Figure 1 Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle (extrait du guide de validation des progiciels de calcul de structure AFNOR)

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1 CHAPITRE 4 EEMENTS FINIS DE BARRES INTRODUCTION - STRUCTURES DE TYPE TREIIS Nous nous ntérssons c aux structurs composés d barrs drots sollctés unqumnt n tracton ou comprsson C sont ds "trlls", structurs formés d barrs lés ntr lls par ds lasons d typ "rotul", "pot" ou "artculaton" t chargés par ds forcs s xrçant unqumnt au nau ds lasons Fgur Trlls d barrs artculés sous un charg ponctull (xtrat du gud d aldaton ds progcls d calcul d structur AFNOR) s trlls sont fats d barrs qu possèdnt n général ds drctons drss dans l spac 3D s bass ds rpèrs locaux assocés aux dfférnts barrs n sont pas dntqus Pour construr la rlaton global du typ K q F, l faut assmblr ls équatons d équlbr pronant ds dfférnts barrs, c qu n put êtr fat qu s cs équatons sont touts xprmés dans un mêm rpèr, nommé rpèr global t noté Rg Nous allons montrr c commnt mttr n œur la méthod ds déplacmnts u au chaptr précédnt pour obtnr ls équatons d équlbr élémntars n procton dans l rpèr local, pus commnt transformr cs équatons pour ls obtnr n procton dans l rpèr global EEMENT DE BARRE TRAVAIANT DANS UN PAN Nous nous lmtons c-après à étudr l cas ds structurs formés par ds barrs drots dont ls lgns moynns sont contnus dans un mêm plan, t chargés par ds forcs appartnant à c plan Dans cs condtons, ls lgns moynns rstnt dans l plan après déformaton Nous utlsons l plan (Oxy) comm plan moyn Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag

2 Formulaton n rpèr local Dans c paragraph, ls dfférnts cturs t matrcs consdérés sont protés sur ls axs du rpèr local R ( x y) d l élémnt Nous aoutons un barr au dssus ds trms qu sont xprmés n procton dans l rpèr local R g O y y R x α x Fgur Rpèr local t rpèr global Approxmaton du champ d déplacmnt Isolons un élémnt fn d longuur t plaçons-nous dans son rpèr local s nœuds d l élémnt sont notés d manèr générqu t y, u x M u u x, u Fgur 3 Déplacmnts Sot M l pont courant appartnant à la lgn moynn, d coordonnés (, ) local ( x y) x dans l rpèr Après chargmnt d la structur, la barr s st déplacé par rapport au rpèr local, mas, compt tnu ds hypothèss, ll st rsté drot t dans l plan On chost donc d donnr au ctur U, assocé aux déplacmnts d M, ls composants suants : - la translaton u dans la drcton x - la translaton dans la drcton y [ u ] ctur ds déplacmnts nodaux d l élémnt st : U T () [ u u ] T q () s fonctons rtnus pour approxmr l champ ds déplacmnts à l ntérur d l élémnt sont ls suants: Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag

3 u u ( x) ( x) a + a x (3) a + a x Cs fonctons n dépndnt pas d y, ctt coordonné étant null pour tout pont M d la barr aant déplacmnt Cs fonctons sont lnéars, lls sont donc conforms au modèl d la Résstanc ds Matéraux dédé aux barrs, mas unqumnt pour l cas ds barrs d scton constant (qu l on put assmlr à ds rssorts lnéars) s condtons aux lmts prmttnt d xprmr ls 6 composants d coffcnts a h nconnus : u u u u ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a 3 + a + a 3 q n foncton ds 4 On put n dédur l xprsson d chaqu coffcnt a h n foncton ds composants d t établr la rlaton suant, d la form U A q : u u N( x) N( x) (5) ( ) ( ) N x N x u où N, N sont dux fonctons d ntrpolaton défns par : N( x) x (6) N( x) x (4) q Déformatons t contrants a barr traall sulmnt n tracton (ou comprsson) Sul la déformaton ε du à l ffort normal st non null ε st constant l long d la barr En nous plaçant dans x y nous pouons écrr : l plan ( ) [( + u u ) + ( ) ] ε (7) S nous consdérons qu ls déplacmnts rstnt ptts dant, t n fasant un déloppmnt lmté au prmr ordr, l nt : u u ε (8) Dans l cadr d l approch matrcll, nous allons aboutr à c résultat n donnant un form spécfqu à l opératur d dératon C qu ntrnt dans la rlaton déformatonsdéplacmnts ε C U Posons : Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 3

