Exercice 1 : Étude d un objectif d appareil photo numérique (APN)

Transcription

1 Il est précisé que le soin, la clarté ainsi que le respect de la langue française seront pris en compte lors de la notation. Les exercices sont indépendants les uns des autres et peuvent être traités dans un ordre quelconque choisi par le candidat. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Exercice 1 : Étude d un objectif d appareil photo numérique (APN) Première modélisation On assimile l objectif d un appareil photo à une lentille simple convergente L de distance focale f = 50mm de centre optique O. Le capteur CCD 1 de l APN est représenté par un écran E. Cette lentille peut se déplacer selon son axe optique pour effectuer la mise au point. Le déplacement maximal est égal à 5,0 mm 1.1 Le photographe effectue la mise au point sur un objet très éloigné. Dans ces conditions, où se situe le capteur CCD par rapport à l objectif? 1.2 Quelle est la distance maximale entre le centre optique de la lentille et le capteur, sachant que lorsqu on approche un objet de l objectif, son image se forme derrière le capteur? 1.3 Quelle est, dans cette situation, la distance qui sépare l objet à photographier de la lentille? On pourra utiliser les relations de conjugaison pour les lentilles minces. 1.4 Peut-on, avec cet appareil, photographier en gros plan une fleur placée à 40 cm de l objectif? 1.5 Sur votre copie, réaliser la construction complète de l image dans le cas où l objet est un disque de diamètre 10 cm situé à 60 cm de la lentille. Vous pouvez choisir l échelle de votre choix en n omettant pas de la préciser à côté de votre schéma. Une modélisation plus réaliste Dans toute cette sous-partie, on reprend la modélisation précédente d un objectif, constitué cette fois-ci d une lentille convergente L 1 de centre O 1 avec f 1 = O 1F 1 = 75mm. Le capteur CCD est placé dans son plan focal image. Figure 1 Téléobjectif 1. CCD pour Charge-Coupled Device est un composant électronique pour appareil photo numérique permettant de convertir un signal lumineux en un signal électrique. Épreuve 3 Durée : 4h Coefficient 4 Page 1/5

2 On ajoute à cet objectif deux lentilles : une lentille divergente de centre O 2 avec f 2 = 25mm que l on accole à L 1 une lentille convergente de centre O 3 avec f 3 = 100mm fixé devant l ensemble L 1 L 2. La distance O 3 O 1 est ajustée de telle manière à ce que l image d un objet à l infini se forme sur le capteur CCD. Le système ainsi constitué des trois lentilles nous servira de modèle pour le téléobjectif. 2.1 Pourquoi ne peut-on pas modéliser un téléobjectif par une simple lentille? 2.2 Faire un schéma du téléobjectif ainsi décrit : on représentera les lentilles avec les positions relatives des centres optiques et des foyers. On complètera ce schéma par un tracé de rayons afin de définir la position du foyer image F du téléobjectif. 2.3 Calculer l encombrement de cet appareil, i.e., la distance séparant l entrée du téléobjectif du capteur CCD. 2.4 Un photographe souhaite réaliser l image d une tour de 40m de hauteur à une distance de 2km du téléobjectif. Calculer la taille de l image de cette tour sur le capteur CCD. 2.5 Quel aurait été l encombrement de l appareil si on l avait modélisé par une lentille simple donnant une image de même taille? Conclure. Profondeur de champ et nombre d ouverture Dans cette section nous revenons à la modélisation d un objectif par une lentille unique. Le photographe décide alors de photographier un tableau situé à 3m de l objectif. Il sélectionne comme ouverture f/ A quelle distance de l objet doit se situer le capteur CCD pour que l image du tableau soit nette? 3.2 On utilise un appareil photo grand-format, i.e., dont le capteur CCD a une dimension de 24x36 mm contenant 16 millions de pixels. Sachant que les pixels sont carrés, donnez les dimensions d un pixel. 3.3 Quelles sont les dimensions maximales d un tableau (longueur x largeur) pour qu on en obtienne une image complète (non coupée). 3.4 Déterminer la profondeur de champ de cet appareil photo. On considérera qu un point est vu nettement à condition que la tâche lumineuse qu il forme sur le capteur n excède pas 30µm. Les deux questions suivantes ne nécessitent pas d avoir résolu les questions 3.1 à Afin d augmenter la profondeur de champ, le photographe décide de diminuer l ouverture de l objectif d un facteur 2. Quelle va être l incidence de cette manipulation sur la photographie? Comment y remédier? 3.6 La figure 2 représente deux séries de photographies 3 effectuées à f/2.8 et à f/16. Indiquer laquelle correspond à f/2.8. Justifier. 2. On appelle ouverture le nombre N tel que N = f où D représente le diamètre du diaphragme. On note alors D l ouverture f/n. Diminuer l ouverture revient ainsi à augmenter N. 3. source des images : Épreuve 3 Durée : 4h Coefficient 4 Page 2/5

