Cours de Signaux PeiP2

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1 PeiP Signaux Table des matières Cours de Signaux PeiP S. Icart Généralités. Définitions Propriétés de la transformée de Laplace Transformées de Laplace de fonctions usuelles Signaux et système Fonction de transfert 4. Définition Réponse impulsionnelle d un système Réponse indicielle d un système Réponse d un système à une entrée quelconque Stabilité d un système Réponse harmonique Réponse fréquentielle Impédances symboliques Système du premier ordre 6 3. Définition Réponse impulsionnelle Réponse indicielle Réponse harmonique Réponse fréquentielle Système du second ordre 4. Définition Réponse indicielle Réponse fréquentielle Systèmes d ordre quelconque 3

2 /3 Généralités. Définitions Fonction causale : f est une fonction causale ssi f(t) = t < Produit de convolution : (g u)(t) = si f et g sont causales, on obtient : g u(t) = + t g(τ)u(t τ) dτ g(τ)u(t τ) dτ Transformée de Laplace : Soit f(t) est une fonction causale, on définit la transformée de Laplace de f(t) par : F (p) = + f(t)e pt dt (relation biunivoque entre f(t) et F (p)). On note (abusivement) Echelon de Heaviside Impulsion de Dirac δ(t) Définition : Propriété : F (p) = L(f(t)) et f(t) = L (F (p)) u h (t) = t < u h (t) = t > δ(t) = t δ(t) = pour t = δ(t) dt = + + f(t τ)δ(τ) dτ = f(). Propriétés de la transformée de Laplace Linéarité. f : t f(t) L : f F F : p F (p) L(f(t) + g(t)) = L(f(t)) + L(g(t)) f, g causales L(λf(t)) = λl(f(t)) λ R

3 PeiP Signaux Théorème de la dérivée : ( ) df(t) L = p L(f(t)) f( + ) dt Théorème de l intégrale : Soit g(t) la primitive de f(t) qui s annule en zéro L(g(t)) = p L(f(t)) Théorème du retard : L(f(t θ)u h (t θ)) = e θp L(f(t)) Transformée d une fonction périodique : Soit f(t) une fonction nulle en dehors de l intervalle [, T ] et soit g(t) la fonction périodique de période T tq g(t) = f(t) pour t [, T ], et soit f T la partie causale de g : f T (t) = g(t)u h (t). Soit F T (p) = L(f T (t)), alors F T (p) = F (p) e T p Transformée d un signal amorti : Soit g(t) = e at f(t) et soit F (p) = L(f(t)), alors Théorème de la valeur initiale : Théorème de la valeur finale : Théorème de convolution : L(g(t)) = F (p + a) lim f(t) = lim pf (p) t + p lim t f(t) = lim pf (p) p L(f g(t)) = L(f(t)) L(g(t)) où est le produit de convolution : f g(t) = + f(τ)g(t τ) dτ.. f T (t) étant causale, c est abusivement qu elle est appelée périodique 3

4 /3.3 Transformées de Laplace de fonctions usuelles Toutes les fonctions sont causales..4 Signaux et système f(t) F (p) δ(t) u h (t) p t u h (t) e at u h (t) sin ωt u h (t) cos ωt u h (t) p p + a ω p + ω p p + ω On appelle signal toute variable ou source d information qui évolue en fonction du temps. Un signal peut être à temps continu où à temps discret. Un système transforme un signal (appelé signal d entrée) en un autre signal (appelé signal de sortie). Fonction de transfert. Définition Soit un système linéaire stationnaire continu c est-à-dire un système dont les signaux d entrée e(t) et de sortie s(t) sont reliés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants : a n d n e(t) dt n + a n d n e(t) dt n + + a e(t) = b d d d s(t) dt d + b n d d s(t) dt d + + b s(t) Si les conditions initiales sont nulles, en prenant la transformée de Laplace de cette équation et en utilisant le théorème de la dérivée, on obtient : S(p) = a np n + a n p n + + a b d p d + b d p d + + b E(p) soit S(p) = G(p)E(p) avec G(p) fraction rationnelle en p. G(p) est appelée fonction de transfert 3 du système. 3. transfer function 4