4 Alors la rlaton ε C U s écrt c : [ d dx ] C (9) u u N( x) N( x) ε () ( ) ( ) N x N x u [ d dx ] [ d dx ] d où la rlaton suant, d la form C qu donn : ε B q : u u ε N N [ ],x,x [ ε ] u () u u u () On rtrou bn l résultat d l équaton (8) Nous pouons n dédur qu, dans ctt approch, l calcul ds déformatons néglg l fft ds déplacmnts dans la drcton y Suls ls déformatons dans la drcton ntal d la barr ( x ) sont consdérés Consdérons mantnant ls contrants Sul la contrant σ st dfférnt d zéro t la lo d Hook s écrt smplmnt : u u σ E ε E (3) Sous form matrcll, on put établr la rlaton suant, du typ σ D ε D B q : [ σ ] [ E][ ε ] [ E][ ] u (4) u 3 Matrc d rgdté d l élémnt Rapplons qu la matrc d rgdté K d l élémnt st défn par la rlaton : T T W σ ε d q K q (5) V où W st l énrg d déformaton d l élémnt Sachant qu (4) put s écrr σ T T q T B D t qu ε B q, la rlaton (5) ndut : T ( B D B) K d (6) V Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 4

5 Ctt rlaton (6) st très général t ra pour tout typ d élémnt Dans notr cas, ls trms d B t d D sont ndépndants d x, nous aons : K T T ( B D B) S dx S ( B D B) (7) x où S st la surfac d la scton drot d la barr D où la matrc d rgdté élémntar d l élémnt barr dans son rpèr local : K E S S E (8) 4 Forcs nodals xprsson d l énrg potntll total assocé à l élémnt st : V T T W - T q K q q (9) rgroup ls fforts nodaux dans ls drctons du rpèr local [ ] T () x y x y Dans ctt xprsson, la composant x rprésnt la forc xrcé par l nœud sur l élémnt dans la drcton x Rapplons qu l théorèm d l énrg potntll total prmt d établr la rlaton : K q () qu tradut auss l équlbr d l élémnt Cla donn dans notr cas : E S u u Ctt rlaton nous prmt d établr ls rmarqus suants : - ls déplacmnts t qu n sont pas nuls n règl général, n auront aucun nflunc sur l calcul ds fforts normaux x t x dans la drcton x - nous obtndrons systématqumnt y y a modélsaton utlsé st donc tll qu ls forcs aux nœuds rstnt mplctmnt drgés dans la drcton ntal d la barr Tout s pass comm s l élémnt n traallat qu dans la drcton x, mas n ayant la possblté d s déplacr (légèrmnt) dans la drcton y x y x y () Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 5

6 x y, x u u x, u Fgur 4 Forcs nodals 5 Calcul ds contrants t ds forcs ntrns s équatons us c-aant prmttnt d établr l xprsson d la forc normal dans la barr (dntqu qulqu sot l pont M) : ( u u ) E S N x x (3) s déformatons t ls contrants n tout pont d la barr s calculnt drctmnt ac ls équatons () t (3) On rtrou bn : ε ( u u ) N (4) E S Formulaton n rpèr global Notons mantnant U, q ls cturs déplacmnts n procton dans l rpèr global R ( O x y ) (or fgur ), t ls forcs nodals U T T T [ u ] [ u u ] x y x Sot G la matrc d passag d la bas local ( x y ) rs la bas global ( x y ) q [ ] (5) En notant α l angl ntr ls dux bass (or fgur ), nous aons : cosα snα c s G qu nous notons G snα cosα (6) s c T Rmarquons qu G G Nous pouons mttr n plac ls rlatons suants : au pont courant M : U G U (7) y au nœud : u c s s u c t x y c s s c x y (8) au nœud : u c s s u c t x y c s s c x y (9) Nous pouons alors écrr : Il st facl d montrr qu : G q q H q G G H G (3) t H H T Nous aons alors : Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 6

