BACCALAUREAT BLANC MATHEMATIQUES. SERIE S - obligatoire. Durée : 4 heures. Coefficient 7

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1 BACCALAUREAT BLANC Février 04 - Lycée de la côtière- La Boie MATHEMATIQUES SERIE S - obligatoire Durée : 4 heure Coefficient 7 Le calculatrice électronique de poche ont autoriée conformément à la légilation en vigueur Une eule calculatrice par table Le ujet et compoé de 4 exercice indépendant Le candidat doit traiter chaque exercice ur une feuille différente et indiquer ur chaque feuille on nom et a clae aini que le nom de on profeeur de mathématique Le répone au QCM de l exercice 4 eront donnée ur la feuille annexe en page 6 qui era jointe à la copie La qualité et la préciion de la rédaction eront prie en compte dan l'appréciation de copie Le candidat vérifiera que le ujet comporte bien feuille recto-vero

2 Exercice : 5 point Lor d un examen, Julien doit répondre à un QCM A chaque quetion troi répone ont propoée dont une eule et exacte Pour chaque quetion, oit il connaît la répone et répond de façon exacte, oit il ne la connaît pa et répond au haard ; il a alor une chance ur troi que a répone oit exacte On uppoe, de plu, que la probabilité que Julien connaie la répone à une quetion donnée et égale à On note C l événement «Julien connaît la répone» et E l événement «la répone et exacte» Julien répond à une quetion du QCM a Contruire un arbre pondéré décrivant la ituation b Montrer que p(e) = c Julien a donné la répone exacte à la quetion Quelle et la probabilité qu il ait répondu au haard? Le QCM et compoé de 5 quetion Julien répond aux 5 quetion et e répone ont indépendante a Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de répone exacte donnée par Julien aux 5 quetion du QCM Jutifier que X uit la loi binomiale et donner le paramètre de cette loi b Donner, à 0 4 prè, la probabilité que Julien ait exactement deux répone exacte à ce QCM c Donner l epérance mathématique de X Le QCM et noté ur 5 point Une répone exacte rapporte point Une mauvaie répone enlève 05 point Si le total de point et négatif, la note globale attribuée à l exercice et 0 Soit Y la variable aléatoire égale à la note obtenue par Julien à ce QCM a Quelle ont le valeur que peut prendre Y? b Recopier ur votre feuille et compléter le tableau ci-deou donnant la loi de probabilité de Y : (le probabilité eront arrondie à 0 4 prè) Y= y i 0 P(Y = y i ) 0646 c Quelle et la probabilité que Julien n ait pa 0 point à ce QCM? d En uppoant que tou le élève e comportent comme Julien, quelle moyenne, arrondie au centième, peut-on attendre à ce QCM?

3 Exercice : 5 point Partie A On conidère la uite (w n ) définie par w 0 = et, pour tout entier naturel n : w n + = On admet que tou le terme de cette uite ont défini et trictement poitif Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : w n > a Etablir que, pour tout entier naturel n, on a : w n + w n = Partie B b Déterminer le en de variation de la uite (w n ) En déduire que la uite (w n ) converge On conidère la uite (u n ) définie par u 0 = et, pour tout entier naturel n : u n + = On admet que tou le terme de cette uite ont défini et trictement poitif On conidère l algorithme uivant : Entrée Initialiation Traitement et ortie Soit un entier naturel non nul n Affecter à u la valeur POUR i allant de à n Affecter à u la valeur Afficher u FIN POUR Reproduire et compléter le tableau uivant, en faiant fonctionner cet algorithme pour n = Le valeur de u eront arrondie au millième i u Pour n =, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : i u Conjecturer le comportement de la uite (u n ) à l infini On conidère la uite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par : v n = a Démontrer que la uite (v n ) et géométrique de raion b Calculer v 0, pui écrire v n en fonction de n 4 a Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v n b Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n = c Déterminer la limite de la uite (u n )

