Mathématiques - ECS1. Vocabulaire ensembliste. 30 avenue de Paris Versailles. c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

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1 Mathématiques - ECS1 7 Vocabulaire ensembliste Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris Versailles c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

2 7 Vocabulaire ensembliste. 7.1 Objectifs L objectif est d acquérir le vocabulaire élémentaire des raisonnements mathématiques, mais tout exposé théorique est exclu. Les notions de ce paragraphe pourront être présentées en contexte au cours du semestre, ï 1 2 vitant ainsi une prï 1 2sentation trop formelle. Appartenance. Inclusion. Notations,. Ensemble P(E) des parties de E. On pourra donner l exemple de P({1,..., 6}) afin de faciliter l introduction de la notion de tribu. Complémentaire. Notation A. La notation A est ï 1 2 privilï 1 2gier. En cas d ambiguité, on utilisera la notation A E. Union, intersection. Notations,. Distributivité. Lois de Morgan. On fera le lien entre les opérations ensemblistes et les connecteurs logiques usuels. Définition du produit cartésien d ensembles. On introduira les notations R 2 et R n. Définition d une application. Composée de deux applications. Connecteurs : et, ou, non, implication, réciproque, contraposée. Quantificateurs :,. On présentera des exemples de phrases mathématiques utilisant les connecteurs et les quantificateurs, et on expliquera comment écrire leurs négations. 7.2 Relation d appartenance. Inclusion. Intersection. Union. Soit E un ensemble, par exemple N, Z, Q, R ou C Relation d appartenance Dire que x est un élément de E se note x E. Dans le cas contraire, dire que x n est pas élément de E se note x E. Exemple 1. Soit D(R, R) l ensemble des fonctions dérivables sur R. Vous savez que exp, sin, cos sont dérivables sur R. On écrira donc exp D(R, R), sin D(R, R), cos D(R, R) En revanche, la fonction abs : x R x n est pas dérivable en 0. On écrira donc abs D(R, R). 2

3 7.2 Relation d appartenance. Inclusion. Intersection. Union Inclusion On dit que A est une partie de E ou un sous-ensemble de E si tous les éléments de A sont des éléments de E. On dit que A est inclus dans E et cette relation se note A E. Exemple 2. N Z Q R C. Exemple 3. On note C(R, R) l ensemble des fonctions continues sur R à valeurs réelles. Toute fonction dérivable sur R étant continue sur R, on peut écrire D(R, R) C(R, R). Remarque 1. Soient A, B deux ensembles. On a l équivalence suivante : A = B A B et B A Pour montrer l égalité entre deux ensembles, on montrera que l un est inclus dans l autre et que l inclusion réciproque est vraie aussi. { Remarque 2. Ne pas confondre les symboles et : si A = 1, 2, i, 2, π }, on note π { 3 3 A π } mais A Ensemble des parties. On appelle ensemble des parties de E, que l on note P(E), l ensemble formé de tous les sous ensembles de E. Il contient E lui même et l ensemble vide. On a donc l équivalence suivante : A E A P(E). Exemple 4. Si E = {0, 1, 2} alors P(E) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, E} Exemple 5. Si E = alors P(E) = { } Exemple 6. Si E = { } alors P(E) = {, { }} Exemple 7. Si E = {, { }} alors P(E) = {, { }, {{ }}, {, { }}} Exemple 8. Si E = {, { }, {{ }}} alors P(E) = Dans P(E), on définit les opérations suivantes : intersection, union, passage au complémentaire. Soient A et B deux sous ensembles de E. Intersection. L intersection de A et B, notée A B, est l ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. A B = {x E x A et x B}

