Trouver tous les nombres par lesquels on peut remplacer les lettres.

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1 CHAPITRE 5 RACINES CARREES (PARTIE 1 SUR ) I. NOTION DE RACINE CARREE A. ACTIVITE Désignons par le procédé qui transforme un nombre en son carré. Ainsi 3 est transformé en son carré 9 se note 3 9. Compléter : ,3-1, Existe-t-il un nombre qui est transformé en lui-même? Compléter : Trouver tous les nombres par lesquels on peut remplacer les lettres. a 81 b 361 c 0 d 5 e 0 f -9 Page 1 sur 9

2 B. RETENIR Il y a deux nombres dont le carré est égal à 361. Ces deux nombres sont opposés. Ce sont 19 et 19. En effet 19² = 361 et (-19)² = 361. Le positif (19) est appelé racine carrée de 361. On le note 361. Donc 361 = 19. De même il y a deux nombres dont le carré est égal à 11. Ils sont opposés. Mais ici, c est plus délicat : ces nombres ne peuvent pas s écrire sous forme décimale. Le positif (qui est environ égal à 3,3) est appelé racine carrée de 11. On le note 11. Le négatif (qui est environ égal à -3,3) est l opposé de 11. On le note 11. Il n y a qu un seul nombre dont le carré est égal à 0. C est 0. Donc 0 = 0. Il n y a aucun nombre dont le carré est égal à -16 car le carré d un nombre est toujours positif. L écriture -16 n a pas de sens!!! II. LES EQUATIONS DU TYPE x² = a OU S Y RAMENANT A. L EQUATION x² = a Trouver tous les nombres par lesquels on peut remplacer x dans «x 11» c est, en fait, résoudre l équation x² = 11. D après ce qui a été vu dans la partie I, on peut dire : Si a est positif, l équation x² = a a deux solutions a et - a. Exemple : l équation x² = 31 a deux solutions 31 et Si a est négatif, l équation x² = a n a pas de solution. Exemple : l équation x² = - 16 n a pas de solution car un carré est toujours positif, il ne peut donc pas être égal à -16 Cas de l équation x² = 0. Cette équation n a qu une seule solution 0. Page sur 9

3 B. EQUATIONS SE RAMENANT A x² = a Equation 1 : x² + 9 = 0 x² = 9 L équation n a pas de solution car un carré est toujours positif. Equation : x² + 1 = 16 x² = 16 1 x² = 15 x = 15 ou x = - 15 L équation a deux solutions : 15 et Equation 3 : x² + 10 = x² = 10 x² = 1 x² = 6 x = 6 ou x = - 6 L équation a deux solutions : 6 et - 6. III. CARRE ET RACINE CARREE A. ACTIVITE A chaque fois, choisir un nombre de départ puis compléter.... Page 3 sur 9

4 A chaque fois, choisir un nombre de départ puis compléter B. RETENIR Pour n importe quel nombre positif a on a : = a et a² = a Exemples : ( 7) = 7 3² = 3 IV. PREMIERES SIMPLIFICATIONS A. RAPPEL En algèbre, on sait depuis longtemps que l expression 5x + x est égale à 7x. Ce qu on oublie souvent c est que cette simplification est justifiée par la règle de distributivité : k (a + b) = k a + k b. Cette règle est utilisée pour développer : 3 (x + 5) = 3 x = 3x + 15 Mais aussi, «dans l autre sens» (c'est-à-dire a k + b k = (a + b) k) pour simplifier. Détaillons la simplification : 5x + x = 5 x + x =(5 + ) x = 7 x = 7x Page 4 sur 9

5 Autre exemple de simplification détaillée : 1,4π + 4π 0,4π = 1,4 π + 4 π 0,4 π = (1,4+ 4 0,4) π = 5 π = 5 π Cette règle fonctionne aussi très bien avec les racines carrées : = = = (3 + 5) = ( ) 7 = 8 = 5 7 = 8 = 5 7 Attention des expressions telles que ou simplement : + 3 ne peuvent pas s écrire plus (il suffit de faire le calcul à la machine ,8 et ,7) (à la machine + 3 3,1 et 5,) En faisant une analogie avec calcul littéral, on peut dire que : ressemble à + 8x et que + 3 ressemble à x + y. Pas de simplification! B. QUELQUES EXEMPLES DE SIMPLIFICATIONS Expressions avec. Expressions littérales analogues Commentaires A = A = x + y Pas de simplification B = + + B = 3 B = x + x + x B = 3x C = + 8 C = + x Pas de simplification D = D = D = 7 5 E = E = ( 13) E = 13 D = 3x x 1 D = 3x + 4x D = 7x E = x x E = x² Autre règle utilisée : = a Page 5 sur 9

