Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure

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1 Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure Svetlana Gribkova, Olivier Lopez Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée, Paris 6 4 Mars 2014 Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

2 Plan 1 Introduction 2 Estimation de la distribution jointe des durées sous censure 3 Modélisation de dépendance entre les durées par des copules 4 Application aux tests Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

3 Plan 1 Introduction 2 Estimation de la distribution jointe des durées sous censure 3 Modélisation de dépendance entre les durées par des copules 4 Application aux tests Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

4 Analyse de survie Une durée = temps écoulé jusqu à l apparition d un certain événement Exemples: 1 Médecine: le moment de décès, d une rechute de maladie ou de guérison 2 Fiabilité: le moment où une machine tombe en panne 3 Assurance: une survenue d un accident La durée peut ne pas toujours être observée à cause de la censure Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

5 La censure Une variable de durée T est censurée par une censure aléatoire à droite C si au lieu d observer T on observe { Y = min(t, C) δ = 1 T C Exemples des causes de la censure: 1 Médecine: perte de vue d un patient T durée de survie d un patient C date de la dernière information 2 Fiabilité: fin d observation T la durée de fonctionnement d une machine C la durée jusqu à la perte de vue de la machine Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

6 Spécificité des données censurées L objet d intérêt: la distribution d une variable de durée T Les observations: (Y i, δ i ) 1 i n = (min(t i, C i ), 1 Ti C i ) 1 i n Problème: on n observe pas les réalisations i.i.d. de la variable T La fonction de répartition empirique fait intervenir les quantités inobservables L exclusion des observations censurées conduit à une estimation biaisée de la répartition de durée (par ex. les patients qui ont une longue durée de survie ont plus de probabilité d être censureé) Il faut les outils statistiques adaptés à la présence de censure Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

7 Les durées dépendantes Dans de nombreuses situations dans l analyse de survie aparaissent les durées dépendantes T 1 et T 2 Exemples: 1 Médecine: études génétiques de dépendance entre les durées de vie des jumeaux 2 Fiabilité: dépendance entre les durées de fonctionnement de deux mécanismes 3 Assurance: dépendance entre les durées de vie des conjoints qui ont souscrit un contrat de pension Problématique: estimation et modélisation de dépendance entre T 1 et T 2 en présence de censure. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

8 Plan 1 Introduction 2 Estimation de la distribution jointe des durées sous censure 3 Modélisation de dépendance entre les durées par des copules 4 Application aux tests Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

9 Modèle Cadre général: sous la censure bivariée les estimateurs existant ont une lente vitesse de convergence ou peuvent attribuer des poids négatifs aux observations Il existe des modèles simplifiés où il est possible de définir un estimateur avec des bonnes propriétés Hypothèses du modèle: (T 1, T 2 ) durées censurées par (C 1, C 2 ). Les variables observées sont (min(t 1, C 1 ), min(t 2, C 2 ), δ 1, δ 2 ) et ε = C 2 C 1 (T 1, T 2 ) est indépendant de C 1 et de ε C 1 est indépendant de ε Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

10 Une application correspondante Les contrats de pension avec une clause de reversion en assurance: en cas de décès d un conjoint l autre commence à toucher un compliment pour sa retraite Données d un assureur canadien: observations des durées de vie des conjoints T 1, T 2 durées de vie de l homme et de sa femme 90% des observations censurées (raisons: fin d étude et les annulations des contrats). C 1, C 2 âges des conjoints à la sortie de l étude Deux conjoints sortent de l étude au même moment, donc ε = C 2 C 1 represente la différence d âges qui est observée pour tous les couples Observations: (Y 1i, Y 2i, δ 1i, δ 2i, ε i ) 1 i n avec Y j = min(t j, C j ), pour j = 1, 2. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

11 Idée de l estimateur Cas univarié: estimateur de Kaplan-Meier ˆF n (x) = 1 ( ) δ i 1 n j=1 1, Y j Y i avec une autre écriture ˆF n (t) = 1 n i:y i t n δ i W in 1 Yi t, W in = i=1 1 1 Ĝ(Y i ). W in peut être vu comme un estimateur de W i = 1 1 G(Y i ) avec E[δ i W i Φ(Y i )] = E[Φ(T i )] pour tout Φ et W in P W i Pour toute fonction Φ un estimateur de E[Φ(T )] est donné par Φ(t)d ˆF n (t)dt = 1 n δ i W in Φ(Y i ) E[Φ(T )]. n i=1 Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