4 4 Vocabulaire ensembliste. Union. L union de A et B, notée A B, est l ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. A B = {x E x A ou x B} Passage au complémentaire. Le complémentaire de A dans E noté A E ou A est l ensemble des éléments de E qui n appartiennent pas à A. A E = {x E x A} Exemple 9. Prenons E = C si A est l ensemble des entiers naturels pairs et B celui des entiers naturels impairs alors A B = N, si A est l ensemble des entiers naturels pairs et B celui des entiers naturels multiples de 3 alors A B est l ensemble des entiers naturels multiples de 6, si A est l ensemble des nombres réels plus grands que 1 et B celui des nombres réels plus petits que 1 alors A B = Définition 1. Lorsque A B =, on dit que A et B sont disjoints. Proposition 1. Soient A, B, C trois parties d un ensemble E. (1) Si A B alors A B = B (2) Si A B alors A B = A (3) A (B C) = (A B) C (4) A (B C) = (A B) C (5) A B = B A et A B = B A Proposition 2. Soient A, B, C trois parties de E. (1) A (B C) = (A B) (A C) (2) A (B C) = (A B) (A C) (3) A B E = A E B E (4) A B E = A E B E

5 7.2 Relation d appartenance. Inclusion. Intersection. Union Partition d un ensemble Définition 2. Soit E un ensemble. On appelle partition finie de E, toute liste (A 1, A 2,..., A n ) formée de sous-ensemble de E tels que (i) (i, j) 1, n, i j = A i A j = n (ii) A i = E i=1 A 1 A 4 A 6 A 2 A 3 A 5 Exemple 10. L ensemble N p des entiers naturels pairs et N i des entiers naturels impairs forment une partition de N. Exemple 11. Les intervalles [0, 1[, [2, 3], ]3, 4] forment une partition de l intervalle [0, 4] Produit cartésien Définition 3. Soient A, B deux ensembles. On appelle produit cartésien de A et B, noté A B (prononcez A croix B), l ensemble formé des couples déléments de A et B pris dans cet ordre : A B = {(a, b) a A, b B} Exemple 12. Avec A = {1, 2} et B = {3, 4, 5}, on a A B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} et B A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 6)} En général, A B n est pas égal à B A. B A A B A B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} B A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)} Exemple 13. Autre exemple, ( 2, 4 5 ) R Q mais ( 4 5, 2) R Q. Le produit cartésien A A est noté A 2.

6 6 Vocabulaire ensembliste. De façon plus générale, si A 1, A 2,..., A n sont n ensembles, le produit cartésien de A 1, A 2,..., A n noté A 1 A 2... A n, est l ensemble A 1 A 2... A n = {(a i, a 2,..., a n ) i 1, n, a i A i } Un élément de cet ensemble s appelle un n-uplet. Le produit cartésien n fois de A, A A... A, est noté A n. Un élément de A n s appelle une n-liste d éléments de A. 7.3 Opérations ensemblistes et connecteurs logiques. Soit P une propriété mathématique quelconque définie sur un univers U, pouvant être valable ou non pour tous les éléments de U. On appelle x l élément générique ou la variable de l univers U et on notera P(x) la formule obtenue pour l élément x. Par exemple, (1) P(x) : 0 x 10 définit une formule sur U = R (2) P(x) : " x est dérivable sur l intervalle I" définit une formule sur l ensemble U des fonctions de I dans R, noté F (I, R). Un ensemble 1 peut alors être défini par les éléments de U paratageant une même propriété P. Si on appelle A cet ensemble, on notera A = {x U P(x)} (A est l ensemble des x appartenant à U qui vérifient P(x).) Négation Considérons un ensemble A défini par une propriété P : A = {x U P(x)}. Cet ensemble possède un complémentaire dans U qui est lui même défini par une propriété qui est la négation de P, qu on notera non-p. Exemple 14. Si P(x) est "x est un entier pair" alors non-p(x) est " x est un entier impair". Exemple 15. Si P(x) est "x est un réel solution de x 2 1 < 2x" alors non-p(x) est " x est un réel solution de x 2 1 2x". Si p est un énoncé mathématique, les valeurs de vérité prises par la négation de p sont résumées dans la table de vérité p non p Frege pensait qu il était suffisant de définir un ensemble à l aide d une formule P(x) comme l ensemble des x qui vérifient P(x) où x symbolise un objet totalement indéterminé. En 1903, Bertrand Russel démolit le travail de Frege en découvrant une contradiction. En choisissant la relation P(x) : x x, c est à dire en considérant l ensemble des ensembles qui n appartiennent pas à eux mêmes, il aboutit à la contradiction logique suivante : supposons qu un tel ensemble X existe : s il est élément de lui même (X X) alors par définition de X, on a X X ce qui est contradictoire et s i n est pas élément de lui même (X X), alors par définition de X on aurait X X ce qui est tout aussi contradictoire. Un tel ensemble ne peut donc pas exister! De la même façon, il n existe pas d ensemble contenant tous les ensembles. C est Zermelo, qui en 1908, introduit un axiome (dit de séparation) permettant de lever de tels paradoxes. Au lieu de se placer dans l univers de tous les objets mathématiques possibles, on se place dans un ensemble déterminé U et on a alors le droit de parler de l ensemble des x U qui vérifient P(x).

