DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 5

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1 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 5 A. Défiitios Soit f ue foctio umérique de la variable réelle défiie sur u itervalle I coteat et u etier aturel. O dit que f admet u déveloemet limité à l'ordre au voisiage de s'il eiste ue foctio olyômiale k = k de degré iférieur ou égal à k = P a et ue foctio umérique que : O défiie sur I et cotiue e telle = avec O( ) f P O Remarques : O fut itroduite ar le La otatio Mathématicie Russe Lev. Ladau, ri Nobel de Physique e 96 lim = Lie hyertete : htt://fr.wikiedia.org/wiki/lev_ladau Proositio : Uicité du déveloemet limité Soit f ue foctio umérique de la variable admettat u D.L. à l'ordre au voisiage de : f = P O( ). Alors les coefficiets a, a,..., a sot défiis de faço uique. La ue foctio olyômiale P s'aelle la artie régulière du déveloemet limité (D.L.) de f à l'ordre. Si f est aire (res. imaire) alors P est aire (res. imaire) htt://giou.uiv-tl.fr

2 B. Théorème de Taylor-Youg Soit I u itervalle coteat et soit f ue foctio admettat des ( ) dérivées jusqu'à l'ordre au mois et telle que f ( ) soit cotiue. Alors f admet au voisiage de le déveloemet limité à l'ordre suivat : f f f f f O!!! ( ) = ' "... Au voisiage du oit =, le D.L. de Taylor-Youg s'écrit : ( ) ( ) ( ) ' "... f = f f f f O!!! Brook Taylor : éclectique homme de Scieces Aglais, é à Edmoto (Agleterre) le 8 août 685, et mort à Lodres le 9 décembre 7. Il s'itéressa au mathématiques, à la musique, la eiture et la hilosohie. William Hery Youg Lodres, octobre 86 - Lausae, 7 juillet 9 est u mathématicie aglais issu de l'uiversité de Cambridge et ayat travaillé à l'uiversité de Liverool et à celle de Lausae. htt://giou.uiv-tl.fr

3 C. Proriétés des déveloemets limités. Somme, roduit et quotiet Eemle : Le déveloemet limité de la somme est égal à la somme des déveloemets limités Le déveloemet limité du roduit est égal au roduit des déveloemets limités e e gardat que les termes du degré le lus bas { } D. L. ( f g) = Troc DL..( f ) DL..( g) où.. et D L f désige le déveloemet limité de f à l'ordre Troc P désige la trocature de P() à l'ordre. { } = ( ) = ( ) f a a a O g b b b O ( ) = ( ) ( ) D. L. f g a b a b ab a b ab a b O Le déveloemet limité du quotiet est égal au quotiet de la divisio de la artie régulière de f ar celle de g suivat les uissaces croissates à l'ordre. htt://giou.uiv-tl.fr

4 . Déveloemet d'ue foctio comosée Soiet I et J deu itervalles coteat. Soit g ue alicatio de I das J telle que g() = et que g admette u déveloemet limité à l'ordre. Si f admet égalemet u déveloemet limité à l'ordre, la comosée f o g admet u déveloemet limité à l'ordre dot la artie régulière s'obtiet e comosat la artie régulière de f et la artie régulière de g et e troquat à le résultat. Eemle : f e O = = = g O D. L. f g O ( ) = D. Alicatio au calcul des limites Soit f ue foctio admettat au voisiage de zéro u déveloemet limité d'ordre. Le terme o ul de lus bas degré de la artie régulière(o ulle) corresodate rerésete la limite de f au voisiage de zéro. Eemle : D. L. Si O 6 Si = O( ) 6 Si lim = ( ) = htt://giou.uiv-tl.fr

5 E. Étude locale d'ue courbe. O cosidère f ue foctio umérique de la variable réelle défiie sur u itervalle I = ] α, α[ et u etier aturel admettat u déveloemet limité à l'ordre au voisiage de P = a a a avec de artie régulière : tel que a Alors la tagete Γ à la courbe C f rerésetative de f a our y = a a et la ositio de C f ar raort à Γ équatio : est doée ar le sige de : a ( ) er cas : est air ( ) Le oit, M f est dit ordiaire. > alors C f est au-dessus de Γ < alors C f est e-dessous de Γ Si a = alors le oit M est u etremum > alors le oit M est u miimum et f est covee < alors le oit M est u maimum et f est cocave ème cas : est imair ( ) Le oit, M f est oit d'ifleio et C f traverse Γ e M htt://giou.uiv-tl.fr 5

6 F. Déveloemet limités usuels. Lie hyertete : htt:// htt://giou.uiv-tl.fr 6

7 T.D. N 5 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS N : Soit à calculer. Écrire le D.L. au remier ordre de la foctio f = Même eercice avec L (.) N : Soit les D.L. au voisiage de zéro : = ; = ; = f O g O h O f Doer les D.L. d'ordre maimum au voisiage de zéro de : f h ; f g ; fg ; ; g N : Calculer le D.L. au voisiage de zéro, à l'ordre idiqué : f = si cos ; = ; g = ; = cos h = Arcta ; = ; k = = Si ; Si l = L ; = ; m = L( Ta ) ; = Cos ch = e ; = ; = e ; = N : Calculer les limites suivates : si si cos si lim ; lim si ; lim e Arcta sh cos si lim L ; lim ; lim ta th Ta( ) lim L ( ) ; lim π Cos g h htt://giou.uiv-tl.fr 7