Taux de variation Solutions

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1 Chapitre Tau de variation Tau de variation Solutions CHAPITRE eercices.. a) Le tau de variation est la pente du segment de droite, soit : s 0,9 0,0 m 0,3 m s. [0; 3] 3 0 s b) c) C est la vitesse du mobile durant cet intervalle de temps. s 0,9 0,9 m 0 m s. [3; ] 3 s Le tau de variation est nul, le mobile est arrêté. s 0,0 0,9 m m s. [; 0] 0 s Le mobile se rapproche du point fie. d) La distance est croissante durant l intervalle [0; 3] et décroissante durant l intervalle [; 0]. e) La vitesse est constante durant les intervalles [0; 3] et [3; ] car le graphique est une droite. f) La vitesse est nulle lorsque la position est constante, soit durant l intervalle [3; ]. v(t) (30; 0) v. a) m s [0; 0] 0 0 s 0 m s. 8 b) Le tau de variation est de 0 mètre par seconde par seconde, soit 0 m/s, l accélération du mobile est nulle durant cet intervalle de temps, le mobile se déplace donc à une vitesse constante. v 0 m s [0; 30] 30 0 s 0,3 m s. Le mobile accélère et l accélération moyenne est de 0,3 m/s. v c) 0 m s [30; 50] s 0, m s. Le mobile décélère et l accélération moyenne est de 0, m/s. L accélération est négative, cela signifie que la vitesse diminue. d) Le graphique représente la vitesse. Celle-ci est donc constante lorsque le graphique est horizontal, soit durant l intervalle [0; 0]. e) La vitesse est croissante lorsque son tau de variation est positif, soit durant l intervalle [0; 30]. La vitesse est décroissante lorsque son tau de variation est négatif, soit durant l intervalle [30; 50]. f) L accélération est constante lorsque la vitesse est décrite par un segment de droite. Durant l intervalle [0; 0], l accélération est de 0 m/s et durant l intervalle [0;30], l accélération est de 0,3 m/s. L accélération est nulle lorsque la vitesse est décrite par un segment de droite horizontal, soit durant l intervalle [0; 0]. 3. Graphiquement, on peut estimer que la charge au temps t s est de 0 C et au temps t, elle est de 5 C. La variation de charge durant cet intervalle de temps est donc de 0,05 C. Le tau de variation moyen est donc : [; ] 5 0 C s 0,05 C s. On trouve 0,05 C/s 0,05 A 50 ma. C est le courant moyen durant cet intervalle de temps. Position(m) Vitesse (m/s),8 s(t), 0, (0; 0) Charge (C) 0,30 0,0 0 (3; 0,9) (; 0,9) (0; 0) Temps (s) 8 0 t (0; ) Temps (s) Q (t) (50; ) t Temps (s) t

2 Chapitre Tau de variation. Graphiquement, on peut estimer que la puissance est de mw lorsque le courant est de ma. Elle est de 3,75 mw lorsque le courant est de 0, ma. Le tau de variation moyen est donc : P I [; 0,] 3,75 mw 0, ma 3,5 mw ma,... mw ma. 0,3 On peut estimer que le tau de variation moyen est de,7 mw/ma. Puissance (mw) P (I) 0, 0,3 0, I Courant (ma) 5. a) 0 L min, 0 L min, [0; ] [0; ] 0 L min, 00 3 L min, [7; ] [; 5] 50 L min, 00 L min. [; ] [; ] Volume de liquide (centaines de litres) 8 V(t) t Temps (min) b) [0; ] représente la pente de la droite passant par les points (0; 0) et (; 0). [; 7] représente la pente de la droite passant par les points (; 0) et (7; 5). [7; ] représente la pente de la droite passant par les points (7; 5) et (; 5). [; 5] représente la pente de la droite passant par les points (; 5) et (5; 3). [; ] représente la pente de la droite passant par les points (; 0) et (; 5). [; ] représente la pente de la droite passant par les points (; 5) et (; 7). c) Débit (centaines de litres par minute) Temps (min) t. a) REMARQUE: Au etrémités des segments de droite, le tau de variation change. Ce changement est plutôt rapide et on ne peut définir une valeur donnée pour le tau de variation à cet instant. Ainsi, à t, le tau qui était de 0 L/min devient subitement de 00 L/min. On considérera que le tau de variation, à cet instant précis, n est pas défini. h [0;,5] h(,5) h(0,0) m 83,75 m s.,5 0 s Ce tau de variation est la vitesse moyenne du projectile durant cet intervalle de temps. Il est positif, car le projectile s élève dans les airs, il s éloigne du point de référence.