7 7.3 Opérations ensemblistes et connecteurs logiques Conjonction Considérons deux ensembles A et B définis respectivement par les propriétés P, Q : A = {x U P(x)}, B = {x U Q(x)} L ensemble A B est lui même défini par une propriété qui est la conjonction de P et Q, qu on notera P et Q. Exemple 16. Si P(x) est "x est un entier pair" et Q(x) est "x est un entier multiple de 3" alors P(x) et Q(x) est " x est un entier multiple de 6". Exemple 17. Si P(x) est "x est un réel solution de x 2 1 < 2" Q(x) est "x est un réel solution de x > 2" alors P(x) et Q(x) est " x est un réel solution de 1 < x 2 < 3". Si p, q sont deux énoncés mathématiques, les valeurs de vérité prises par la conjonction de p et q sont résumées dans la table de vérité p q p et q Disjonction Considérons deux ensembles A et B définis respectivement par les propriétés P, Q : A = {x U P(x)}, B = {x U Q(x)} L ensemble A B est lui même défini par une propriété qui est la disjonction de P et Q, qu on notera P ou Q. Exemple 18. Si P(x) est "x est un entier pair" et Q(x) est "x est un entier impair" alors P(x) ou Q(x) est " x est un entier ". Exemple 19. Si P(x) est "x est un réel vérifiant x 0" Q(x) est "x est un réel vérifiant x > 0" alors P(x) et Q(x) est " x est un réel positif ou nul". Si p, q sont deux énoncés mathématiques, les valeurs de vérité prises par la disjonction de p et q sont résumées dans la table de vérité p q p et q Remarque 3. En logique mathématique, l assertion p ou q n exprime pas que p et q s excluent mutuellement : p ou q ne dit pas que l on ne peut avoir à la fois p et q. En géométrie, un triange isocèle est un triangle ayant deux côtés égaux ou deux angles égaux : il est impossible ici que le ou soit exclusif. Une fonction monotone est une fonction croissante ou décroissante : les fonctions constantes sont monotones et elles sont à la fois croissantes et décroissantes.

8 8 Vocabulaire ensembliste Implication et équivalence Implication. Etant donnés deux énoncés mathématiques p, q, l implication de q par p notée p q est l énoncé (non-p ou q). Cet énoncé est faux dans le seul cas où p est vrai et q est faux. Sa négation est l énoncé (p et non-q). Lorsque p q est un énoncé vrai, on note p = q et on dit : "si p alors q" ou "p entraîne q" ou "p implique q" ou "q est une condition nécessaire de p" ou "p est une condition suffisante de q" ou "il suffit d avoir p pour avoir q" ou "il faut avoir q pour avoir p". Exemple 20. Si p est l énoncé : " la fonction f est dérivable sur R" et q est " la fonction f est continue sur R", l implication de q par p est vraie donc p = q. Exemple 21. Si p est l énoncé : " N = est un nombre premier" et q est " 2 est un nombre pair", l implication de q par p est vraie donc on peut écrire p = q. Exemple 22. Si p est l énoncé : " la somme des angles d un triangle est de 400 degrés" et q est " tous les triangles sont isocèles", l implication de q par p est aussi vraie donc p = q. Si p, q sont deux énoncés mathématiques, les valeurs de vérité prises par l implication de q par p sont résumées dans la table de vérité Equivalence. p q p q Etant donnés deux énoncés mathématiques p, q, l équivalence de p et q noté p q est l énoncé p q et q p. Cet énoncé est vrai dans les deux seuls cas où p et q sont simultanément vrais ou simultanément faux. Si p = q est un théorème (ie. p q est vrai), alors q = p est le théorème réciproque (qui n est pas toujours vrai). Si le théorème et sa réciproque sont vrais, on dit que les énoncés p et q sont équivalents et on note p q. On dit alors "p équivaut à q" ou "p si et seulement si q" ou "il faut et il suffit d avoir p pour avoir q" ou "p est une condition nécessaire et suffisante de q". Exemple 23. Pour prouver que p q est vrai, il faut et il suffit de prouver que l énoncé non-q non q est vrai. L énoncé non-q non q s appelle contraposée de p q. On a donc (p = q) ( non q = non p)

