Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2008

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1 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 Exercice Commun à tous les candidats A - Vrai ou faux? Dans l espace soient P, P 2 et P 3 trois plans distincts et D une droite. ) Si P P 2 et P 2 P 3, alors P P 3. Faux! 4 points P 2 P 3 P Il suffit de prendre P et P 3 parallèles mais distincts et P 2 non-parallèle à P. 2) Si P P 2 P 3 = alors P P 2 = et P 2 P 3 =. Faux! Le contre-exemple du ) convient. Remarquons que la question suivante aurait été plus intéressante : Si P P 2 P 3 = alors P P 2 = ou P P 3 = ou P 2 P 3 =. La réponse est toujours : Faux! Il suffit de prendre les trois plans définis par les côtés d un cylindre de base triangulaire. Il n y pas de point qui se trouve sur les trois côtés à la fois, mais les intersections des côtés deux à deux sont les arêtes du cylindre. 3) Si P P 2 et P P 3 =, alors P 2 P 3. Vrai! En effet P 2 est non-parallèle à P (car P P 2 ) et P est parallel à P 3 (car P P 3 = ), donc P 2 est non-parallèle à P 3 (c est-à-dire P 2 P 3 ).

2 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin ) Si P D = et P P 2 =, alors P 2 D = Faux! Il suffit de prendre P et P 2 parallèles mais distincts et une droite D contenue dans P. D P P 2 B - Intersection de trois plans donnés ) Les plans P et P 2 sont sécants selon une droite car ils admettent comme vecteurs orthogonaux respectives les vecteurs de coordonnées (,, ) et (2,,) qui sont manifestement non-colinéaires. Les coordonnées d un point est dans la droite = P P 2 si et seulement il vérifie les équations des deux plans. L addition de deux équations donne 3x + 2y 3 =, ou encore y = x, donc, en revenant à la première équation, z = x + y = 3 2 2x. D où la paramétrisation : x y = z 3/2 3/2 2 + λ 3, λ R. 2) Les coordonnées d un point de vérifient l équation de P 3 car : ( ) ( ) 3 3 λ R, 2λ λ λ + 3 = 2λ λ 6 4λ + 3 =. D où P 3. Comme est l intersection des plans P et P 2, l intersection des trois plans P, P 2 et P 3 est la droite. Exercice 2 Candidats sans spécialité math 5 points ) a) p (E ) = 2 5, p E (E 2 ) = 3 5, p E (E 2 ) = 2 5, p (E 2) = = b) p (E n+ ) = p (E n ) ( p (E n)) 2 5 = 5 p (E n) + 2 { 5. u = 2 2) (u n ) définie par : 5 u n+ = un pour tout n.. a) Deux preuves possibles pour montrer que la suite est majouréee par : On voit le lien avec la question précédente : la suite (u n ) est précisément la suite des probabilités (p (E n )). Une probabilité est toujours majorée par. On est aveugle et on fait une preuve par récurrence. Par définition de u on sait déjà que l assertion u n est vraie pour n =. Supposons maintenant que l assertion u n soit vraie pour un n ; alors u n+ = u n = 3 5 et donc l assertion est vrai aussi pour n +, et par conséquence pour tous les n N.

