des contraintes et des déformations. Pour une histoire de sollicitation quelconque la réponse du matériau s exprime au moyen des formules de Boltzmann qui font intervenir le même opérateur intégral que dans le cas unidimensionnel (sections 1 à 3). Les symétries matérielles du matériau isotrope apportent une simplification considérable aux expressions précédentes. Le comportement est alors défini uniquement par deux fonctions de retard ou deux fonctions de relaxation. Par l expérience de retard en traction simple on fait apparaître la fonction de retard en traction simple et le coefficient de Poisson dans cette expérience, fonctions de l instant initial de la sollicitation et du temps. Par les expériences de relaxation on met en évidence des fonctions de relaxation homologues des constantes de Lamé en élasticité linéaire isotrope, dont la fonction de relaxation en cisaillement simple (sections 4). Bien qu elle ne soit pas une authentique expérience de relaxation du point de vue tridimensionnel, l expérience de «relaxation» en traction simple introduit la fonction de «relaxation» en traction simple et le coefficient de Poisson en «relaxation» en traction simple; ces fonctions, évidemment liées aux précédentes, conduisent à des expressions particulièrement intéressantes des formules de Boltzmann (section 4). Lorsque le coefficient de Poisson dans l expérience de retard en traction simple est indépendant du temps, constamment égal au coefficient de Poisson de la réponse élastique instantanée, le coefficient de Poisson en relaxation en traction simple lui est égal ; le comportement viscoélastique du matériau n est plus défini que par une seule fonction : la fonction de retard ou la fonction de «relaxation» en traction simple (section 4). En l absence de vieillissement les formules de Boltzmann s explicitent au moyen du produit de convolution de Riemann comme dans le cas unidimensionnel. L utilisation du calcul opérationnel conduit à des expressions algébriques formellement identiques aux équations de comportement de l élasticité linéaire, paramétrées en p. (section 5).

92 92 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle La définition des évolutions viscoélastiques quasi-statiques se place dans l hypothèse des petites perturbations et fait l hypothèse que les évolutions sont suffisamment lentes pour que les équations de la statique puissent être substituées aux équations de la dynamique. On fait de plus l hypothèse qu au cours de l histoire de sollicitation la nature des données aux limites demeure inchangée. À titre de résultat général on établit le principe de superposition qui exprime la linéarité du problème (section 6). Dans le cas particulier d un système constitué d un matériau homogène et isotrope à coefficient de Poisson constant on établit que, pour une histoire de sollicitation prescrite par des paramètres de chargement (resp. paramètres cinématiques), la réponse en contraintes (resp. en déformations et déplacements) évolue à partir de la réponse instantanée initiale proportionnellement à ces paramètres tandis que la réponse en déformations et déplacements (resp. en contraintes) suit la formule de Boltzmann correspondante (section 6). Lorsque le système est constitué d un matériau non-vieillissant, la transformée de Laplace-Carson de la solution du problème d évolution s exprime par les mêmes formules algébriques que la réponse élastique instantanée. On en déduit directement le comportement à l infini du système. La solution explicite du problème d évolution est obtenue par inversion de la transformée de Laplace-Carson. C est le Théorème de correspondance de Lee-Mandel (section 6).

93 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle 93 Principales notations Notation Signification 1 ère formule σ Tenseur des contraintes de Cauchy (2.1) σ 0 Saut dans l expérience de retard (2.1) ε Tenseur des déformations linéarisé (2.3) ε 0 Saut dans l expérience de relaxation (2.3) [ t ] F t σ(τ) Fonctionnelle de l histoire de contrainte (3.1) [ t ] R t ε(τ) Fonctionnelle de l histoire de déformation (3.2) J(t 0, t) Tenseur de retard (3.4) : Symbole du produit doublement contracté (3.4) R(t 0, t) Tenseur de relaxation (3.8) 1l 1 2 (δ ihδ jk + δ ik δ jh )e i e j e h e k (3.13) J(t 0, t) Fonction de retard en traction simple (4.4) pour le matériau isotrope n(t 0, t) Coefficient de Poisson en retard en traction simple (4.4) pour le matériau isotrope µ(t 0, t) Fonction de relaxation en cisaillement simple (4.7) pour le matériau isotrope γ(t 0, t) Fonction de retard en cisaillement simple (4.12) pour le matériau isotrope E(t 0, t) Fonction de «relaxation» en traction simple (4.17) pour le matériau isotrope ν(t 0, t) Coefficient de Poisson en «relaxation» en traction (4.20) simple pour le matériau isotrope f(τ) Tenseur de retard en absence de vieillissement (5.3) r(τ) Tenseur de relaxation en absence de vieillissement (5.4)

94 94 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Principales notations Notation Signification 1 ère formule [F e (t)] Torseur des efforts extérieurs (6.1) S ξi Surface où ξ i est donnée (6.3) ξ d i (x, t) Donnée sur S ξ i (6.3) T d S Ti Surface où T i est donnée (6.3) i (x, t) Donnée sur S T i (6.3) Q Vecteur chargement (6.14) Q j Paramètre de chargement (6.15) q j Paramètre cinématique (6.16) q Vecteur cinématique (6.16) σ él j εél ξ él,q él j j j, Solutions élémentaires pour J t 0 (t 0 ) = 1 (6.15) (6.16) et Q j (t 0 ) = 1 Λ(t 0 ) Matrice de complaisance élastique instantanée (6.17) σ él k εél ξ él, k Qél k, k Solutions élémentaires pour E t 0 (t 0 ) = 1 (6.23) et q k (t 0 ) = 1 A(t 0 ) Matrice de module élastique instantané (6.23) σ él j ξ él j ε él, Solutions élémentaires du problème d élasticité (6.36) (6.37) j,q él j σ él k, εél k, ξél k instantanée Solutions élémentaires du problème d élasticité (6.42) instantanée

95 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle 95 Comportement viscoelastique linéaire tridimensionnel 1. Approches multidimensionnelles Expériences fondamentales Problématique pour le milieu continu Expérience de retard Expérience de relaxation Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel Hypothèse de linéarité Formules de Boltzmann Materiau viscoélastique linéaire isoliope Symétries matérielles : isotropie Loi de comportement viscoélastique linéaire isotrope Comportement viscoélastique linéaire en l absence vieillissement Materiau viscoélastique linéaire non-vieillissant Formules de Boltzmann Utilisation du calcul opérationnel Matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant isotrope Commentaires Évolutions viscoélastiques quasi-statiques Problème d évolution quasi-statique Hypothèse des petites perturbations Problématique Principe de superposition Matériau homogène et isotrope à coefficient de Poisson constant Matériau constitutif viscoélastique linéaire non-vieillissant Commentaires Exemples de mise en œuvre 7. Barre cylindrique homogène Problématique Traction-compression Flexion Torsion Convergence d une cavité Définition du problème État de précontrainte géologique Réponse instantanée au creusement de la cavité Réponse différée au creusement de la cavité Mise en place d un revêtement de soutènement Récapitulatif des formules essentielles

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97 1 Approches multidimensionnelles 97 Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel 1 Approches multidimensionnelles Le chapitre précédent a permis d introduire, à partir des expériences fondamentales de retard et de relaxation, les concepts de base de la viscoélasticité dans le cadre unidimensionnel. La formulation générale du modèle de comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel a ainsi été donnée dans la section 7 de ce chapitre. On a aussi remarqué alors que, s agissant du milieu continu, la définition et l identification d un comportement uniaxial, par exemple en traction simple, correspond en quelque sorte à la projection unidimensionnelle d une expérience tridimensionnelle, ignorant ainsi les autres dimensions du comportement. C est ainsi que si la définition de l expérience de retard en traction simple ne pose conceptuellement pas de difficulté du point de vue de la sollicitation imposée en force, l expérience duale, la relaxation en traction simple, correspond à une sollicitation mixte en déplacement et en force. L objet du présent chapitre est, sur la base des concepts déjà introduits, d établir la formulation de la loi de comportement viscoélastique linéaire pour le milieu continu tridimensionnel. Cette approche pourra servir de prototype pour la formulation de toute loi viscoélastique linéaire multidimensionnelle. 2 Expériences fondamentales 2.1 Problématique pour le milieu continu On se place toujours dans l hypothèse des petites perturbations (H.P.P.) à partir de l état initial naturel et des évolutions isothermes. Pour l élément de milieu continu, les variables duales dans l expression de la puissance de déformation sont le tenseur des contraintes de Cauchy σ et le taux de déformation d. On introduit la déformation linéarisée ε à partir de l état initial naturel pris comme référence géométrique. Dans l hypothèse H.P.P. on sait que l on peut assimiler d = dε dt. La définition naturelle des expériences fondamentales de retard et de relaxation suit les démarches des sections 2.1 et 2.2 du chapitre I en les adaptant au contexte tridimensionnel.

98 98 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle 2.2 Expérience de retard L expérience de retard du point de vue tridimensionnel est ainsi définie, de façon générale, par l histoire de sollicitation en contrainte : (2.1a) σ(t) = σ 0 Y t0 (t) (2.1b) σ = σ 0 Y t0. Les expériences spécifiques, cas particuliers de (2.1), sont alors définies par la forme particulière du saut σ 0 telles que l expérience de retard en traction simple dans une direction e x pour laquelle (2.2) σ 0 = σ 0 e x e x. La réponse dans une telle expérience est représentée par l histoire ε, nulle pour t < t 0, sous la forme ε(t 0, t; σ 0 ). 2.3 Expérience de relaxation Le matériau étant supposé doué d élasticité instantanée, l expérience de relaxation du point de vue tridimensionnel est définie, de façon générale, par l histoire de sollicitation en déformation : (2.3a) (2.3b) ε(t) = ε 0 Y t0 (t) ε = ε 0 Y t0 et les expériences spécifiques correspondent à des formes particulières du saut ε 0. La réponse dans l expérience de relaxation est l histoire de σ, nulle pour t < t 0, sous la forme : σ(t 0, t; ε 0 ). (2.4) On voit ici que l expérience de relaxation définie par ε 0 = ε 0 e x e x n est pas l expérience duale de l expérience de retard définie par (2.2). 3 Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel 3.1 Hypothèse de linéarité En l absence d hypothèses complémentaires sur le comportement du matériau considéré, qui devront évidemment être validées, il est exclus de formuler quelque