12 Idée de l estimateur On cherche un estimateur de la forme F n (y 1, y 2 ) = 1 n n δ 1i δ 2i W in 1 Y1i y 1,Y 2i y 2, i=1 avec W in estimateur de W (Y 1i, Y 2i, ε i ) tel que, pour toute fonction Φ(T 1, T 2 ), E[δ 1i δ 2i W (Y 1i, Y 2i, ε i )Φ(Y 1i, Y 2i )] = E[Φ(T 1, T 2 ]]. L équation est satisfaite avec W (y 1, y 2, e) = 1 1 G(max(y 1, y 2 e) ), où G(t) = P(C 1 t). La distribution G(t) est à estimer à partir des données. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

13 Estimation de W (Y 1, Y 2, ε) C 1 est observée si C 1 < T 1 ou C 1 < T 2 ε C 1 est censurée par A = max(t 1, T 2 ε) avec δ = 1 δ 1 δ 2 La fonction de survie S G (y) de C 1 peut être estimé à partir de l echantillon (min(c i, A i ), 1 δ 1i δ 2i ) 1 i n par un estimateur de Kaplan-Meier Un estimateur des poids W (Y 1i, Y 2i, ε i ) est donné par avec W in = W in P W (Y 1i, Y 2i, ε i ) = 1 1 Ĝ(max(Y 1i, Y 2i ε i ) ). 1 1 G(max(Y 1i, Y 2i ε i ) ). Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

14 Estimateur de la fonction de distribution jointe F n (y 1, y 2 ) = 1 n n i=1 δ 1i δ 2i 1 Ĝ(max(Y 1i, Y 2i ε i ) ) 1 Y 1i y 1,Y 2i y 2 Theorem On considére un modèle simplifié avec C 2 C 1 = ε observée, sous la condition que (T 1, T 2 ) est indépendant de C 1 et de ε et que C 1 est indépendant de ε. L estimateur F n (y 1, y 2 ) satisfait le TCL fonctionnel, c est-à-dire, n(fn (y 1, y 2 ) F (y 1, y 2 )) G F (y 1, y 2 ) en l (R 2 ), où G F (y 1, y 2 ) est un processus gaussien tendu. Une application: estimateur non paramétrique de copule sous censure Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

15 Plan 1 Introduction 2 Estimation de la distribution jointe des durées sous censure 3 Modélisation de dépendance entre les durées par des copules 4 Application aux tests Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

16 Une copule Définition Une copule C(u 1,..., u d ) est une fonction de répartition multivariée sur [0, 1] d avec les lois marginales uniformes. Lien avec la fonction de répartition Théorème de Sklar (1959): Soient F 1,..., F d les fonctions de répartition marginales de F (x 1,..., x d ). Il existe une fonction de répartition C(u 1,..., u d ) sur [0, 1] d avec les lois marginales uniformes, telle que F (x 1,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )). Si toutes les F i, i = 1,..., d sont continues, alors C est unique. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

17 Modèles de copules Une copule est une fonction qui contient toute l information sur la structure de dépendance d un vecteur aléatoire. Les copules permettent de séparer la modélisation de structure de dépendance et de lois marginales. Un modèle de copule pour une fonction de répartition bivariée: F θ (t 1, t 2 ) = C θ (F 1 (t 1 ), F 2 (t 2 )), C θ C Θ = {C θ, θ Θ} Pour estimer un modèle de copules: Estimer les marginales avec un modèle paramétrique ou par un estimateur non paramétrique Estimer le paramètre de copule par une méthode du maximum de vraisemblance. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

18 Les copules archimediennes en dimension 2 Soit ϕ : [0, 1] R + une fonction continue strictement décroissante telle que ϕ(1) = 0 et soit ϕ [ 1] son inverse généralisé. Alors, une fonction est une copule d un générateur ϕ. C(u, v) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(v)) Des familles paramétriques des générateurs engendrent des familles paramétriques de copules Une question importante est la construction des tests d adéquation pour des modèles de copules. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

19 Tests d adéquation Une classe importante des tests d adéquation sont basés sur la distance entre l estimateur paramétrique et non paramétrique de copule. En absence de censure: un estimateur non paramétrique de copule est la copule empirique Sous la censure: il n existait pas d un estimateur non paramétrique de copule Les données canadiennes ont été modélisées par des copules dans Frees et al. (1996), Carriere (2000), Youn et Shemyakin (2001) avec une approche purement paramétrque. Luciano, Spreeuw, Vigna (2007) proposent des méthodes de choix d une meilleure copule parmi plusieurs copules archimédiennes calibrées, mais pas un test d adéquation. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

