EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N DU 8 AOÛT 8 Connaissances Capacités Commentaires. Nombres et calculs Multiples et diviseurs. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par, et. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par, et 9. La notion de multiple, introduite à l école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. Sens des opérations. Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l aide d une suite de calculs, *ou à l aide de calculs avec parenthèses. Techniques élémentaires de calcul. Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l objet d activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise : C : A : A : C : C Objectif Activités Rappeler la signification des nombres intervenant dans une division euclidienne, notamment interpréter le quotient d un nombre a par un nombre b comme étant le plus grand nombre de groupes de b éléments que l on peut constituer avec a éléments.. 8 = 8 <, donc Karima peut utiliser perles. 8 7 = 8 <, donc Karima peut utiliser 7 perles. 8 8 = >, donc Karima ne peut pas utiliser 8 perles.. a. Karima peut utiliser au maximum 7 perles. b. 8 7 = 8 et 8 =. Il reste donc mm pour fermer le collier.. = (8 7) +.. a. Karima aurait pu effectuer la division euclidienne de par 8. b. 8 7 Le nombre maximal de perles que Karima peut utiliser est le quotient de la division euclidienne de par 8, soit 7 et le reste est la quantité de fil qui reste pour fermer le collier, soit mm. c. Le nombre est appelé le dividende. Le nombre 8 est appelé le diviseur. d. Le reste est le nombre. Il correspond à la longueur de fil restant pour fermer le collier. Le quotient est le nombre 7. Il correspond au nombre maximal de perles par collier. Objectif Revoir la technique de la division euclidienne posée.. a. Le reste ne convient pas car le reste doit être inférieur au diviseur. b. On ne peut pas enlever de Chapitre Division euclidienne Division décimale

2 c. Il y a dizaines à partager en parts égales, ce qui donne comme chiffre des dizaines du quotient DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a b. 9 7 Objectif Le quotient de la division euclidienne de par 8 est égal à et le reste est égal à 7. Le quotient de la division euclidienne de 9 par est égal à et le reste est égal à. Découvrir le critère de divisibilité par qui n a pas toujours été abordé au CM. On commence par montrer sur un exemple que tous les multiples de sont divisibles par, puis on en conclut qu il suffit de regarder le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités pour savoir si un nombre est divisible par.. On peut partager en quatre parts égales de. On peut partager en quatre parts égales de. On peut partager en quatre parts égales de 7. On peut partager 9 en quatre parts égales de.. a. Jamel commence par partager en quatre parts égales de 7. Il reste 7 billes à partager. Jamel ne peut pas partager 7 billes en quatre parts égales car 7 n est pas un multiple de. b. Jamel aurait pu partager billes en quatre parts égales car il aurait commencé par partager en quatre parts égales de 7 puis il aurait partagé les billes restantes en quatre parts égales de. Il aurait ainsi obtenu quatre parts de 7 +, soit 8 billes. c. =, donc Jamel peut partager billes en quatre parts égales de 7 +, soit 7 billes. 9 n est pas un multiple de, donc Jamel ne peut pas partager 9 billes en quatre parts égales. =, donc Jamel peut partager billes en parts égales de 7 +, soit 8 billes. 8 = 7, donc Jamel peut partager 8 billes en parts égales de 7 + 7, soit 8 billes. n est pas un multiple de, donc Jamel ne peut pas partager billes en quatre parts égales.. Pour savoir si un nombre est divisible par, il suffit de regarder si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de. Objectif Comprendre la division décimale. Interpréter le quotient d un nombre décimal a par un nombre entier b comme le nombre par lequel il faut multiplier b pour obtenir a.., = 7,. Kangouro a parcouru 7, m en cinq sauts.. a. Dans l égalité 8 =,7, le nombre manquant représente la longueur d un saut (en m). b. D une part, 8 = et <,7. D autre part, 8 = et >,7. Donc le nombre manquant est compris entre et.. a. Kangoura peut partager m en huit parts égales de m au maximum. Elle aura ainsi pu partager m, il restera donc m à répartir. b. m = dm, il faut donc partager + 7, soit 7 dm en huit parts égales. Elle peut répartir 7 dm en huit parts de 7 dm. Elle aura ainsi pu partager dm, il restera donc dm à répartir. c. dm = cm, il faut donc partager +, soit cm en huit parts égales. Ce qui donne cm par part. La longueur d un saut de Kangoura est donc égale à : m 7 dm cm, soit,7 m.. a. Kangouro a effectué la division de,7 par 8. b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ), 7 8, 7 7 Exercices DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a. 7 b. 8 9