5 PeiP Signaux. Réponse impulsionnelle d un système Si l entrée e(t) est un Dirac, E(p) = et donc la transformée de Laplace de la sortie est S(p) = G(p), et par transformée de Laplace inverse, on obtient donc : la réponse impulsionnelle 4 d un système est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert..3 Réponse indicielle d un système On appelle réponse indicielle 5 d un système la réponse à une entrée échelon unitaire e(t) = u h (t). On appelle gain statique du système la valeur finale de la sortie (lorsqu elle existe). Si l échelon n est pas unitaire le gain statique est défini comme étant le quotient de la valeur de la sortie en régime permanent par la valeur de l amplitude de l échelon. En utilisant le théorème de la valeur finale, on a donc : lim t s(t) = lim ps(p) = lim p G(p)E p p p = lim G(p) p.4 Réponse d un système à une entrée quelconque Pour obtenir la réponse du système à une entrée quelconque, il suffit d utiliser la transformée de Laplace inverse : s(t) = L (S(p)) = g e(t) = où g(t) est la réponse impulsionnelle du système. t g(τ)e(t τ) dτ.5 Stabilité d un système On démontre qu un système dont l entrée est bornée a une sortie bornée ssi tous les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelle négative. On dit dans ce cas que le système est stable..6 Réponse harmonique Si l entrée est une sinusoïde causale e(t) = sin(ωt)u h (t), si le système est stable, alors, en régime permanent, on obtient : 4. impulse response 5. step response s(t) G(jω) sin(ωt + Arg(G(jω))) 5

6 /3 La sortie en régime permanent est donc une sinusoïde de même pulsation que l entrée, déphasée et amplifiée ou atténuée (selon la valeur de la pulsation et selon le système étudié). G(jω) est appelée transmittance isochrone du système..7 Réponse fréquentielle La réponse fréquentielle 6 caractérise les variations de la transmittance isochrone en fonction de la pulsation. La transmittance isochrone ayant une valeur complexe, il y a plusieurs représentations possibles pour la réponse fréquentielle : plan de Bode : on trace séparément le module et l argument en fonction de la pulsation. plan de Nyquist : on représente en abcisse la partie réelle et en ordonnée la partie imaginaire de la transmittance isochrone (cette courbe est paramétrée par ω). plan de Black : on représente en abcisse l argument de la transmittance et en ordonnée son module exprimé en décibel (courbe paramétrée par ω)..8 Impédances symboliques Un cas particulier de fonction de transfert est celui où l on considère comme système un circuit ayant pour signal d entrée l intensité du courant qui traverse ce circuit et comme signal de sortie la tension aux bornes du circuit. On a alors U(p) = Z(p)I(p), et Z(p) est appelée impédance symbolique. L impédance symbolique d une résistance R est donc Z R = R, celle d un condensateur Z C (p) = et celle d une inductance Z Cp L(p) = Lp. On remarque donc que si on remplace p par jw on obtient les impédances complexes, mais attention, celles-ci ne sont valables que lorsque le signal d entrée est sinusoïdal et en régime permanent! Les règles de calcul (impédances en série, en parallèle, pont diviseur de tension) restent vraies avec des impédances symboliques. 3 Système du premier ordre 3. Définition Un système du premier ordre est un système dont l entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle du er ordre à coefficients constants. Sa fonction de transfert peut être mise sous forme canonique : 6. frequency response G(p) = 6 K + τp

7 PeiP Signaux K est le gain statique du système et τ la constante de temps 7. Remarque : l unité du gain K dépend des signaux d entrée et sortie, la constante de temps, elle, s exprime toujours en secondes. 3. Réponse impulsionnelle En prenant la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert, on obtient immédiatement la réponse impulsionnelle : 3.3 Réponse indicielle s(t) = g(t) = K τ e t τ, t La réponse indicielle est définie comme étant la réponse du système à une entrée échelon, soit e(t) = u h (t), et E(p) =. La sortie peut être calculée soit directement en utilisant p le produit de convolution s(t) = g e(t) soit par la transformée de Laplace inverse : s(t) = L (G(p) ). En utilisant le théorème de l intégration on trouve donc que la réponse p indicielle est l intégrale de la réponse impulsionnelle, soit : s(t) = K( e t τ ), t Réponse indicielle.9 τ=..8.7 τ=.6 Amplitude Temps (s) Figure Réponse indicielle d un système du er ordre 7. time constant 7

8 /3 On définit le temps de réponse 8 à 5% comme étant le temps à partir duquel s(t) K K < 5% (la sortie ne s éloigne pas de ±5% de la valeur finale) soit ici : t 5% 3τ et l erreur en régime permanent 9 comme lim t (e(t) s(t)), soit : ε p = K On montre également que le temps de réponse à 63% vaut t 63% = τ. 3.4 Réponse harmonique Si l entrée du système est une sinusoïde causale e(t) = sin(ωt), alors on obtient comme sortie : Kωτ t K s(t) = + ω τ e τ + sin (ωt arctan ωτ) }{{} + ω τ }{{} régime transitoire régime permanent.6 Réponse à une sinusoïde.4 Amplitude Temps (s) Figure Réponse harmonique d un système du er ordre 3.5 Réponse fréquentielle Pour un système du premier ordre, le module de la transmittance isochrone est une fonction monotone décroissante de la pulsation (passe-bas) comportant dans le plan de 8. settling time 9. steady-state error 8

