Première S2 Chapitre 20 : probabilités. Page n

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1 Preière S2 Chapitre 20 : probabilités. Page n De tous teps, les hoes se sont intéressés aux jeux de hasard. La théorie des probabilités est une branche des athéatiques née de l'étude des jeux de hasard à laquelle contribuèrent notaent les athéaticiens français Pierre de Ferat et Blaise Pascal. Elle fut axioatisée, au XX e siècle, par le russe Kologorov. Un problèe : on lance deux pièces de onnaie et on note pour chacune les côtés apparus " pile " P ou " face " F. Quelle est la probabilité d'obtenir " pile et face "? Si on note les résultats observables PP, PF et FF, on risque de répondre qu'il y a une chance sur trois d'obtenir PF. Or, si l'on effectue un très grand nobre de lancers, la fréquence d'apparition de la paire PF se rapproche de 0,5. Jacques Bernoulli ( Bâle, Bâle, 705 ) a le preier expérienté athéatiqueent que plus on fait d'expériences, plus la fréquence d'un événeent se rapproche de sa probabilité de réalisation. Dans ce cas, ces fréquences sont voisines de 0,5. Or dans le problèe posé, le nobre de cas possibles est quatre : PP, PF, FP et FF car PP et FF se réalise d'une seule façon ais " pile et face " se réalise de deux façons. Il y a donc 2 cas sur quatre qui réalisent " pile et face ". Le jeu " lancer d'un dé " a lui aussi six issues possibles et l'incertitude deeure sur le résultat. Ces deux jeux sont des exeples d'expériences aléatoires. E Lancer de pièces et de dés Activité p 57. Activité 2 lancer de deux dés. On lance aintenant deux dés bien équilibrés : un bleu et un rouge et on s'intéresse aux points obtenus sur les deux faces apparentes. Ce total est un nobre entier copris entre 2 et 2. On peut s'intéresser à la réalisation de certains événeents tels que : " obtenir un total de 8 " ou bien " obtenir un total pair ", etc. On a lancé 500 fois ces deux dés et noté chaque fois le résultat obtenu. Total Nobre d'apparitions Calculer la fréquence de l'événeent " le total est 8 ". 2. Calculer la fréquence de l'événeent " le total est 3 ". 3. En adettant que vous vous intéressiez à ce jeu ; sur quel total a t-on le plus de chances de gagner? Expérience aléatoire. Alea est un ot latin signifiant " jeu de dé ", " hasard ". Lorsqu'on ne sait à l'avance quelle sera l'issue d'une expérience, on dit qu'il s'agit d'une expérience aléatoire. Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues notées e, e 2,, e r. Une seule se réalise à la fois sans que l'on puisse la prévoir. Exeple : On dispose de deux jetons dont chacun a une face peinte en rouge R et une face peinte en bleu B. On jette les jetons puis on note les couleurs obtenues. Ce sont :

2 Preière S2 Chapitre 20 : probabilités. Page n 2 Siuler une expérience, c'est utiliser un procédé technique adapté à la situation envisagée et qui doit rendre copte des conditions de l'expérience. ( autreent dit : siuler une expérience consiste à siuler un odèle de cette expérience. ) On réalise ainsi un odèle de l'expérience. On répète n fois l'expérience dont les issues sont e, e 2,, e r. Si l'issue e i se réalise k fois, la fréquence f i de e i est le nobre k n. Pour chacune des issues possibles, on calcule sa fréquence : f, f 2,, f r. Exeple : on lance 50 fois une pièce de onnaie bien équilibrée. On s'intéresse au nobre d'apparitions de face F et de pile P. Donner deux exeples de siulations de cette expérience. Voir feuille annexe. Une fréquence est un nobre copris entre 0 et. La soe des fréquences est égale à. Pour cet échantillon de n expériences, la distribution des fréquences est l'enseble { f, f 2,, f r }. Cette distribution des fréquences varie d'un échantillon à l'autre. Les fluctuations de fréquences sont d'autant oins fortes que n est plus grand. Si l'événeent A est réalisé pour les issues e, e 2, e 3 alors la fréquence de l'événeent A est égale à f + f 2 + f 3. E2 Distributions de fréquences. ) P 65 n 8. 2 ) Lancer une punaise un grand nobre de fois et noter si la punaise tobe sur le dos ou si elle est " cassée". Calculer la fréquence relative du nobre de fois où la punaise tobe sur le dos. Que concluez-vous? 2 La loi des grands nobres. Jacques Bernoulli énonça le preier cette propriété iportante qui établit un lien entre fréquences et probabilités. Si l'on répète n fois la êe expérience de anière indépendante dans les êe conditions, et si n tend vers plus l'infini, la fréquence d'une issue tend vers une valeur théorique p, appelée probabilité de cette issue.