3 . a. 8 b a. ( ) + = + = 8 b. ( ) + = 9 + = 9 L égalité «dividende = (diviseur quotient) + reste» est bien vérifiée dans les deux cas. a. 9 = ( ) + 9, donc : 9 min = h 9 min. b. = ( ) +, donc : min = h min. c. 9 = ( ) +, donc : 9 min = h min.. a b. 8 7 c a. 8 = 8 b. 87 = 7. a. 8 est un multiple de. b. 8 est un diviseur de 8. c. est un diviseur de 87. d. 87 est un multiple de 7. 9 a. 7, 9 7, 7 b.,, 9 c., 7 8 9, 8 d.,, a. Vrai, car : =. b. Faux car : 8 = +. c. Faux, car : 98 = 8 +. d. Vrai, car 9 =. e. Faux, car = f. Vrai, car = 7 8. g. Vrai, car = 7.. Un nombre est divisible par si son chiffre des unités est,,, ou 8, et seulement dans ce cas.. Les nombres divisibles par sont : 8 ; et 7.. Un nombre est divisible par si son chiffre des unités est ou, et seulement dans ce cas.. Les nombres divisibles par sont : et 8.. Un nombre est divisible par si son chiffre des unités est, et seulement dans ce cas.. Les nombres divisibles par sont : et. e., 9, 8 f. 7, 7, 8 7 g.,, Chapitre Division euclidienne Division décimale

4 h., 9 9 7, 9 i. 7,, 7 7 a. 8, 7 7, 7 b., 8, 8 c. 7, 8 d., e. 9 9, 8, f. 9, 7, g. 7 9,, 7 7 h., i. 8 8, , 9 9, 7, 8 8, DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) Dividende Diviseur Quotient Reste = 8 et 9 = 77, donc on a bien : 9 < < 9.. Le quotient de la division euclidienne de par 9 est donc égal à.. (9 ) =. Le reste de la division euclidienne de par 9 est donc égal à.. a. min = h min. b. 8 min = h min. c. 9 min = h min.. a. 89 s = min 9 s. b. 89 s = min s. c. s = min s.. a. 98 s = h 8 s = h min s. b. 9 s = h s = h 8 min s. c. 7 s = h s = h min s.. a. 8 min = h min = jour h min. b. min = 9 h min = jours h min. c. 87 min = h min = jours 8 h min. = Il faut donc huit cars pour transporter les élèves (sept cars pleins et un car avec élèves).. Le quotient de la division euclidienne de 98 par est égal à 7. On pourra donc créer 7 classes de élèves dans ce collège.. Le reste de la division euclidienne de 98 par est égal à. Il restera donc élèves. Le nombre d élèves par classe doit être compris entre et. On pourra donc créer une classe supplémentaire de élèves.. Ce collège comptera au minimum huit classes de sixième à la rentrée. = 8 +. Le contenu de la chaudière permet de se chauffer pendant jours entiers. = et =. Il faut donc min, soit heures pour remplir la citerne.