99 3 Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel 99 espèce de théorie générale susceptible d application pratique au-delà des considérations de la section précédente. On suppose désormais que le matériau étudié est Boltzmannien, c est-à-dire que son comportement mécanique est régi par le principe de superposition énoncé au chapitre I ( 3.1), qui sera maintenant appliqué aux histoires σ et ε. Avec les notations homologues de celles du chapitre I ( 3.1), la loi de comportement isotherme du matériau détermine à chaque instant ε(t) en fonction de l histoire de σ jusqu à cet instant : (3.1) et inversement (3.2) [ t ] ε(t) = F t σ(τ) [ t ] σ(t) = R t ε(τ). Ces formules explicitent à l instant t les correspondances fonctionnelles F et R inverses l une de l autre : (3.3) (3.4) ε σ F ε R σ. En conséquence de l hypothèse de linéarité, ces correspondances sont linéaires. Il en résulte en particulier qu une histoire de sollicitation multidimensionnelle peut être considérée comme la superposition d histoires de sollicitation unidimensionnelles et que la réponse qui lui correspond est la superposition des réponses à ces histoires. C est la signification du paragraphe suivant. 3.2 Retard et relaxation Expérience de retard La linéarité du comportement permet d exprimer la réponse ε(t 0, t; σ 0 ) dans l expérience générale de retard sous la forme tensorielle homologue de l équation (4.1) du chapitre I : (3.5) σ(t) = σ 0 Y t0 (t) ε(t) = J(t 0, t) : σ 0, σ 0 où J(t 0, t) est un tenseur du 4 ème ordre, fonction de t, nul pour t < t 0, et où le symbole «:» représente le produit doublement contracté sur les deux derniers indices de

100 100 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle J(t 0, t) avec le tenseur du second ordre σ 0. De façon explicite, en base orthonormée (1) : (3.6) J(t 0, t) = J ijhk (t 0, t)e i e j e h e k ε(t) = J(t 0, t) : σ 0 = J ijhk (t 0, t)σ 0. kh Le tenseur σ 0 étant symétrique (σ hk = σ kh ), seule la somme [ J ijhk (t 0, t) + J ijkh (t 0, t)] est physiquement définie et peut être déterminée expérimentalement. Il est commode, comme en élasticité linéaire, de symétriser le tenseur J(t 0, t) sur ses deux derniers indices (3.7) J ijhk (t 0, t) = J ijkh (t 0, t). Par ailleurs, le tenseur ε(t) étant symétrique, J(t 0, t) est symétrique sur ses deux premiers indices : (3.8) Expérience de relaxation J ijhk (t 0, t) = J jihk (t 0, t). De la même façon que ci-dessus, la réponse σ(t 0, t; ε 0 ) dans l expérience de relaxation s exprime en introduisant le tenseur du 4 ème ordre R(t 0, t), fonction de t, nul pour t < t 0 : (3.9) ε(t) = ε 0 Y t0 (t) σ(t) = R(t 0, t) : ε 0, ε 0 Sous forme explicite en base orthonormée : (3.10) σ(t) = R(t 0, t) : ε 0 = R ijhk (t 0, t)ε 0 kh. Par les mêmes arguments que précédemment on symétrise R(t 0, t) sur ces deux derniers indices ; la symétrie sur les deux premiers indices résulte de la symétrie de σ(t) : (3.11) Élasticité instantanée R ijhk (t 0, t) = R ijkh (t 0, t) = R jihk (t 0, t). En reprenant les conventions du chapitre I on convient de noter J(t 0, t 0 ) et R(t 0, t 0 ) les valeurs de J(t 0, t) et R(t 0, t) pour t = t + 0. Ainsi J(t 0, t 0 ) et R(t 0, t 0 ) représentent respectivement les tenseurs des complaisances et des modules élastiques instantanés. (1) Sauf mention explicite du contraire, on adopte la convention de sommation sur les indices répétés (indices«muets»).

101 3 Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel 101 Ils possèdent notamment la symétrie entre les groupes d indices (i, j) et (h, k) due à l existence du potentiel thermoélastique : (3.12) (3.13) J ijhk (t 0, t 0 ) = J hkij (t 0, t 0 ), R ijhk (t 0, t 0 ) = R hkij (t 0, t 0 ). Enfin, ces tenseurs, exprimant les correspondances réciproques de l élasticité instantanée, sont «inverses» l un de l autre ; en introduisant le tenseur1l défini par : (3.14) 1l = 1 2 (δ ihδ jk + δ ik δ jh )e i e j e h e k, il vient ainsi (3.15) Symétries matérielles J(t 0, t 0 ) : R(t 0, t 0 ) =1l. Lorsque des symétries matérielles sont validées, les relations d invariance correspondantes réduisent le nombre de coefficients indépendants dans les matrices des tenseurs J(t 0, t) et R(t 0, t) pourvu que l on puisse admettre que ces symétries sont conservées au cours de l évolution, en considération du cadre H.P.P. La section suivante est consacrée à l étude du cas particulier du matériau isotrope. 3.3 Formules de Boltzmann Le raisonnement mis en œuvre au chapitre I ( 4.3) pour établir la réponse à une histoire donnée quelconque de σ ou de ε peut être intégralement repris ici pour σ et ε en prenant en compte le caractère tensoriel des grandeurs en cause. Ainsi, pour la réponse à une histoire de σ, on obtient la formule homologue de l expression (4.20) du chapitre I : (3.16) (3.17) ε(t) = J(t, t) : σ(t) t t 0 J (τ, t) : σ(τ)dτ τ De même, la réponse à une histoire de ε donnée s écrit : σ(t) = R(t, t) : ε(t) t t 0 R (τ, t) : ε(τ)dτ τ

102 102 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Ces expressions qui peuvent aussi se mettre sous la forme d intégrales de Stieltjes. J ε(t) = (τ, t) : σ(τ)dτ τ (3.18) R σ(t) = (τ, t) : ε(τ)dτ τ Sans surprise on retrouve, au caractère tensoriel près, le même opérateur intégral qu au chapitre I ( 4.4.1). Pour les correspondances fonctionnelles F et R, inverses l une de l autre, on adoptera les notations homologues des équations (4.28) du chapitre I : (3.19) J ε = < (:)σ >= J ( :)σ τ σ F R σ = < (:)ε >= R ( :)ε τ ε R qui sont explicitées par (3.16), (3.17) et (3.18). Comme dans le cas unidimensionnel, l application de (3.19) aux expériences fondamentales de retard et de relaxation permet d établir des identités autour de l opérateur intégral qui expriment que les «matrices» de retard et de relaxation sont inverses l une de l autre à travers cet opérateur. Par définition on a, pour l expérience de retard : (3.20) σ 0, J t0 : σ 0 = J ( :)σ 0 Y t0 d où (2) (3.21) (3.22) J t0 = J ( )Y t0 De même, pour l expérience de relaxation, il vient (3) : R t0 = R ( )Y t0 Pour écrire les formules d inversion, homologues de (4.33 à 4.35) du chapitre I, on utilise le tenseur1l défini par (3.14). Ainsi, en inversant (3.21), on obtient : (3.23) R ( :)J t0 =1lY t0 (2) Compte tenu des symétries sur les indices. (3) Ces identités s obtiennent directement en appliquant les identités (4.31) et (4.32) du chapitre I à chacune des composantes de J ou R.

103 4 Matériau viscoélastique linéaire isotrope 103 et, à partir de (3.22), (3.24) (3.25) Ces formules s écrivent aussi : J ( :)R t0 =1lY t0. J R t0 R J t0 < τ (:) >=< t 0 τ (:) >=1lδ t0. t 0 On peut ici encore signaler que la formule d inversion entre les tenseurs des modules élastiques instantanés et des complaisances élastiques instantanées (3.15) est une conséquence particulière de (3.23) ou (3.24). 4 Matériau viscoélastique linéaire isotrope 4.1 Symétries matérielles : isotropie Dans le cadre de l hypothèse des petites perturbations, on s intéresse désormais à l impact des symétries matérielles, supposées conservées au cours de l évolution, sur l écriture de la loi de comportement viscoélastique linéaire : la loi de comportement doit être invariante dans toute transformation appartenant au groupe d isotropie du matériau effectuée sur σ et ε. Compte tenu de son importance pratique on se restreindra au cas particulier du matériau isotrope. Du point de vue mathématique, le respect des symétries matérielles impose alors que les équations (3.19) soient invariantes dans toute rotation ou symétrie, ce qui conduit à des restrictions sur le nombre de coefficients indépendants des matrices des tenseurs J(t 0, t) et R(t 0, t). 4.2 Loi de comportement viscoélastique linéaire isotrope Expérience de retard pour le matériau isotrope On reprend l expérience générale de retard décrite par : σ(t) = σ 0 Y t0 (t) (4.1) ε(t) = J(t 0, t) : σ 0, σ 0. À l instant t 0, la relation entre les tenseurs σ 0 et ε(t 0 ) est celle de l élasticité linéaire isotrope. D après le théorème général de représentation des fonctions tensorielles isotropes (4), le tenseur ε(t 0 ), fonction linéaire isotrope du tenseur σ 0, est nécessairement de la forme : (4.2) ε(t 0 ) = A(t 0, t 0 )σ 0 + B(t 0, t 0 )(tr σ 0 )1l (4) Comme en élasticité linéaire, les résultats établis dans cette section pour le matériau isotrope ne nécessitent pas la symétrie entre les groupes d indices (i, j) et (h, k) de J et de R

104 104 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle où A(t 0, t 0 ) etb(t 0, t 0 ) sont des constantes matérielles et1l désigne le tenseur unité. À chaque instant t > t 0, le problème mathématique de la correspondance entre les tenseurs σ 0 et ε(t) dans le respect de l isotropie du matériau demeure le même que pour t 0. En conséquence la relation linéaire entre les tenseurs σ 0 et ε(t) a la même forme que (4.2) : (4.3) ε(t) = A(t 0, t)σ 0 + B(t 0, t)(tr σ 0 )1l On remarque, en explicitant (4.3), que la somme A(t 0, t)+b(t 0, t) n est autre que la fonction de retard en traction simple J(t 0, t) introduite au chapitre I. On choisit alors de mettre l équation (4.3) sous la forme : (4.4) ε(t) = [1 + n(t, t 0 )]J(t 0, t)σ 0 n(t 0, t)j(t 0, t)(tr σ 0 )1l. Ainsi, les fonctions matérielles scalaires J(t 0, t) et n(t 0, t) sont déterminées, comme en élasticité, à partir d une seule expérience de retard en traction simple effectuée selon une direction Ox quelconque : σ 0 = σ 0 e x e x J(t, t 0 ) = ε xx(t) (4.5) σ 0 Y t0 (t) n(t, t 0 ) = ε yy(t) ε xx (t) Y t 0 (t) où l on voit que n(t 0, t) est le coefficient de Poisson dans l expérience de retard en traction simple Expérience de relaxation pour le matériau isotrope. La même démarche que ci-dessus peut être suivie pour l expérience générale de relaxation décrite par : ε(t) = ε 0 Y t0 (t) (4.6). σ(t) = R(t 0, t) : ε 0, ε 0 De façon identique à (4.3) la réponse σ(t), fonction linéaire isotrope de ε 0, s explicite au moyen de deux fonctions scalaires, λ(t 0, t) et µ(t 0, t) : (4.7) σ(t) = λ(t 0, t)(tr ε 0 )1l + 2µ(t 0, t)ε 0. Les fonctions λ(t 0, t) et µ(t 0, t) sont d authentiques fonctions de relaxation identifiables dans des expériences simples : µ(t 0, t) est la fonction de relaxation en cisaillement simple : ε(t) = ε 0 (e x e y + e y e x )Y t0 (t) (4.8) µ(t 0, t) = σ xy(t) 2 ε 0 Y t0 (t),

