I Préliminaires, définition de la transformation L

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1 SESSION Concours commun Cenrle MATHÉMATIQUES. FILIERE PSI I Préliminires, définiion de l rnsformion L I.A - Soi R. On si que si l foncion fe λ es inégrble sur R + lors l inégrle converge. Donc E E. fe λ d I.B - On suppose que E n es ps vide. Soi = InfE. es un élémen de [,+ [ e de plus E [,+ [. Soi b ],+ [. Vérifions que b E. L foncion fe bλ es coninue sur [,+ [. Ensuie, pr définiion d une borne inférieure, il eise c E el que c < b. Pr définiion de E, l foncion fe cλ es inégrble sur R +. De plus, puisque l foncion λ es posiive, pour ou réel [,+ [, fe bλ fe cλ. On en dédui que l foncion fe bλ es inégrble sur [,+ [ e donc que b E. On démonré que ],+ [ E [,+ [ e donc que E es un inervlle non mjoré de R. I.C - On reprend les noions de l quesion précédene. Soi b [,+ [ E. Pour ou réel de [b,+ [, l foncion fe λ es coninue pr morceu sur [,+ [. Pour ou réel de [,+ [, l foncion fe λ es coninue sur [b,+ [. Pour ou, [b,+ [ [,+ [, fe λ fe λb = ϕ où ϕ es une foncion coninue pr morceu e inégrble sur [,+ [. D près le héorème de coninuié des inégrles à prmères, l foncion Lf es coninue sur [b, + [ e ceci pour ou b [,+ [ E. Pr suie, l foncion Lf es coninue sur E. II - Eemples dns le cs de f posiive II.A - Supposons de plus f posiive. Alors pour ou R, l foncion fe λ es posiive sur 5,+ [ e on si que l foncion fe λ es inégrble sur R + si e seulemen si l inégrle E = E. fe λ d converge. Donc II.B - L foncion λ es croissne e non mjorée sur R + e donc lim λ = +. + II.B. L foncion λ es de clsse C e croissne sur [,+ [. Donc l foncion f = λ es coninue e posiive sur [,+ [. Soi R. Si =, pour ou A [,+ [, lim A + λ d = + e donc + λ e λ d = λ d diverge. Pr suie, / E = E. λ d = λa λ. Puisque lim λa = +, on A + [ Si, pour ou A [,+ [, λ e λ d = ] A e λ = λe λ λae λa. Si <, l epression précédene end vers + qund A end vers + e donc / E. Si >, l epression précédene end vers le réel λe λ qund A end vers + e donc E. hp :// c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

2 On monré que E =],+ [ e que pour ou >, Lf = λe λ. II.B. Soi R. L foncion fe λ = e λ es coninue e posiive sur [,+ [. Puisque lim + λ = +, il eise A M{,+} el que λa >. Pour A, on e λ e A λ e λa >. L foncion consn e λa n es ps inégrble sur un voisinge de + e donc l foncion fe λ = e λ n es ps inégrble sur [,+ [. On monré que E =. II.B.3 Soi R. L foncion fe λ = e λ + es coninue e posiive sur [,+ [. Pour, λ puis e λ + +. L foncion es inégrble sur un voisinge de + + e il en es de même de l foncion fe λ. On monré que E = R. II.C - II.C. Soi R. L foncion fe λ = e es coninue e posiive sur [,+ [. Si <, l foncion + e + es prépondérne devn l foncion conne en + e si, l foncion e es dominée + pr l foncion en +. Donc l foncion fe λ es inégrble sur [,+ [ si e seulemen si. On monré que E = [,+ [. Enfin, Lf = II.C. Soi >. Soi Φ : [, + [ [, + [, + d = π. R e + de sore que pour ou, Lf = Φ, d. Pour chque [,+ [, l foncion Φ, es coninue pr morceu e inégrble sur [,+ [ d près l quesion II.C.. Φ dme sur [,+ [ [,+ [ une dérivée prielle pr rppor à s première vrible définie pr : De plus,, [,+ [ [,+ [, Φ, = e +. - pour ou [,+ [, l foncion Φ, es coninue pr morceu sur [,+ [, - pour ou [,+ [, l foncion Φ, es coninue sur [,+ [, - pour ou, [, + [ [, + [, Φ, = e + e + = ϕ. L foncion ϕ es coninue pr morceu sur [,+ [ e négligeble devn en + d près un héorème de croissnces comprées. On en dédui que l foncion ϕ es inégrble sur [,+ [. D près le héorème de dérivion des inégrles à prmères héorème de Leibniz, Lf es de clsse C sur [,+ [ e s dérivée s obien pr dérivion sous le signe somme. Ceci én vri pour ou >, Lf es de clsse C sur ],+ [ e pour ou >, Lf e = +,d. II.C.3 Soi >. En posn u =, on obien Posons A = Lf Lf = A > puis pour ou > e + d+ e + d = e d = e u du. e d. A es l inégrle d une foncion coninue e inégrble, posiive e non nulle sur [,+ [. Donc hp :// c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