3 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 3 b) Nous montrons d abord, par récurrence, que la suite est majorée par 2. C est évidemment vrai au niveau n =, et si c est vrai au niveau n alors c est vrai au niveau n + car u n+ = u n = 2, et par conséquence c est vrai pour tous les n N. Maintenant on peut continuer avec deux manières pour montrer la croissance. On forme la différence : u n+ u n = u n u n = u n = = u n+ u n. On forme le quotient et on utilise le fait que tous les termes de la suite sont postives. u u n5 n = = ( + 2 ) ( ) + 2 u n u n 5 u n 5 = = u n+ u n. 2 c) La suite (u n ) est croissante et majorée donc convergente. Notons l sa limite. Ainsi, grâce à la formule de récurrence, ( l = lim u un n+ = lim n n ) = l = l = ) a) La probabilité p (E n ) tend vers 2 lorsque n. b) En calculant les premiers sept termes de la suite, on trouve qu on a,49999 p (E n ),5 pour n 7. (La majoration par,5 est dejà prouvée dans la question précédente.) Remarque : Calculer (à la main) les premiers sept termes d une suite donnée par récurrence est faisable. Mais comment procéder s il s avère qu il faut calculer beaucoup plus de termes? Dans ce cas il faut disposer d une formule directe qui donne u n en fonction de n (et non par une récurrence). L idée suivante nous aide à trouver cette formule: D après sa définition (u n ) est une suite métisse arithmétique-géométrique. Connaissant des formules directes pour les suites arithmétiques et pour les suites gémétriques, nous avons deux espoirs: Arithmétiser la suite. En multipliant par un réel convenable nous espérons de pouvoir ôter à (u n ) son côté géométrique, c est-à-dire nous cherchons un réel k non-nul tel que la suite définie par v n = ku n soit arithmétique. Or cela ne peut pas marcher car la suite arithmétique (v n ) convergerait car (u n ) converge ; elle serait donc constante, et par conséquence (u n ) aussi or ce n est pas le cas. C est donc une idée vouée à l échec. Géométriser la suite. En ajoutant un réel convenable nous espérons de pouvoir ôter à (u n ) son côté arithmétique, c est-à-dire nous cherchons un réel k tel que la suite définie par v n = u n +k soit géométrique. Si un tel k existe, alors pour la raison de (v n ) il n y a pas beaucoup de choix, elle doit être 5 ; la limite de (v n) est alors. Ainsi, comme (u n ) converge vers 2, le réel k doit être 2 pour garantir que (v n) converge vers. Cette idée peut fonctionner. Posons donc v n = u n 2, n, et vérifions que cela définit une suite géométrique de raison 5. v n+ v n = u n+ 2 u n 2 = u n u n 2 = 2u n u n 5 = 2u n 5(2u n ) = 5. Comme il s agit d une suite géométrique nous pouvons donner sa formule en fonction de n N, ( ) n v n = v = ( 5 5 n ) = 2 5 n et donc u n = 2 +v n = ( ) 2 5 n.

4 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 4 Maintenant il ne reste qu à résoudre l inégalité.,49999 p (E n ), u n n n ln 5/ln 5 6,7. C est donc pour n 7 qu on a,49999 p (E n ),5. ( ) 5 n 5 5 n 5 n 5 Exercice 2 Candidats avec spécialité math A - Représentation graphique de quelques ensembles ) x 2 mod 3 et y mod 3. 5 points 2) x + y mod

5 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin ) x y mod B - Résolution d une équation ) Le couple (x, y ) = (, 2) convient. 2) Soit (x,y) une solution de (E). Alors en prenant la différence avec l équation 7x 4y =, on trouve 7(x+) 4(y + 2) =. Ainsi le nombre premier 7 divise le produit 4(y + 2), et comme il ne divise pas 4 il divise y + 2. Par conséquence y + 2 = 7k avec un certain k Z. Et finalement (x,y) = (4k,7k 2). Réciproquement on vérifie en remplaçant que tout couple de la forme (x,y) = (4k,7k 2),k Z, est solution de (E). 3) On cherche k Z tel que { 4k 4 7k 2 7 Le premier encadrement équivaut à 4 k 5 4, donc à k = ; le deuxième équivaut à 2 7 k 9 7, donc aussi à k =. L unique solution de (E) appartenant au réseau R 4,7 est alors (3,5). C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau. ) La dernière condition n est rien d autre qu une équation de la droite passant par O et A. Les deux autres conditions signifient qu on ne considère que la partie de la droite qui se trouve dans le rectangle formé par (,), (a,), (a,b) et (,b). C est donc bien le segment [OA]. 2) Soient a,b N premiers entre eux et soit (x,y) [OA] R a, b. Cela signifie que x,y sont des entiers vérifiant x a ; y b ; ay = bx. En particulier a divise le produit bx et comme a et b sont premiers entre eux, a divise x, c est-àdire x est un multiple de a; or x a, d où x = ou x = a. Comme a on peut a y = bx a on trouve donc y = respectivement y = b. Cela siginfie que O et A sont les seuls points dans [OA] R a, b. 3) Soient a,b N non premiers entre eux. Alors leur plus grand commun diviseur d est supérieur à. Alors on a < a d < a et < b d < b, et a b d = b a ( a d. Ainsi le couple d entiers d, a ) vérifie d les trois conditions de la question ) et est distinct de (,) et de (a,b), cqfd.