20 La copule empirique En absence de censure, on observe un échantillon i.i.d. (T 1i, T 2i ) 1 i n d un vecteur aléatoire (T 1, T 2 ) La fonction de répartition empirique: n F n (t 1, t 2 ) = 1 n i=1 1 T1i t 1,T 2i t 2 Un estimateur non paramétrique de copule (Deheuvels, 1979) est donné par C n (u, v) = F n (F 1 1n Théorème (Fermanian, 2004) 1 (u), F (v)), 0 u, v 1 Le processus empirique de copule n(c n (u, v) C(u, v)) converge en loi dans un espace l ([0, 1] 2 ) vers un pont brownien B F (u, v) 2n Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

21 Tests d adéquation basés sur la copule empirique Soient T 1, T 2 - deux variables aléatoires liées par une copule C(u, v). Soit C Θ = {C θ, θ Θ} une classe paramétrique de copules. Problème de test d hypothèse: H 0 : C C Θ contre H 1 : C / C Θ C n (u, v) un estimateur non paramétrique de C C θn (u, v) un estimateur paramétrique sous H 0. La statistique de test: d n = n (C θn (u, v) C n (u, v)) 2 dc n (u, v). [0,1] 2 Ces tests n ont pas été généralisés pour les données censurées faute de l estimateur non paramétrique de copule sous censure. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

22 Estimateur non paramétrique de copule sous censure Pour le modèle simplifié: avec F n (y 1, y 2 ) = 1 n W in = n δ 1i δ 2i W in 1 Y1i y 1,Y 2i y 2, i=1 1 1 Ĝ(max(Y 1i, Y 2i ε i ) ). La définition d un estimateur non paramétrique de copule: C n (u, v) = F n (F1n 1 1 (u), F2n (v)). Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

23 La définition d un estimateur Plus généralement, pour tout modèle avec F n (y 1, y 2 ) = 1 n δ 1i δ 2i W in 1 Y1i y n 1,Y 2i y 2, i=1 on peut définir un estimateur de copule par C n (u, v) = F n (F1n 1 1 (u), F2n (v)). Théorème (G., Lopez, 2012) Si n(f n (y 1, y 2 ) F (y 1, y 2 )) G F (y 1, y 2 ) en l (R 2 ), la fonction de répartition F (y 1, y 2 ) a les loi marginales continues et sa fonction de copule C(u, v) a les dérivées partielles continues sur [0, 1] 2, alors n(cn (u, v) C(u, v)) G C (u, v), en l ([0, 1] 2 ), où {G C (u, v), 0 u, v 1} est un processus limite gaussian. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

24 Autres modèles Loss and allocated loss adjustment expenses (ALAE): T 1 un coût de sinistre à rembourser par une compagnie d assurance, censuré par un plafond de remboursement C 1, spécifique à chaque contrat T 2 son ALAE associé (ex. frais d avocat, frais de recherche sur le sinistre), observé Pour les companies de réassurance important de modéliser la dépendance entre T 1 et T 2. Le modèle est de même type, avec W in = (1 Ĝ C1 (Y 1i )) 1. Deux variables de censure sont liées par une copule connue: La f.r. de (C 1, C 2 ) est G C1 C 2 (y 1, y 2 ) = C(G C1 (y 1 ), G C2 (y 2 )). Le modèle est de même type, avec W in = 1 C(1 Ĝ C (1)(Y 1i ), 1 Ĝ C (2)(Y 2i )) Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

25 Estimateur à noyau de copule La plupart de copules utilisées en pratique sont des fonctions lisses Pour estimer la densité de copule il faut construire un estimateur lisse de copule Un estimateur à noyau classique (Parzen-Rozenblatt) Soit k(x 1, x 2 ) une densité, c.-à-d. une fonction non-négative avec k(x1, x 2 ) = 1 et K(x 1, x 2 ) = x 1 x2 k(u, v)dudv Un estimateur par noyau d une fonction de répartition G d un vecteur aléatoire (X 1, X 2 ) (basé sur un échantillon (X 1i, X 2i ) 1 i n ): Ĝ n (x 1, x 2 ) = 1 n h 0 est appelé la fenêtre. n ( x1 X 1j K h j=1, x ) 2 X 2j, h Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

26 Estimateur à noyau en présence de censure On remplace un estimateur par noyau classique par sa version adaptée pour les données censurées: ˆF n (y 1, y 2 ) = 1 n n ( y1 Y 1j W in K h j=1, y ) 2 Y 2j. h Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