3 Chapitre Tau de variation b) h h() h(3) m 5,9 m s. [3; ] 3 s Ce tau de variation est la vitesse moyenne du projectile durant cet intervalle de temps. Il est positif car le projectile s élève dans les airs. Cependant, la vitesse moyenne a diminué parce que le projectile est décéléré. c) h h(5) h(0) m,5 m s. [0; 5] 5 0 s Ce tau de variation est la vitesse moyenne du projectile durant cet intervalle de temps. Il est négatif car le projectile retombe. 7. a) f f () f (0) ( 3). [0; ] 0 Le tau de variation moyen est positif, en moyenne, la fonction est croissante dans l intervalle [0; ]. b) f f () f () ( ) 5. [; ] 3 Le tau de variation moyen est positif, en moyenne, la fonction est croissante dans l intervalle [; ]. c) f f () f ( ) ( ). [-; ] ( ) 3 Le tau de variation moyen est négatif, en moyenne, la fonction est décroissante dans l intervalle [ ; ]. d) e) f [ ; ] f () f ( ) 0 ( ). Le tau de variation moyen est positif, en moyenne, la fonction est croissante dans l intervalle [ ; ]. f [; ] f () f () Le tau de variation moyen est négatif, en moyenne, la fonction est décroissante dans l intervalle [; ]. f) f f (0) f ( ) [ ; 0] 0 ( ) 0 0. Le tau de variation moyen est nul, en moyenne, la fonction est constante dans l intervalle [ ; 0]. Plus précisément, f( ) f(0). 8. Non. L intervalle [ ; ] n est pas inclus dans le domaine de la fonction car la fonction n est pas définie à Cela signifie surtout que f(c) f(d). Dans l intervalle, la fonction peut avoir divers comportements. f() c d 0. Cela signifie surtout que f(c) < f(d). Dans l intervalle, la fonction peut avoir divers comportements. Tau de variation moyen nul dans l intervalle [c; d] f() c d Tau de variation moyen positif dans l intervalle [c; d]

4 Chapitre Tau de variation. Cela signifie surtout que f(c) > f(d). Dans l intervalle, la fonction peut avoir divers comportements. f() c d Tau de variation moyen négatif dans l intervalle [c; d] f(). Il est assez simple d imaginer une fonction dont le tau de variation moyen est nul sur un intervalle [c; d] et dont le tau de variation moyen est positif sur la première moitié de cet intervalle et négatif sur la deuième moitié de l intervalle. La figure ci-contre en est une. c a d Tau de variation moyen nul dans l intervalle [c; d] positif sur [c; a] et négatif sur [a; d] 3. a) y Le rythme moyen est donc de battements par minute. [30; 0] 0 30 b) Le rythme n est pas stable puisque, par eemple, dans l intervalle [30; 35], on obtient : y , soit 7 battements par minute. [30; 35] Eercices.. a) En traçant approimativement la tangente à la courbe au point d abscisse, on a la figure ci-contre. En considérant deu points de cette tangente, le quadrillé permet alors d évaluer la pente de la tangente qui représente le tau de variation ponctuel, ce qui donne : dv dt 00 L 00 L min. min b) Ce tau de variation ponctuel est le débit à une minute. c) En traçant approimativement la tangente à la courbe au point d abscisse 5, on a la figure ci-contre. En considérant deu points de cette tangente, le quadrillé permet alors d évaluer la pente de la tangente qui représente le tau de variation ponctuel, ce qui donne : dv dt 00 L 33, 3 L min. 5 min d) Le tau est minimal à t 9 min et maimal à t 0 min.. a) Le tau de variation moyen au voisinage de t s pour un intervalle de temps s est : s s(,5) s() 9,375 08,00 m,95 m s. [;,5],5 s b) Le tau de variation moyen au voisinage de t s pour un intervalle de temps s est : Volume (L) Volume (L) V(t) Temps (min) 8 9 V(t) Temps (min) t t