6 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 6 Exercice 3 Commun à tous les candidats 4 points A - Quelques propriétés ) La relation entre les modules est z = z = z = z. Pour établir une relation entre les arguments, écrivons z = re iϕ, avec r > et ϕ R. Alors z = z = re iϕ = r eiϕ = r ei(ϕ+π) = Arg z π + Arg z mod 2π. 2) C est évident d après ce qu on vient de voir sur les arguments. 3) Soit z C. Alors z z + = z ( z + ) = z ( z ) + = + z. En divisant par z on trouve l équation demandée. B - Construction de l image d un point On désigne par A et B les deux points d affixes respectives et. On note C l ensemble des points M du plan dont l affixe z vérifie : z =. ) L ensemble C est le cercle de rayon et de centre A. 2) Soit M un point de C d affixe z, distinct du point O. a) Utilsant le fait que z, on a z + = z z + z = + z = z = z = z =, et cette dernière égalité est précisément l hypothèse M C. L égalité z + = z signifie que la distance entre M et O est la même qu entre M et B. Autrement dit l application M M envoye le cercle C (sans le point O) sur la médiatrice C du segment [OB]. b) Oui, c est vrai, vu la chaîne d équivalence établie ci-dessus. 3) Si M est un point de C distinct de O, alors d après les questions A2) et B2) le point M est l intersection de la droite (OM) avec la médiatrice C du segment [OB]. C M C B O ϕ A M

7 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 7 Cette construction permet d obtenir à la règle et au compas l inverse d un nombre réel r >. En effet, d après la question ), on a OM = OM. Lorsque M s approche de O son image M s éloigne à l infini. Exercice 4 Commun à tous les candidats A - Restitution organisée de connaissances x lim x + xe x = lim x + e x = lim x + B - Étude d une fonction e x x = lim u + u =. 7 points ) Les limites à l infini sont ( lim f(x) = lim xe x + e x) = + =, lim f(x) = lim (t x + x + x t + )et =. 2) L axe des abscisses est donc une asymptote à la courbe C en direction +. La fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables et f (x) = e x (x + )e x = xe x. Comme e x > pour tout x R, le signe de f (x) est l opposé de celui de x. En particulier f possède un maximum en x = de valeur f() =. Vue les limites à l infini il s agit d un maximum global. x + f(x) Maximum C 2

8 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 8 C - Étude d une famille de fonctions Pour tout entier relatif k, on note f k la fonction définie sur R par : f k (x) = (x + )e kx. On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormal du plan. On remarque que le cas k = a été traité dans la partie B, car on a f = f et C = C. ) a) La fonction f est affine. b) Il faut résoudre f (x) = f (x) x + = (x + )e x (x + )( e x ) = ( x + = ou = e x) ( ) x = ou x = 2) Par conséquence les points d intersection des courbes C et C on les coordonnées (,) et (,). Ces points appartiennent à la courbe C k pour tout entier k (et même tout réel k), car f k ( ) = ( + )e k = et f k () = ( + )e =. x x e x + (x + )(e x ) + + La position relative des courbes C k+ et C k est donnée par le signe de la différence f k+ (x) f k (x) = (x + )e (k+)x (x + )e kx = ( e x ) (x + )e kx. Comme e kx est toujours > il s agit donc du signe de ( e x ) (x + ) étudié en haut. Donc C k est au-dessus de C k+ si x et en-dessous ailleurs. 3) f k (x) = ekx + (x + )e kx k = (kx + k + )e kx. Si k = on sait déjà que la fonction affine f (x) = x + est strictement croissante. Si k > alors f k (x) kx + k + > x > /k. Donc f est croissante sur [ k, + [ et décroissante ailleurs. Si k < alors f k (x) kx + k + > x < /k. Donc f est croissante sur ], k ] et décroissante ailleurs. 4) D après la question précédente, la courbe C k possède un minimum (resp. maximum) en x = /k si k > (resp. k < ). On obtient alors par simple lecture graphique: C = E car maximum en, d où C = E. C 3 = F car un maximum en 2/3. C = H car un minimum en 2. C 2 = K car un minimum en 3/2 (ou car dernier cas restant). D - Calcul d une aire plane Soit λ un réel stritement positif. La fonction f est celle définie dans la partie B. ) On trouve A(λ) = λ [ (x + )e x dx = (x + )e x] λ λ = (λ + )e λ + e λ + = 2 (λ + 2)e λ. [ e x dx = (λ + )e λ + + e x] λ

9 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin ) Comme dans la question B) on trouve lim (λ + λ + 2)e λ =. Par conséquence lim A(λ) = 2. λ + Cela signifie que l aire étendue infiniment à droite de l axe des ordonnées, entre l axe des abscisses et la courbe de C vaut 2.