105 4 Matériau viscoélastique linéaire isotrope 105 λ(t 0, t) + 2µ(t 0, t) est la fonction de relaxation en extension simple : ε(t) = ε 0 e x e x Y t0 (t) (4.9) λ(t 0, t) + 2µ(t 0, t) = σ xx(t) Y t0 (t) On voit aussi que 3λ(t 0, t) + 2µ(t 0, t) est la fonction de relaxation en compression isotrope : ε(t) = ε 0 1lY t0 (t) σ(t) = p(t)1l (4.10) 3λ(t 0, t) + 2µ(t 0, t) = p(t) ε 0 Y t 0 (t) Formules de Boltzmann Il s agit maintenant de reprendre l écriture des formules (3.19) compte tenu de l explicitation donnée ci-dessus pour les tenseurs J(t 0, t) et R(t 0, t). On obtient ainsi pour les correspondances inverses F et R : (4.11) ε = [ (1 + n)j ] ( )σ [ nj ] ( )[tr σ ]1l σ F ε R ε 0 σ = λ( )[tr ε]1l + 2µ ( )ε La similitude de ces expressions de la loi de comportement viscoélastique linéaire pour le matériau isotrope avec celles de l élasticité linéaire isotrope est particulièrement mise en évidence par la notation compacte adoptée pour l opérateur intégral. On remarque toutefois qu alors que la seconde équation de (4.11) utilise pour les fonctions matérielles scalaires des notations semblables à celles de l élasticité (constante de Lamé et module de cisaillement), il n en va de même pour la première équation. Ceci s explique lorsque l on explicite les formules générales d inversion (3.23) ou (3.24) dans le cas présent du matériau isotrope, faisant apparaître deux relations entre les fonctions J(t 0, t) et n(t 0, t) en retard et les fonctions λ(t 0, t) et µ(t 0, t) de relaxation. Ces relations s obtiennent aisément en considérant les deux expériences de relaxation (4.8) et (4.10) auxquelles on applique (3.24). Il vient ainsi à partir de (4.8) : (4.12a) [ (1 + n)j ] ( )2µ t0 = Y t0 qui montre que la fonction 2 [ 1+n(t 0, t)j(t 0, t)] est l inverse, pour l opérateur intégral, de la fonction de relaxation en cisaillement simple µ(t 0, t); c est la fonction de retard en cisaillement simple notée γ(t 0, t) : 2 [ 1 + n(t 0, t)j(t 0, t)] = γ(t 0, t) (4.12b) γ ( )µ t0 = Y t0

106 106 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle (4.13) À partir de (4.10) on obtient : [ (1 2n)J ] ( )(3λ t0 + 2µ t0 ) = Y t0 qui met en évidence la fonction de retard en compression isotrope : [ (1 2n(t 0, t)]j(t 0, t). (4.14) et (4.15) Les relations (4.12) et (4.13) impliquent qu à l instant t 0 on a : 2µ(t 0, t 0 ) = 1 J(t 0, t 0 )[ 1 + n(t 0, t 0 )] 1 3λ(t 0, t 0 ) + 2µ(t 0, t 0 ) = J(t 0, t 0 )[ 1 2n(t 0, t 0 )] qui sont, pour l élasticité instantanée, les relations classiques où n(t 0, t 0 ) est le coefficient de Poisson et J(t 0, t 0 ) la complaisance (inverse algébrique du module). On remarque (sans surprise) que les relations (4.12) et (4.13) sont, du point de vue de l opérateur intégral, semblables à celles obtenues en élasticité linéaire isotrope «Relaxation» en traction simple Les paragraphes précédents ont présenté d authentiques fonctions de retard et de relaxation selon les définitions (2.1) et (2.3). Par ailleurs on a déjà remarqué au chapitre I (7.1) et dans le présent chapitre ( 2.2) que l expérience «duale» de l expérience de retard en traction simple n est pas, à proprement parler, une expérience de relaxation puisqu elle correspond aux sollicitations mixtes : (4.16) ε xx (t) = ε 0 Y t0 (t) σ ij (t) = 0, i x, j x Cette expérience n en est pas moins fondamentale du point de vue pratique car la composante σ xx de sa réponse détermine la fonction de «relaxation» en traction simple dans le modèle unidimensionnel et sa réalisation est simple. La formule de Boltzmann (4.11) en permet l analyse rapide. Compte tenu des restrictions (4.16) sur σ(t) on obtient ainsi : (4.17) soit, en appliquant (4.11) et en posant (4.18) (4.19) ε 0 Y t0 = J ( )σ xx ; σ xx (t) = ε 0 E t0 (t), J ( )E t0 = Y t0

107 4 Matériau viscoélastique linéaire isotrope 107 La fonction E t0 (t) est l inverse, du point de vue de l opérateur intégral, de la fonction de retard en traction simple : c est authentiquement la fonction de relaxation en traction simple unidimensionnelle. La réponse dans cette expérience comprend aussi l évolution des composantes ε yy (t) = ε zz (t), seules composantes non nulles de ε(t) autres que ε xx (t). Il est commode d introduire le coefficient de Poisson dans cette expérience, défini par : (4.20) (4.21) On obtient par (4.11) : ε yy (t) ν t0 (t) = Y t0 ε 0. ν t0 = (nj)( )E t0 qui implique évidemment que : ν(t 0, t 0 ) = n(t 0, t 0 ). Les fonctions ainsi définies, E t0 (t) et ν t0 (t) se révèlent souvent utiles dans la résolution de problèmes de viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Hypothèse simplificatrice : le coefficient de Poisson est constant Dans la pratique les résultats expérimentaux permettent souvent de valider l hypothèse que le coefficient de Poisson dans l expérience de relaxation en traction simple est constant, évidemment égal au coefficient de Poisson de la réponse élastique instantanée : (4.22) ν(t 0, t) = ν Y (t 0, t). De (4.21) et (4.19) on déduit alors que le coefficient de Poisson dans l expérience de retard en traction simple est, lui aussi, constant et égal à cette même valeur : (4.23) n(t 0, t) = ν Y (t 0, t). Cette hypothèse conduit à des simplifications considérables des relations entre les fonctions de retard et de relaxation données plus haut ( 4.2.2). (4.24) À partir de (4.12) on obtient : et, à partir de (4.13) (4.25) 2µ(t 0, t) = E(t 0, t) 1 + ν 3λ(t 0, t) + 2µ(t 0, t) = E(t 0, t) 1 2ν ; c est-à-dire, entre les fonctions de relaxation E(t 0, t), λ(t 0, t), µ(t 0, t) et le coefficient de Poisson, les mêmes relations qu en élasticité linéaire. Plus encore, la formule de Boltzmann (4.11) devient : (4.26) ε = J ( )[(1 + ν)σ ν (tr σ)1l]

108 108 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle soit, compte tenu de (4.19), (4.27) E ( )ε = (1 + ν)σ ν (tr σ)1l identique, avec l opérateur ( ), à l équation de comportement en élasticité linéaire isotrope. On voit que, du point de vue viscoélastique, le comportement du matériau est défini par les seules fonctions de retard ou de «relaxation» en traction simple, ce qui apparente ce cas à l approche unidimensionnelle. Cette propriété permet souvent la résolution directe explicite de problèmes globaux en suivant la même démarche qu en élasticité ( 6.5). 5 Comportement viscoélastique linéaire en l absence de vieillissement 5.1 Matériau viscoélastique linéaire non-vieillisant L hypothèse de non-vieillissement s exprime comme au chapitre I dans le cas unidimensionnel. À partir de (3.1 et 3.2) : (5.1) (5.2) [ t u ] [ t ] F t u σ(τ) = F t σ(τ u), σ, u [ t u ] [ t ] G t u ε(τ) = G t ε(τ u), ε, u. On en tire les mêmes conséquences mathématiques que dans le cas unidimensionnel, qui portent maintenant sur les tenseurs J(t 0, t) et R(t 0, t) : ceux-ci, invariants par translation sur le temps, ne sont plus désormais fonctions que de l argument (t t 0 ) : (5.3) et (5.4) J(t 0, t) = f(t t 0 ) f(τ) = 0 si τ < 0 R(t 0, t) = r(t t 0 ) r(τ) = 0 si τ < 0. Dans toute la suite on suppose implicitement l existence de limites finies pour f(τ) et r(τ) quand τ.