5 Chapitre Tau de variation s [;,5] s(,5) s(),5 8,975 08,00 m,85 m s. s c) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS s s 0,0 [,5; ] [,9; ] [,99; ],85 m/s,89 m/s,9 m/s 0,0 [;,5] [;,] [;,0],95 m/s 3,9m/s,35 m/s En observant les données du tableau, on constate que, lorsque s approche de 0, le tau de variation moyen s approche d une valeur comprise entre,9 m/s et,35 m/s On peut conclure que le tau ponctuel de variation est : ds, m s. dt Ce tau de variation représente la vitesse instantanée du projectile à s. Le tau de variation étant positif, le projectile s éloigne du sol. d) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS s s [7,5; 8] [7,9; 8],95 m/s 3,9 m/s [8; 8,5] [8; 8,],85 m/s,89 m/s 0,0 [7,99; 8],35 m/s 0,0 [8; 8,0],9 m/s On peut conclure que le tau ponctuel de variation est ds, m s. dt 8 Ce tau de variation représente la vitesse instantanée du projectile à 8 s. Le tau de variation étant négatif, le projectile retombe. 3. a) 0,00008 mol/l s b) 0,0000 mol/l s c) 0,0000 mol/l s d) 0,0000 mol/l s e) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS [0; ] [0; ] 0, mol/l s 0, mol/l s 0,0 [0; 0,0] 0, mol/l s On peut donc estimer le tau de variation instantané à 0,00008 mol/l s, ce qui confirme et précise le résultat obtenu graphiquement. f) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS [9,5; 50] [9,9; 50] 0, mol/l s 0, mol/l s [50; 5] [50; 5] 0, mol/l s 0, mol/l s 0,0 [9,99; 50] 0,00003 mol/l s 0,0 [50; 50,0] 0,00003 mol/l s On peut donc estimer le tau de variation instantané à 0,00003 mol/l s, ce qui confirme et précise le résultat obtenu graphiquement.

6 Chapitre Tau de variation g) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS 0,0 [99,5; 00] [99,9; 00] [99,99; 00] 0, mol/l s 0, mol/l s 0, mol/l s 0,0 [00; 0] [00; 0] [00; 00,0] 0, mol/l s 0, mol/l s 0, mol/l s On peut donc estimer le tau de variation instantané à 0, mol/l s, ce qui confirme et précise le résultat obtenu graphiquement.. ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS 3,5 3,9 3,99 7,5 7,9 7,99,5,,0 8,5 8, 8,0 Lorsque s approche de, que ce soit par la gauche ou par la droite, les images s approchent de 8. On écrit : lim a) À s, le tau de variation est positif, ce qui signifie que la distance augmente par rapport au point de référence qui est le sol. Le projectile s élève à un tau de 0, m/s. b) À 5 s, le tau de variation est négatif, ce qui signifie que la distance diminue par rapport au sol. Le projectile retombe à un tau de 9 m/s.. a) Le tau de variation ponctuel à c est 8. Ce tau de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d abscisse. b) Le tau de variation ponctuel à c 0 est. Ce tau de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d abscisse 0. c) Le tau de variation ponctuel à c est 0. Ce tau de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d abscisse. 7. a) Le tau de variation ponctuel à c 3 est. Ce tau de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d abscisse 3. b) Le tau de variation ponctuel à c 0 est 0. Ce tau de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d abscisse 0. c) Le tau de variation ponctuel à c 3 est. Ce tau de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d abscisse. 8. a) À s, le tau de variation est positif, ce qui signifie que la distance augmente, le projectile s élève à un tau de 37, m/s. b) À s, le tau de variation est positif, ce qui signifie que la distance augmente, le projectile s élève à un tau de 88, m/s. c) Le projectile retombera au sol lorsque sa hauteur sera nulle. On cherche donc t tel que : 7t,9t 0 Ce qui donne t 0 et t 30 s. On doit donc trouver la vitesse instantanée à t 30 s. En suivant la procédure, on trouve v(30) 7 m/s. La vitesse d impact est la même que la vitesse initiale mais de sens contraire. 9. a) Lorsque la pression est de 0 po de Hg, le gaz subit une diminution de volume de pouces cubes pour une augmentation de la pression de po de Hg. b) Lorsque la pression est de 80 po de Hg, le gaz subit une diminution de volume de / de pouce cube pour une augmentation de la pression de po de Hg.

