TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014

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1 TS Devoir Commu de Mathématiques N Ludi7//04 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie Le sujet est composé de 4 eercices idépedats La calculatrice est autorisée La durée du devoir est de h Eercice : sur 6 poits Au cours d ue séace, u joueur de teis s etraîe à faire des services Pour tout etier aturel, o ote l évèemet «le joueur réussit le -ième service» et R l évèemet cotraire Soit la probabilité de R et y la probabilité de R La probabilité qu il réussisse le premier service est égale à 0,7 O suppose de plus que les deu coditios suivates sot réalisées : Si le joueur réussit le -ième service, alors la probabilité qu il réussisse le suivat vaut 0,8 Si le joueur e réussit pas le -ième service, alors la probabilité qu il réussisse le suivat vaut 0,7 O s itéresse au deu premiers services de l etraîemet Soit X la variable aléatoire égale au ombre de services réussis sur ces deu premiers services a Compléter l arbre podéré ci-dessous, traduisat la situatio : R b Détermier la loi de probabilité de X c Calculer l espérace mathématique E(X) de la variable aléatoire X O s itéresse maiteat au cas gééral a Doer les probabilités coditioelles P R et R P R b Motrer que, pour tout etier aturel o ul, o a : 0, 0,7 Soit la suite ( u ) défiie pour tout etier aturel o ul, par u 9 7 Das ces deu questios, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio a Détermier la ature de la suite ( u ) b E déduire la limite de la suite ( ) Eercice : Les questios suivates sot idépedates sur 5 poits Das u lycée doé, o sait que 55% des élèves sot des filles O sait égalemet que 5% des filles et 0% des garços déjeuet à la catie O choisit au hasard u élève du lycée a) Quelle est la probabilité que cet élève soit ue fille qui déjeue à la catie? b) Quelle est la probabilité que cet élève e déjeue pas à la catie? c) Cet élève a déjeué à la catie Quelle est la probabilité que ce soit ue fille? O doera le résultat à R

2 Ue variable aléatoire Y suit ue loi biomiale de paramètres 0 et 5 Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à Doer ue valeur approchée du résultat à 0 U appareil méager peut préseter après sa fabricatio deu défauts O appelle A l évèemet : «l appareil présete u défaut d apparece» et l évèemet : «l appareil présete u défaut de foctioemet» O suppose que les évèemets A et sot idépedats O sait que la probabilité que l appareil présete u défaut d apparece est égale à 0,0 et que la probabilité que l appareil présete au mois l u des défauts est égale à 0,069 O choisit au hasard u des appareils Quelle est la probabilité que l appareil présete le défaut? 4 O cosidère l algorithme : Das l epériece aléatoire simulée par l algorithme précédet, o appelle X la variable aléatoire preat la valeur C affichée Quelle loi suit la variable X? Préciser ses paramètres Eercice : sur 5 poits Répodre par VRAI ou par AUX à chacue des affirmatios suivates, e justifiat votre répose Si f est défiie sur par f ( ) ² alors f '(0) Si f est défiie sur par f ( ) équatio y6 8 La foctio f défiie sur ]0; [ par Eercice 4 : sur 65 poits Soit le polyôme P défii sur par a Calculer les limites de P e et e alors la tagete à la courbe de f au poit d abscisse 0 a pour si f( ) a pour asymptote e la droite d équatio y 0 P ( ) b Détermier les variatios de P sur c Démotrer que l équatio P ( ) 0 admet ue uique solutio sur et que [ ;0] d Doer u ecadremet de à 0 e Détermier le sige de P ( ) suivat les valeurs de Soit f la foctio défiie sur par f ( ) ² a Détermier les limites de f e et e b Détermier la dérivée de f et motrer que ( ) P( ) f '( ) ² c A l aide de la questio ) e), détermier le sige de f '( ) et dresser le tableau de variatio de la foctio f

3 CORRIGE Eercice O s'itéresse au deu premiers services de l'etraîemet Soit la variable aléatoire égale au ombre de services réussis sur ces deu premiers services a Détermier la loi de probabilité de (O pourra utiliser u arbre de probabilités) La variable aléatoire pred les valeurs 0, et De plus, E utilisat le pricipe multiplicatif sur l'arbre o obtiet: P(X=0)= 0 0 = 009 P(X=)= = 05 P(X=)= 07 08= 056 D où la loi de probabilité de X : E utilisat le pricipe multiplicatif sur l'arbre o obtiet la loi : b Calculer l'espérace mathématique E de la variable aléatoire O s'itéresse maiteat au cas gééral a Doer les probabilités coditioelles et D'après l'éocé o a directemet : et b Motrer que, pour tout etier aturel o ul, o a : O se place à l'étape : et costituet u système complet d'évéemets, doc d'après la formule des probabilités totales : or (car et sot complémetaires), doc E remplaçat il viet : Soit la suite défiie pour tout etier aturel o ul par a Détermios la ature de la suite Pour tout etier aturel o ul o a : a Pour tout etier aturel o ul o a :

