Séminaire 2 SGM CRISTALLOGRAPHIE. Indexation et représentation des plans réticulaires Auteur : ESNOUF Claude

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Geoffrey Truchon
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1 Séminire CRISTALLOGRAPHIE Indextion et représenttion des plns rétiulires 0 SGM Auteur : ESNOUF Clude CLYM

2 Introdution Vous êtes utorisé : A reproduire, distribuer et ommuniquer, u publi, e doument, A modifier e doument, selon les onditions suivntes : Vous devez indiquer l référene de e doument insi que elle de l ouvrge de référene : ESNOUF Clude. Crtéristion mirostruturle des mtériux : Anlyse pr les ryonnements X et életronique. Lusnne: Presses polytehniques et universitires romndes, 0, 596 p. (METIS Lyon Teh) ISBN : Vous n'vez ps le droit d'utiliser es douments à des fins ommeriles. Vous pouvez édez u formt ntif en.ppt de e doument. [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés

3 Aès ux utres séminires - Séminire «Rppels ristllogrphie» - Séminire «Rppels ristllogrphie» 3 - Séminire «Emission, détetion, propgtion, optique des ryons X» 4 - Séminire «Méthode des poudres en DRX» 5 - Séminire «Méthodes X rsnts et mesure des ontrintes» 6 - Séminire «Emission életronique Conséquene sur l résolution des mirosopes» 7 - Séminire «Diffrtion életronique» 8 - Séminire «Projetion stéréogrphique» 9 - Séminire «Imgerie CTEM» 0 - Séminire «HAADF» - Séminire «HRTEM» - Séminire «Ptyhogrphie» 3 - Séminire «EELS» 3 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés

4 INDEXATION et REPRESENTATION des PLANS RETICULAIRES Pln rétiulire = pln de réseu (pln qui psse pr les nœuds du réseu) Les homologues prllèles et équidistnts pssent pr tous les nœuds du réseu. PLANS INDICES DE MILLER : h, k, l pour représenter les plns, u,v, w pour représenter les diretions. /l x 3 /h b b/k x () x 4 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

6 z Quelques plns simples : z (00) (00) (00) y (00) y x x Si ubique : (00), (00), (00) sont indisernbles du point de vue de l symétrie : on dit qu ils pprtiennent à l fmille {00} Si qudrtique : {00} omprend (00), (00) mis ps (00) et... Le pln hkl est noté (hkl) et pr {hkl}, les plns de même symétrie. 6 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

7 z Quelques plns simples (suite) : z (0) (-0) y y x Si ubique : (0), (-0), (0), (0-), (0), (-0) (et leurs opposés) pprtiennent à l fmille {0}, Si qudrtique : seuls (0), (-0) (et leurs opposés) pprtiennent à l fmille {0}. x 7 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

8 z Quelques plns simples (suite) : z () y (-) y x x Si ubique : (), (-), (-), (-), (et leurs opposés) pprtiennent à l fmille {}, Si qudrtique : (), (-), (-), (-) (et leurs opposés) pprtiennent à l fmille {}. 8 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

9 Q : Comment reonnître les plns d une même fmille? R : Ceux qui ont l même symétrie et don l même distne rétiulire, pr exemple. Exemple : Cubique {5} {5} {5}... = h + k + l d hkl Qudrtique Monolinique d d hkl hkl = = h + k h sin l + {5} {5} {-5} {5} k l hl osβ β b sin β sin β {5} {-5} {-5} {-5}... 9 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

10 AXES x 3 Remrque : N x w V b u V = u + vb + w vb x [uvw] π (hkl) pprtient à π si : hu + kv + lw = 0 en toutes bses N. = 0 De même, mis n ps pour omposntes h, k, l!!!!! N 0 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

11 Cs prtiulier de l hexgonl (le nottion à 4 indies) : A6 -(x+y) Ajout d un 4 ème xe (-0) (00) b y (00) (0-0) (00) Plns d une même fmille {00} x Plns d une même fmille { 00} [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

12 Cs prtiulier de l hexgonl (suite) : Nottions 4 indies : Pr exemple : (5) devient (-35) (hkl) (hkil) ve i = - (h+k) L permuttion des 3 premiers indies est utorisée pour les plns d une même fmille (symétrie 6 oblige) : (-35) {-35} est à dire que : d -35 = d -35 = d -35 ou que : d -35 = d 5 = d -35 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

