Triangles et parallèles

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1 Triangles et parallèles I) Propriétés sur les droites des milieux : a) Première propriété ( pour montrer que deux droites sont parallèles ) : Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB] et N le milieu de [BC]. On trace la droite (d) passant par les points M et N. On constate que la droite (d) est parallèle à la droite (AC), support du troisième côté du triangle ABC. D où la propriété que l on peut énoncer : Propriété : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième.

2 Exercice commenté : Démontrer que les droites (JK) et (EH) sont parallèles. Rédaction correcte : On sait, dans le triangle EGH, que : J est le milieu du côté [GH]. K est le milieu du côté [EG]. Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième. Donc, les droites (JK) et (EH) sont parallèles. b) Deuxième propriété ( pour montrer qu un point est le milieu d un segment ) : Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB] et (d) la droite passant par M et parallèle à (AC). Elle coupe le côté [BC] en N.

3 On constate que la droite (d) coupe le troisième côté [BC] en son milieu N. D où la propriété que l on peut énoncer : Propriété : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.

4 Exercice commenté : NOP est un triangle, R est le milieu du côté [OP]. La droite (d) passe par R et est parallèle à la droite (ON). Elle coupe le côté [NP] en S. Montrer que S est le milieu de [NP]. Rédaction correcte : On sait, dans le triangle OPN, que : R est le milieu du côté [OP]. La droite (d) passe par R et est parallèle à la droite (ON). Elle coupe [NP] en S. Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu. Donc, le point S est le milieu du côté [NP].

5 c) Troisième propriété ( pour calculer une longueur ) : Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB] et N le milieu de [BC]. On trace le segment [MN]. On constate le segment [MN] mesure la moitié du segment [AC]. D où la propriété que l on peut énoncer : Propriété : Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés alors il mesure la moitié de la longueur du troisième.

6 Exercice commenté : DEF est un triangle, H est le milieu de [DE] et G est le milieu de [EF]. On sait également que DF = 12 cm. Déterminer la longueur du segment [HG]. Rédaction correcte : On sait, dans le triangle EDF, que : H est le milieu du côté [DE]. G est le milieu du côté [EF]. DF = 12 cm Or, dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés alors il mesure la moitié de la longueur du troisième. Donc, le segment [HG] a pour mesure la moitié de celle de [DF] à savoir 6 cm.

7 II) Proportionnalité des longueurs dans un triangle : Propriété : Si dans un triangle ABC, M est un point de la demi-droite [AB), N est un point de la demi-droite [AC) et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : = = OU Remarques : Cette propriété est parfois appelée «petite propriété de Thalès». Quand cette propriété s applique, il y a proportionnalité entre les longueurs des côtés du triangle AMN et celles du triangle ABC, autrement dit, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité : Longueurs des côtés du triangle AMN AM AN MN Longueurs des côtés du triangle ABC AB AC BC

8 Exercice commenté : On sait que : (AC) // (BD) OA = 6 cm. OB = 14 cm. OC = 7,2 cm Calculer OD. Rédaction correcte : OBD est un triangle, A est un point de [OB] et C est un point de [OD] tels que les droites (AC) et (BD) sont parallèles. D après la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle, on peut écrire que : = = C est-à-dire, en remplaçant par les valeurs données dans l énoncé : 6 14 = 7,2 = Pour calculer OD, on choisit l égalité On obtient alors OD =, =,. soit OD = 16,8. La longueur du segment [OD] est 16,8 cm.

9 III) Agrandissement et réduction : a) Définition : Quand deux figures F et F ont la même forme et que les longueurs des côtés de F sont proportionnelles aux longueurs des côtés de F, on dit que : => F est un agrandissement de F si le coefficient de proportionnalité est supérieur à 1. => F est une réduction de F si le coefficient de proportionnalité est inférieur à 1. Ce coefficient est appelé rapport d agrandissement ou de réduction. Remarque : Si F est un agrandissement de F de rapport k ( k > 1 ), alors F est une réduction de F de rapport. Exemple : Ce casse-tête est un cube constitué de plusieurs petits cubes de différentes couleurs. Chaque petit cube est-il une réduction du casse-tête? Si oui, précise le rapport de cette réduction. Réponse : Chaque petit cube et le casse-tête ont la même forme : un cube. Comme chaque petit cube est plus petit que le casse-tête, alors chaque petit cube est bien une réduction du casse-tête. Comme le côté du casse-tête contient 3 petits cubes, le rapport de réduction est. On peut dire également que le casse-tête est un agrandissement d un petit cube de rapport 3.

10 b) Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés. Exemple n 1 : Le triangle EDF est une réduction de rapport 0,5 du triangle ABC, rectangle en A. Déterminer les dimensions du triangle EDF. En déduire la longueur du côté [BC] du triangle ABC. Rédaction correcte : Comme le triangle EDF est une réduction de rapport 0,5 du triangle ABC rectangle en A, on en déduit que le triangle EDF est rectangle en D car la réduction conserve la perpendicularité. De plus, les dimensions du triangle EDF sont 0,5 fois celles du triangle ABC. Ainsi, on en déduit que : DF = 0,5 AC DE = 0,5 AB DF = 0,5 8 DE = 0,5 6 DF = 4 cm DE = 3 cm

11 Dans le triangle EDF, rectangle en D, on a d après le théorème de Pythagore : EF² = DE² + DF² Soit, en remplaçant par les données de l énoncé : EF² = 3² + 4² EF² = EF² = 25 EF = 5 Les dimensions du triangle EDF sont : DE = 3 cm, DF = 4 cm et EF = 5 cm. Comme le triangle EDF est une réduction de rapport 0,5 du triangle ABC, on en déduit que le triangle ABC est un agrandissement de rapport 2 du triangle EDF. Ainsi, on peut écrire que : BC = 2 EF BC = 2 5 BC = 10 [BC] mesure 10 cm. Exemple n 2 : Le triangle MNO est-il une réduction du triangle GHI?

12 On s intéresse aux trois rapports suivants : R1 = R2 = R3 =!"#$#% &# 'ô)é $ +#,!" &# )%-.!"$ /01!"#$#% &# 'ô)é $ +#,!" &# )%-.!"$ 23.!"#$#% &# 'ô)é $ +#, ' #%) &# )%-.!"$ /01!"#$#% &# 'ô)é $ +#, ' #%) &# )%-.!"$ 23.!"#$#% &# )% -,-è5$ 'ô)é &# )%-.!"$ /01!"#$#% &# )% -,-è5$ 'ô)é &# )%-.!"$ 23. Le triangle MNO est une réduction du triangle GHI si R1 = R2 = R3. Rédaction correcte : Comme GHI et MNO ont la même forme ( ce sont deux triangles ), le triangle MNO est une réduction du triangle GHI si les dimensions du triangle MNO sont proportionnelles aux dimensions du triangle GHI. On a : R1 = 01 2 = 6 =3. R2 = /1 23 = 8 =3. R3 = /0 3 = 8 =3. Comme les trois rapports sont égaux, on en déduit que le triangle MNO est une réduction du triangle GHI, le rapport de réduction étant.

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