7 Chapitre Tau de variation 0. a) dv, m s m. b) dh dv, 57m s m. dh. ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS 8,5 8,9 8, ,5 9, 9, La limite est égale à la limite et on peut estimer que cette limite est lim, La fonction n est pas définie de puisque la racine d un nombre négatif n eiste pas. En étudiant le comportement, on trouve que la limite est 0. ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS,5,9,99 pas défini,5,,0 0,707 0, ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS h 0,0 h h 5, ,33 39,0390 h 0,0 h h,00000, 0,000 Lorsque h s approche de 0 par la gauche, les images tendent vers l infini. Lorsque h s approche de 0 par la droite, les images tendent vers moins l infini L La limite n eiste pas car l infini n et pas un nombre réel. On écrit : lim lim + h h h et h h h ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS + + 0,0 0,073 0,00 0,0 0,0 0,0555 0,0098 0,03 Lorsque s approche de 0, que ce soit par la gauche ou par la droite, les images s approchent de 0,05. On écrit : lim + 0 0,05...

8 Chapitre Tau de variation Eercices de synthèse. a) En traçant la tangente par le point (; ), on obtient une droite dont on peut tenter de déterminer deu points dont il est possible d évaluer les coordonnées. Dans ce cas, la tangente semble passer assez près des points (/; 0) et (3; 5). La pente de cette tangente est alors : df d On estime donc que le tau de variation ponctuel au point d abscisse est égal à. En traçant la tangente par le point (; ), on obtient une droite dont on peut tenter de déterminer deu points dont il est possible d évaluer les coordonnées. Dans ce cas, la tangente semble passer assez près des points (; 0) et (5/; ). La pente de cette tangente est alors : df 0 d On estime donc que le tau de variation ponctuel au point d abscisse est égal à (; ) (/; 0) f() f() (3; 5) (; ) (5/; ) (; 0) b) En calculant le tau de variation moyen sur l intervalle [; ], on trouve : f [; ] f (+ ) f () (),5. En effectuant le même calcul sur des intervalles emboîtés, on obtient les données du tableau ci-contre qui permettent d estimer que le tau de variation ponctuel au point d abscisse est égal à. DÉTECTION DU COMPORTEMENT 0,0 0,00 0,00 0,0 Intervalle [; ] [0,9; ] [0,99; ] [0,999; ] Valeur estimée [;,00] [;,0] [;,] [;,5] f/,5,9,99,999,00,0,,5 c) La pente de la sécante passant par les points (; ) et (; ) est donnée par : f [; ] f ( ) f ( ). d) En considérant que le point (; ) est mobile et s approche du point (; ), la limite lim représente le tau de variation ponctuel au point d abscisse f() (; ) (; ) 3 0 3

9 Chapitre Tau de variation e) On peut estimer cette limite par le tableau ci-contre. On trouve alors que le tau de variation ponctuel est égal à. DÉTECTION DU COMPORTEMENT 0,9 0,99 0,999,5,9,99,999 Valeur estimée,5,,0,00,5,,0,00 f) En calculant le tau de variation moyen sur l intervalle [,5; ], on trouve : f [,5; ] f ( + ) f () (,5) 3,5. En effectuant le même calcul sur des intervalles emboîtés, on obtient les données du tableau ci-contre qui permettent d estimer que le tau de variation ponctuel au point d abscisse est égal à. g) La pente de la sécante passant par les points (; ) et (; ) est donnée par : f [; ] f () f (). h) En considérant que le point (; ) est mobile et s approche du point (; ), la limite lim représente le tau de variation ponctuel au point d abscisse. i) On peut estimer cette limite par le tableau ci-contre. On trouve alors que le tau de variation ponctuel est égal à. DÉTECTION DU COMPORTEMENT 0,0 0,00 0,00 0,0 Intervalle [,5; ] [,9; ] [,99; ] [,999; ] Valeur estimée [;,00] [;,0] [;,] [;,5] 3,5 3,9 3,99 3,999 f/,00,0,,5 DÉTECTION DU COMPORTEMENT,5 3,5,9 3,9,99 3,99,999 3,999,5,,0,00 Valeur estimée,5,,0,00

10 0 Chapitre Tau de variation