3 Lf Lf = A. II.C.4 D près les quesions I.C e II.C., Lf es coninue sur [,+ [ e dérivble sur ],+ [. De plus, pour >, g = e Lf Lf = A e. Soi >. L foncion e es coninue sur ],], posiive e équivlene en à qui es inégrble sur un voisinge de. On en dédui que de dérivée l foncion e. Pr suie, e d. De plus, l foncion e d = e d+ e C R/ >, g = C A d. Cee dernière églié rese vrie pour = pr coninuié de g en vec l convenion Pour =, on obien C = g = Lf = π d près l quesion II.C.. e d es dérivble sur ],+ [ e e d = lim d =., e Lf = π A e d où A = e u du. II.C.5 Soi >. L foncion = u es un C -difféomorphisme de ],] sur ], ]. On peu donc poser u = e on obien Pr suie, e e u d = u udu = e u du., e Lf = g = π A e u du où A = e u du. Le second membre une limie réelle qund end vers + e il en es de même de g. Qund end vers +, on obien lim g = π π + A ou encore, puisque A >, A = 4 lim g. + Pour ou, g = e e e d e d. Comme lim + + des gendrmes perme d ffirmer que lim g = e donc + III.A - Qund end vers, e u du = π. + e III - Éude d un premier eemple e = +o = +o = +o, e d =, le héorème + puis f = + o = o. Pr suie, f une limie réelle en à droie, à svoir, ou encore f se prolonge pr coninuié en en posn f =. III.B - Soi R. L foncion fe es coninue sur [,+ [, équivlene à e. L foncion e es posiive e inégrble sur [,+ [ si e seulemen si >. Donc l foncion fe es inégrble sur [,+ [ si e seulemen si >. hp :// 3 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

4 E =],+ [. III.C - Soi >. Soi ],+ [. Alors < e < puis puis e = e e = e fe = e k= e k = e + k= e k+ = e n+. e n, Pour n N e ],+ [, posons f n = e n+. Chque foncion f n, n N, es coninue sur [,+ [ e posiive. Donc, pour n N, f n es inégrble sur [,+ [ si e seulemen si l inégrle I n = converge. f n d = e n+ d Soien n N e A >. Les deu foncions e e n+ n+ effecuer une inégrion pr pries e on obien son de clsse C sur le segmen [,A]. On peu donc f n d = e n+ d = = Ae n+a n+ + ] A [ e n+ + n+ n+ n+ e n+a. e n+ d Qund A end vers +, Ae n+a end vers cr n+ > e d près un héorème de croissnces comprées. De même, e n+a end vers. Qund A end vers +, on obien l convergence e l vleur de I n : f n d = n+. On noe que I n es le erme générl d une série numérique convergene. Ainsi, Chque foncion f n, n N, es coninue pr morceu sur ],+ [, l série de foncions de erme générl f n, n N, converge simplemen sur ],+ [ vers l foncion es coninue pr morceu sur ],+ [, f n d = f n d = n+ < +. D près un héorème d inégrion erme à erme, l foncion e es inégrble sur ],+ [ e f n d = puis, oues les foncions considérées én inégrbles sur ],+ [, n+ Lf = e d e + e d = + + >, Lf = + + n+. n+. e qui e d = III.D - Pour ou >, Lf + + = n+. hp :// 4 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