5 = 7. Gregory mettra 7 s, soit min pour effectuer huit tours de piste.. 8 min = 8 s. 8 : 9 =. Gregory effectuera tours en 8 min.. Les multiples de compris entre 8 et sont :,, 8,,,,.. Les multiples de et de 9 compris entre et sont : 8,,.. Les multiples de et de inférieurs à sont :,,, 9.. Il y a multiples de compris entre et :,,,,,,,,,,,,, 7, 7, 8, 8, 9, 9,. Les nombres divisibles par sont : et. Les nombres divisibles par 9 sont : 7 et. Les nombres divisibles par sont :, et. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) Nombre 8 89 Divisible par x x x x Divisible par x x x x Divisible par x x Divisible par x Divisible par 9 x x Divisible par x. Nombres divisibles par : a. 7 8 ou 7 8 ou 7 8 ou 7 8 ou b. ou ou ou ou 8. c. et d. et 8 sont divisibles par quel que soit le chiffre manquant.. Nombres divisibles par : a. 7 8 ou 7 8 ou b. ou ou 8. c. ou ou ou 9. d. 8 ou 8 ou 88.. Nombres divisibles par : a. 7 8 ou 7 8 ou b. ou. c. ou ou ou 7 ou 9. d. 8 est divisible par quel que soit le chiffre manquant.. Nombres divisibles par : a. 7 8 ou 7 8. b. ou. c. et d. et 8 ne sont pas divisibles par quel que soit le chiffre manquant Nombres divisibles par 9 : a b. c. d. 88. Nombres divisibles par : a. 7 8 b. c. et d. et 8 ne sont pas divisibles par quel que soit le chiffre manquant.. a. 9,8, donc : 9,8 : :. Un ordre de grandeur du quotient de 9,8 par est donc égal à. b. 9,7 9, donc 9,7 : 9 :. Un ordre de grandeur du quotient de 9,7 par est donc égal à. c.,, donc, : 7 : 7. Un ordre de grandeur du quotient de, par 7 est donc égal à.. a. 9,8 : = 9,9. b. 9,7 : =,9. c., : 7 =,. a. =, : =,. b. =, : = 8,7. c. = 7,8 : =,. d. = 8,8 : =,7. e. = 7, : =,. f. = 8, : =,.. 7 = 87,, d où : = 87, : 7 =,.. =,, d où : =, : =,.. =, d où : = : =,8.. 8 = 7,, d où : = 7, : 8 =,..,9 :, :. Le prix d un litre est donc environ égal à,9.. 8,9 : 8 : 8. La longueur de chaque morceau est donc environ égale à cm.. 87, : 9 :. Le nombre de verres est donc environ égal à.. h min h et : =,. La durée de chaque épisode est donc environ égal à, h, soit h min.. 9,8 : 8 : 8. Le prix d un kilogramme de pommes est donc environ égal à,. 9,8 : = 8,. Chaque ami devra verser 8,. 9 :,. Le prix d un billet doit être au moins égal à,. 7,8 : =,. Victoria peut acheter, kg de cerises avec 7,8. Chapitre Division euclidienne Division décimale

6 ,8 =,7. Les deux baguettes coûtent,7.,7,7 =. Les six gâteaux coûtent. : =,. Un gâteau coûte,. 7, =. La masse des cinq cartons est égale à kg.,8, =,. La masse de la charge totale de la camionnette est égale à, t, soit kg. =. La masse des douze caisses est égale à kg. : =,. La masse d une caisse est égale à, kg. = 7. La quantité totale de lait produite par jour par le troupeau est égale à 7 L. 7 : 8 =. La quantité totale de beurre produite par jour par le troupeau est égale à kg. Thèmes de convergence 7 :,7. Il faut consommer environ deux oranges par jour.. 7 : 7 =. Cinq personnes de 7 kg peuvent monter dans cet ascenseur.. 7 =. La masse autorisée sans l enfant est égale à kg. : 7 =,. Quatre personnes au maximum pourront monter avec l enfant dans cet ascenseur. c. ( 8) + =. Le nombre est égal à. d. = ( ) +. Vingt étagères sont entièrement remplies.. a. 8 : = b. : = c. : = 7. a. : = 7 b. : = c. 9 : =. a. : = 8 b. : = c. : =. a. : = 9 b. : = c. : =. a. : 9 = b. 99 : 9 = c. 89 : 9 =. Faux, car n est pas divisible par.. Faux, car = et n est pas divisible par.. Vrai, car + 9 = et est divisible par.. Vrai, car le chiffre des unités de 7 est.. Faux, car = et n est pas divisible par 9.. Vrai, car est divisible par.. a. : =, b. 8 : = 7, c., : =,. a.,9 : 9 =, b.,7 : 9 =, c. 8,9 : 9 = 9, a. =, =, b. =, =, c. =,8 =, d. =, =, À l oral 8 9. Dans la division de par, le dividende est égal à, le diviseur est égal à, le reste est égal à et le quotient est égal à. a. = ( ) + b. = (8 ) + c. = ( ) + d. = (7 ) + e. = (9 7) + f. = ( 8) + a. 9 : = 8. La longueur de chaque étape est égale à 8 km. b. 8 = ( 9) +. Trois crayons ne seront pas rangés dans un sachet. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a. 8 b. 8 c. 7 8 d. 7 7 e f