7 S nous rprnons l équaton () : T T q H q t H (3) T T T K q K H q H H K H q (3) D où la matrc d rgdté d l élémnt barr dans l rpèr global : C qu donn : T K H K H (33) c cs - c - cs E S cs s - cs -s K (34) - c - cs c cs - cs -s cs s Rmarqu : a méthod ds déplacmnts prmt d calculr q Il st possbl d rnr nsut aux cturs consdérés dans l rpèr local n utlsant l équaton (3) calcul ds contrants dans la barr put toutfos êtr ffctué drctmnt à partr d q n consdérant qu : u T E σ D B q D B H q c s c s (35) u Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 7

8 Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 8

9 4 - EXERCICES Exrcc 4 Trlls n Consdérons un trlls formé d tros barrs artculés comm défn par la fgur c-après 3 E, S E, S, P y 3 x E, S, On pos E S a t ES d Applqur la méthod ds déplacmnts au calcul d ctt structur : Etablr la matrc d rgdté d chaqu élémnt Etablr la matrc d rgdté [K] du trlls 3 Détrmnr ls condtons aux lmts 4 Donnr l systèm qu prmttra d calculr ls déplacmnts On donn l'nrs K' - d la matrc K' qu apparaît dans c systèm : K' a d d d d d d d a + d 5 - Etablr l'xprsson ds déplacmnts ds nouds 6 - Etablr l'xprsson ds actons d lason 7 - Etablr l'xprsson d la contrant dans la barr 3 C-après qulqus documnts supports pour ls calculs * Tablau récaptulatf ds caractérstqus ds élémnts Elémnt Noud I Noud J ESct/lg α c cosα s snα Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 9

10 Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag * Matrcs d rgdté ds élémnts (dans l rpèr global) K K K 3 * Assmblag t condtons aux lmts * Calcul ds déplacmnts * Calcul ds actons d lason

11 Exrcc 4 Trlls n Consdérons un trlls formé d tros barrs artculés comm défn par la fgur c-après V 3 E, S, E, S, 3 H y x E, S, On pos E S a Applqur la méthod ds déplacmnts au calcul d ctt structur : Etablr la matrc d rgdté d chaqu élémnt Etablr la matrc d rgdté [K] du trlls 3 Détrmnr ls condtons aux lmts 4 Donnr l systèm qu prmttra d calculr ls déplacmnts 5 Etablr l'xprsson ds déplacmnts ds nouds 6 Etablr l'xprsson ds actons d lason 7 Etablr l'xprsson d la contrant dans la barr 3 C-après qulqus documnts supports pour ls calculs * Tablau récaptulatf ds caractérstqus ds élémnts Elémnt Noud I Noud J ESct/lg α c cosα s snα Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag

12 Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag * Matrcs d rgdté ds élémnts (dans l rpèr global) K K K 3 * Assmblag t condtons aux lmts * Calcul ds déplacmnts * Calcul ds actons d lason

13 Exrcc 4 Trlls lbr Consdérons un trlls formé d sx barrs artculés comm défn par la fgur c-après P P s caractérstqus ds barrs sont ls suants : - longuurs 3 4 t surfacs ds sctons S S S3 S4 S t S5 S6 S - mêm matérau d modul d'élastcté E Applqur la méthod ds déplacmnts au calcul d ctt structur : 6 Etablr la matrc d rgdté d chaqu élémnt Etablr la matrc d rgdté [K] du trlls 3 Détrmnr ls condtons aux lmts 4 Montrr qu l détrmnant du systèm qu drat prmttr d calculr ls déplacmnts st nul 5 Proposr d noulls condtons aux lmts qu produront un problèm équalnt mas qu pourra êtr résolu (qu élmnnt ls mobltés t rndnt la structur sostatqu) 6 Donnr l systèm qu prmttra d calculr ls déplacmnts 7 Etablr l'xprsson ds déplacmnts ds nœuds 8 Etablr l'xprsson ds actons d lason 9 Calculr ls contrants dans ls barrs ac : E Gpa, m, S mm, F N C-après qulqus documnts supports pour ls calculs * Tablau récaptulatf Elémnt Noud I Noud J ESct/lg α c cosα s snα y x Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 3

14 Elémnts fns Nots d cours Marc Sartor Ch 4 Pag 4 * Matrc d rgdté ds élémnts : K K K 3 K 4 K 5 K 6 * Assmblag t prmèrs condtons aux lmts * Calcul ds déplacmnts * Calcul ds actons d lason