109 5 Comportement viscoélastique linéaire en l absence de vieillissement Formules de Boltzmann Dans les formules de Boltzmann (3.18), l opérateur intégral ( ) s explicite, comme au chapitre I ( ) au moyen du produit de convolution de Riemann noté. Ainsi : σ F ε = f ( :)σ = f ( :)σ (5.5) σ = r ( :)ε = r ( :)ε ε R où les dérivées sont prises au sens des distributions. Les identités (3.23) et (3.24) s écrivent alors : (5.6) f ( :)r = r ( :)f =1lY et, pour (3.25) il vient (5.7) f ( :)r = r ( :)f =1lδ. On en déduit : (5.8) f(0) : r(0) =1l, qui n est autre que la relation (3.15) relative à l élasticité instantanée, et aussi, sous les mêmes hypothèses qu au chapitre I, le résultat nouveau relatif au comportement à l infini : (5.9) f( ) : r( ) =1l. 5.3 Utilisation du calcul opérationnel L introduction du calcul opérationnel au moyen de la transformée de Carson se révèle ici particulièrement intéressante. On rappelle que, pour une fonction scalaire, (5.10) ϕ = Lϕ = p Lϕ ; pour les fonctions tensorielles rencontrées ici, la définition est identique. (5.11) À partir de (5.5) et (5.7) on obtient ainsi : ε (p) = f (p) : σ (p) σ (p) = r (p) : ε (p) f (p) : r (p) =1l

110 110 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle où les symétries des tenseurs transformés σ (p), ε (p), f (p) et r (p), fonctions de p, sont les mêmes que celles des tenseurs originaux, fonctions du temps. Ces équations algébriques, où p ne joue que le rôle d un paramètre, sont formellement identiques (aux notations près) aux équations exprimant la loi de comportement de l élasticité linéaire. Cette constatation laisse présager de l intérêt de l introduction de la transformation de Carson pour la résolution des problèmes d évolution d un système en matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant, comme cela sera exposé dans la section suivante ( 6.6). 5.4 Matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant isotrope Formules de Boltzmann Sans qu il soit nécessaire de reprendre les raisonnements précédents, les formules de Boltzmann (4.11) établies pour le comportement viscoélastique linéaire isotrope s écrivent désormais en explicitant l opérateur intégral ( ) au moyen de la convolution de Riemann. σ ε F = [(1 + n)j ] σ [ nj ] [ tr σ ]1l (5.12) ε F σ = λ [ tr ε ]1l + 2µ ε En conservant les équations sous cette forme, il est parfois possible de résoudre un problème d évolution dans l algèbre de convolution On fait pour cela usage des formules d inversion, issues de (4.12), (4.13), (4.19) et (4.21) : (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) (5.17) [ (1 + n)j ] 2µ = Y, [ (1 2n)J ] (3λ + 2µ ) = Y, J E = Y, ν = (nj) E. Avec les transformées de Carson on obtient les formules algébriques : ε = [ (1 + n)j ] σ [ nj ] [ tr σ ] 1 σ avec les formules d inversion : (5.18) (5.19) (5.20) = λ [ tr ε ] µ ε 2µ 1 = [ (1 + n)j ] (3λ + 2µ 1 ) = [ (1 2n)J ] J = 1 E

111 5 Comportement viscoélastique linéaire en l absence de vieillissement 111 et (5.21) (nj) = ν E. En substituant dans l expression (5.17) de ε, il vient aussi : (5.22) ε = 1 + ν E σ ν E [ trσ ]1l σ = λ [ tr ε ]1l + 2µ ε où l on reconnaît, en transformées de Carson, avec les fonctions définies dans l expérience de «relaxation» en traction simple, les équations classiques de l élasticité linéaire isotrope. Il est utile d examiner comment se traduisent, dans ce cas, les relations (5.8) et (5.9) relatives respectivement à l élasticité instantanée et au comportement à l infini. Pour l élasticité instantanée, la relation (5.8) on retrouve les formules classiques de l élasticité linéaire isotrope : (5.23) (5.24) (5.25) J(0) = 1 E(0) n(0) = ν(0) 2 µ(0) = E(0) 1 + ν(0) (5.26) 3λ(0) + 2µ(0) + E(0) 1 2ν(0). Pour le comportement à l infini il vient aussi : (5.27) J( ) = 1 E( ) (5.28) n( ) = ν( ) (5.29) 2 µ( ) = E( ) 1 + ν( ) et (5.30) 3λ( ) + 2µ( ) + E( ) 1 2ν( ).

112 112 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Coefficient de Poisson constant Les formules se simplifient encore si l on fait l hypothèse que le coefficient de Poisson est constant, égal au coefficient de Poisson élastique instantané ( 4.2.5) : ε = 1 + ν E σ ν E [ trσ ]1l (5.31) σ = λ [ trε ]1l + 2µ ε avec (5.32) et (5.33) 5.5 Commentaires 2µ = E 1 + ν, (3λ + 2µ ) = E 1 + 2ν Symétries des tenseurs f(p) et r(p) Dans les équations (5.11), à la différence des tenseurs des complaisances et des modules élastiques en élasticité linéaire, les tenseurs f (p) et r (p) ne présentent pas la symétrie entre les groupes d indices (i, j) et (h, k). Dans le cas de l élasticité cette symétrie résulte de l existence du potentiel élastique dont dérive la loi de comportement. Dans le cas présent de la viscoélasticité linéaire pour le matériau non vieillissant, cette symétrie peut être démontrée, si l on se place dans le cadre d hypothèses de la théorie de Biot, à partir du principe d Onsager. À noter que cette propriété de symétrie est nécessaire pour l application du théorème de correspondance de Lee-Mandel dans le cas général ( 6.6.1), mais évidemment pas pour le matériau isotrope Fonctions de relaxation L étude du cas du matériau isotrope non-vieillissant met particulièrement en évidence, par les expressions (5.22) et (5.31), le rôle essentiel joué par l expérience de «relaxation» en traction simple, déjà apparent sur les formules (4.19) et (4.21). Cela tient au fait que les fonctions matérielles déterminées à travers cette expérience sont les homologues des constantes matérielles E et ν déterminées en élasticité linéaire dans l expérience de traction simple car la description mathématique de celle-ci en termes de module de Young et de coefficient de Poisson l identifie comme une expérience de relaxation. C est ici l occasion d insister sur la confusion qui peut résulter d une notation souvent utilisée dans la pratique. En effet, il est fréquent que, par analogie malheureuse

113 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques 113 avec le cas élastique, l expérience de retard en traction simple soit décrite non par la fonction de retard mais par son inverse algébrique sous la forme : σ(t) = σ 0 Y (t 0, t) F ε(t) = σ 0 1 E(t 0, t)! Il est clair que cette écriture est sans danger tant que les seuls problèmes étudiés sont des problèmes de retard ; ainsi, la réponse d un élément de poutre en flexion dans une expérience de retard (fluage) s écrira-t-elle alors : χ(t) = M 0 I E(t 0, t) ce qui peut même paraître plus simple! En revanche, la notation perd son innocuité dès qu il s agit d écrire la loi de comportement et les formules de Boltzmann, pour la raison physique évoquée plus haut. Il est donc recommandable de bannir cette écriture et de retenir (5.35) avec les formules inverses (5.36) ε = J ( ) N S et χ = J ( ) M I N = ES ( )ε et M = E I ( )χ. 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques 6.1 Problème d évolution quasi-statique Le concept d évolution est schématiquement représenté sur la Figure 1. L état initial du système étudié est défini au moyen des données géométriques et mécaniques initiales. L histoire des sollicitations appliquées au système est prescrite à partir de cet instant initial et l on cherche à déterminer l évolution correspondante, c est-à-dire tous les champs qui définissent l état à chaque instant ultérieur. Lorsque le matériau constitutif du système (qui n est pas nécessairement homogène) est, en tout point, régi par une loi de comportement viscoélastique, le problème posé est un problème d évolution viscoélastique et l on verra que le système manifeste lui-même, globalement, un comportement viscoélastique. Un tel problème d évolution est régi par le système des équations de champs dans le volume et le système des équations qui expriment les conditions aux limites sur le contour. Toutes ces équations dépendent du temps, à la fois explicitement suivant l histoire des sollicitations et implicitement en raison de l évolution des domaines géométriques sur lesquels elles sont écrites. Pour les équations de champs, ce sont les

114 114 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle équations de la dynamique, l équation de continuité, la loi de comportement et l équation thermique. Les conditions aux limites, outre la condition thermique, prennent la forme classique pour les problèmes bien posés : donnée, en chaque point du contour et à chaque instant, de trois composantes, orthogonales entre elles pour l ensemble des deux vecteurs, vitesse et contrainte. En ce qui concerne l équation thermique, comme déjà annoncé, on se borne à l étude des évolutions isothermes. S État initial S État actuel Évolution Histoire des sollicitations sur le système Données initiales Figure 1 Représentation schématique du problème d évolution On se place dans le cadre des évolutions quasi-statiques, qui postule que le système est, à chaque instant, en équilibre. Ceci suppose évidemment que les données qui définissent l état initial, puis l histoire des sollicitations sont compatibles avec cette hypothèse, notamment : que la compatibilité avec l équation d équilibre global du système est assurée (6.1) [F e (t)] = 0. où [F e (t)] désigne le torseur de tous les efforts appliqués au système ; et que les variations des sollicitations données au cours du temps sont suffisamment lentes (5). Pour les évolutions quasi-statiques, les équations de la dynamique sont à chaque instant remplacées par les équations de l équilibre. 6.2 Hypothèse des petites perturbations On a déjà évoqué au chapitre I (section 1 et 9.1) et au paragraphe 2.1 du présent chapitre l hypothèse des petites perturbations (H.P.P). En fait, sauf en ce qui (5) On remarque que cette condition est cohérente avec les considérations déjà développées au chapitre I (section 1) pour la définition du phénomène étudié, notamment, avec les conditions expérimentales pour la détermination de la loi de comportement.

115 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques 115 concerne les problèmes globaux (y compris les expériences d identification de la loi de comportement), seule une partie de cette hypothèse était nécessaire : l hypothèse de la transformation infinitésimale, qui signifie que la déformation et la rotation de l élément matériel sont infinitésimales. L hypothèse des petites perturbations ajoute à l hypothèse de la transformation infinitésimale l hypothèse dite des petits déplacements, qui permet d écrire les équations du problème d évolution, à chaque instant, sur la géométrie initiale. On fait ainsi disparaître la dépendance implicite vis-à-vis du temps signalée plus haut. On se place désormais dans le cadre H.P.P. complet, cohérent avec la formulation de la loi de comportement viscoélastique présentée dans les sections précédentes. 6.3 Problématique Les problèmes étudiés concernent les systèmes mécaniques constitués d un matériau viscoélastique linéaire, dont on particularisera les propriétés le moment venu. Compte tenu de l hypothèse des petites perturbations on désigne par Ω le volume du système étudié et par Ω son contour. L état initial du système est défini par l ensemble des paramètres qui déterminent sa configuration géométrique (Ω, Ω) et par l état de contrainte initial. L histoire des sollicitations comprend, sous réserve de (6.1) : l histoire des forces de masse F(x, t) données dans le volume Ω et l histoire des données au contour sur Ω. Pour celles-ci, comme annoncé plus haut, on suppose qu il s agit à chaque instant de la donnée de trois composantes, orthogonales entre elles, pour l ensemble des deux vecteurs, contrainte et vitesse (figure 2). On désigne à chaque instant par S Ui (t) et S Ti (t) respectivement les surfaces complémentaires de Ω sur lesquelles les composantes U i (t) du vecteur vitesse U(t) et T i (t) du vecteur contrainte T(t) sont données. Ω 1 Ω 3 2 M Figure 2 Données au contour On se place de plus dans l hypothèse où les surfaces S Ui (t) et S Ti (t) demeurent inchangées pendant la durée de l histoire étudiée en sorte que : (6.2) S Ui (t) S Ui et S Ti (t) S Ti.