4 Doc est ue suite géométrique de raiso et de premier terme : b Déduisos la limite de la suite D'après la questio précédete o a : De, o tire soit Comme ; Doc par opératios sur les limites : Eercice : O peut traduire l éocé à l aide de l arbre podéré ci-cotre e otat l'évéemet l'élève est ue fille et C l'élève mage à la catie a O cherche à calculer p( C) p( C) p( ) p ( C) Doc la probabilité que l élève soit ue fille qui déjeue à la catie est égale à 0 95 b O cherche à calculer pc ( ) D après la formule des probabilités totales : p( C) p( C) p( C) p( ) p ( C) p( ) p ( C) Doc la probabilité que l élève e déjeue pas à la catie est égale à c O cherche à calculer pc ( ) p( C) p( ) p ( C) pc ( ) pc ( ) pc ( ) 0 75 Doc la probabilité que l élève soit ue fille sachat qu il a pas déjeué pas à la catie est eviro égale à O cherche à calculer py ( ) ( ) ( 0 ) ( ) p Y p Y p Y O cherche à calculer p ( ) D après l éocé, pa ( ) 0 0 et p( A ) ( probabilité de préseter au mois u défaut ) O a p( A ) p( A) p( ) p( A ) p( A) p( ) p( A) p( ) puisque A et sot idépedats D où : p( ) 0 0 p( ) p( ) Ce qui doe : p ( ) Doc la probabilité que l appareil présete le défaut eviro égale à O répète, das des coditios idetiques et idépedates, 9 fois ue même epériece cosistat à choisir au 0,55 0,5 0,65 0,45 C 0, 0,7 C C C

5 hasard u ombre etier etre et 7, e se demadat si ce ombre est supérieur strictemet à 5 ou o Cette epériece est ue épreuve de Beroulli dot le succès est S : «A > 5» avec p(s)= 7 Das ces coditios la variable C représete le ombre de succès lors de ces 9 epérieces La variable X suit doc ue loi biomiale de paramètres = 9 et p = 7 Eercice : f est défiie sur par f ( ) ² f est du type u avec u dérivable et strictemet positive sur u( ) ² doc u '( ) u' u ' doc f '( ) u ² f '(0) L'affirmatio est doc VRAIE f est défiie sur par f ( ) ; f est ue foctio polyôme défiie et dérivable sur f est du type u avec u()= (+) et = u'()= et comme ( u )'= u'u f '()= (+)² = 9(+)² La tagete à la courbe de f au poit d abscisse 0 a pour équatio y f '(0)( 0) f (0) f '(0)=6 et f(0)=8 doc ue équatio de la tagete au poit d'abscisse 0 est y = 6+8 L'affirmatio est doc VRAIE si La foctio f défiie sur ]0; [ par f( ) a pour asymptote e la droite d équatio y 0? O calcule la limite de f e + Pour tout réel, si Pour tout réel >0, e multipliat par o a doc si si Or lim 0 et lim 0 D'après le théorème des gedarmes o peut e déduire que lim 0 La droite d'équatio y=0 est doc asymptote à la courbe de f e + L'affirmatio est doc VRAIE Eercice 4 : a lim P( ) lim et lim P( ) lim ( o utilise la limite d'ue foctio polyôme à l'ifii qui est égale à celle de so terme de plus haut degré) b P'( ) ² ² est u polyôme du secod degré de discrimiat égal à, strictemet égatif O e déduit que P'( ) est du sige de sur et doc que P'( ) 0 sur Par suite P est strictemet croissat sur c D après le tableau de variatio, ci-cotre, P est strictemet croissate et cotiue sur, à valeurs das 0 doc l équatio P () 0 a ue uique solutio sur De plus P( ) 4 0 et P( 0) 0 doc [ 0 ; ] remarque : la flèche traduisat la stricte mootoie et la cotiuité -4 de P sur, o peut aussi compléter (correctemet bie sûr! ) le tableau de variatios de P avec les limites de P et l'image de ( qui est égative) et celle de 0 (qui est positive ), isérer 0 et so atécédet par P, et coclure par la simple phrase : "d'après le tableau de variatio de P, l'équatio P() = 0 a ue solutio uique das et cette solutio est das l'itervalle [ ; 0]"

6 d A l'aide de la calculatrice ( GRAPHSOLV ou TABLE) o trouve que [ 0 ; 0 9] (O a P( 0 ) et P( 0 9) ) e O déduit le sige de P() du tableau de variatios de P lim a lim par différece lim f ( ) par quotiet lim 0 lim ² ² De la même faço : b lim lim par différece lim f ( ) par quotiet lim 0 lim ² ² f ( ) ( de la forme ) ² doc u f '( ) remarque : o peut aussi écrire f sous forme d'u quotiet f( ) ² pour calculer les limites de f e + et e, o aura alors lim f( ) lim lim 0 - ² limite d'ue foctio ratioelle à l ifii-et puis aussi, utiliser la formule de dérivatio du quotiet pour 4 ( ² )( ² ) ( )( ) ² 4 calculer f ' d'où f '( ) ( ² )² ( ² )² c Or ( ) P( ) ( )( ) 4 4, o a doc bie ( ) P( ) f '( )

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