13 Cs prtiulier de l hexgonl (suite) : Nottions 4 indies des diretions : (UVW) (uvtw) ve t = - (u+v) Pr exemple : [3] devient [0-3] Le pssge d une nottion à l utre est résumée pr le tbleu : 3 indies 4 indies Diretions U = u + v V = v + u W = w u = (U - V)/3 v = (V - U)/3 t = - (u + v) w = W 3 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

15 Chngements d xes (suite) : Soit un veteur r : r = u + vb + w = UA + VB + WC r = Uu + Uvb + Uw + Vu + Vvb + Vw d où : + Wu + Wv b + Ww 3 e qui s érit : 3 3 u = Uu v = Uv w = Uw + Vu + Vv + Vw + Wu + Wv Ww 3 u v w = [ ] V W u v w u v w u v w U soit u v w = [M T ] U V W 5 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

18 ESPACE et RESEAU RECIPROQUES Diret Réiproque b v =.b b = b / v = / v = b / v =.b v omptibles ve : b b = = = b b = = b = b = 0 = 0 = 0 Exemple : HEXAGONAL 60 b b b = os(30 ) v = os(30 ) b = don = os(30 ) = 3 8 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

19 PROPRIETES : Réseu réiproque - Produit slire : V(diret) = u + vb + w V (réiproque) = u + v V V = u u + v v + w w b + w Indies de Miller : x 3 x 3 DIRECT /h /l o H N b b/k x π OH = d hkl x RECIPROQUE l g o hkl kb h b x x 9 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

20 Réseu réiproque Soit : g hkl = h + kb + l g = h ; g b = k ; g = l Or : d hkl = OH = N / h = N b / k = N / l h = g = N / d hkl D où : g hkl pln π (hkl) g = /d hkl (d hkl : distne interrétiulire) R.R. Espe de points Applition : Droite [uvw] d un pln (hkl) est telle que : est à l droite et don : hu + kv + lw = 0 g hkl 0 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

21 Réseu réiproque 3 Espe réiproque Espe de Fourier : Rppel : Notion de série de Fourier f(t) = Σ + - F(ν).exp(πiνt) F(ν) = f(t) T t=0 T F(ν) f(t).exp(-πiνt) dt T t /T ν Périodique Disret [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

22 Soit une fontion tripériodique mnière suivnte : ve f(r) = f(x,y,z), qui se développe de l f(r) = Σ g f(g).exp(πirr) 3 f(r) = f(r).exp( -πirr) d r v mille = Trnsformée de FOURIER (TF) Si t est l période dns l espe des r : f(r + t) = f(r) exp(πirt) = ou Rt = entier Si on identifie R à un veteur de l espe réiproque g : R = g = h + kb + l (h,k,l entiers) t = u + vb + w (u, v,w entiers) Rt = hu + kv + lw = entier Conlusion : R.R. Espe de Fourier Réseu réiproque En tout point de l espe réiproque d un ristl, est ssoié un oeffiient de FOURIER d une série à 3 dimensions. Cette série est égle à une fontion dérivnt une propriété f( r ) de l espe diret. [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

23 Une pplition direte : NORMALE à un PLAN (hkl) : - Systèmes à bses orthogonles : ( //, et...) à une onstnte près N = h + kb + l Mis, h k l h kb l N = + + = + + b b don : = [h/, k/b, l/ ] N Le s prtiulier du système ubique entrîne que l normle à un pln (hkl) s indexe [hkl]. Exemple du qudrtique = : Le pln (40) dmet pour normle [4/,0,4/ ], est à dire : [0]. 3 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

24 Normle à un pln (suite) - Système à bse hexgonle : 60 b 4 3b 3 b b. = 4 = + 3 r : N = h + kb don b ; 3b b = b = 3 4b = + 3 3b = d'où 9b 9 b + l = (h + k) et 4 = 3 (k + h) + En nottion 4 indies, u = (U-V)/3,..., il vient : = u = (4h+k-k-h)/9 = h/3 v = (4k+h-h-k)/9 = k/3 w = l/ Finlement, le pln (hkil) prend pour normle : = [h, k, i, 3/(/) l] N 4 [C.Esnouf], [0], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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