116 116 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Il s ensuit, par intégration par rapport au temps, que l on peut écrire les données aux limites sous la forme : S ξi S Ti =, S ξi S Ti = Ω (6.3) ξ i (x, t) = ξi d(x, t) sur S ξ i T i (x, t) = Ti d(x, t) sur S T i où S ξi S Ui et ou l indice supérieur «d» indique la fonction donnée. On peut évidemment élargir cette hypothèse d invariance de la nature des données aux limites en supposant que l histoire est constituée d une succession d époques de durées finies au cours desquelles les surfaces S Ui (t) et S Ti (t) demeurent invariables ; chacune des époques étant alors analysée séparément. La loi de comportement du matériau constitutif est la loi viscoélastique linéaire sous la forme générale (3.19) : ε = J ( :)σ (6.4) σ = R ( :)ε où J et R dépendent de la variable spatiale x si le matériau n est pas homogène. Au total, les équations du problème d évolution quasi-statique, dans l hypothèse des petites perturbations, en viscoélasticité linéaire, s écrivent : Équations de champs (6.5) div σ(x, t) + ρ F(x, t) = 0 (6.6) ε(x, t) = 1 2 [ grad ξ(x, t) +t grad ξ(x, t)] (6.7) ε(x, t) = [ J ( :)σ ](x, t) σ(x, t) = [ R ( :)ε](x, t) Conditions aux limites (S Ui (t) et S Ti (t) indépendantes de t) S ξi S Ti =, S ξi S Ti = Ω (6.3) ξ i (x, t) = ξi d(x, t) sur S ξ i T i (x, t) = Ti d(x, t) sur S T i 6.4 Principe de superposition Le système des équations de champs et des conditions aux limites écrit ci-dessus rappelle évidemment celui de l équilibre élastique linéarisé. Dans les équations (6.3,

117 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques et 6.6), la variable t joue le rôle d un simple paramètre ; en revanche, dans la loi de comportement (6.7), t intervient dans l opérateur intégral de Boltzmann ( ). Pas plus qu en élasticité linéaire, il n est possible d énoncer une méthode générale systématique et purement déductive qui permette de résoudre le problème quasi-statique ainsi posé. Aux difficultés déjà importantes connues dans le cas de l élasticité s ajoutent ici celles dues à la forme intégrale de la loi de comportement. Il est toutefois possible d énoncer un résultat général important : Le problème posé sous la forme (6.3, 6.5 à 6.7) est linéaire En d autres termes la correspondance entre les histoires de σ et ξ d une part et les histoires des données F sur Ω et ξi d et T i d sur S ξi et S Ti d autre part est linéaire. C est le principe de superposition énoncé désormais au niveau global du système (6). Il est essentiel de remarquer qu il est la conséquence, non seulement de la linéarité de la loi de comportement du matériau constitutif (linéarité physique), mais aussi de l hypothèse des petites perturbations et de l hypothèse sur la forme des conditions aux limites (linéarité géométrique). Si les histoires σ 1 et ξ 1 sont solutions du problème d évolution viscoélastique avec les histoires F 1, (ξ d i )1 et (T d i )1 pour données ; Si les histoires σ 2 et ξ 2 sont solutions du problème d évolution viscoélastique avec les histoires F 2, (ξ d i )2 et (T d i )2 pour données ; (6.8) Alors, λ 1, λ 2 les histoires σ = λ 1 σ 1 + λ 2 σ 2 et ξ = λ 1 ξ 1 + λ 2 ξ 2 sont solutions du même problème d évolution viscoélastique avec les histoires données : (6.9) F = λ 1 F 1 + λ 2 F 2 dans le volume Ω et (6.10) ξ d i = λ1 (ξ d i )1 + λ 2 (ξ d i )2 sur S ξi et Ti d = λ 1 (Ti d )1 + λ 2 (Ti d )2 sur S Ti Il est évident que ce principe n est et ne demeure valable que pour autant que les hypothèses rappelées plus haut sont satisfaites. Au-delà de ce résultat général, il est possible, pour certaines formes particulières de la loi de comportement et/ou pour certains types de problèmes, d établir des résultats permettant de relier la solution du problème d évolution viscoélastique linéaire à celle d un problème d équilibre élastique linéarisé homologue : c est l objet des sections suivantes. (6) Cf. chapitre I ( 9.2).

118 118 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle 6.5 Matériau homogène et isotrope à coefficient de Poisson constant On suppose ici que le système étudié est constitué d un matériau viscoélastique linéaire homogène, isotrope et dont le coefficient de Poisson est constant. Avec les notations du paragraphe 4.2.5, J(t 0, t), E(t 0, t) et ν désignent respectivement la fonction de retard en traction simple, la fonction de relaxation en traction simple unidimensionnelle et le coefficient de Poisson. La loi de comportement (6.7) s explicite en : (6.11) ε(x, t) = J ( )[(1 + ν)σ ν(tr σ)1l] (x, t) Problème de type «retard» On s intéresse aux problèmes d évolution dans lesquels les données F sur Ω et ξi d et Ti d sur S ξi et S Ti sont de la forme : F(x, t) = F 0 (x)y t0 (t) sur Ω (6.12) ξi d(x, t) = 0 sur S ξ i T d d (x, t) = [ Ti ]0 (x)y t0 sur S Ti i À l instant initial de la sollicitation, t 0, le problème est un problème d élasticité instantanée avec le module de Young E(t 0, t 0 ) = et le coefficient de 1 J(t 0, t 0 ) Poisson ν. Soient σ 0 (x), ε 0 (x) et ξ 0 (x) les champs solutions de ce problème. La solution du problème de retard pour t > t 0 est alors donnée par les champs : σ(x, t) = σ 0 (x)y t0 (t) ε(x, t) = ε 0 (x) J(t 0, t) (6.13) J(t 0, t 0 ) ξ(x, t) = ξ 0 (x) J(t 0, t) J(t 0, t 0 ) En effet : le champ σ(x, t) satisfait évidemment (6.5) et la condition aux limites sur les contraintes dans (6.3) avec (6.12); le champ ε(x, t) est associé à σ(x, t) par la loi de comportement (6.11); proportionnel à ε 0 (x, t), le champ ε(x, t) est géométriquement compatible ; le champ ξ(x, t) qui lui est associé, proportionnel à ξ 0 (x, t), satisfait les conditions aux limites sur les déplacements (6.3), nulles d après (6.12). Ainsi, les efforts intérieurs demeurent constants pour t > t 0 tandis que les déformations et les déplacements évoluent proportionnellement à la fonction de retard du matériau constitutif.

119 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques Évolution prescrite par des paramètres de chargement À partir de la solution du problème de type «retard», la linéarité énoncée au paragraphe 6.4 permet formellement de déduire la solution de tout problème d évolution dans lequel les données ξ d i (x, t) sur S ξ i sont nulles. Dans la pratique, les évolutions concernées sont celles où les données F(x, t) sur Ω et Ti d(x, t) sur S T i dépendent linéairement de n paramètres scalaires Q j (t), appelés paramètres de chargement, composantes d un vecteur chargement Q(t). À ces paramètres sont associés, dans l expression de la puissance des efforts extérieurs, les paramètres cinématiques q j (t), composantes du vecteur cinématique q(t). Une telle évolution (7) est ainsi prescrite par l histoire du vecteur chargement et la réponse observable du système est donnée par q(t). (6.14) On peut ainsi prescrire une histoire de retard Q(t) = Q 0 Y t0 (t), pour laquelle la réponse élastique instantanée à l instant t 0 s écrit (8) : σ(x, t 0 ) = σ él j (x)q0 j = σél(x)q j j(t 0 ) (6.15) ε(x, t 0 ) = ε él(x)j j t 0 (t 0 )Q 0 j = εél(x)j j t 0 (t 0 )Q j (t 0 ) ξ(x, t 0 ) = ξ él (x)j j t 0 (t 0 )Q 0 j = ξél(x)j j t 0 (t 0 )Q j (t 0 ) et (6.16) q(t 0 ) = q él J j t 0 (t 0 )Q 0 j = qél J j t 0 (t 0 )Q j (t 0 ) (avec sommation sur les indices répétés). Dans ces formules, σ él, j εél, j ξél et qél sont, j j compte tenu de l homogénéité du matériau et de la forme de la loi de comportement (6.11), des fonctions géométriques indépendantes du temps et de l expression de J t0 (t), déterminées par les solutions du problème d élasticité instantanée à t 0 lorsque le paramètre de chargement Q j (t 0 ) prend la valeur unité, les autres étant nuls (solutions élémentaires pour J t0 (t 0 ) = 1 et Q j (t 0 ) = 1). (6.17) La réponse instantanée du système à l instant t 0 s écrit aussi q(t 0 ) = q él J j t 0 (t 0 )Q j (t 0 ) = Λ(t 0 ).Q(t 0 ) où Λ(t 0 ) désigne la matrice symétrique de complaisance élastique instantanée (9) du système à l instant t 0, proportionnelle à J t0 (t 0 ). Par les mêmes arguments que ceux utilisés ci-dessus pour justifier ( 6.13) on voit que, pour une histoire quelconque du vecteur chargement Q(t), la solution du problème d évolution est donnée par : (7) Ce concept est identique à celui introduit au chapitre I ( 9.3.1). (8) Dans toute la suite, sauf mention explicite du contraire, sommation sur les indices répétés. (9) En désignant par u j les vecteurs unitaires dans l espace des paramètres de chargement, on a : Λ(t 0 ) = J t0 (t 0 ) q él j u j.