3 Exercice 2 : Satellisation Figure 2 Exemples de différentes profondeurs de champ La Terre est assimilée à une sphère de rayon R T = 6400km. Elle effectue un mouvement de rotation uniforme de période T 1 = 24h dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On donne l intensité de la pesanteur à la surface de la Terre g 0 = 9, 8m.s 2. On admettra que l énergie mécanique d un satellite sur une orbite elliptique est identique à celle d un satellite sur une orbite circulaire moyennant la substitution r a où r et a représentent respectivement le rayon et le demi-grand axe de l ellipse. Orbite circulaire à faible altitude Dans toute cette partie, l altitude du satellite est très inférieure au rayon terrestre R T. 1.1 Rappeler l expression de la vitesse et de l accélération d un point mobile en coordonnées polaires. 1.2 Démontrer que la composante radiale de l accélération est égale à v 2 0 R T 1.3 On pourra utiliser le principe fondamental de la dynamique au satellite pour exprimer la vitesse v 0 et en déduire ensuite la période T 0 du satellite. Dans toute la suite, on pourra admettre que : v 0 = g 0 R T 1.4 Calculer la vitesse v s d un point situé à l équateur au niveau de la surface terrestre. Exprimer le rapport en fonction de g 0, R T et T 1. Discuter. v s v Exprimer l énergie W 0 à communiquer au satellite pour qu il puisse atteindre cette orbite depuis une base de lancement située sur Terre en fonction de son énergie cinétique E c0 sur l orbite. Épreuve 3 Durée : 4h Coefficient 4 Page 3/5

4 Mise en orbite En un point de l orbite basse, on communique très rapidement une nouvelle vitesse v 0 afin que le satellite puisse, par l intermédiaire d une trajectoire elliptique de transfert, arriver tangentiellement à l orbite géostationnaire. 2.1 Exprimer v 0 en fonction de v 0 et du rapport d = r 1 /R T, où r 1 représente le rayon de l orbite géostationnaire. 2.2 Exprimer le travail W 1 lié à cette étape en fonction de E c0 et de d. 2.3 Quelle est, en fonction de v 0 et de d, la vitesse v 1 du satellite lorsqu il arrive tangentiellement à l orbite géostationnaire? 2.4 Au point où le satellite arrive tangentiellement à l orbite géostationnaire, on lui communique la vitesse v 1. Exprimer le travail W 2 dépensé dans cette opération en fonction de E c0 et de d. 2.5 En déduire le travail total W nécessaire à la mise en orbite géostationnaire du satellite. Exercice 3 : Deux façons de réaliser un déphaseur Dans le premier circuit étudié le générateur fournit une tension e(t) = E cos ωt (voir figure 3). La référence des potentiels est prise en M et on suppose le régime permanent établi. On posera R Cω = X. Par ailleurs on note V l amplitude complexe d une tension sinusoïdale v(t). Par exemple si la tension v(t) s écrit v(t) = V cos (ωt + φ) = Re{V. exp (jωt)} alors on écrira V = V exp (jφ) où j est le nombre complexe tel que j 2 = 1. Figure 3 Premier circuit 3.1 En remarquant que : les deux résistances R sont parcourues par le même courant le condensateur C et la résistance R sont parcourus par le même courant montrer que V s = 1 jx 1 + jx V B Épreuve 3 Durée : 4h Coefficient 4 Page 4/5

5 3.2 De quel type de circuit s agit-t-il? Calculer la phase φ de la tension v s. 3.3 On étudie désormais le circuit de la figure 4 Déterminer la fonction de transfert : Figure 4 Deuxième circuit H (jω) = V s V e. On supposera l amplificateur linéaire intégré idéal. 3.4 Comparer les deux circuits. Fin Épreuve 3 Durée : 4h Coefficient 4 Page 5/5