6 Expressions avec. Expressions littérales analogues Commentaires F = F = F = 3 ( 7) F = 6 7 F = 4 F = x 3x F = x 3 x F = 3 x² F = 6 x² Autre règle utilisée : = a G = ( 5 3 ) G = 5² ( 3) G = G = G = G = (5 x)² G = 5² 5 x + x² G = 5 10x + x² Règle : (a b)²= a² ab + b² Autre règle utilisée : = a H = H 7 = H = I = ( 3 5) I = ( 3 5) I = 3 ( 5) I = 9 5 I = 45 J = (-5 3) J = (-5 3 ) J = (-5) ( 3) J = 5 3 J = 75 H = 3x + 4y + 5x + y H =3x + 5x + 1y + 4y H = 8x + 5y I = (3x)² I = (3 x)² I = 3² x² I = 9x² J = (-5x)² J = (-5 x)² J = (-5)² x² J = 5x² Plus de simplification Règle : (a b)² = a² b² Autre règle utilisée : = a Règle : (a b)² = a² b² Attention : (-5)² =+ 5 Autre règle utilisée : = a K = ( ) K = ( 5 7) ² K = 5 ( 7) K = K = K = K = K = (5x + 6)² K = (5x)² + 5x + 6² K = 5²x² + 10x + 36 K = 5x² + 10x + 36 Règle : (a + b)²= a² + ab + b² Autre règle utilisée : = a Page 6 sur 9

7 C. SIMPLIFICATION D EXPRESSIONS DU TYPE a b 1 Enoncé: L = M = 10 N = Ecrire L, M et N sans le signe. Au dénominateur. Solution : L = 1 = 1 = = ( ) M = 10 5 = = = 10 5 = 5 5 ( ) N = 37 = = = ( ) Règles utilisées : «Lorsqu on multiplie le numérateur et le dénominateur d un quotient par un même a nombre, on obtient un quotient un quotient égal au premier» b = a k. Cette règle a b k été utilisée pour chaque simplification o(pour k = pour la première, k = 5 pour le seconde et k = 7 pour la troisième). = a Remarque : On peut se demander pourquoi l écriture 1 serait plus simple que. C est l Histoire qui donne la raison. A une époque, pas si lointaine, où il n y avait pas d ordinateur ni de calculatrice, les savants consacraient une grande partie de leur temps à calculer à la main. Ils cherchaient donc des astuces pour rendre les calculs les plus simples possibles. 1 Par exemple, pour déterminer une valeur approchée de il y deux manière de procéder : - 1 ère façon : 1 = 1 : 1 : 1,414 (car 1,414) Cette division n est pas facile! - ème façon : 1 = 1 = = ( ) puis = : 1,414 : 0,707 Division facile! Page 7 sur 9

8 Les mathématiciens préféraient donc l écriture à 1. V. UTILISATION DE LA CALCULATRICE Enoncé : On donne A = et B = Déterminer les arrondis au centième de A et B. Solution : A 13,89 Parenthèses autour du calcul sous la racine! B 1,95 Parenthèses autour du numérateur et du dénominateur! VI. COMPARAISON DE NOMBRES EN CALCULANT LES CARRES Exemple : Pour comparer 7 et 5 sans utiliser la machine on peut calculer les carrés de ces deux nombres : 7² = 49 ( 5 ) = 5 ( ) = 5 = 50 Comme le carré de 7 est plus petit que le carré de 5 alors on a 7 < 5. Principe : Cette technique est efficace mais il convient de prendre quelques précautions. En effet elle marche sans problème pour comparer des nombres positifs mais elle n est plus valable pour les nombres négatifs. Contre exemple : -10 est plus petit que -3 mais (-10)² est plus grand que (-3)² (-10)² = 100 et (-3)² = 9). RETENIR : Si a et b sont deux nombres positifs alors a et b sont rangés dans le même ordre que a² et b². Page 8 sur 9

9 Autre exemple : Enoncé : Comparer sans machine 3 3, 5 et 6. Solution : Ces trois nombres sont positifs, ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés. Calculons ces carrées : ( 3 3) = 3 ( 3) = 9 3 = 7 5 = 5 ( 6) = ( 6) = 4 6 = 4 ( 6) < 5 <( 3 3) donc 6 < 5 < 3 3. Page 9 sur 9