Régimes transitoires en électricité
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- Edith Dussault
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1 Régimes transitoires en électricité Objectifs rappels de notions théoriques sur la réponse libre et la réponse forcée des systèmes linéaires simulation avec Excel de ces réponse observation expérimentale avec oscilloscope à mémoire de ces réponses sur des circuits RC et RLC 1 Rappels théoriques La modélisation des systèmes linéaires consiste à déterminer le modèle mathématique adapté au système physique étudié. Le modèle temporel est basé sur les équations différentielles linéaires. On s intéresse aux équations du 1 er et 2 d ordre. L étude des solutions de ces équations représente la réponse temporelle du système. La résolution des équations fait apparaître deux types de solutions: 1.1 la solution générale (1) équation du 1 er ordre: s (t) + 1 τ s(t) = b o e(t) où τ représente la constante de temps la solution générale de cette équation sans second membre est: s g (t) = k e -t/τ (2) équation du 2 d ordre: s (t) + 2z ω 0 s (t) + ω 02 s(t) = b 0 e(t) où ω 0 représente la pulsation propre non amortie et z le facteur d amortissement selon la valeur du paramètre z la solution générale pourra prendre l une des 3 formes suivantes: z > 1 s g (t) = A e -[ (z + z2-1) ω o t] + B e -[ (z - z2-1) ω o t] s g (t) = A e - t/τ1 + B e - t/τ2 le système équivaut à 2 systèmes du premier ordre mis en cascade; la réponse est monotone décroissante z = 1 s g (t) = (A+B t) e - (z ωo t) le système équivaut à 2 systèmes identiques du premier ordre mis en cascade; la réponse est monotone décroissante z < 1 s g (t) = e - (z ωo t) [ A e - j ωa t + B e +j ωa t ] où ωa = ωo 1 - z 2 représente la pulsation propre amortie à partir des formules d Euler, on obtient: s g (t) = e - (z ωo t) [α cos ωa t + β sin ωa t] les coefficients α et β dépendent des conditions initiales s(0 + ) et s (0 + ) cette réponse est oscillante amortie de pseudo-période Ta = 2π / ωa Régimes transitoires en électricité page 1
2 1.1 les solutions particulières Les solutions particulières sont de même forme que le second membre, c est à dire l excitation du système; elles ne sont donc pas typiques de la nature du système. Les paramètres de ces solutions particulières doivent être tels qu ils permettent de vérifier l équation au régime permanent. La nature des solutions générales régissant la réponse libre (exponentielle amortie) indique que cette réponse libre est par nature fugace (régime transitoire). Au bout d un temps très court, on ne peut observer que le régime permanent (réponse forcée). 2 Simulation avec Excel 2.1 Système du 1 er ordre a) réponse libre (entrée nulle) - vérifier que pour une condition initiale nulle Xo = 0 le système n évolue pas - pour Xo = 1 vérifier l influence de la constante de temps τ sur la réponse b) réponse indicielle (entrée échelon unité) - vérifier que pour une condition initiale nulle Xo = 1 le système n évolue pas c) réponse de vitesse (entrée rampe unité) d) réponse harmonique (entrée sinusoïdale) 2.2 Système du 2 nd ordre a) réponse libre (entrée nulle) - vérifier que pour les conditions initiales nulles Xo = 0 et X o = 0 le système n évolue pas - pour Xo = 0 et X o = 120 observer la réponse; tirer une conclusion des 2 observations précédentes - pour Xo = 1, X o = 0 et z = 0,4 vérifier l influence de la pulsation propre ωo sur la réponse - pour Xo = 1, X o = 0 et ωo = 125,7 vérifier l influence de l amortissement z sur la réponse; à partir de quelle valeur de z cette réponse est-elle monotone décroissante? b) réponse indicielle (entrée échelon unité) - pour Xo = 0 et X o = 120 observer la réponse; tirer une conclusion des 2 observations précédentes - pour Xo = 0, X o = 0 et z = 0,4 vérifier l influence de la pulsation propre ωo sur la réponse - pour Xo = 0, X o = 0 et ωo = 125,7 vérifier l influence de l amortissement z sur la réponse; à partir de quelle valeur de z cette réponse est-elle monotone décroissante? c) réponse de vitesse (entrée rampe unité) - pour Xo = 0 et X o = 120, observer la réponse - pour Xo = 0 et X o = 0, observer la réponse - tirer une conclusion des 3 observations précédentes d) réponse harmonique (entrée sinusoïdale) - pour Xo = 0 et X o = 120, observer la réponse - pour Xo = 0 et X o = 0, observer la réponse - tirer une conclusion des 3 observations précédentes Régimes transitoires en électricité page 2