5 Pour > e n N, posons g n = n+. Chque foncion g n, n N, dme une limie en à droie à svoir lim +g n = n. Pour ou n N e ou >, g n = n+ n e de plus es le erme générl d une série numérique n convergene. Pr suie, l série de foncions de erme générl g n, n N, converge normlemen sur ],+ [. D près le héorème d inerversion des limies, l foncion Lf + une limie réelle en à droie e de plus lim Lf + + = lim +g n = n. IV - Générliés dns le cs ypique IV.A - Soi > α. Soi Φ : [,+ [ [,+ [ R de sore que pour ou, Lf =, fe Φ, d. Pour chque [,+ [, l foncion Φ, es coninue pr morceu e inégrble sur [,+ [ puisque d près l quesion I.B, E. Φ dme sur [,+ [ [,+ [ des dérivées prielles de ous ordres pr rppor à s première vrible définie pr : De plus, pour ou n N, n N,, [,+ [ [,+ [, n Φ n, = n fe. - pour ou [,+ [, l foncion n Φ, es coninue pr morceu sur [,+ [, n - pour ou [,+ [, l foncion n Φ, es coninue sur [,+ [, n - pour ou, [, + [ [, + [, n Φ n, = n f e n f e = ϕ n. L foncion ϕ n es coninue pr morceu sur [,+ [. Soi b un réel élémen de ]α,[. D près l quesion I.B, b E e donc l foncion fe b es inégrble sur [,+ [. Mis lors, qund end vers +, ϕ n = n f e = f e b n e b = o f e b, cr b > e d près un héorème de croissnces comprées. On en dédui que l foncion ϕ n es inégrble sur [,+ [. D près une générlision du héorème de dérivion des inégrles à prmères héorème de Leibniz, Lf es de clsse C sur [,+ [ e ses dérivées successives s obiennen pr dérivion sous le signe somme. Ceci én vri pour ou > α, Lf es de clsse C sur ]α,+ [ e pour ou n N e ou > α, Lfn = n f n e,d. IV.B - Soien R, n N puis pour ou, f = e n. Puisque f es posiive, on si que E = E. Pour ou réel, Lf = n e + d. Si, l foncion n e + domine l foncion n en + e donc l foncion n e + n es ps inégrble sur [,+ [. Si >, l foncion n e + es coninue sur [,+ [ e négligeble en + devn d près un héorème de croissnces comprées. Dns ce cs, l foncion n e + es inégrble sur [,+ [. Finlemen E = E =],+ [. Soi >. Posons u = +. Pour ou n N, on obien Lf = I n = u n e u du. + n+ u n e u du. Pour n N, posons Soien n N e A >. Les deu foncions u u n+ e u e u son de clsse C sur le segmen [,A]. On peu donc effecuer une inégrion pr pries e on obien hp :// 5 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