7 Tous les nombres de la première colonne sont des multiples de.. Tous les nombres de la deuxième colonne ont un reste égal à dans la division euclidienne par. Tous les nombres de la troisième colonne ont un reste égal à dans la division euclidienne par. Tous les nombres de la quatrième colonne ont un reste égal à dans la division euclidienne par. Tous les nombres de la cinquième colonne ont un reste égal à dans la division euclidienne par.. 8 = ( 9) +. Le reste de la division euclidienne de 8 par est, donc 8 serait dans la e colonne. =. Le reste de la division euclidienne de par est, donc serait dans la re colonne. 7 = ( ) +. Le reste de la division euclidienne de 7 par est, donc 7 serait dans la e colonne. = ( ) +. Le reste de la division euclidienne de par est, donc serait dans la e colonne. = 9. Le reste de la division euclidienne de par est, donc serait dans la re colonne. 79 = ( 9) +. Le reste de la division euclidienne de 79 par est, donc 79 serait dans la e colonne. 99 = ( 98) +. Le reste de la division euclidienne de 99 par est, donc 99 serait dans la e colonne.. 7, : 8 = 9,. Le prix d achat d un pantalon est égal à 9,.. a. 8 + =. Le nombre total de pantalons achetés est égal à. b. 9, =. Le montant total de la commande est égal à = 9. Le montant total de la vente est égal à 9. 9 : = 9. Le prix de vente d un pantalon est égal à 9.., : =,. Le demi-périmètre du rectangle est égal à, cm., 8, =,7. La largeur du rectangle est égale à,7 cm.., : =,. La longueur d un côté du carré est égale à, cm. 9 = ( ) + D où : = 9 = 9 D où : = 9 : =. Le quotient de 9 par est égal à et le reste est égal à. La distance entre le premier arrêt et le troisième arrêt est égale à m, donc la distance entre deux arrêts successifs est égale à m. 8, soit. Donc la distance entre le premier et le neuvième arrêt est égale à m. 77 =. Le nombre de pages lues par Charlotte du lundi au samedi est égal à. : = 7. Le nombre de pages lues par Charlotte chaque jour (sauf le dimanche) est égal à 7. a., : =,. Le montant dépensé par Zoë est égal à,., =,. Le montant dépensé par Anna est égal à,. b., : = 8,8. Le montant dépensé par Anna est donc égal à 8,8. 8,8 = 7,. Le montant dépensé par Zoë est donc égal à 7,. c. (, ) : =, : =,7. Le montant dépensé par Zoë est donc égal à,7.,7 + =,7. Le montant dépensé par Anna est donc égal à,7. d. (, ) : =, : =,. Le montant dépensé par Anna est donc égal à,., + =,. Le montant dépensé par Zoë est donc égal à,. Chapitre Division euclidienne Division décimale 7

