Les ensembles : des notions et un langage incontournables en mathématiques

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1 Les ensembles : des notions et un langage incontournables en mathématiques René Cori Équipe de logique mathématique cori@math.univ-paris-diderot.fr Montpellier, 27 janvier 2017 CII-Lycée et CII-Université 1

2 Une citation préliminaire Mettre en forme, ça prote à tout le monde! (un grand mathématicien et pédagogue, vers 2017 de notre ère) 2

3 La théorie des ensembles ou le paradis de Cantor Du paradis que Cantor a créé, nul ne doit pouvoir nous chasser. David Hilbert,

4 La théorie des ensembles ou le paradis de Cantor Du paradis que Cantor a créé, nul ne doit pouvoir nous chasser. David Hilbert,

5 Les principes de base On décide qu'il y a une seul sorte d'objets mathématiques : les ensembles. On considère uniquement deux relations entre ces objets : l'égalité : = l'appartenance : 5

6 Ce point de vue s'est avéré extrêmement fécond. À partir de ces seuls principes, et avec une liste appropriée d'axiomes (dans un langage adéquat), on peut dénir toutes les notions mathématiques et exprimer toutes les propriétés. Cela permit une avancée spectaculaire pour les fondements des mathématiques. Et cette conception témoignait de l'unité profonde des mathématiques. Mais il y avait un inconvénient sérieux, surtout pour nous enseignants : c'était particulièrement contre-intuitif! 6

7 Ce point de vue s'est avéré extrêmement fécond. À partir de ces seuls principes, et avec une liste appropriée d'axiomes (dans un langage adéquat), on peut dénir toutes les notions mathématiques et exprimer toutes les propriétés. Cela a permis une avancée spectaculaire pour les fondements des mathématiques. Et cette conception témoigne de l'unité profonde des mathématiques. Mais il y a un inconvénient sérieux, surtout pour nous enseignants : c'est particulièrement contre-intuitif! 7

8 Ce point de vue s'est avéré extrêmement fécond. À partir de ces seuls principes, et avec une liste appropriée d'axiomes (dans un langage adéquat), on peut dénir toutes les notions mathématiques et exprimer toutes les propriétés. Cela a permis une avancée spectaculaire pour les fondements des mathématiques. Et cette conception témoigne de l'unité profonde des mathématiques. Mais il y a un inconvénient sérieux, surtout pour nous enseignants : c'est particulièrement contre-intuitif! 8

9 Ce point de vue s'est avéré extrêmement fécond. À partir de ces seuls principes, et avec une liste appropriée d'axiomes (dans un langage adéquat), on peut dénir toutes les notions mathématiques et exprimer toutes les propriétés. Cela a permis une avancée spectaculaire pour les fondements des mathématiques. Et cette conception témoigne de l'unité profonde des mathématiques. Mais il y a un inconvénient sérieux, surtout pour nous enseignants : c'est particulièrement contre-intuitif! 9

10 Deux façons de dénir un ensemble En extension : on donne la liste de tous les éléments de l'ensemble. Par exemple : A = { 0, 1, a, x, y } Y = { 1,1, i, iy } En compréhension : on donne une propriété caractéristique des éléments de l'ensemble. Par exemple : B = { n Z ( u Z)( v Z)(n = 9u + 6v) } Y = { z C z 4 = 1 } 10

11 Deux façons de dénir un ensemble En extension : on donne la liste de tous les éléments de l'ensemble. Par exemple : A = { 0, 1, a, x, y } Y = { 1,1, i, iy } En compréhension : on donne une propriété caractéristique des éléments de l'ensemble. Par exemple : B = { n Z ( u Z)( v Z)(n = 9u + 6v) } Y = { z C z 4 = 1 } 11

12 Deux façons de dénir un ensemble Avec des variantes : B = { 0, 3, 6, 9, 12,y15,... } J = { f (x) x I } 12

13 Deux sortes d'accolades Celles de la dénition en extension sont inoensives. Elles n'ont aucun eet sur le statut des variables qui pourraient apparaître dans l'énumération des éléments. A = { 0, 1, a, x, y } Celles de la dénition en compréhension, inséparables de la barre verticale, ont la propriété de rendre muette la variable qui suit l'accolade ouvrante. Y = { z C z 4 = } 1 13