6 u n+ e u du = [ u n+ e u] A +n+ u n e u du = A n+ e A +n+ Qund A end vers +, on obien I n+ = n+i n. En enn compe de I = I n = n!. Finlemen ],+ [, Lf = n! + n+. u n e u du. e u du =, on pour ou n N, IV.C - Comporemen en l infini IV.C. Soi β >. Soi >. Pour, posons g = f k= k k! k. Puisque f = b ],β[ e M > els que pour ou [,b], g M n+. On en dédui que β f k k! k e d k= b g e d+ β b g e d M β M n+ e d+e b b d près IV.B ppliqué vec =. b k= n+ e d+ k k! k +O n+, il eise β g d = M n+! n+ +e b b g e b d β b g d On en dédui que n+ β f k k! k e d Mn+!+n+ e b k= β b g d. D près un héorème de croissnces comprées, n+ e b β b β g d = o e en + priculier,n+ e b g d = b + β O. Donc, il eise A > e M > els que pour ou A, n+ e b g d M. Pour A, on b β n+ k f k! k e d Mn+!+M. k= β On monré que n+ k f k! k e d = O ou encore que + k= β f k= k k! k e d = O + n+. IV.C. Pour >, chcune des foncions k e es inégrble sur [β,+ [. D ure pr, E n es ps vide e donc il eise > el que l foncion fe soien inégrble sur [,+ [ e en priculier sur [β,+ [. Il en es de même de l foncion ge. Soi +. + f β k k! k e d k= Puisque β >, on en dédui que f β + k précédene, f k! k e d = k= O n+ puis β g e d = k k! k k= β β k= g e e d e β g e d. e d = O + k f k! k e d + n+ β β. Mis lors, d près l quesion f k= k k! k e d = + hp :// 6 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

7 IV.D - Comporemen en Lf = k= = + k k! k= k e d+ k +O k+ n+ f k k! k e d k= d près IV.B. IV.D. Soi >. Puisque f une limie réelle en +, en priculier f es bornée sur un voisinge de +. Mis lors, l foncion fe es coninue sur [,+ [ e es dominée pr l foncion e en +. Puisque >, l foncion e es inégrble sur un voisinge de + e donc l foncion fe es inégrble sur [,+ [. Ainsi, ou réel sricemen posiif es dns E e donc E conien ],+ [. IV.D. Soi ε >. Il eise A > e el que pour ou A, f l < ε. Soi >. puis Lf = f le d+ le d = l+ f le d, Lf l = f le d f l e d+ f l e d A f l e d+ ε e d f l d+ ε e d A = ε + f l d. En résumé, pour ou >, Lf l ε + pour ou ],α[, f l d. Comme lim f l d < ε. Pour ],α[, on Lf l < ε. On monré que ε >, α > / ],α[, Lf l < ε e donc que lim Lf = l. V - Éude d un deuième eemple f l d =, il eise α > el que V.A - L foncion sin es coninue sur ],+ [ e prolongeble pr coninuié en en posn f. L foncion f insi définie es inégrble sur ou segmen [,A], A >. Ensuie, sin + d n= 3π 4 +nπ π 4 +nπ sin + d Donc l foncion f n es ps inégrble sur [,+ [ ou encore / E. n= π = +. 3π 4 +nπ V.B - On en dédui que E ],+ [. Soi >. L foncion fe es coninue sur [,+ [ e es dominée en + pr l foncion e qui es inégrble sur [,+ [. Donc l foncion fe es inégrble sur [,+ [ ou encore E. On monré que E = [,+ [. V.C - Soien ε e A deu réels els que < < A. Les foncions cos e son de clsse C sur le segmen [,A]. On peu donc effecuer une inégrion pr pries e on obien sin [ cos d = ] A Qund end vers, cos prolongeble pr coninuié en cos cos + d = cosa cos cos + A d. e en priculier cos end vers end vers. D ure pr, l foncion cos qund end vers. On en dédui que l foncion cos hp :// 7 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés. es