27 Estimateur à noyau en présence de censure On remplace un estimateur par noyau classique par sa version adaptée pour les données censurées: ˆF n (y 1, y 2 ) = 1 n n ( y1 Y 1j W in K h j=1 Un estimateur lisse de copule ou bien Ĉ n (u, v) = 1 n, y ) 2 Y 2j. h Ĉ n (u, v) = ˆF n (ˆF 1n 1 (u), ˆF 2n 1 (v)), 0 u, v 1 n W in K i=1 ( ) ( ) ˆF 1n 1 (u) Y 1i ˆF 2n 1 K (v) Y 2i. h h Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

28 TCL: conditions sur les poids Soit τ j = inf{t : F j (t) = 1}, pour tout Y (, τ 1 ) (, τ 2 ), on suppose que 1 W in = ĝ(y 1i, Y 2i ), où ĝ(y 1, y 2 ) g(y 1, y 2 ) et g est bornée et deux fois P differentiable sur Y avec les dérivées d ordre 2 bornées. 2 sup (t1,t 2) Y ĝ(t 1, t 2 ) g(t 1, t 2 ) = O P (n 1/2 ) 3 pour tout ψ F, où F signifie une classe de Donsker de fonctions bornées, n δ 1i δ 2i [W in W i ]ψ(y 1i, Y 2i ) = 1 n i=1 n η ψ (Y 1i, Y 2i, δ 1i δ 2i ) + R n (ψ), i=1 avec W i = g(y 1i, Y 2i ) et sup ψ F R n (ψ) = o P (n 1/2 ), 4 E(δ 1 δ 2 g(t 1, T 2 ) 2 ) < + (permet d avoir la convergence sur [0, 1] 2 ) Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

29 Convergence de l estimateur à noyau de copule On considère le processus empirique Ẑ n (u, v) = n(ĉ n (u, v) C(u, v)), 1 u, v 1. Théorème Sous les conditions sur les poids W in, si F (t 1, t 2 ) est une fonction deux fois dérivable sur R 2 avec les dérivées d ordre deux bornées, et h 2 n 0, on a n(ˆfn (y 1, y 2 ) F (y 1, y 2 )) G F (y 1, y 2 ) en l (R 2 ) et, par consequence, Ẑ n (u, v) = n(ĉ n (u, v) C(u, v)) Z C (u, v) en l ([0, 1] 2 ). Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

30 Estimation de densité d une copule Un estimateur de densité d une copule ĉ n (u, v) = avec f in (x) = x ˆF in (x). Théorème 3 2 u v Ĉn(u, v) = 1 nh 2 n i=1 ˆ W in k ( ˆF 1 1n (u) X i h ) k ( ˆF 1 2n (v) T i h f 1n (ˆF 1 1n (u))f 2n(ˆF 1 2n (v)), Soit C un compact strictement inclus dans [0, 1] 2. On suppose que la copule C(u, v) a ses dérivées bornées sur [0, 1] 2, W in sont les estimateurs de W i = W (Y 1i, Y 2i ) avec sup i W in W i a.s. = o P (η n ) où η n = h 2 + log n, et qu il existe une constante c telle que inf x C f i (F 1 i (x)) > c, i = 1, 2. Alors, h n sup ĉ(u, v) c(u, v) a.s. = O(η n ), η n = h 2 + log n u,v C h n. ) Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

31 Plan 1 Introduction 2 Estimation de la distribution jointe des durées sous censure 3 Modélisation de dépendance entre les durées par des copules 4 Application aux tests Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

32 Goodness of fit tests pour les données censurées H 0 : C C Θ contre H 1 : C / C Θ. Goodness of fit test est basé sur le processus empirique γ n (u, v) = n(c n C θn )(u, v), 0 u, v 1. Les statistiques de test principales: KS n = sup u,v γ n (u, v), S n = [0,1] 2 γ n (u, v) 2 dc n (u, v). La p-value du test est calculée via bootstrap. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

33 Calcul numérique de p-valeur pour les données canadiennes Procédure bootstrap pour calculer la p-value: pour b = 1,..., B générer (T1i b, T 2i b ) 1 i n selon la distribution définie par C θn et les f.r. marginales F 1n and F 2n générer (C1i b ) 1 i n selon G n (estimateur de K-M de la censure) générer (ε b 1i ) 1 i n selon la f.r. empirique des v.a. (ε i ) 1 i n poser C2i b = C1i b + εb i et calculer un b ième échantillon bootstrap (Y1i b, Y 2i b, εb i, δb 1i, δb 2i ) 1 i n en utilisant l échantillon simulé, calculer les estimateurs θn b et C b n et la distance correspondante dn b calculer la p-value sur la base de l échantillon simulé de d n Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