3 Preière S2 Chapitre 20 : probabilités. Page n 3 E3 Savoir dénobrer. ) Preière technique : le tableau. Reprenons l'exeple du lancer de deux dés. On lance deux dés bien équilibrés : un bleu et un rouge et on s'intéresse aux points obtenus sur les deux faces apparentes. Construire un tableau afin de dénobrer tous les cas possibles. 2 ) Deuxièe technique : l'arbre. On jette successiveent trois pièces de onnaie bien équilibrées. Construire un arbre dénobrant tous les cas possibles. 3 ) Troisièe technique : le diagrae de Venn. Dans un club de 60 joueurs de cartes, 40 jouent au bridge, 28 au tarot et 0 à ces deux jeux. Construire un diagrae résuant cette situation. Cobien d'adhérents jouent à d'autres jeux de cartes? 3 Probabilité d'un événeent. On envisage des expériences ne coportant qu'un nobre fini d'issues possibles. Pour une expérience donnée, on désigne par Ω l'enseble de toutes les issues possibles. On note Ω = { e ; e 2 ; ; e n }. Définir une loi de probabilité sur Ω c'est associer à chacune des issues e ; e 2 ; ; e n d'une expérience aléatoire, un réel p ( e ) ; p ( e 2 ) ; ; p ( e n ) tel que pour tout i, 0 p ( e i ) et p ( e ) + p ( e 2 ) + + p ( e n ) =. Exeples : voir feuille annexe. Un événeent est une partie de Ω. Un événeent éléentaire ne coporte qu'une seule issue : { e 2 }. Un événeent A est une partie de Ω. On note A Ω ce qui se lit A est inclus dans Ω. L'événeent contraire de A ( on dit aussi événeent copléentaire de A ) est la partie copléentaire de A dans Ω. On le note A.

4 Preière S2 Chapitre 20 : probabilités. Page n 4 Soient A et B deux événeents. L'événeent A ou B ( noté A B ) est réalisé si l'un au oins des deux événeents est réalisé. L'événeent A et B noté ( A B ) est réalisé si A et B sont réalisés tous les deux. La probabilité d'un événeent A est égale à la soe des probabilités des événeents éléentaires qui réalisent A. Et on a : 0 p ( A ) p ( A ) = p ( A ). Soient A et B deux événeents. Alors p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) p ( A B ). Exeples : voir feuille annexe. Cas particulier iportant : équirépartition ou équiprobabilité. Lorsque les n événeents éléentaires ont tous la êe probabilité, on dit que la loi est équirépartie ( on dit aussi qu'il y a équiprobabilité ). Alors p ( e i ) = n pour tout i. Soit A un événeent Alors p ( A ) = nobre de cas favorables à nobre de cas possibles A Exeple : voir feuille annexe. E4 Savoir calculer des probabilités. P 65 n ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 8. 4 Variable aléatoire. Ω est l'enseble des résultats d'une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire X sur Ω consiste à associer un nobre réel à chaque résultat. Notation : x est un nobre réel. L'événeent " X prend la valeur x " est noté ( X = x ). Exeple : On lance deux fois de suite une pièce de onnaie. On note les côtés apparus : P ou F.

5 Preière S2 Chapitre 20 : probabilités. Page n 5 Soit E une expérience aléatoire. Soit X une variable aléatoire définie sur E. Soit I l'enseble des valeurs de X. I = { x ; x 2 ; ; x }. Soit p' i la probabilité de l'événeent : " X prend la valeur x i " événeent que l'on note X = x i. Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction qui à chaque x i associe le nobre p' i = p ( X = x i ). On a p' + p' 2 + p' =. Exeple : on lance trois fois une pièce de onnaie. Faisons un arbre pour dénobrer. Iaginons le jeu qui consiste à gagner chaque fois que F apparaît et perdre chaque fois que P apparaît. On associe à chaque issue le gain du joueur. On définit une variable aléatoire notée X. Calculer la probabilité de l'événeent " gagner. " Tableau représentant cette loi de probabilité : Valeur x i x x 2 x p ( X = x i ) p' p' 2 p' La siilitude avec le tableau d'une série statistique des fréquences d'une valeur d'un caractère conduit aux définitions suivantes : L'espérance athéatique d'une variable aléatoire X, notée E ( X ), est le nobre réel donné par la forule : E ( X ) = x p + x 2 p x p = x i p i. Dans un jeu de hasard le ot " espérance " fait penser à " espoir de gain ". Le calcul de E ( X ) est exacteent celui de la oyenne d'une série statistique obtenue à partir des fréquences. La variance d'une variable aléatoire X, notée V ( X ), est le nobre réel donné par les forules : V ( X ) = p i ( x i E ( X ) )² = p i x i ² E² ( X ) L'écart type de la variable aléatoire X, notée σ ( X ), est égal à la racine carrée de la variance : σ ( X ) = V ( X ) E5 Variable aléatoire, espérance, et écart type. P 7 n 49 ; 50 ; 59 ; et 6.

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