8 es inégrble sur un voisinge de e en priculier que l foncion vers. Mis lors l foncion end vers on obien Qund A end vers +, cosa A l foncion cos foncion A ou encore + = O sin cos d une limie réelle qund end d une limie réelle qund end vers e de plus, pour ou A >, qund sin d = cosa A e en priculier cosa A cos + d. end vers qund A end vers +. D ure pr, es dominée en + pr e es donc inégrble sur un voisinge de +. En priculier, l cos A sin d une limie réelle qund A end vers +. Il en es de même de l foncion A d sin d es une inégrle convergene. On monré que E. V.D - D près l quesion IV.A, l foncion Lf es de clsse C sur ],+ [ e pour >, Lf = = Im f e d = = Im cr +i i = Im + e i e d = Im e +i +i = +. sine d = e + [ e e +i +i d = Im +i + ] + = Im +i lim + e +i +i V.E - On en dédui qu il eise C R el que pour ou >, Lf = C Arcn. De plus, C = π + lim + Lf. L foncion f es coninue sur [,+ [ e une limie réelle en + à svoir. Donc, l foncion f es bornée sur [,+ [. Soi M un mjorn de f sur [,+ [. Pour ou >, Lf = sin + e d sin + e d M e d = M. On en dédui que lim Lf = puis que C = π. On monré que + ],+ [, Lf = π Arcn = Arcn. sin V.F - Soien n N e [,+ [. Puisque e d es une inégrle convergene, l série numérique de erme sin générl f n, n N, converge e pour somme e d = Lf. En priculier, l suie f n end vers qund n end vers +. En posn = u+nπ, on obien f n = π π sinu+nπ π u+nπ e u+nπ du = n e nπ sinu u+nπ e u du. sinu Pour n N, posons I n = u+nπ e u du. L suie I n n N es posiive e décroissne. De même, l suie e nπ n N es posiive e décroissne. On en dédui que l suie n f n = e n I n es posiive e décroissne. En résumé, l suie f n n N es de signe lerné e s vleur bsolue end vers en décroissn. Soi n N. Pour [,+ [, posons R n = série lernée, pour ou, k=n+ f k. D près une mjorion clssique du rese à l ordre n d une hp :// 8 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

9 R n f n+ = e n+π π sinu π sinu u+n+π e u du u+n+π du = f n+, e donc R n f n+. Puisque f n+ end vers qund n end vers +, on monré que l série de foncions de erme générl f n, n N, converge uniformémen vers Lf sur [,+ [. V.G - Vérifions que chque foncion f n, n N, es coninue en. L foncion u e u es concve sur [,+ [ cr s dérivée seconde es négive sur [,+ [. Son grphe es u-dessous de s ngene en sur [,+ [ ou encore, pour ou u, e u u. Pour n N e, f n f n = = n+π nπ n+π nπ n+π nπ sin e d sin e d cr l foncion sinus es de signe consn sur [nπ,n+π] sin d = n+π nπ sin d =. On en dédui que lim f n f n = e donc que f n es coninue en. Puisque l série de foncions de erme générl f n, n N, converge uniformémen sur [,+ [ vers l foncion Lf, le héorème d inerversion des limies perme d ffirmer que Lf = f n = lim +f n coninuié de chque foncion f n n= n= + = lim f n héorème d inerversion des limies + n= π = lim +Lf = lim + Arcn = π. Lf = sin d = π. VI.A - VI.A. Soi P R[X]. Posons P = Donc, pour ou polynôme P R[X], VI - Injecivié dns le cs ypique k X k. Pr linérié de l inégrle, on obien k= Pg d = Pg d =. k= k k P d =. VI.A. Soiε >. D près le héorème de Weiersrss, il eise un polynômep ε el que g P ε = sup{ g P ε, [,]} ε. On en dédui que g d = On en dédui que g d = g P ε +P ε g d = g P ε g d = g P ε g d+ g P ε g d P ε g d = g P ε g d ε g P ε g d. g d. hp :// 9 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