3 3 Etude expérimentale La difficulté de cette étude expérimentale réside dans le fait que les régimes libres ne sont observables qu au voisinage de l instant initial (ils s annulent très rapidement du fait du terme d amortissement exponentiel). L observation classique à l oscilloscope de la réponse d un circuit RC ou RLC excité par un générateur de signaux sinusoïdaux ne permet de voir que le régime forcé (régime permanent à la fréquence du générateur). Nous allons examiner quelques méthodes permettant d appliquer (ou d enlever) un générateur à un instant donné appelé instant initial. En synchronisant l oscilloscope à mémoire ou le matériel d acquisition (Esao, Orphy, etc.) avec cet instant initial, on peut observer le régime transitoire. 3.1 utilisation d un commutateur manuel La difficulté principale est la synchronisation de l appareil de mesure à l instant initial; pour une bonne précision du déclenchement de l acquisition, il faut toujours synchroniser sur des signaux à variation rapide. On évitera dans la mesure du possible de se synchroniser sur des signaux variant comme i dt comme la tension aux bornes du condensateur, pour préférer un signal variant comme di / dt comme la tension aux bornes de l inductance. Dans le cas où il n y a pas d inductance, on choisira la tension aux bornes d une résistance; dans l exemple ci-dessus, c est la qui doit servir à la synchronisation. 3.2 utilisation d un interrupteur électronique D S commande G Régimes transitoires en électricité page 3
4 L utilisation d un transistor de puissance MOS (IRF 350 ou autre) peut se révéler intéressante; ce type de composant présente à l état conducteur une résistance très faible de l ordre de 0,1 à 0,5 W ; il se commande par l application d une tension sur sa grille. Cette solution est particulièrement intéressante si on dispose d une centrale d acquisition permettant de générer une tension de commande. Noter que cette tension de commande doit être supérieure à la tension du générateur. Comme la tension nominale VGS du transistor est de l ordre de 5V, on peut appliquer une tension de commande ± 5V à condition que la tension délivrée par le reste faible (de l ordre du volt). Remarque: ce montage est déconseillé si on utilise un inductif, car l interruption du courant par le blocage du transistor peut conduire à sa destruction. Le montage suivant ne présente pas l inconvénient signalé ci-dessus car le blocage du transistor n interrompt pas le courant dans l inductance. Il ne présente pas non plus la contrainte d avoir une tension faible délivrée par le générateur; on peut utiliser en sortie du des signaux d amplitude 10V. commande G D S 3.3 utilisation d un multiplieur analogique générateur sortie TTL multiplieur synchro Régimes transitoires en électricité page 4
5 Avec ce montage simple, on peut aisément observer l excitation du circuit () et sa réponse (); le signal présent à la sortie TTL du générateur a pour valeurs 0 et 5V; à la sortie du multiplieur, la tension est égale, soit à zéro, soit à K.V géné ; On peut utiliser la synchro externe de l oscilloscope en acquisition MONOCOUP (Single) sur le front montant pour déclencher la mesure au changement d état de la sortie TTL, c est à dire généralement le passage par zéro de V géné. Nous obtenons, dans ce cas, une synchronisation de l instant initial extrêmement précise. La contrainte principale de ce montage est que la durée du transitoire doit être plus courte que la demi-période du générateur. Une autre contrainte réside dans le fait que le multiplieur ne peut pas délivrer à sa sortie un courant important (qq ma): le choix des impédances des composants du doit prendre en compte cette limitation, ou alors, il faudra intercaler entre le multiplieur et le un amplificateur de courant du type Push-Pull. Si on dispose d une centrale d acquisition permettant de générer des signaux de commande, on remplacera avantageusement la sortie Synchro TTL du générateur par le signal de commande de la centrale d acquisition; la seule contrainte à respecter pour ce signal de commande est qu il délivre des niveaux de tension bien calibrés: 0V et +5V. Régimes transitoires en électricité page 5
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