14 Deux sortes d'accolades Celles de la dénition en extension sont inoensives. Elles n'ont aucun eet sur le statut des variables qui pourraient apparaître dans l'énumération des éléments. A = { 0, 1, a, x, y } Celles de la dénition en compréhension, inséparables de la barre verticale, ont la propriété de rendre muette la variable qui suit l'accolade ouvrante. Y = { z C z 4 = } 1 14

15 Pour les dénitions en compréhension {_ } 15

16 Où cela peut-il servir? 16

17 Où cela peut-il servir? PARTOUT! 17

18 Équations { 1 1 x R 2x 2 5x 3 = 0 } = { 12, 3 } 18

19 Géométrie { } 1 1 M P OM = 1 = { } 1 M P MA = MB = 1 { } 1 1 M P MF + MF = e = 19

20 L'inclusion. Les sous-ensembles. L'ensemble des parties Distinguer les signes et. Donner la dénition de A est inclus dans B. Cela oblige à faire une quantication universelle! Pour tout x appartenant à A, x appartient à B. 20

21 L'inclusion. Les sous-ensembles. L'ensemble des parties Distinguer les signes et. Donner la dénition de A est inclus dans B. Cela oblige à faire une quantication universelle! Pour tout x appartenant à A, x appartient à B. 21

22 L'inclusion. Les sous-ensembles. L'ensemble des parties Distinguer les signes et. Donner la dénition de A est inclus dans B. Cela oblige à faire une quantication universelle! Pour tout x appartenant à A, x appartient à B. 22

23 L'inclusion. Les sous-ensembles. L'ensemble des parties Distinguer les signes et. Donner la dénition de A est inclus dans B. Cela oblige à faire une quantication universelle! Pour tout x appartenant à A, x appartient à B. 23

24 L'inclusion. Les sous-ensembles. L'ensemble des parties Distinguer les signes et. Donner la dénition de A est inclus dans B. Cela oblige à faire une quantication universelle! Pour tout x appartenant à A, x appartient à B. 24

25 Ensembles, logique et probabilités Opération ensembliste Connecteur logique En langage probabiliste Intersection : Conjonction : ET ET Réunion : Disjonction : OU OU Complémentaire : NON Événement contraire 25

26 Ensembles, logique et probabilités Opération ensembliste Connecteur logique A B { x E x A ET x B } A B { x E x A OU x B } E A { x E x A } 26

27 Ensembles, logique et probabilités Opération ensembliste Intersection : Réunion : Complémentaire : Connecteur logique Conjonction : ET Disjonction : OU NON Inclusion : Implication :???inoppt L'inclusion n'a pas sa place dans ce tableau. Ce n'est pas une opération mais une relation binaire sur l'ensemble des parties d'un ensemble. 27

28 Ensembles, logique et probabilités Opération ensembliste Intersection : Réunion : Complémentaire : Connecteur logique Conjonction : ET Disjonction : OU NON Inclusion : Implication : Inopportun L'inclusion n'a pas sa place dans ce tableau. Ce n'est pas une opération mais une relation binaire sur l'ensemble des parties d'un ensemble. 28

29 Fonctions 29

30 La èche d'application : C'est un des symboles les plus importants dans le langage mathématique! Il a la propriété de rendre muette la variable qui apparaît à sa gauche : x cos 2 x 30

31 Et le reste... Propriétés des applications (injectivité, etc.). Fonctions caractéristiques, opérations ensemblistes et calcul modulo 2. Combinatoire et dénombrements. Cardinalité. 31

32 Et le reste... Propriétés des applications (injectivité, etc.). Fonctions caractéristiques, opérations ensemblistes et calcul modulo 2. Combinatoire et dénombrements. Cardinalité. 32

33 Et le reste... Propriétés des applications (injectivité, etc.). Fonctions caractéristiques, opérations ensemblistes et calcul modulo 2. Combinatoire et dénombrements. Cardinalité. 33

34 Et le reste... Propriétés des applications (injectivité, etc.). Fonctions caractéristiques, opérations ensemblistes et calcul modulo 2. Combinatoire et dénombrements. Cardinalité. 34

35 Et le reste... Propriétés des applications (injectivité, etc.). Fonctions caractéristiques, opérations ensemblistes et calcul modulo 2. Combinatoire et dénombrements. Cardinalité. 35

36 Pour les années qui viennent... Le salut par les maths discrètes et l'informatique? 36