120 120 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle (6.18) σ = σ él Q j j ε = ε él[ J ( )Q j j ] ξ = ξ él [ J ( )Q j j ] (6.19) q = q él[ J ( )Q j j ] = E t0 (t 0 )Λ(t 0 ).[ J ( )Q] En conclusion, la réponse du système à une histoire quelconque des paramètres de chargement s obtient à partir de la réponse élastique instantanée du système. La relation fonctionnelle (6.19) exprime la loi de comportement globale du système pour ce type de données. Le système a globalement un comportement viscoélastique linéaire. L inversion de (6.19) est immédiate : (6.20) 1 Q = E t0 (t 0 ) Λ 1 (t 0 ).[ E ( )q ] Problème de type «relaxation» De la même façon qu au paragraphe 6.5.1, on s intéresse maintenant aux problèmes d évolution dans lesquels les données F sur Ω et ξi d et Ti d sur S ξi et S Ti sont de la forme : F(x, t) = 0 sur Ω (6.21) ξi d(x, t) = [ ξd i ]0 (x)y t0 (t) sur S ξi Ti d(x, t) = 0 sur S T i Soient σ 0 (x), ε 0 (x) et ξ 0 (x) les champs solutions du problème élastique instantané à t 0. Sans qu il soit nécessaire de reprendre les arguments précédents on voit que la solution du problème de relaxation pour t > t 0 est alors donnée par les champs : σ(x, t) = σ 0 (x) E(t 0, t) E(t 0, t 0 ) (6.22) ε(x, t) = ε 0 (x)y t0 (t) ξ(x, t) = ξ 0 (x)y t0 (t) Ainsi, les déformations et les déplacements demeurent constants pour t > t 0 tandis que les contraintes évoluent proportionnellement à la fonction de relaxation du matériau constitutif Évolution prescrite par des paramètres cinématiques La démarche est identique à celle du paragraphe Les données ξi d sur S ξi dépendent linéairement de m paramètres cinématiques scalaires q k (t), composantes

121 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques 121 du vecteur cinématique q(t),, tandis que F sur Ω et Ti d sur S Ti sont maintenues nulles. On désigne par Q k (t), composantes du vecteur de chargement Q(t), les paramètres associés aux q k (t) dans l expression du travail des efforts extérieurs. On s intéresse aux évolutions prescrites par l histoire du vecteur cinématique (10) q(t), la réponse du système étant donnée par Q(t). On adopte des notations semblables à celles de (6.15 et 6.17) pour expliciter la réponse instantanée du système, compte tenu de l homogénéité du matériau et de la loi de comportement (6.11) : σ(x, t 0 ) = σ él(x)e k t 0 (t 0 )q k (t 0 ) ε(x, t 0 ) = ε él(x)q k k(t 0 ) (6.23) ξ(x, t 0 ) = ξ él (x)q k k(t 0 ) Q(t 0 ) = Q él E k t 0 (t 0 )q k (t 0 ) = A(t 0 ).q(t 0 ) où A(t 0 ) est la matrice symétrique de module élastique instantané (11) du système à l instant t 0, proportionnelle à E t0 (t 0 ). Dans ces formules, σ él, k εél, k ξél et Qél k k sont encore et pour les mêmes raisons que précédemment des fonctions géométriques indépendantes du temps et de la forme de E t0 (t), déterminées par les solutions du problème d élasticité instantanée à t 0 lorsque le paramètre cinématiques q k (t 0 ) prend la valeur unité tandis que les autres sont nuls (solutions élémentaires pour E t0 (t 0 ) = 1 et q k (t 0 ) = 1). Il s ensuit que la solution du problème d évolution pour une histoire quelconque du vecteur cinématique q(t) s écrit : (6.24) σ = σ él[ E ( )q k k ] ε = ε él q k k ξ = ξ él k q k (6.25) Q = Q él [ E ( )q 1 k k ] = E t0 (t 0 ) A(t 0).[ E ( )q ]. (6.26) q = E t0 (t 0 )A 1 (t 0 ).[ J ( )Q]. Les équations (6.19) et (6.20) d une part et (6.26) et (6.25) d autre part sont évidemment identiques si les paramètres de chargement et les paramètres cinématiques sont les mêmes dans l un et l autre cas. (10) Concept identique à celui introduit au chapitre I ( 9.3.2). (11) En désignant par u les vecteurs unitaires dans l espace des paramètres cinématiques, on a : k A(t 0 ) = E t0 (t 0 ) Q él k u k.

122 122 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Applications pratiques Les résultats précédents montrent que pour des histoires prescrites par des paramètres de chargement ou pour des histoires prescrites par des paramètres cinématiques, dans le cadre d hypothèses indiqué (H.P.P., matériau homogène, isotrope, à coefficient de Poisson constant) qui devra être validé, la solution du problème d évolution s obtient formellement 1 o en explicitant la réponse élastique instantanée sous la forme (6.15, 6.16) ou (6.23); 2 o en effectuant les passages décrits par (6.27 à 6.30). Pour une histoire définie par des paramètres de chargement : (6.27) σ(x, t 0) = σ él (x)qj(t0) j ε(x, t 0) = ε él (x) j Jt 0(t 0) Q j(t 0) ξ(x, t 0) = ξ él (x) j Jt 0(t 0)Q j(t 0) σ(x, t) = σ él (x) Qj(t) j ε(x, t) = ε él (x)[ J ( )Qj ](t) j ξ(x, t) = ξ él (x)[ J ( )Qj ](t) (6.28) q(t 0) = q él j Jt 0(t 0) Q j(t 0) q(t) = q él [ J ( )Qj ](t) j Pour une histoire définie par des paramètres cinématiques : (6.29) σ(x, t 0) = σ él k (x) Et 0(t 0)q k (t 0) ε(x, t 0) = ε él k (x) q k(t 0) ξ(x, t 0) = ξ él k (x) q k(t 0) j σ(x, t) = σ él k (x) [ E ( )q k ](t) ε(x, t) = ε él k (x)q k(t) ξ(x, t) = ξ él k (x) q k(t) (6.30) Q(t 0) = Q él k Et 0(t 0) q k (t 0) Q(t) = Q él k [ E ( )q k ](t) Pour les problèmes rencontrés dans la pratique, il est fréquent que l histoire des sollicitations soit composée d épisodes successifs d évolutions prescrites par des paramètres de chargement et d évolutions prescrites par des paramètres cinématiques ; souvent même on rencontre simplement une évolution de type «retard» suivie d une évolution de type «relaxation» ou inversement. L application du principe de superposition permet alors de résoudre ces problèmes en appliquant les règles précédentes (cf. section 8). Comme annoncé au paragraphe 4.2.5, c est ici qu apparaît l importance de l hypothèse «coefficient de Poisson constant» sur le comportement viscoélastique linéaire du matériau constitutif qui pouvait, lors de son introduction, sembler anecdotique.

123 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques 123 La similitude des résultats établis ci-dessus avec ceux du chapitre I ( 9.3) dans le cas unidimensionnel confirme la remarque faite alors. En fait, comme on le verra dans la section 8, le type de raisonnement mis en œuvre dans les paragraphes précédents peut être reproduit dès que le système étudié est homogène et que les problèmes considérés ne font intervenir qu une seule fonction de retard ou de relaxation. 6.6 Matériau constitutif viscoélastique linéaire non-vieillissant Théorème de correspondance On suppose ici que le système étudié, sans condition d homogénéité, est constitué d un matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant. Comme exposé au paragraphe 5.3, les équations de comportement s expriment, en transformées de Carson, comme de simples équations algébriques tensorielles (5.11), formellement identiques aux équations du comportement élastique linéaires. L idée vient alors d examiner si l application de la transformation de Carson au problème d évolution dans son intégralité conduit à une méthode de résolution pratique. Reprenant les équations (6.3), (6.5 à 6.7), il apparaît que, compte tenu de l hypothèse des petites perturbations et de l hypothèse sur la forme des conditions aux limites, notamment l invariance dans le temps des surfaces S Ui (t) et S Ti (t), la transformation de Carson donne : Équations de champs (6.31) (6.32) div σ (x, p) + ρ F (x, p) = 0 ε (x, p) = 1 2 [ grad ξ (x, p) + t grad ξ (x, p)] (6.33) ε (x, p) = f (x, p) : σ (x, p) σ (x, p) = r (x, p) : ε (x, p) où la présence de la variable x dans f (x, p) et r (x, p) manifeste l hétérogénéité possible du matériau. Les propriétés de symétrie de ces tenseurs ont été discutées au paragraphe Conditions aux limites (S Ui (t) et S Ti (t) indépendantes de t) S ξi S Ti =, S ξi S Ti = Ω (6.34) ξi (x, p) = [ ξd i ] (x, p) sur S ξi Ti d (x, p) = [ Ti ] (x, p) sur S Ti Il apparaît alors que le problème posé par les équations (6.31 à 6.34) est formellement identique à un problème d équilibre élastique linéarisé pour les transformées de Carson des champs donnés et inconnus avec la loi de comportement élastique linéaire (6.33), dans lequel la variable p ne joue que le rôle d un paramètre.

124 124 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle Si la solution de ce problème est connue sous forme explicite, il suffit d appliquer les formules correspondantes aux transformées pour obtenir explicitement la transformée de Carson de la solution du problème original d évolution viscoélastique. L inversion de la transformation de Carson fournit ensuite la solution du problème d évolution viscoélastique (12). Ce résultat exprime, dans sa forme la plus générale, le théorème de correspondance de Lee-Mandel, déjà énoncé au chapitre I ( 9.4) Matériau isotrope Si le matériau constitutif du système est isotrope l application des résultats précédents est facilitée par la forme simple des équations de comportement (5.22). On substituera donc à (6.33) : (6.35) ε (x, p) = 1 + ν (x, p) E σ (x, p) ν (x, p) (x, p) E (x, p) [ tr σ (x, p)]1l σ (x, p) = λ (x, p)[ tr ε (x, p)]1l + 2 µ (x, p)ε (x, p) pour appliquer le théorème de correspondance. C est le cas, en particulier, de toutes les solutions classiques établies en élasticité linéaire pour un système constitué d un matériau homogène isotrope Paramètres de chargement et paramètres cinématiques Dans le cas d une évolution prescrite par des paramètres de chargement ou d une évolution prescrite par des paramètres cinématiques comme cela a été défini aux paragraphes et 6.5.4, l application du théorème de correspondance peut être explicitée. Histoire définie par des paramètres de chargement Le problème d équilibre élastique linéarisé homologue n est autre que le problème d élasticité instantanée dont la réponse s écrit, comme au chapitre I ( 9.4.2) : (6.36) et (6.37) σ(x) = σ él(x, 0)Q j j ε(x) = ε él(x, 0)Q j j ξ(x) = ξ él (x, 0)Q j j q = Λ(0).Q. L application du théorème de correspondance s exprime par le schéma : (12) Sauf dans le cas du matériau isotrope, ce résultat nécessite la symétrie entre les groupes d indices (i, j) et (h, k) de f et r.