8 8 8 9 = 7 9. Le nombre total de lignes est donc égal à : = 8. Le nombre de pages de la nouvelle édition est donc égal à 8. Si on appelle x le plus petit nombre, on a : x + x + + x + + x + + x + =. D où : x = x = : =. On peut aussi représenter le plus petit nombre par un segment noir et chaque unité par un segment bleu.la somme des cinq nombres est donc égale à cinq fois le plus petit nombre + dix unités. Les nombres sont :,, 7, 8 et 9. Un groupe de personnes vient de passer, donc il faut attendre min avant le passage du prochain groupe. 9 = 8. Le nombre de personnes restant dans la file d attente est donc égal à 8. 8 = ( ) + 8 Il reste groupes de personnes à faire passer avant le tour d Ingrid. Ingrid doit donc encore attendre 7 min, soit h min avant de pouvoir entrer dans le musée.. Le plus petit entier non nul divisible à la fois par et par est.. Les bus de la ligne A passent toutes les minutes et ceux de la ligne B passent toutes les minutes, donc un bus de la ligne A se retrouvera à cet arrêt en même temps qu un bus de la ligne B après un nombre de minutes multiple de et de, soit après minutes, c est-à-dire à h min. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7) I 9 II 9 III IV 8. b. La douzième et la vingtième décimale du quotient de par sont égales à., 7. b. La dernière décimale affichée pour le quotient de par est 7. En divisant «à la main» par, on obtient une partie décimale composée uniquement de.. Le résultat affiché correspond à une valeur arrondie du quotient de par. Thèmes de convergence : =,7. La quantité de déchets ménagers produits par habitant en France en est donc égale à,7 tonnes, soit 7, kg.. : =,87. La quantité de déchets ménagers produits par habitant aux U.S.A. est donc égale à,87 tonnes, soit 87 kg. 7 : =,. La quantité de déchets ménagers produits par habitant en Inde est donc égale à, tonnes, soit kg.,8 : 8 =,. La quantité de déchets ménagers produits par habitant en Autriche est donc égale à, tonnes, soit kg = 7. Le nombre total de victimes de à ans en est donc égal à :. Le nombre moyen de victimes par jour est donc égal à environ.. 9 : 7. Le nombre moyen de décès par semaine est donc égal à 7 environ. Argumenter et débattre 7. Vrai.. Vrai.. Faux. Ce nombre est égal à ( 8) + reste.. Faux. Par exemple, 8 est divisible par mais pas par.. Vrai, car si un nombre est divisible par, alors cela signifie que ce nombre est un multiple de, donc c est aussi un multiple de.. Faux. Par exemple, les nombres, et 8 ne sont pas divisibles par.

9 7 Le premier chiffre est un carré, donc le premier chiffre peut être égal à ou ou ou 9. Ce ne peut pas être. En effet, est le carré de et est le quotient de par un nombre non nul, on aurait alors le deuxième chiffre égal aussi à, ce qui n est pas possible car tous les chiffres sont différents. Ce ne peut pas être, car est le carré de et est le quotient de deux nombres égaux. On aurait alors le deuxième et le troisième chiffre identiques, ce qui n est pas possible. Si le premier chiffre est, on aurait le quotient du deuxième chiffre par le troisième chiffre égal à (car est le carré de ). Ce qui signifie que le deuxième chiffre est le double du troisième. Le code pourrait être ou. Les cas et 8 ne peuvent être retenus car tous les chiffres doivent être différents. Si le premier chiffre est 9, on aurait le quotient du deuxième chiffre par le troisième chiffre égal à (car 9 est le carré de ). Ce qui signifie que le deuxième chiffre est le triple du troisième. Le code pourrait être 9 ou 9. Le cas 99 ne peut être retenu car tous les chiffres doivent être différents Pour les curieux. a. b. 7 9 ( c. d. 7 9 (7 7 9 ( 7 9 (79 Le quotient de la division euclidienne de 79 par est 79 et le reste est. Le quotient de la division euclidienne de 9 par 9 est 7 et le reste est. Le quotient de la division euclidienne de 9 par est et le reste est. Le quotient de la division euclidienne de 8 par est et le reste est. Le quotient de la division euclidienne de par 7 est 8 et le reste est 8. Chapitre Division euclidienne Division décimale 9

10 Annexe a. b. 8 Le quotient de la division euclidienne de par 8 est égal à --- et le reste est égal à Le quotient de la division euclidienne de 9 par est égal à --- et le reste est égal à ---. Annexe Annexe,7 7 a. b. 8 7, 8 9 Annexe Dividende Diviseur Quotient Reste

11 Annexe Nombre 8 89 Divisible par Divisible par Divisible par Divisible par Divisible par 9 Divisible par Annexe a. b. c d. e. f Annexe 7 I II III IV, Chapitre Division euclidienne Division décimale