9 PeiP Signaux Bode une asymptote horizontale en K db et une asymptote à - db/décade. Ces asymptotes se coupent à la pulsation de coupure à -3db du gain statique : ω c = τ Réponse fréquentielle 5 τ=. 5 Phase(deg) Amplitude(dB) τ= τ=. 6 8 τ= Pulsation (rad.s ) Figure 3 Diagrammes de Bode d un système du er ordre. cut-off frequency 9

10 /3 4 Système du second ordre 4. Définition Un système du second ordre est un système dont l entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. Sa fonction de transfert peut être mise sous forme canonique : G(p) = K + ζ ω p + p ω K est le gain statique du système, ω la pulsation propre, et ζ le facteur d amortissement. Remarque : l unité du gain K dépend des signaux d entrée et sortie, ω étant une pulsation, elle s exprime en s (inverse d un temps), le facteur d amortissement est adimensionnel. Selon la valeur de l amortissement, les pôles de la fonction de transfert vont être réels ou complexes : si ζ >, les pôles sont réels négatifs et le système est dit amorti 3 ou apériodique. si < ζ <, les pôles sont complexes conjugués et le système est dit non amorti. ζ =, les deux pôles sont réels négatifs et confondus et le système est dit apériodique critique. si ζ <, le système est instable (pôles à partie réelle positive). 4. Réponse indicielle système amorti : en posant T = ω (ζ+ ζ et T = ) ω (ζ ( s(t) = K + (T e T T ζ ) t T ) T e t T ) t La réponse indicielle présente une tangente à l origine nulle, elle est monotone et sa valeur finale vaut le gain statique. La réponse est d autant plus rapide que l amortissement est faible. système non amorti : s(t) = K ( e ζω t ζ cos(ω t ζ α) ), t avec tan α = ζ ζ. natural frequency. damping factor 3. overdamped

11 PeiP Signaux La réponse indicielle présente des oscillations amorties d autant plus importantes que l amortissement est faible. La valeur finale est toujours K. On définit la pseudopériode des ocillations comme étant : T p = π ω ζ et le dépassement par D = e πζ ζ Réponse indicielle.6 ζ=..4 ζ=.4. sortie.8.6 ζ= temps (sec) Figure 4 Réponse indicielle d un système du nd ordre

12 /3 4.3 Réponse fréquentielle système amorti : Dans le cas de deux pôles réels, un second ordre est équivalent à la mise en cascade de deux systèmes du premier ordre. Un tel système est donc un passe-bas. système non amorti : deux cas se présentent, si > ζ > le module de la transmittance isochrone est une fonction monotone décroissante de la pulsation (passe-bas). si ζ < le système présente un phénomène de résonance : le module est maximum pour ω R = ω ζ la valeur maximum du gain (gain à la résonance) 4 est alors : et le coefficient de surtension : M = Q = K ζ ζ ζ ζ La pulsation de coupure à -3db d un système du second ordre résonant est : ω c = ω ζ + + ( ζ ) Rmq : attention à l argument lorsque ω > ω. 4. resonant peak

13 PeiP Signaux Diagrames de Bode 5 ζ=. Phase (deg); Amplitude (db) 5 5 ζ=.4 ζ= ζ=. To: Y() ζ= 5 ζ=.4 Pulsation (rad/sec) Figure 5 Diagrammes de Bode d un système du nd ordre 5 Systèmes d ordre quelconque Dans le cas d une fonction de transfert quelconque, on peut décomposer G(p) en produit de fonctions élémentaires qui tiennent compte des zéros (nuls, réels positifs ou négatifs, complexes conjugués) et des pôles (nuls, réels négatifs, complexes conjugués à partie réelle négative) : n G(p) = g i (p) i= où les g i (p) sont du type : g (p) = K gain, g (p) = p dérivateur, G(p) a un zéro en, g (p) = intégrateur, G(p) a un pôle en zéro, p g 3 (p) =, G(p) a un pôle négatif en /τ, + τp g 4 (p) = + ζ, G(p) a des pôles complexes conjugués, p + p ω ω g 5 (p) = + τp, G(p) a un zéro négatif en /τ, 3

14 /3 g 6 (p) = + ζ p + p, G(p) a des zéros complexes conjugués, ω ω g 7 (p) = τp, G(p) a un zéro négatif, g 8 (p) = ζ p + p, G(p) a des zéros complexes conjugués à partie réelle positive. ω ω Les tracés asymptotiques de Bode de G(jω) se déduisent alors aisément des tracés asymptotiques de chacune de ces fonctions élémentaires : G(jω) db = n g i (jω)) db et arg(g(jω)) = i= n arg(g i (jω)) On peut ainsi rapidement savoir si un système est passe-haut, passe bas ou passebande (mais ces tracés asymptotiques ne donnent aucune information sur d éventuelles résonances). i= 4

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