9 7.4 Applications Applications. Définition 4. Soient A, B deux ensembles. On appelle application de A vers B tout mode de correspondance qui à tout élément a de A associe un unique élément b de B. Si f est une application de A vers B, on note f : A B. Pour signifier que f associe b à l élément a, on note b = f (a) ou f : a b et on dit alors que b est l image de a par f ou que a est un antécédent de b par f. Remarque 4. Il faudrait encore définir ce qu on entend par mode de correspondance mais cette notion ne figure pas au programme. Exemple 24. Les fonctions exponentielle et logarithme : exp : R R +, x e x et ln : R + R, x ln x. Exemple 25. Les fonctions polynomiales p : R R, x a 0 + a 1 x a n x n où a 1, a 2,..., a n sont des nombres réels. Exemple 26. L application module C R +, z z. Exemple 27. Soit E un ensemble. L application I E : E E, x x s appelle application identité Composition Définition 5. Soit f : E F et g : F G deux applications. La composée de f suivie de g est l application notée g f qui va de E vers G définie par : pour tout x E, g f (x) = g( f (x)). Exemple 28. f : R C, x e ix, g : C C, z z + 1 z L application g f est définie sur à valeurs dans par g f (x) = Exemple 29. g :], 1] R, x 1 x et f : R R, x sin 2 x L application g f est définie sur à valeurs dans par g f (x) =.... Exemple 30. Soit φ la fonction définie sur R { 1, 1} par φ(t) = t 3 t+1. Déterminer φ φ φ. Proposition 3. Soient f : E F, g : F G et h : G H des applications. On a : On notera donc h g f cette application. (h g) f = h (g f )

10 10 Vocabulaire ensembliste Familles. Soit E un ensemble et I un ensemble déléments appelés indices. Définition 6. On appelle famille d éléments de E indexée par I toute application de I dans E : Une telle famille est notée (x i ) i I. I E, i x i Remarque 5. Ne pas confondre la notation (x i ) i I qui désigne une famille d éléments de E avec la notation {x i, i I} qui désigne un sous-ensemble de E Définition 7. On appelle suite d éléments de E toute famille d éléments de E indexée par N ou par une partie infinie d entiers consécutifs de N. Exemple 31. Pour tout n N, on pose u n = (1 1 n )n. On définit ainsi une suite de nombres réels (ou suite numérique) (u n ) n N. Exemple 32. Pour tout n N, on pose A n = (sin n, cos n). On définit ainsi une suite de points du plan (A n ) n N. Exemple 33. Pour tout n N, on pose f n (x) = e x n où x R. On définit ainsi une suite de fonctions ( f n ) n N. Exemple 34. Pour tout n N, on pose J n = [ 1 n, 1 n ]. On définit ainsi une suite d intervalles (J n ) n N. 7.5 Exercices. Exercice 1. Soit A = {a, b, c} avec (a, b, c) R 3. Les relations suivantes sont elles vraies ou fausses? (a) a A. (b) {a} A. (c) A. (d) {a, b} P(A). (e) P(A). (f) {a, c} A (g) {{a}, c} P(A). (h) P(A). (i) {{a, b}, {c}} P(P(A)). (j) P(P(A)). Exercice 2. Si A = {a, b, {a}, {a, b}} avec a, b réels, les relations suivantes sont elles vraies? (a) {a} A. (b) {a} A. (c) {{a}} A. (d) {a, {a}} A. (e) {a, {a}} A. (f) {{b, {a, b}}} A.

