DEVOIR SURVEILLÉ DE MATHÉMATIQUES CONTRÔLE COMMUN N 1. Exercice 1 (sur 8 points)

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1 5 ème /6 ème année décembre 2014 durée : 4 60 DEVOIR SURVEILLÉ DE MATHÉMATIQUES CONTRÔLE COMMUN N 1 Eercice 1 (sur 8 points) PARTIE A Soit la onction g déinie sur 1. Calculer g. ; 0 par : 2 2 ln 1 g. 2. Dresser le tableau de variations de g (on ne demande pas les limites au bornes). 3. Justiier que g > 0 pour tout > 0. PARTIE B ln Soit la onction déinie sur 0 ; par 2. Soit (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal O ; i, j (unité graphique : 2cm). 1. Déterminer les limites de au bornes de l intervalle de déinition. Qu est-ce qu on peut en déduire pour la courbe représentative de? 2. Démontrer que g En déduire le sens de variations de. Dresser le tableau de variations de. 4. Montrer que la droite (D ) d équation y 2 est une asymptote oblique à C. Étudier la position de (C ) par rapport à (D ). 5. Écrire l équation réduite de la tangente T à (C ) au point d abscisse Montrer que (C ) coupe l ae des abscisses en un point unique dont l abscisse appartient à l intervalle 0,5;1. Donner un encadrement de à 7. Construire (C ), T et (D ) près. 5ème /6ème 1/4 TC1

2 Eercice 2 (sur 6 points) L espace est muni d un repère orthonormal O ; i; j; k. Soit la droite (D) dont une représentation paramétrique est : 1 t y t z 2 t t R. 1. a) Déterminer une équation cartésienne du plan (P ) passant par le point O et orthogonal à la droite (D). b) Démontrer que le point I, intersection du plan (P ) avec la droite (D), a pour coordonnées I 0;1;1. 2. Soient A et B les points de coordonnées respectives 1 1 ;0; 2 2 et 1 ;1;0. a) Vériier que les points A et B appartiennent au plan (P ). b) Vériier que le point S de coordonnées ; 1;3 Montrer que la distance du point S au plan (P ) est appartient à la droite (D). c) On appelle A et B les points symétriques respectis des points A et B par rapport au point I. Déterminer les coordonnées de A et B. d) Justiier que le quadrilatère ABA B est un losange. Calculer son aire (valeur eacte). e) Calculer le volume de la pyramide ABA B S (valeur eacte). 1 On rappelle que le volume V d une pyramide de base d aire b et de hauteur h est : V b h. 3 Eercice 3 (sur 3,75 points) Soit la onction déinie par : Déterminer l ensemble de déinition D. 2. Etudier la continuité de la onction en Etudier la dérivabilité de la onction en Ecrire l epression de sans valeur absolue sur ;0 et ; Ecrire la onction homographique obtenue pour 0; 0. sous la orme canonique. 5. Tracer la courbe représentative de la onction dans le repère orthonormal O i; j graphique 1 cm. ;, d`unité 5ème /6ème 2/4 TC1

3 Eercice 4 (sur 5 points) L espace est muni d un repère orthonormal O ; i ; j ; k d unité graphique 1 cm. Les questions de ce QCM sont indépendantes. Une unique réponse est possible par question. Notez sur votre copie la lettre de la réponse et sa justiication. Une bonne réponse avec justiication rapporte 1 point, une bonne réponse sans justiication rapporte 0,25 point et une réponse ausse ne rapporte aucun point. 1. Soient les points A 1;2;3, B 2; 3;1 et 0; 3;1 Un vecteur n normal au plan ABC est : C. a) n 0; 4;10 b) n 0; 4; 10 c) n 0; 5;2 2. Soit deu droites L intersection de t 2 et de représentations paramétriques : y 2t 3 z 5 t et est : t R a) b) une droite c) un point et 2k 2 y k 1 z 3k 2 t R. 3. Soit la droite déinie par le système d équations cartésiennes : Un système d équations paramétriques de est : 2y z y 4z t 5 6 a) y 6t t R 5 z t 7 7 t b) y t t R 5 5 z t 7t 7 c) y 6t 6 t R z 5t 4. Soit la droite de représentation paramétrique : et (P) le plan d équation cartésienne 2 y z t 1 y t 6 z 3t 2 t R a) et (P) sont sécants b) est incluse dans (P ) c) est parallèle à (P ) 5ème /6ème 3/4 TC1

4 5. Soient les vecteurs u ; 1; et 3; 1; 3 v. L ensemble des réels tels que u et v sont orthogonau est : a) 1 b) c) 1;1 Dans le plan muni d'un repère orthonormé O i; j onction Eercice 5 (sur 2,25 points) ;, on a tracé déinie et dérivable sur l'intervalle ; 0. C la courbe représentative d'une On dispose des inormations suivantes : les points A, B, C ont pour coordonnées respectives ;0 la courbe C passe par le point B; la droite BC est tangente à C en B ; 1, 1 ;2 et ;2 0 ; il eiste deu réels positis a et b tels que pour tout réel strictement positi, a b ln. 1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de 1 et 1 2. Vériier que pour tout réel strictement positi 3. En déduire les valeurs de a et b.. b a b ln. 2 5ème /6ème 4/4 TC1

5 Eercice 1 8 PARTIE A : 1 0,5 3 0,5 PARTIE B : 1 0,75+0,25(graph) 3 0,25(sens)+0,75(tableau) 4 0,5+0,5 5 0,5 6 0,75(bijection)+0,25 (encadrement) 7 1,5 Eercice 2 6 1a) 0,75 1b) 0,75 2a) 0,25+0,25 2b) 0,25+0,5 2c) 0,5+0,5 2d) 1+0,75 2e) 0,5 Eercice 3 3,75 1 0,5 2 0, ,5+0,25(.canonique) 5 0,75 Eercice 4 5 Chaque question 1 point Eercice 5 2,25 1 0,25 ()+0,5( ) 3 1 5ème /6ème 5/4 TC1