10 Ainsi, pour ou ε >, g d ε g = foncion coninue posiive d inégrle nulle puis g =. VI.B - VI.B. Soien E e >. Alors, + E e Lf+ = g d. Qund ε end vers, on obien g d =. Mis lors, e fe d. SoiA >. L foncion u e u fu es coninue sur [,+ [ e donc h es de clsse C sur [,+ [. Ainsi, les deu foncions e e h son de clsse C sur le segmen [,A] e on peu donc effecuer une inégrion pr pries. On obien Qund A end vers +, ha = e fe d = [ e h ] A + end vers LfA =. Qund A end vers +, on obien e h d = e A ha+ e h d. e u fu du end vers réel LfA puisque E e donc, puisque >, e A ha Lf+ = e fe d = e h d. VI.B. Soi ε >. En posn u = e e donc = lnu puis du = e d, on obien ε u n h lnu du = e n h e d = lnε lnε Qund ε end vers, lnε lnε end vers + puis e n+ h d end vers n + d près l quesion précédene cr n + >. On en dédui que u n h lnu du es une inégrle convergene e que e n+ h d. u n h lnu du = Lf+n+ =. n+ e n+ h d = n+ Lf+ VI.B.3 L foncion g : u h lnu es coninue sur ],] e se prolonge pr coninuié en en posn g = e v hv dv = Lf. On noe encore g le prolongemen obenu. D près l quesion précédene, pour ou n N, que pour ou, h =. VI.C - L pplicion Ψ : C [,+ [,R R [,+ [ f Lf u n gu du =. D près l quesion VI.A., g es nulle. On en dédui es linéire. Soi f KerΨ. Alors, Lf = e en priculier pour ou > e ou n N, Lf+n =. D près l quesion précédene, pour ou >, l foncion En dérivn, on obien pour ou e ou > e f = h =. Mis lors, pour ou, f =. Ceci monre que KerΨ = {} puis que Ψ es injecive. VII.A - Cs posiif VII - Éude de l borne inférieure de E e u fu du. VII.A. Pr hypohèse, α R e f es posiive. De plus, ou bien E = E =]α,+ [ ou bien E = E = [α,+ [. Soien e y deu élémens de ]α,+ [ els que y. Alors, pour ou [,+ [, fe fe y puis Lf Lfy. L foncion Lf es donc décroissne sur ]α,+ [. On en dédui que Lf une limie en α à droie élémen de [,+ ]. hp :// c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

11 Monrons que α E ou encore que l foncion fe α es inégrble sur [,+ [ ou encore, puisque f es posiive, que fe α d < + ou encore que l foncion X X fe α d es mjorée sur [,+ [. Pr hypohèse, l foncion Lf es mjorée sur ]α,+ [. Donc il eise M > el que pour ou > α, Lf M. Monrons que pour ou X, X fe α d M. Soi X >. Soi Ψ : [α,+ [ [,X] R., fe Pour ou réel de [α,+ [, l foncion Ψ, es coninue pr morceu sur le segmen [,X]. Pour ou réel de [,X], l foncion Ψ, es coninue sur le segmen [,X]. Pour ou, [α,+ [ [,X], fe fe α = ϕ où ϕ es inégrble sur le segmen [,X] cr coninue sur ce segmen. D près le héorème de coninuié des inégrles à prmères, l foncion On si que pour ou > α, X fe α d e on obien X X On monré que pour ou X, fe d fe α d M. X X fe d M. Qund end vers α, fe α d M e donc α E. fe d es coninue sur [α,+ [. X fe d end vers VII.A. Pr conrposiion, si α / E, Lf n es ps bornée sur ]α,+ [ e donc lim α +Lf = + d près l quesion précédene. VII.B - Pour ou réel de E, Lf = cos e ln+ d = VII.B. Soi R. L foncion cos es coninue sur [,+ [. + Si >, Si, cos + d. cos cos es dominée pr qund end vers + e donc l foncion es inégrble sur [,+ [. + + cos + d + n= cos + + d Donc l foncion cos n es ps inégrble sur [,+ [. + On monré que n= π 4 +nπ nπ cos + d π 4 nπ+ π = E =],+ [. VII.B. Soien > e A >. Une inégrion pr pries fourni Puisque >, donc l inégrle lim A + sin d. + + [ ] A cos sin A + d = + + sin sina A d = + + +A + sina =. D ure pr, l foncion sin +A + sin d converge. Il en es de même de l inégrle + + sin d es inégrble sur [,+ [ cr + > e cos d. De plus, + cos + d = hp :// c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

