XI. Les poutres. XI. Les poutres. XI. Les poutres. XI. Les poutres. XI. Les poutres. Poutre bi-articulée sous charge uniforme

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1 Ecole Nationale Supérieure d rchitecture de Mareille S2CE1 Cour de Structure Fonction de la poutre : franchir Poutre ur 2 appui (bi-articulée) : moment fléchiant et effort tranchant lexandre de la Foye 7 avril 2011 (encatrée) 2 ou charge uniforme Déformée générale 3 4 Zoom ur la partie centrale Zoom ur la partie centrale M f = N 5 6

2 Zoom ur une extrémité Zoom ur une extrémité Raccourciement diagonale : fibre comprimée Contrainte de compreion ( >0) Gliement relatif de tranche Contrainte de ciaillement tranveral llongement diagonale : fibre tendue Contrainte de traction ( <0) 7 Ciaillement longitudinal 8 Moment fléchiant et contrainte de traction-compreion Effort tranchant et contrainte de traction-compreion C C C C C C C T T T T T T T T T T T T T Tmaxi T nul Tmaxi M f nul M f maxi M f nul C C C C C C 9 10 Fiuration d une poutre en béton armé mal ferraillée Ligne d iocontrainte : cheminement de effort interne Compreion Traction 11 12

3 ou charge uniforme llure de la déformée en fonction de l élancement de la poutre Zoom ur l extrémité encatrée Moment fléchiant et contrainte de traction-compreion T T T T T T T T C C C C C C C M f maxi M f nul Effort tranchant et contrainte de traction-compreion Fiuration d une poutre en béton armé mal ferraillée T T T T T T T T maxi T nul C C C C C C C 17 18

4 Ligne d iocontrainte : cheminement de effort interne Compreion Traction 19 Sollicitation dan le poutre - 1 Une poutre chargée tranveralement e déforme ou le effet conjugué de l effort tranchant et du moment fléchiant. Le moment fléchiant induit une rotation relative de ection tranverale aociée à de contrainte de traction-compreion longitudinale. L effort tranchant induit un gliement relatif de ection tranverale aocié à de contrainte de traction-compreion oblique et de contrainte de ciaillement tranverale. 20 Sollicitation dan le poutre - 2 Le influence relative de l effort tranchant et du moment fléchiant varient en fonction de l élancement de la poutre. Pour le poutre courte, l effort tranchant et prépondérant. Pour le poutre longue, le moment fléchiant et prépondérant. Sollicitation de poutre bi-articulée Une poutre ur deux appui chargée uniformément développe en e déformant de effort interne (ollicitation) de deux type : Moment fléchiant : maximal à mi-portée, nul aux extrémité Effort tranchant : maximal aux extrémité, nul à mi-portée Sollicitation de poutre conole Une poutre conole chargée uniformément développe en e déformant de effort interne (ollicitation) de deux type : Diagramme T, M f Moment fléchiant : maximal à l encatrement, ement nul à l extrémité libre M f pl 2 /8 M f pl 2 /2 Effort tranchant : maximal à l encatrement, nul à l extrémité libre T pl/2 -pl/2 L/2 L L/2 L T pl L L 23 24

5 Moment fléchiant et moment d inertie - 1 Dan la majorité de ca, le contrainte t générée é é par le moment fléchiant ont upérieure à celle générée par l effort tranchant (poutre longue). Or, la capacité d une poutre à réiter au moment fléchiant dépendd directement d une caractéritique géométrique de a ection : le moment d inertie. Plu le moment d inertie et grand plu le déformation et contrainte aociée au moment fléchiant ont faible. Moment fléchiant et moment d inertie - 2 La valeur du moment d inertie et donc un paramètre déterminant lorque l on cherche à dimenionner la ection d une poutre fléchie Moment d inertie i :définition i i qualitative i Le moment d inertie dinertie et une caractéritique purement géométrique de la ection d un élément de tructure (au même titre que l aire, laire,lele périmètre ). Il et toujour aocié à une direction précie (verticale ouhorizontale). Le moment d inertie dinertie dan une direction et d autant dautant plu grand que la quantité de matière et importante et et éloignée du centre de gravité de la ection dan cette direction. Moment d inertie : définition mathématique Moment d inertie dan la direction verticale G y I vert. = Σ y² I vert. : moment d inertie vertical G : centre de gravité de la ection : urface élémentaire y : ditance du centre de gravité dan la direction verticale Moment d inertie : définition mathématique Moment d inertie dan la direction horizontale Section appropriée (moment d inertie vertical important) x I horiz. = Σ x² G I horiz. : moment d inertie horizontal G : centre de gravité de la ection : urface élémentaire x : ditance du centre de gravité dan la direction horizontale 29 30

6 Calcul du moment d inertie dinertie- 1 Calcul du moment d inertie dinertie- 2 S H H I 1 + I 2 = I 3 H Section rectangulaire pleine S Section I, H, ou poutre treilli I 1 = I 2 I = H 3 /12 I = H 2 S/2 I 1 - I 2 = I Optimiation de poutre Poutre pleine (béton, boi) Poutre treilli (acier, boi) Déverement de poutre On pourrait être tenté, dan un ouci d optimiation, d augmenter outre meure le rapport hauteur / largeur de la ection d une poutre. On expoe expoe alor au rique de déverement, phénomène d intabilité caractérié par le flambement latéral de fibre comprimée. Poutre pleine à inertie variable Poutre treilli à inertie variable Dimenionnement de poutre Vérification de laréitance On vérifie, pour un ca de charge dimenionnant, que la contrainte admiible du matériau n et dépaée en aucun point de la poutre. Dan le ca d une poutre élancée, la ollicitation dimenionnante et le moment fléchiant. On identifie alor la ection pour laquelle ce moment et le plu fort et on calcule le contrainte ur le fibre extrême à l aide de la formule uivante : = M f /(2I/H) Remarque : 2I/H et ouvent noté W ou I/v Où H et la hauteur de la poutre, I on moment d inertie et M f le moment fléchiant maximal. Cette contrainte doit vérifier l inégalité : Dimenionnement de poutre Vérification de la rigidité On vérifie, pour un ca de charge dimenionnant, que la poutre ne e déforme pa trop. Cette déformation et caractériée par la flèche f : amplitude maximale de la déformation. Le limite à ne pa dépaer ont généralement le 300 e, le 400 e, ou le 500 e de la portée. Ce limite dépendent eentiellement de la nature de élément poé ur la poutre (plu ou moin apte à e déformer an caer) ou de conidération d ordre ethétique. < admiible du matériau 35 36

7 Dimenionnementi de poutre Formulaire Dimenionnement de poutre baque M fmax = PL/8 f = PL 3 /(192 EI) M fmax = pl 2 /12 f = pl 4 /(384 EI) M fmax = PL/4 f = PL 3 /(48 EI) M fmax = pl 2 /8 f = 5pL 4 /(384 EI) M fmax = 3PL/16 f = PL 3 /(48 5 EI) M fmax = pl 2 /8 f = pl 4 /(185 EI) M fmax = PL f = PL 3 /(3 EI) M fmax = pl 2 /2 f = pl 4 /(8 EI) 37 38

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