Produit scalaire dans le plan

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1 ème année Maths Produit scalaire dans le plan Octobre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle BCE rectangle et isocèle en C Le point H est le milieu du segment [AB] F A B D C E Calculer les produits scalaires suivants : 1 AB AH ; BC BE ; AB AF ; 4 BD CE ; 5 BE BA ; 6 AD CE Exercice n Sachant que les vecteurs u et v sont tels que u =, v = 7 et u v = 1 suivants : 1 u ( u + v ) ( u v ) Exercice n On considère un triangle ABC tel que AB = 4, AC = 6 et ABC = π Exercice n 4 ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 7 et BC = 5 1 Calculer le cosinus de l angle ACB En déduire la valeur exacte du sinus de l angle ACB On note I le milieu de [AB] Calculer la longueur CI, calculer les produits scalaires Calculer BC 4 On note J le projeté orthogonal du sommet B sur le côté [AC] Calculer la longueur BJ 1 Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

2 Exercice n 5 ABCD est un carré de côté a et DCE est un triangle équilatéral On s intéresse au triangle BDE a Calculer le produit scalaire ABi DE en fonction de a On pourra utiliser une projection orthogonale b Calculer le produit scalaire DAi DE en fonction de a i a c En déduire l égalité DB DE = ( 1 ) A B D C E d Utiliser ce résultat pour calculer BE On pourra décomposer BE en BD+ DE puis en déduire BE Exercice n 6 1 Montrer que pour tout parallélogramme ABCD, on a : 1 AB + AD = AC + BD Résoudre le système S : x+ y = 7 xy = 1 On considère un parallélogramme ABCD dont on connaît les longueurs des diagonales et un angle : BD = 1 ; AC = 7 et  = 60 On note : x = AB et y = AD a) En utilisant le résultat de la question 1, montrer que : x + y = 5 (1) b) En utilisant l angle Â, montrer que : x + y xy = 1 () c) Montrer que le système constitué des équations (1) et () est équivalent au système S de la Q d) Conclure quant aux dimensions du parallélogramme ABCD Exercice n 7 Dans un plan P on donne un rectangle ABCD tel que AB = BC = 4 On note O A BJ [ CD] = tel que 1 1- a) Calculer CA CB et CA CJ En déduire que ( AC) b) Calculer BJ puis la distance du point B à la droite ( AC ) - Soit F { M P tel que MA MB 4} CJ = et I le point d intersection des deux droites ( AC) et = + = Déterminer et construire l ensemble F Λ - On note H le point du plan défini par BH = et ABH π = et E le point tel que HB+ HE = 0 6 a) Calculer AH et en déduire la nature du triangle ABH F' = M P tel que MB + ME = 0 Vérifier que A F' puis déterminer et construire b) Soit { } F BJ BJ Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

3 Exercice n 8 : Soient ABC un triangle rectangle en A, G son centre de gravité et I 1) a) Montrer que 1 GB= ( AB+ CB) ; GC = 1 ( AC+ BC ) b) Montrer que : GB GC = BC 9 = B C ) Soit f : P R, M f( M) = MB MC AI MG a) Calculer f( A ) et f( G ) en fonction de BC b) Montrer que pour tout M de P on a : f( M) = MG BC 9 1 c) En déduire l ensemble S des points du plan P tels que : f( M) = BC 9 Oi,, j étant un repère orthonormé du plan On donne A (1,6) ; B (-,) et C (4,) ) R= a) Vérifier que ABC est un triangle rectangle en A b) Déterminer les coordonnées de G c) Donner une équation cartésienne de l ensemble S Exercice n 9 : Soient A et B deux points donnés du plan et I le point défini par AI + BI = 0 et C un point de la perpendiculaire à la droite (AB) en I On donne AB = et IC = 1 Construire les points A, B, I et C Montrer que CA + CB = 18 Montrer que pour tout point M du plan on a : MA + MB² MC² = 18+ 6MC CI 4 On considère l ensemble des points M de P tels que MA + MB² MC² = 4 a) Montrer que est une droite dont on précisera la direction b) Montrer que est tangente au cercle (C) de centre C et passant par I Exercice n 10 : Soit (C) le cercle circonscrit à un triangle ABC, D le point diamétralement opposé à A et I le milieu du segment [BC] 1 Montrer que AI = AB+ AC Montrer que AD AB= AB² et que AD AC = AC² AB² + AC² En déduire que AD AI = = AI² + BI ² 4 On suppose dans cette question que : AB= 5x ; AC = x où x > 0 et BAC Λ = 0 Calculer BC, calculer ensuite la longueur de la médiane AI Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