12 X cos Soi. Posons FX = + d. Donc F nπ+ π 4 F nπ+ π nπ+ π 4 Fnπ = 4 nπ cos + d π 4 +nπ π 4. Fnπ ne end ps vers qund n end vers + e on en dédui que l foncion F n ps de limie qund X end vers + ou encore que l inégrle On monré que cos d diverge. + E =],+ [. VII.B.3 D près l quesion VII.B., α =. D près l quesion précédene, pour ou >, Lf = sin d. Soi Ψ : [,+ [ [,+ [ + + R, sin + +. cos + d = Pour ou réel de [,+ [, l foncion Ψ, es coninue pr morceu sur [,+ [. Pour ou réel de [,+ [, l foncion Ψ, es coninue sur [,+ [. Pour ou, [,+ [ [,+ [, Ψ, = sin + + = ϕ oùϕes inégrble sur[,+ [ cr coninue + sur [,+ [ e dominée en + pr. D près le héorème de coninuié des inégrles à prmères, l foncion Lf es coninue sur [,+ [. En priculier, lim Lf = Lf = > sin + + d = cos + d. sin + + +;d = VIII - Une uilision de l rnsformion L cos + ;d = VIII.A - Soi P,Q P. L foncion e PQ es coninue sur [,+ [ e es dominée en + pr d près un héorème de croissnces comprées. On en dédui que l foncion e PQ es inégrble sur [,+ [ e en priculier que l inégrle e PQ d converge. VIII.B - D près l quesion précédene,.,. es bien une pplicion de P vers P. L pplicion.,. es linéire pr rppor à s deuième vrible. Pour ou P,Q P,,Q,P = P,Q e donc.,. es à symérie hermiienne puis.,. es une forme sesquilinéire hermiienne. Pour ou P P, P,P = e P d vec églié si e seulemen si pour ou, e P = foncion coninue posiive d inégrle nulle ou encore pour ou, P = ou enfin P = polynôme yn une infinié de rcines. Donc.,. es définie posiive. En résumé,.,. es es une forme sesquilinéire hermiienne définie posiive e donc.,. es un produi sclire sur P. VIII.C - Pour ou P P e ou UP = e e P e P +e P = P +P. Pr suie, UP = XP +XP es bien un polynôme. Soien lors P,Q P e λ,µ C. UλP +µq = XλP +µq +XλP +µq = λ XP +XP +µ XQ +XQ = λup+µuq. hp :// c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

13 Donc U es un endomorphisme de P. VIII.D - Soi P,Q P. Soi A >. Une inégrion pr pries fourni e e De P Q d = [ ] D e P Q d = e P A Q = e A AP AQA e P Q d. e P Q d Qund A end vers +, e A AP AQA end vers d près un héorème de croissnces comprées. Qund A end vers +, on obien Mis lors UP,Q = e e De P Q d = e P Q d. P,UQ = UQ,P = e Q P d = e P Q d = UP,Q. VIII.E - U =. Donc es vleur propre de U e le polynôme es un veceur propre ssocié. En priculier, U dme u moins une vleur propre dns C. Soi λ C une vleur propre de U puis P un veceur propre ssocié. mis ussi UP,P = λp,p = λ P,P, UP,P = P,UP = P,λP = λ P,P. On en dédui que λ λ P,P = puis λ = λ cr P,P. Pr suie, λ R. On monré que oues vleur propre de U es réelle. Soien λ e µ deu vleurs propres réelles e disinces de U e soien P e Q des veceurs propres de U respecivemen ssociés à λ e µ. λ P,Q = λ P,Q = λp,q = UP,Q = P,UQ = P,µQ = µ P,Q e donc λ µ P,Q = puis P,Q = cr /lmbd µ. On monré que des veceurs propres de U ssociés à des vleurs propres disinces son orhogonu. VIII.F - VIII.F. D près l quesion VIII.C, UP = λp R, P +P = λp R, P + P λp =. VIII.F. P n es ps nul. Soi n N le degré de P. Le polynôme XP + XP λp es de de degré u plus n. Le coefficien de X n dns XP + XP λp es n λdomp. Ce coefficien doi êre nul e donc l = n = degp. On monré u pssge que SpU Z. VIII.G - Descripion des élémens propres de U VIII.G. L foncion Pe es inégrble sur [,+ [ si e seulemen si >. Donc E =],+ [ puis, pour >, on peu poser Q = LP. Au vu de l inégrbilié de oues les foncions considérées, P soluion de E n, P + P +np = On déjà pour ou >,, >, P e + P e +npe = >, sur [,+ [ de mnière illicie fourni pour > P e d+ P e d+n Pe d = Pe d = Lf = Q. Ensuie, une inégrion pr pries effecuée direcemen hp :// 3 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

