Chaîne de Markov - 2

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1 Chaîne de Markov - 2 LI323 Hugues Richard (notes de cours: Pierre-Henri Wuillemin) Université Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire génomique des microorganismes (LGM)

2 Classements des états Définition (Périodicité) { } Soit K i = n 0 tel que P (n) ii > 0, Un état i est périodique si et seulement si K i et pgcd(k i ) 1. La période de i est alors k i = pgcd(k i ). Définition (Instant de premier retour) { min{n 1, Xn = i X Pour tout état i, avec X 0 = i, τ i = 0 = i} + sinon Définition (État récurrent, état transient) Pour tout état i, avec X 0 = i, i récurrent P(τ i < ) = 1 i transient P(τ i < ) < 1 NB : transient=transitoire H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

3 Classement des états, suite Définition On note et nomme : la probabilité que le premier retour en i soit en n étapes : f (n) ii = P(τ i = n) la probabilité de revenir en i : f ii = f (n) ii = P(τ i < ) n=1 le temps moyen (1) de retour en i : M i = ( ) n f (n) ii n=1 (1) quand ce calcul a un sens, = sinon. Définition (État récurrent, état transient) Pour tout état i, avec X 0 = i, i transient f ii < 1 i récurrent f ii = 1 i récurrent nul si Mi = i récurrent positif (ou non nul) si Mi < Note : Périodicité, récurrence et transience sont des propriétés de classe : si i j alors i et j sont forcément du même type. H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

4 Transience, récurrence, récurrence positive Exemple Soit la chaîne de Markov (infinie) suivante : 1 p p q q q Chaîne de Markov irréductible donc tous les états de même type. Si p > q alors f ii < 1 : état transient Si p = q alors f ii = 1 mais M i = : état récurrent nul Si p < q alors f ii = 1 mais M i < : état récurrent positif Propriétés Toute chaîne de Markov, à états finis, homogène a au moins un état récurrent. En particulier, toute chaîne, homogène, à états finis, irréductible sur un espace d états finis est récurrente positive. H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

5 Suite de la souris souris et labyrinthe Questions sachant qu à n = 0, la souris est en 2 : Nbr de déplacements moyens pour revenir en 2? M 2 = ( ) n f (n) 22 n=1 6 f (1) 22 = P 22 = 0 f (n) 22 = P 21 P (n 1) 12 + P 24 P (n 1) 42 (cf. Chapman-Kolmogorov) H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

6 Le monopoly Modélisation du Monopoly Principe du Monopoly : on jette à chaque étape deux dés à 6 faces. on achète des propriétés et on construit des hotels... Case prison : deux doubles de suite ou la case en haut à gauche Y a-t-il une stratégie optimale? Chaque case du plateau est un état de la chaîne. les probabilités de transition sont données par les jets de dé. H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

7 Le monopoly Le Monopoly et chaîne de Markov Principe du Monopoly on peut facilement intégrer la case prison et les cartes chance et caisse de communauté. Peut on décrire le système après quelques tours de jeu? H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

8 Étude en régime permanent Ce qui nous intéresse ici est le comportement de la chaîne de Markov si on laisse se dérouler le processus durant un temps très important. Que peut-on dire de la possition du système? Suit-il une loi de probabilité particulière? En notant π (n) le vecteur de probabilité du système à l instant n, on se rappelle que : π (n+1) = π (n) P = π (0) P n Définition (distribution de probabilité invariante) Une distribution de probabilité est invariante pour la chaîne de Markov si et seulement si elle s écrit comme le vecteur π et : π = π P i.e. : π est un vecteur propre de P T pour la valeur propre 1 En supposant que (π (n) ) n N converge vers π alors : π = lim n π (n) = π (0) lim n P n = π (0) P Propriété (π (n) ) n N converge vers π indépendamment de π (0) si et seulement si lim n P (n) = P, matrice dont toutes les lignes sont égales entre elles (et égalent à π ). H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

9 Ergodicité Définition (Chaîne de Markov ergodique) Une chaîne de Markov est ergodique si et seulement si elle est irréductible, apériodique et récurente positive. Théorème (théorème ergodique) Une chaîne de Markov ergodique est telle que (π (n) ) n N converge, quelque soit π (0), vers π vérifiant : { π P = π π 1 = 1 De plus, π j = 1 M j Autrement dit, la proportion des instants où la chaîne se trouve dans l était j tend vers π j avec probabilité 1. Pour presque toutes les trajectoires, la moyenne temporelle est identique à la moyenne spatiale. H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

10 Exemple 1 P = π 1 π 2 π 3 n = n = n = n = n = n = n = n = n = n = irréductible, apériodique, à état fini récurrente positive P = lim n P n = π = [, 0.3, 0.45] H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

11 Exemple 2 ( 0 1 P = 1 0 ) 1 2 π 1 π 2 n = n = n = n = n = irréductible, périodique, ( ) 0 1 P 2k = et P 1 0 2k+1 = ( ) : pas de P. π = [0.5, 0.5] est bien une distribution invariante. Aucune convergence vers π, sauf si π (0) = π (processus stationnaire) H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

12 Exemple P = π 1 π 2 π 3 π 4 n = 0 n = n = n = n = réductible composantes irréductibles : {1},{23},{4}. absorbants : {1} et {4} P = lim n P n = π = π (0) P = π π 3, 0, 0, π π π 2 Dépend de π (0)! H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

13 Le monopoly Monopoly et chaîne de Markov Le calculs des premières puissance de la matrice de transition permettent de voir l occupation attendue des cases pendant les premiers tours de jeu La chaîne de markov associée au Monopoly est bien irréductible et apériodique, la loi stationnaire permet de connaître les meilleurs investissements en moyenne. H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

14 Utilisation des chaînes de Markov : introduction à MCMC Problème : Estimer E P (f ) La solution théorique : E P (f ) = x f (x) P(x). Comment faire sur un espace de grande taille, difficile à énumérer? Les méthodes MCMC créent une longue chaîne de Markov ergodique (X n ) n N, dont la loi π est la loi P requise. On peut alors utiliser les différents X n comme des v.a. distribués suivant P : Si X n P, ÊP(f ) = 1 N n f (x n). Convergence d après la loi des grands nombres : il faut que N soit suffisamment grand. H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

15 Historique Les méthodes MCMC sont apparues dans les années pour la physique statisitque. [Metropolis et al. 1953] 1970 : article précurseur de Hastings : Échantillonneur de Gibbs [Geman and Geman, 1984] 1990 : apparition des méthodes MCMC dans la littérature statistique et d analyse du signal [Gelfand and Smith, 1990] H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

16 Extension des chaînes de Markov : Chaîne de Markov cachée Les modèles de Markov cachés (HMM) sont une autre évolution possible des chaînes de Markov. Ces nouveaux modèles se basent cette fois sur deux processus stochastiques dépendants l un de l autre. L état du système n est plus directement observable ; il est caché par un processus d observation. Un ou deux dés? Un joueur peut lancer un dé (avec un résultat de 1 à 6) ou deux dés (avec un résultat de 2 à 12). Sachant le lancer choisi, il est donc facile de prédire le résultat attendu. Si, maintenant, le lanceur se trouve derrière un rideau, et annonce simplement le résultat, comment peut-on déterminer s il a lancé 1 ou 2 dés? À partir d une séquence d observations, quelle est la séquence d états correspondante? modélisation Une chaîne de Markov cachée est définie par : S : ensemble d états P(X t X t 1 ) : la matrice de transition pour l état P(O X ) : la distribution de probabilité de l observation, sachant l état. H. Richard (UPMC, LGM) Chaîne de Markov / 16

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