125 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques 125 (6.38) Équilibre élastique σ(x) = σ él(x, 0)Q j j ε(x) = ε él(x, 0)Q j j ξ(x) = ξ él (x, 0)Q j j Évolution viscoélastique σ (x, p) = σ él (x, j p)q j (p) ε (x, p) = ε él (x, j p)q j (p) ξ (x, p) = ξ él (x, j p)q j (p) (6.39) q = Λ(0).Q q (p) = Λ (p).q (p) (x, p), ξél (x, p) et Λ (p) sym- j (x, 0) et Λ(0), de la solution du pro- Dans ce schéma les champs σ él j bolisent les expressions de σ él (x, p), εél j (x, 0), ξél (x, 0), εél j j j blème d équilibre élastique linéaire homologue, écrites avec la loi de comportement (6.33) c est-à-dire en y remplaçant f(x, 0) par f (x, p), et r(x, 0) par r (x, p). Le «retour» aux originales, fonctions de t, exprime la solution du problème d évolution qui tend vers la solution à l infini (13) (6.40) (6.41) σ(x, ) = σ él (x, 0)Q j j( ) ε(x, ) = ε él (x, 0)Q j j( ) ξ(x, ) = ξ él (x, 0)Q j j( ) q( ) = Λ (0).Q( ) Histoire définie par des paramètres cinématiques De la même façon, pour une évolution prescrite par des paramètres cinématiques, le thèorème de correspondance s écrit, avec des notations semblables : Équilibre élastique σ(x) = σ él(x, 0)q k k (6.42) ε(x) = ε él(x, 0)q k k ξ(x) = ξ él (x, 0)q k k Évolution viscoélastique σ (x, p) = σ él (x, k p)q k (p) ε (x, p) = ε él (x, k p)q k (p) ξ (x, p) = ξ él (x, k p)q k (p) (6.43) Q = A(0).q Q (p) = A (p).q (p) (13) On rappelle que ϕ (0) = ϕ( ).

126 126 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle et la solution à l infini (6.44) σ(x, ) = σ él (x, 0)q k k( ) ε(x, ) = ε él (x, 0)q k k( ) ξ(x, ) = ξ él (x, 0)q k k( ). (6.45) Q( ) = A (0).q( ). 6.7 Commentaires Il est fréquent dans la pratique que, au moins pour une première analyse, les hypothèses permettant l application des raisonnements de la section 6.5 soient satisfaites : homogénéité, isotropie, coefficient de Poisson constant ou problème ne dépendant que d une fonction de retard ou de relaxation. Les règles pratiques (6.27) à (6.30) fournissent alors formellement la solution du problème d évolution au moyen de l opérateur intégral (cf. section 8). Hors de cette circonstance, pour un système constitué d un matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant, le théorème de correspondance fournit un moyen systématique pour résoudre formellement un problème d évolution à partir du problème d équilibre élastique homologue. On est ainsi ramené à de simples manipulations algébriques sur les transformées des diverses fonctions, jusqu à la phase finale d inversion de la transformation pour le «retour» aux originales qui explicitent l évolution en fonction du temps. La puissance de ce résultat est évidente puisqu il permet de traiter tout type de sollicitation dans le cadre d hypothèses indiqué. Toutefois l expérience pratique montre que le recours immédiat à la transformation de Carson, en raison même du caractère systématique des manipulations algébriques qu il implique, risque d occulter la compréhension mécanique du problème étudié en faisant perdre de vue sa nature, notamment en ce qui concerne les données aux limites. En fait il est recommandable dans tous les cas de poser et d analyser le problème d évolution en variables originales (x, t) de façon à bien préciser les phénomènes mécaniques mis en jeu avant d appliquer le théorème de correspondance.

127 7 Barre cylindrique homogène 127 Exemples de mise en œuvre 7 Barre cylindrique homogène 7.1 Problématique Le système étudié est une barre cylindrique d axe Ox, de longueur l et de section constante S. L origine O est le centre d inertie géométrique de la section S 0, dont les axes Oy et Oz sont les axes centraux d inertie. La barre est homogène, constituée d un matériau isotrope, viscoélastique linéaire, dont le comportement est défini, selon la commodité, par les diverses fonctions de retard et de relaxation introduites au paragraphe 4.2 : J(t 0, t) et n(t 0, t); λ(t 0, t) et µ(t 0, t); γ(t 0, t); E(t 0, t) et ν(t 0, t). Les problèmes considérés sont posés et résolus dans le cadre de l hypothèse des petites perturbations. Il s agit successivement de la traction-compression, de la flexion et de la torsion de la barre, qui n est soumise à aucune autre sollicitation sur son contour ou dans son volume. L état de contrainte initial est supposé nul. La méthode suivie met en œuvre des raisonnements semblables à ceux de la section 6.5 à partir de la réponse élastique instantanée. On rappelle qu en élasticité linéaire isotrope les solutions de ces problèmes sont obtenues en utilisant la méthode dite «semi-inverse» de Saint Venant et font appel au Principe de Saint Venant pour justifier leur utilisation lorsque les conditions d application de la sollicitation dans les sections d extrémités S 0 et S l ne sont prescrites que sous la forme d un torseur. Le même argument sera retenu ici. Enfin, on sait l importance de ces solutions élastiques en Résistance des matériaux : on retient pour loi de comportement de l élément de milieu curviligne élastique soumis à une sollicitation de traction-compression, de flexion ou de torsion la réponse unitaire de la barre cylindrique soumise à la même sollicitation. On procédera de la même façon en viscoélasticité linéaire. 7.2 Traction-compression La sollicitation est définie par l effort normal N(t)e x appliqué au centre de la section S l et N(t)e x appliqué au centre de S 0 (figure 3). Il s agit d une sollicitation prescrite par un paramètre de chargement Q(t) auquel est associée la réponse observable q(t), allongement de la barre : (7.1) Q(t) = N(t), q(t) = ξ x (l, t).

128 128 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle N(t) y O S 0 z l N(t) Figure 3 Barre cylindrique sollicitée en traction-compression La réponse élastique instantanée à l instant t 0 est classique : σ xx (x, t 0 ) = 1 S N(t 0) autres σ ij (x, t 0 ) = 0 (7.2) ε xx (x, t 0 ) = 1 S N(t 0)J(t 0, t 0 ) ε yy (x, t 0 ) = ε zz (x, t 0 ) = 1 S N(t 0)n(t 0, t 0 )J(t 0, t 0 ) Pour le problème d évolution, on vérifie aisément que le champ homogène statiquement admissible (7.3) S l σ xx (x, t) = 1 S N(t), autres σ ij(x, t) = 0 et le champ de déformation homogène associé par la loi de comportement (4.11) ε xx (x, t) = 1 [ J ( )N ](t) (7.4) S ε yy (x, t) = ε zz (x, t 0 ) = 1 [ (nj)( )N ](t) S qui est géométriquement compatible, constituent la solution. Le champ de déplacement est : ξ x (x, t) = x [ J ( )N ](t) S (7.5) ξ y (x, t) = y [ (nj)( )N ](t) S ξ z (x, t) = z [ (nj)( )N ](t) S La réponse observable unitaire de la barre est q(t) = ε(t) : l (7.6) ε(t) = 1 [ J ( )N ](t). S Cette formule est adoptée comme loi de comportement de l élément de milieu curviligne viscoélastique en traction-compression (cf. chapitre I, 7.2.1) : (7.7) ε = J( )N = 1 S [ J ( )N ]. x

129 7 Barre cylindrique homogène 129 La formule inverse fait intervenir la fonction de relaxation en traction simple E(t 0, t) : (7.8) 7.3 Flexion N = R ( )ε = S [ E ( )ε]. y S 0 O M(t) z l S l x M(t) Figure 4 Barre cylindrique sollicitée en flexion autour d un axe principal d inertie La barre est soumise maintenant à la sollicitation définie par le moment de flexion M(t)e z appliqué sur la section S l et le moment M(t)e z appliqué sur la section S 0 (figure 4). Il s agit encore d une sollicitation prescrite par un paramètre de chargement Q(t) auquel est associée la réponse observable q(t), rotation relative autour de Oz de la section S l par rapport à la section S 0 : (7.9) Q(t) = M(t), q(t) = ω z (l, t). L axe Oz étant axe central d inertie de la section droite, la réponse élastique instantanée à l instant t 0 s écrit, en désignant par I le moment d inertie géométrique correspondant : (7.10) σ xx (x, t 0 ) = y I M(t 0) autres σ ij (x, t 0 ) = 0 ε xx (x, t 0 ) = y I M(t 0)J(t 0, t 0 ) ε yy (x, t 0 ) = ε zz (x, t 0 ) = y I M(t 0)n(t 0, t 0 )J(t 0, t 0 ) La solution du problème d évolution est constituée du champ statiquement admissible (7.11) σ xx (x, t) = y I M(t) autres σ ij(x, t) = 0 et du champ de déformation associé par la loi de comportement (4.11), (7.12) ε xx (x, t) = y [ J ( )M ](t) I ε yy (x, t) = ε zz (x, t) = y [ (nj)( )M ](t) I

130 130 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle qui est géométriquement compatible. Le champ de déplacement est : (7.13) ξ x (x, t) = xy I [ J ( )M](t) ξ y (x, t) = x2 2 I [ J ( )M ](t) + (y2 z 2 ) [ (nj)( )M ](t) 2 I ξ z (x, t) = yz [ (nj)( )M ](t) I La réponse observable unitaire de la barre est ω z(l, t) = χ(t) : l (7.14) χ(t) = 1 [ J ( )M ](t), I qui est adoptée comme loi de comportement de l élément de milieu curviligne viscoélastique en flexion (cf. chapitre I, 7.2.2) : (7.15) χ = J( )M = 1 I [ J ( )M ] avec la formule inverse exprimée au moyen de la fonction de relaxation en traction simple E(t 0, t) : (7.16) M = R ( )χ = I [ E ( )χ]. Comme en élasticité linéaire, le principe de superposition permet de traiter le problème plus général de la flexion autour d un axe quelconque dans la section droite. 7.4 Torsion y l C(t) S 0 O z C(t) S l Figure 5 Barre cylindrique sollicitée en torsion La sollicitation est prescrite par le couple de torsion C(t)e x appliqué à la section S l et le couple C(t)e x appliqué à la section S 0 (figure 5). Le paramètre de chargement est Q(t) = C(t) et le paramètre cinématique associé est la rotation de la section S l par rapport à la section S 0 autour de Ox : (7.17) Q(t) = C(t), q(t) = ω x (l, t). La réponse élastique instantanée s écrit en faisant ï Å intervenir ã laåfonction ãò de gauchissement ϕ(y, z) et l inertie de torsion J = y ϕ ϕ z + y z y z ds 0, S 0 x