14 P e d = [ P e ] + = P++ P e d Pe d Pe d = P++Lf+Lf d près l quesion IV.A = P++Q+Q. e ussi P e d = [ P e ] + = [ P e ] + + = P Q Q, P e d P e d e donc P e d+ P e d+n Pe d = P Q Q P++Q+Q +nq = +n+q Q. Pr suie, si P es soluion de E n sur ],+ [ lors pour ou >, +n+q Q = e en priculier, Q es soluion sur ],+ [ de l équion différenielle y + n y = E n. VIII.G. L foncion n es coninue sur ],+ [. On si lors que les soluions de E n sur ],+ [ consiuen un R-espce vecoriel de dimension. Soi f une foncion dérivble sur ],+ [. f soluion de E n sur ],+ [ >, f + n f = n+ >, f + n f = n+ >, f e n+ ln n ln + n e n+ ln nln f = n+ >, nf = C R/ >, f = C n n+. Fisons un biln. Si λ es une vleur propre de U, il eise n N el que λ = n e si P es un veceur propre ssocié, P es un polynôme de degré n el que pour ou >, LP = C n n n+ = C k où C es une consne k k+ réelle. Soi P = k n X k e pour ou >, Q = n k! k n+. D près l quesion IV.B, pour ou >, k= Vérifions que UP = np. k n k! n LP = k! k k+ = n k n = k k+ n+ = Q. k= k= k= hp :// 4 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.

15 UP = XP +XP k n = X kx k k n +X kk X k k! k k! k k= k= k n = kx k k n kx k k n + kk X k k! k k! k k! k k= k= k= k n = k X k k n n kx k k+ n n = k+ X k k n kx k nnxn k! k k! k k+! k+ k! k n! k= k= k= k= n k n n = k+ +k X k nnxn k! k+ k n! k= n k n! = n k! k!n k! + n! X k nnxn k!n k! n! k= n = n = n k= k= k k! n!n k+k X k nnxn k!n k! n! k n! k! k!n k! Xk = np Pr suie, P es un polynôme non nul el que UP = np. Ceci monre que n es effecivemen vleur propre de U. Pr suie SpU = Z. Soien n N e P un élémen non nul de E n U. On si que P es de degré n d près l quesion WIII.F.. Le polynôme P = P domp domp P es élémen du sous-espce vecoriel E nu e es de degré u plus n. On en dédui que ce polynôme es nul cr un polynôme non nul de E n U es de degré n e donc P VecP. Ceci monre que E n U es l droie vecorielle VecP. VIII.G.3 D près l formule de Leibniz, pour ou R, k= Donc, pour ou n N, E n U = VecP n. n n P n = e k k= k n = n! k = n!p. k! k e k n n k = e n k= n k e n! k k! k hp :// 5 c Jen-Louis Rouge,. Tous drois réservés.