34 Application à la base de données canadienne Model Estimation de paramètre p-value Clayton Frank Nelsen La densité estimée de la copule de survie u v Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

35 Clustering pour les données censurées En assurance la population étant souvent hétérogène, les méthodes de clustering permettraient d identifier des groupes avec des comportements différents de point de vue de dépendance. On considère le cas d une variable aléatoire T à valeurs dans R censurée par C et d un vecteur aléatoire X de R d de covariables observées. Un échantillon est composé de (Y i, X i, δ i ) 1 i n, avec Y i = min(t i, C i ), δ i = 1 Ti C i But: à partir des observations censurées résumer les données par des groupes homogènes Problème: la présence de censure fait de sorte qu on ne connaisse pas de vraies positions des observations. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

36 Clustering par quantification Problème de clustering: résumer une distribution P d un vecteur aléatoire (T, X ) R R d par N points. Un N-quantificateur q(t, x) est une application de R R d dans un dictionnaire C = {c 1,..., c N } (R d+1 ) n Une distortion de N quantificateur est D(P, q) = E P (T, X ) q(t, X ) 2. Un N quantificateur q est optimal si D(P, q ) = inf q D(P, q) =: D N (P). Un tel quantificateur existe et c est un quantificateur de plus proches voisins q (t, x) = arg min c i C (t, x) c i 2 Il suffit de trouver arg min C (R d+1 ) E [ n P minci C (T, X ) c i 2]. En pratique la loi P est inconnue, il faut donc remplacer E P par l espérance E Pn par rapport à la loi empirique Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

37 Distortion empirique Soient (T i, X i ) 1 i n des observations i.i.d. de (T, X ) et P n = n i=1 δ (T i,x i ). La distortion empirique D(P n, q) = 1 n n (T i, X i ) q(t i, X i ) 2. i=1 Un quantificateur q n est un quantificateur empirique optimal si D(P n, q n) = inf q D(P n, q) =: D N(P n ) La distorsion d un quantificateur empirique optimal converge vers la distortion minimale, ED(P, q n) D N(P) C n, pour une certaine constante C et tout n 1. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

38 Clustering en présence de censure Idée: Stute (1995): estimateur de fonction de répartition F (t, x) de (T, X ) en présence de censure: F n (t, x) = 1 n n W in 1 Yi t,x i x, t R, x R d, i=1 avec W in = δ 1i (1 Ĝ(Y i )) 1, qui définit une mésure P n = 1 n n W in δ (Ti,X i ). i=1 On définit la distortion empirique par D(P n, q) = 1 n n W in (Y i, X i ) q(y i, X i ) 2. i=1 Quantificateur empirique q n est optimal si D(P n, q n) = inf q D(P n, q). Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

39 Les centres de clusters Des centres de clusters de quantificateur qn empirique optimal sont définis par 1 n arg min W in min C R d+1 n (Y i, X i ) c k 2. c k C i=1 Convergence de la distortion de q n Il existe des constantes L 1, L 2, K 1, K 2 telles que, P( n D(P, qn) D(P, q ) > z) 5 exp ( L 1 z 2 + L 2 z) + 2 [ exp( K 1 z 2 ) + exp( nk 2 z) ] ( ) + O e n. Corollaire: D(P, q n) D(P, q) = O ( ) log n n p.s. Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

40 Attribution de labels aux observations censurées Les observations non censurées se voient affectées au centre le plus proche par rapport à la distance euclidienne Pour les observations censurées les distances aux centres de clusters ne sont pas observées, elles sont donc estimées à partir de données: dist((t i, X i ), c k ) = Y i (t, X i ) c k 2 d ˆF (t X i ), Y i d ˆF (t X i ) où ˆF (t x) est un estimateur de F (t X = x) = P(T t X = x) donné par ˆF (t x) = 1 n n i=1 W in K( x X i h ) ( n j=1 K x Xj h. )1 Yi t, (1) Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

41 Conclusion et perspectives Les nouveaux estimateurs non paramétriques de copule ont été proposés Les propriétés asymptotiques des estimateurs ont été étudiées Les résultats théoriques ont été appliqués à une base de données réelles Une approche de prise en compte de l hétérogénéité de population par clustering a été proposée Perspective: extension de méthodes de clustering au cas de plusieurs variables censurées Svetlana Gribkova, Olivier Lopez (LSTA) Estimation sous censure 4 Mars / 40

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