131 7 Barre cylindrique homogène 131 qui sont des caractéristiques géométriques de la section : σ yx (x, t 0 ) = σ xy (x, t 0 ) = C(t Å ã 0) ϕ J y z σ zx (x, t 0 ) = σ xz (x, t 0 ) = C(t Å ã (7.18) 0) ϕ J z + y autres σ ij (x, t 0 ) nulles et ξ x (x, t 0 ) = C(t 0) µ(t 0, t 0 ) J ϕ(y, z) = γ(t 0, t 0 ) C(t 0) ϕ(y, z) J ξ y (x, t 0 ) = C(t 0) µ(t 0, t 0 ) J xz = γ(t 0, t 0 ) C(t 0) (7.19) J xz ξ z (x, t 0 ) = C(t 0) µ(t 0, t 0 ) J xy = γ(t 0, t 0 ) C(t 0) J xy Pour la résolution du problème d évolution on peut appliquer strictement le raisonnement du paragraphe puisque seule la fonction de retard en cisaillement simple intervient dans (7.19) : la solution s écrit ainsi : σ yx (x, t) = σ xy (x, t) = C(t) Å ã ϕ J y z σ zx (x, t) = σ xz (x, t) = C(t) Å ã (7.20) ϕ J z + y autres σ ij (x, t) nulles et (7.21) (7.22) ξ x (x, t) = ϕ(y, z) J ξ y (x, t) = xz J [ γ ( )C ](t) [ γ ( )C ](t) ξ z (x, t) = xy J [ γ ( )C](t) La réponse unitaire de la barre en torsion est ω x(l, t) l α(t) = 1 [ γ ( )C ](t), J = α(t) : qui est adoptée comme loi de comportement de l élément de milieu curviligne viscoélastique en torsion (cf. chapitre I, 7.2.3) : (7.23) formule inverse : (7.24) α = J( )C = 1 J [ γ ( )C ] ; C = R( )α = J [ µ ( )α].

132 132 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle 8 Convergence d une cavité 8.1 Définition du problème Le creusement d une cavité ou d une galerie dans un massif où règne un état de précontrainte géologique provoque une modification de l état de contrainte par «décompression» autour de la cavité en même temps que des déformations et des déplacements instantanés et différés, d où la «convergence» de la cavité ou de la galerie. On s intéressera ici au cas d une cavité sphérique, les résultats obtenus étant aisément transposables pour une galerie cylindrique. Le processus est schématisé de la façon suivante qui permet, par un traitement relativement simple, de mettre en évidence les principaux aspects du problème en prenant en compte les comportements élastique et viscoélastique du matériau et l éventuelle mise en place d un revêtement dans la cavité. Une cavité sphérique de centre O et de rayon a(t 0 ) = a 0 est creusée «instantanément» à l instant t 0 dans un massif infini, homogène, non pesant dans lequel régnait jusqu alors le champ de précontrainte géologique uniforme de pression isotrope : (8.1) σ(r, t) = P1l, r, t < t 0. Un revêtement indéformable est éventuellement mis en place sans effort, «instantanément» à l instant t 1. Le comportement du matériau constitutif du massif est viscoélastique linéaire isotrope. L étude mécanique de ce processus schématique est effectuée, dans l hypothèse des petites perturbations, sur le système unique du massif infini avec cavité de rayon a 0, soumis à la superposition de quatre histoires de sollicitations imposées à l infini et au pourtour de la cavité. 8.2 État de précontrainte géologique L histoire «zéro» est définie par les sollicitations suivantes au contour du système (14) : σrr 0 (a 0, t) = P, σθr 0 (a 0, t) = σϕr 0 (a 0, t) = 0 (8.2) σrr 0 (, t) = P, σ0 θr (, t) = σ0 ϕr (, t) = 0 Au moment du creusement de la cavité cette histoire est établie depuis suffisamment longtemps pour que, au regard de l échelle de temps des phénomènes liés au creusement de la cavité, les déformations et déplacements différés qui lui correspondent puissent être considérés comme stabilisés. L état de contrainte est le champ (8.1) et, en prenant cet état stabilisé comme référence, le champ de (14) Coordonnées sphriques de centre O.

133 8 Convergence d une cavité 133 déplacement est nul. (8.3) σ 0 (r, t) = P1l, r a 0 ξ 0 (r, t) = 0, r a Réponse instantanée au creusement de la cavité σ 0 = P1l σ 1 (, t) = 0 σ 0 rr (a 0, t) σ 1 rr(a 0, t) Figure6 Histoires«zéro»et«un» Le creusement de la cavité correspond à la superposition à l histoire «zéro» de l histoire «un» définie par les sollicitations au contour : σrr(a 1 0, t) = P Y t0 (t), σθr 1 (a 0, t) = σϕr(a 1 0, t) = 0 (8.4) σrr 1 (, t) = σ1 θr (, t) = σ1 ϕr (, t) = 0 La réponse instantanée à l instant t 0 correspond à l élasticité instantanée du matériau à cet instant. Elle fait appel à la solution classique en élasticité linéaire isotrope du problème de l enveloppe sphérique sous pressions intérieure et extérieure quand le rayon extérieur tend vers l infini. Le champ de déplacement instantané est radial. Le déplacement sur la frontière de la cavité et l état de contrainte dans le massif s écrivent ainsi : ξr(a 1 0, t 0 ) = a 0 σ 1 1 rr(a 0, t 0 ) 4 µ(t 0, t 0 ) = a 1 0 P (8.5) 4 µ(t 0, t 0 ) ( σrr(r, 1 a0 ) 3 t 0 ) = σ 1 r rr (a 0, t 0 ), σθθ 1 (r, t 0) = σϕϕ(r, 1 t 0 ) = 1 2 σ1 rr(r, t 0 ) Il en résulte que l état de contrainte dans le massif à l instant t + 0 est : (8.6) σ(r, t) = P1l + P ( a0 r ) 3 er e r P 2 ( a0 r ) 3 (eθ e θ + e ϕ e ϕ ) 8.4 Réponse différée au creusement de la cavité Le problème est évidemment du type «retard». On peut appliquer le même raisonnement qu au paragraphe Il convient pour cela d écrire (8.5) en faisant

134 134 Chapitre II Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle apparaître la fonction de retard du matériau en cisaillement simple γ(t 0, t) telle que (8.7) µ γ t0 = Y t0. Ainsi, dans (8.5), ξr(a 1 0, t 0 ) se met sous la forme : ξr(a 1 0, t 0 ) = a 0 σrr(a 1 0, t 0 ) γ(t 0, t 0 ) = a 0 P γ(t 0, t 0 ) (8.8) 4 4 ( σrr 1 (r, t a0 ) 3 0) = σ 1 r rr (a 0, t 0 ), σθθ 1 (r, t 0) = σϕϕ 1 (r, t 0) = 1 2 σ1 rr (r, t 0) Par le même raisonnement qu au paragraphe on en déduit, pour le problème d évolution pour t t 0 : ξr 1(a 0, t) = ξr 1(a 0, t 0 ) γ(t 0, t) (8.9) γ(t 0, t 0 ) σ(r, t) = σ(r, t 0 ) Le champ de contrainte est invariable et le déplacement radial de convergence évolue comme la fonction de retard en cisaillement simple du matériau. 8.5 Mise en place d un revêtement de soutènement La mise en place sans effort, instantanément, à l instant t 1 > t 0, d un revêtement indéformable dans la cavité signifie qu à partir de cet instant la convergence de la cavité est bloquée. Cette opération est modélisée par la superposition de deux histoires supplémentaires aux deux histoires précédentes : Histoire «deux» définie par les sollicitations au contour : σrr(a 2 0, t) = P Y t1 (t), σθr 2 (a 0, t) = σϕr(a 2 0, t) = 0 (8.10) σrr(, 2 t) = σθr 2 (, t) = σ2 ϕr(, t) = 0 Et histoire «trois» définie par l histoire du déplacement ξ 3 r (a 0, t) sur la frontière r = a 0 et l histoire de la contrainte à l infini qui est maintenue nulle. Cette histoire de ξ 3 r(a 0, t) est déterminée en écrivant que, pour t > t 1, le déplacement radial ξ r (a 0, t) demeure égal à sa valeur pour t = t 1, qui n est autre que ξ r (a 0, t 1 ) = ξ 1 r (a 0, t 1 ). D où : (8.11) soit (8.12) ξ r (a 0, t) = ξ 1 r(a 0, t) + ξ 2 r(a 0, t) + ξ 3 r(a 0, t) = ξ 1 r(a 0, t 1 ) pour t t 1 ξ 3 r (a 0, t) = ξ 1 r (a 0, t 1 ) ξ 1 r (a 0, t) ξ 2 r (a 0, t) pour t t 1. On en déduit, compte tenu de (8.9) et (8.10), pour définir l histoire «trois» : ξ 3 P r(a 0, t) = a 0 4 [ γ(t 0, t 1 ) γ(t 0, t) + γ(t 1, t)]y t1 (t) (8.13) σθr 3 (a 0, t) = σϕr(a 3 0, t) = 0

135 8 Convergence d une cavité 135 σ 2 rr(a 0, t) σ 2 (, t) = 0 ξ 3 r (a 0, t) σ 3 (, t) = 0 Figure7 Histoires«deux»et«trois» Cette histoire correspond à un problème prescrit par un paramètre cinématique, auquel sont applicables les raisonnements du paragraphe La réponse du point de vue de la contrainte σ 3 rr (a 0, t) s obtient en transposant et en explicitant (6.29) dans le cas présent; il vient ainsi : (8.14) σ 3 rr(a 0, t) = P γ(t 0, t 1 )µ t1 (t) P[ µ ( )(γ t0 Y t1 γ t1 )](t). Du point de vue pratique il est important de connaitre l évolution de la pression exercée par le massif sur le revêtement après sa pose (t t 1 ), soit : (8.15) ω(a 0, t) = σ rr (a 0, t) = [ σrr 0 (a 0, t) + σrr 1 (a 0, t) + σrr 2 (a 0, t) + σrr 3 (a 0, t)]y t1 (t); (8.16) On obtient ainsi, pour t t 1 : ω(a 0, t) = P P γ(t 0, t 1 )µ(t 1, t) + P[ µ ( )(γ t0 Y t1 γ t1 )](t) où l on vérifie que ω(a 0, t + 1 ) =0. ω(a 0, t) σ 0 = P1l Figure 8 Pression sur le revêtement En particulier, si l on peut considérer, compte tenu des temps caractéristiques des phénomènes, que la pose instantanée du revêtement est immédiate après l ouverture instantanée de la cavité, c est-à-dire que t 1 = t + 0, l équation (8.16) prend la forme explicite simple (8.17) qui montre que l évolution de la pression sur le revêtement suit la fonction de relaxation en cisaillement simple : Å ω(a 0, t) = P 1 µ(t ã 0, t) (8.17) µ(t 0, t 0 )