11 7.5 Exercices. 11 Exercice 3. Identifier précisément les ensembles suivants : A = {n N p N, n = 2p}; { B = x R a Z, b N, x = a } ; b { C = x R x 2 } 1 + 2x = 1 ; 2 D = {z C 1 < z 1 < 2} Exercice 4. Soit T l ensemble de la population, H celui des hommes, et F celui des femmes. Décrire en français les ensembles suivants : (a) A = {x T x H et x a un enfant} (b) B = {x T y F, x est marié à y} (c) C = {x T y T, z T, y est fils de x et z est fils de y} (d) D = {x T x est fils de x} (e) E = {x T y T, x est plus âgé que y} Exercice 5. Décrire en français les ensembles suivants : (a) A = {x R cos x = 1 2 } (b) B = {n Z a Z, b Z, n = a 2 + b 2 } (c) C = {z C z = 2} (d) D = {z C a R, z = a + ia} (e) E = {a R x [ 1, 1], f (x) f (a)} Exercice 6. Exprimer les ensembles suivants de manière symbolique : par exemple, l ensemble des nombres complexes dont la partie réelle et la partie imaginaire sont rationnels se note {z C Re(z) Q et Im(z) Q} (1) l ensemble des réels non nuls dont le double est supérieur ou égal à l inverse. (2) l ensemble des entiers pairs multiples de 3, (3) l ensemble des points du plan ayant des coordonnées égales en valeur absolue, (4) l ensemble des nombres complexes dont la somme des parties réelles et imaginaires est un entier, (5) l ensemble des points du plan situés à une distance d au plus 1 du point (1, 0), (6) l ensemble des entiers qui peuvent s écrire comme différence de deux cubes d entiers, (7) l ensemble des nombres décimaux, (8) l ensemble des réels fixes par la fonction tangente, (9) l ensemble des matrices n n dont le carré de la transposée est égal à son opposé,

12 12 Vocabulaire ensembliste. (10) l ensemble des sous-ensembles de 1, n dont la somme des éléments est un entier impair. Exercice 7. Soit A l ensemble {2, 3, 5, 11}. Déterminer P(A). Trouver tous les diviseurs de 330. Exercice 8. Que dire de deux ensembles A et B vérifiant A B = A B? Exercice 9. Soient A et B deux ensembles. Montrer que si A B alors P(A) P(B). La réciproque est elle vraie? Exercice 10. Simplifier les ensembles suivants : (a) (A (A B)) B (b) (A B) (A B) (c) (A B) (C A) (d) (A B) (B C) (A C) Exercice 11. Soient A, B deux ensembles. On note A\B l ensemble A B. Montrer que : (a) A\B\C = A\(B C) (b) (A\B) (C\D) = (A C)\(B D) Exercice 12. Soient A, B deux ensembles. On appelle différence symétrique de A et B l ensemble A B = (A\B) (B\A). (a) Caractériser cet ensemble. (b) Simplifier (A B) (A B). (c) Montrer que A B = B A. (d) Que valent A, A A, A B quand B A. Exercice 13. Explicitez les ensembles suivants A = + n=1 [ 1 n, [ +, B = [n, + [, C = n n=1 + n=1 [ [ 1 n, n, D = 2 + n=1 [ n, 1 [ ] ] 1 n n, n