4 ème année Maths Produit scalaire dans le plan Corrigé Octobre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 : AB AH = AB AB = AB² = BC BE = BC BC car C est le projeté orthogonal de E sur (BC) = BC² = 9 AB AF = AB AH car H = p ( F) 5 = ( AB) 4 Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

5 4 BD CE = CD CE car C = p ( CE) ( B) = - CD CE car CD et CE sont colinéaires de sens contrires = - 15 π 5 BE BA= BE BA cosabe = 5 cos = 15 = AD CE = 0 car AD CE Exercice n : u =, v = 7 et u v = 1 u u+ v = uu + uv = u + uv = 9+ 9= 48 1 u v = u 4u v+ 4 v = = 15 Exercice n 5 : AB DE = DC DE= DC DH où H = p ( E) = D C a i i i ( DC) A D 1 1 a² AB DE = DC DC = DC = E B C b 5π a² DAi DE = DA DE cos ADE = a a cos = a² = 6 a² a² a c DBiDE = ( DA+ AB) DE = DAiDE+ ABi DE = + = ( 1 ) d BE² = BE = BD+ DE = BD² + DE² + BD DE = BD² + DE² DB DE BE² = ( a ) a² a²1 a² a² a² ( ) + = + = + BE = a + 5 Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

6 Exercice n 6 : 1 ABCD est un parallélogramme 1 u + v = u+ v + u v On prend u = AB et v = AD, on aura : 1 AB + AD = ( AC + BD ) x+ y = S = 7 xy = P = 1 S² - 4P = 1 > 0 x et y existent et sont les solutions de l équation : X² - SX + P = 0 X² - SX + P = 0 X² - 7X + 1 = 0 = S² - 4P = X = = ou X = = 4 IR { } Ainsi : S =,4; 4, BD = 1 ; AC = 7 et  = 60 On note : x = AB et y = AD a) 1 1 AB + AD = AC + BD x² + y² = 7+ 1 = 5 b) En utilisant le théorème d EL Kashy dans le triangle ABD, on obtient : BD² = AB² + AD² AB AD 1 = x² + y² xycos60 x² + y² xy = 1 c) x² + y² = 5 x² + y² = 5 x+ y = x² + y² + xy = 49 x+ y = 7 ( x et y 0) x² + y² xy = 1 xy = 5 1= 1 xy = 1 xy = 1 d) x = AB et y = AD sont les solutions du système (S) x = AB = 4 et y = AD = ou x = AB = et y = AD = 4 6 Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

7 Exercice n 8 : 1 a) 1 GA+ GB+ GC = 0 GB+ BA+ BC = 0 GB = AB+ CB De même : 1 GA+ GB+ GC = 0 GC + CA+ CB = 0 GC = AC + BC b) GB GC = ( AB+ CB) ( AC + BC) = AB AC + AB BC + CB AC + CB BC 9 = BC CB = BC² BC CB f : P R, M f( M) = MB MC AI MG a) 4 f( A) = AB AC AI AG = AG² = AI ² car 9 0 AG = AI BC 4 BC² 1 Or AI = f( A) = = BC² f( G) = GB GC AI GG = GB GC = BC² Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

8 b) f( M) = MB MC AI MG = ( MG+ GB) ( MG+ GC) AI MG = MG² + MG ( GB+ GC) + GB GC AI MG GA = MG² + GB GC + MG AG AI = MG² BC² 9 0 c) f( M) = BC MG² BC² = BC MG² = BC MG = BC M ζ G, BC Ou bien S est le cercle de centre G et passant par A A (1,6) ; B (-,) et C (4,) a) AB et AB AB AB = + ( ) ( ) = 0 ABC est un triangle rectangle en A b) G centre de gravité du triangle ABC G, G 1,4 c) S est le cercle de centre G et de rayon GA GA = = S : (x 1)² + (y 4)² = 4 8 Produit scalaire dans le plan ème Maths wwwespacemathscom

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