4 Exercice : 5 point Partie A Soit f la fonction défiie ur R par : f(x) = (x² + x + ) e x Jutiier que pour tout réel x, #² % & ' ( * b Déterminer la limite de f en + et en donner une interprétation graphique c Déterminer la limite de f en Etudier le variation de f et dreer on tableau de variation ur R a Jutifier que l équation f(x) = 0 admet deux olution ur R Partie B # % & + En déduire que lim &0 # % & ' 0 b On note α la olution qui appartient à l intervalle [ ; + [ Jutifier que α appartient à l intervalle [ ; ] pui donner un encadrement de α d amplitude 0 c En déduire le tableau de igne de f On note C h et C g le courbe repréentative de fonction h et g définie ur R par : # ' % & %4 5# ' #² 7 # 7 Démontrer que le deux courbe C h et C g paent par le point A (0 ; ) et admettent en ce point la même tangente 8 Démontrer que pour tout réel x, on a : # 5# ' b Etudier le poition relative de courbe C h et C g <# #² 7 # 7

5 Exercice 4 : 5 point Cet exercice et un QCM Aucune jutification n et demandée Pour chacune de quetion, une eule de propoition et correcte Chaque répone correcte rapporte un point Une répone erronée ou une abence de répone n enlève pa de point Vou noterez dan le tableau de l annexe jointe au vero, la lettre correpondant à la répone que vou avez choiie (n oubliez pa de rendre l annexe avec votre copie) Première partie L epace et muni d un repère orthonormal (O, ı>,?>, ka>) On note (d) la droite paant par le point A(0 ; ; ) et B( ; 6 ; ) x ' t td On note le plan (P) d équation paramétrique : B y ' 7 t 7 t F I, z ' t 7 5tD où t et t F ont deux réel Une repréentation paramétrique de la droite (d) et : x ' k 7 a By ' k 7 z ' k k K R x ' k 7 b B y ' k z ' k 7 k K R x ' k c B y ' k 7 z ' k 7 k K R la droite (d) et : a inclue dan (P) b trictement parallèle à (P) c écante à (P) On note (d ) la droite ayant pour repréentation paramétrique : B x ' m y ' m z ' m 7 (d) et (d ) ont : m K R I a parallèle b écante c non coplanaire Deuxième partie Le plan complexe et muni d un repère orthonormé direct (O,LA>, M>) 4 Dan l enemble C de nombre complexe, l équation : O O = z a a deux olution réelle b a une eule olution c a deux olution complexe 5 L enemble de point M dont le affixe z ont le olution de l équation : QR 7 4 Q ' et : a le cercle de centre A d affixe ( + 4i) et de rayon b le cercle de centre B d affixe (4 i) et de rayon c le cercle de centre C d affixe ( 4 + i) et de rayon

6 ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE NOM et PRENOM : CLASSE : Nom de votre profeeur de mathématique : Répone au QCM de l exercice 4 Première partie Quetion Répone : Quetion Répone : Quetion Répone : Deuxième partie Quetion 4 Répone : Quetion 5 Répone :

7 Exercice a arbre de probabilité CORRECTION E C 0 E E b C et C forment une partition de l univer donc d aprè la formule de probabilité totale, on a : 4 p(e) = p(c E) + p(c E) = pc * p V E 7 pwcx * p V E ' + = + = + = = Y p Z WCX ' pc E pe ' 6 ' 6 * ' 4 a Julien répète 5 foi de manière identique et indépendante l épreuve de Bernoulli qui et «répondre à une quetion du QCM» dont la probabilité de uccè et p = p(e) = On obtient donc un chéma de Bernoulli de paramètre n = 5 et p = b La variable aléatoire X qui compte le nombre de uccè obtenu uit donc la loi binomiale de paramètre n = 5 et p = et la probabilité d obtenir k uccè (avec 0 k 5) et : p(x = k) = \ 5 ]^ * \ ^_ * \ ^_ P(X = ) = \ 5 ^ * ^ \ * \ 0646 ^ c E(X) = np = 5 = a la note obtenue et : 0 i Julien donne 0 répone exacte ou une eule répone exacte ; 05 i Julien donne répone exacte ; i Julien donne répone exacte ; 5 i Julien donne 4 répone exacte ; 5 i Julien donne 5 répone exacte ; b loi de probabilité de Y : P(Y = 0) = P(X = 0) + p(x = ) = \ 5 0^ * \ ^ * \ ^ + \ 5 ^ * \ ^ * \ ^b = 0045 P(Y = ) = P(X = ) =\ 5 ^ * ^ \ * \ 09 ^ P(Y = 5) = P(X = 4) = \ 5 4^ * ^b \ * \ 09 ^ P(Y = 5) = P(X = 5) = \ 5 5^ * ^ \ * \ 07 ^ C Y p i c p(y 0) = 0045 = d E(Y) = = 554 E