13 7.5 Exercices. 13 Exercice 14. Soient a, b, c, d des éléments d un ensemble E. On suppose que les ensembles {a, {a, b}, {a, b, c}} et {c, {c, d, a}, {a, c}} sont égaux. Montrer que a = b = c = d. Exercice 15. Soient A, B, C trois ensembles. On suppose que (A B) (B A) = C C. Montrer que A = B = C. Exercice 16. Compléter les phrases suivantes par «il faut» ou «il suffit» ou «il faut et il suffit» ou «nécessaire» ou «suffisant» ou «nécessaire et suffisant.» (1) Pour qu un nombre pair soit premier,... qu il soit égal à 2. (2) Soit (x, y) R 2. La relation x 2 = y 2 est une condition... pour que x = y. (3) Soit n N. Pour que n soit divisible par 5,... que n se termine par 0. (4) Soit (x, y) R 2. Pour que x = y,... que x 2 = y 2. (5) Pour qu un triangle soit équilatéral,... que deux de ses angles soient égaux. (6) Soit z C. L égalité z = 1 est une condition... pour que Re(z) 1. (7) Soit f une fonction. Pour que f soit paire,... que sa courbe représentative soit symétrique par rapport à l axe des ordonnées. (8) Soit A un sous-ensemble de B. Pour que x A,... que x B. (9) Soit A et B deux sous-ensembles de E. Pour que A = B,... que A B et B A. (10) Soit (a, b) R 2. Pour que a + b soit rationnel,... que a et b soient rationnels. (11) Pour que la somme de deux entiers soient impaire,... qu ils soient de parité opposé. (12) Pour qu une suite soit bornée,... qu elle converge. (13) Soient A et E deux ensembles. Pour que A P(E),... que A E. (14) La continuité de f est une condition... pour qu elle soit dérivable. (15) Un soleil rose est une condition... pour que les vachent aboient. (16) L égalité AC = BD est une condition... pour que ABCD soit un rectangle. (17) Soient A, B deux matrices carr des n n. L égalité (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 est une condition... pour que AB = BA. (18) Pour qu une matrice triangulaire soit inversible, il... qu aucun coefficient diagonal ne soit nul. (19) Soit θ R. La relation θ π 2π Z est une condition... pour que eiθ = 1. Exercice 17. Soit f : C C la fonction définie par f (z) = (1+i)z ( 3 i). Déterminer une fonction g : C C vérifiant Quelle est alors l expression de g f (z)? z C, f g(z) = z.

14 14 Vocabulaire ensembliste. ( nπ ) Exercice 18. Soit (u n ) n N la suite définie par u n = cos. On définit trois autres suites 3 (a n ), (b n ) et (v n ) en posant a n = 3n + 2, b n = a 2n et v n = u bn. Simplifier l expression de v n. Exercice 19. Soient les fonctions f : x R 1 R et g : x ] π 1 + x 2 2, π 2 [ tan x R. Décrire l application f g. Exercice 20. Soit f l application définie sur [0, 1] par f (x) = x 2 x + 1. Montrer que pour tout réel x, f (x) [0, 1] et décrire f f. Exercice 21. Soient les fonctions f : z C Re(z), g : x R e ix h : z C z 3 C. Décrire l application f h g. C et Exercice 22. Soient les fonctions f : x R + x, g : x [0, 1] 1 x 2. Décrire l application f g f g. Exercice 23. Déterminer l ensemble des réels admettant trois antécédents par la fonction x x x 3. Exercice 24. Soient f : A A et g : A A deux applications telles que x A, f g(x) = x. (1) Soit (x, y) A 2. Montrer que si x y alors g(x) g(y). (2) Soit z A. Montrer qu il existe t A tel que f (t) = z. Exercice 25. On note D le sous-ensemble de C défini par D = {z C z < 1} et α un nombre complexe appartenant à D. On définit une application ϕ α : D D en posant ϕ α (z) = z α α + β Soit α et β deux réels de ] 1, 1[ et z D. On pose γ = 1 αz 1 + αβ. Exprimer ϕ α ϕ β (z) en fonction de γ et z.

15 7.5 Exercices. 15 Exercice 26. On pose f (x) = (x2 x + 1) 3. Exprimez f (1 x) et f ( 1 (x 2 x) 2 x ). puis f (1 1 x ), f ( 1 1 x ) et f ( x x 1 ). Exercice 27. Montrer que b c < a < b + c a c < b < a + c Exercice 28. Pour n 1, calculer k. X P( 1,n ) k X

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