8 I I I Exercice 4 On peut attendre à une moyenne d environ 55 point à ce QCM Première partie Quetion Quetion Quetion Répone : b Répone : c Répone : c Deuxième partie Quetion 4 Quetion 5 Répone : c Répone : a Première partie c ' d 7 Répone b Une repréentation paramétrique de la droite (d) et : B e ' 8d I d K R f ' d ' k 7 k ' Le point A et aocié au paramètre k = car : B ' k I g h k ' ' ' k 7 k ' 7 ' ' k 7 k ' 7 ' Le point B et aocié au paramètre k = car : B 6 ' k I g h k ' i ' ' k 7 k ' 7 ' Répone c La droite (d) et écante à (P) 0 Le vecteur jk AAAAA> a pour coordonnée l 6 m ' l 4 mle vecteur LA> l m et M> l m dirigent le plan (P) 5 Si le vecteur jk AAAAA>, LA> et M> ne ont pa coplanaire alor (d) et écante à (P) Le vecteur jk AAAAA>, LA> et M> ont coplanaire i et eulement i il exite deux réel t et t tel que jk AAAAA> = t LA> + t M> ' t t F ' t t F ' t t F ' t t F jk AAAAA> = a LA> + b M> g B 4 ' t 7 t F I g B 4 ' t 7 t F I g h 4 ' t 7 t F I g q t ' 4 * ' t 7 5t F L 7 L : ' 7t F t F ' p p t F ' p u * b p ' 0 v p g t ' b p t r t F ' p Répone c (d) et (d ) ont non coplanaire I donc le ytème n a pa de olution donc (d) et écante à (P) (d) a pour vecteur directeur jk AAAAA> l 4 m et (d ) a pour vecteur directeur AAA> L F lm v b donc le vecteur jk AAAAA> et LAAA> F ne ont pa colinéaire donc (d) et (d ) ne ont pa parallèle Cherchon i (d) et (d ) ont écante c et-à-dire i le ytème la droite ayant pour repréentation paramétrique : u x ' m y ' m u x ' m y ' m u k 7 ' m k 7 ' k k ' m u k ' m z ' m 7 Ia une olution unique? z ' m 7 I k 7 ' m 7 g I k 7 ' m 7 g I g tx ' k 7 tx ' k 7 t x ' k 7 t x ' k 7 y ' k y ' k y ' k y ' k rz ' k 7 rz ' k 7 r z ' k 7 r z ' k 7

9 I u t r k ' k ' m k 7 ' m 7 x ' k 7 y ' k z ' k 7 I g u k ' m ' 4 t 7 ' 8 7 r x ' k 7 y ' k z ' k 7 u k ' m ' 4 g 4 t ' x ' k 7 y ' k rz ' k 7 cette égalité n F et pa poible donc le ytème n a pa de olution donc le droite (d) et (d ) ne ont pa écante (d) et (d ) ne ont ni parallèle ni écante donc elle ont non coplanaire Deuxième partie 4 Répone c L équation : {8 = z a deux olution complexe { O = z g z = z(z ) et z g z = z² z et z g z² z + = 0 et z O = 4 < 0 donc l équation a deux olution complexe conjuguée : z = = i et z = + i 5 Répone a L enemble de point M dont le affixe z ont le olution de l équation : }{ 7 ~ } ' et le cercle de centre A d affixe ( + 4i) et de rayon QR 7 4 Q ' g QR 4Q ' g Q * R 4Q ' g * R 4Q ' g R 4Q ' g R 7 4Q ' g R AAAAAA> ' g j '