Licence MIASHS 1 ère année Mathématiques S2 (MI005AX) Feuille de T.D. n 1 Besoin d'espace (vectoriel)

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1 UTJ Département de Mathématiques et Informatique Année 5-6 Licence MIASHS ère année Mathématiques S MI5AX Feuille de TD n Besoin d'espace vectoriel emmanuel bureau GS56 tél : hallouin@univ-tlsefr wwwmathuniv-toulousefr/ hallouin/eh-l-s-miashshtml hallouin Exercice : Sont-ce des sous-espaces vectoriels, that is the question Les ensembles suivants sont-ils des R-espaces vectoriels rappel : la façon la plus commode de montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel est de prouver que c'est un sous-espace vectoriel Dans R, les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels : a R b c [, ] Dans R, les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels : a c e x y R, x + y =, b x y R, x + y = x y =, d x y R, x = y x y R, x + y =, x y R, x, Dans R, les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels : xy a R, x + y + xy =, b R, x + y +, xy c R xy, x + y + = x y + =, d R, x y + = Dans FR, R, l'ensemble des fonctions de R dans R, les sous-ensembles suivants sont-ils des sousespaces vectoriels : a L'ensemble des fonctions croissantes b L'ensemble des fonctions monotones c L'ensemble des fonctions dérivables d L'ensemble des fonctions périodiques e L'ensemble des fonctions périodiques de période π f L'ensemble des fonctions admettant un développement limité à l'ordre 5 Dans R[X], l'espace des polynômes à coecients réels, les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels : a P R[X], degp = d, b P R[X], degp d, c P R[X], P =, d P R[X], P =, où d désigne un entier positif Exercice : Vect Soit E un R-espace vectoriel et x,, x n n des éléments de E On rappelle que Vectx,, x n désigne le sous-espace vectoriel engendré par x,, x n Ècrire sous la forme de sous-espace engendré les sous-espaces suivants ; on précisera dans chaque cas, l'espace vectoriel ambiant La droite du plan passant par l'origine et de pente Les triplets de réels ayant une deuxième composante nulle Les matrices triangulaires supérieures Les polynômes de degré 5 Les polynômes pairs

2 Exercice : Vielles histoires de famille La famille,, est-elle une famille libre de R? Et une famille génératrice? Et une base? La famille v,, v r de R est-elle une famille libre de R? Et une famille génératrice? Et une base? Pour les v i, on considérera les cas suivants : a v =, v =, v = b v =, v =, v = c v =, v =, v = 7 d v =, v =, v =, v = a Dans R, on considère les deux vecteurs : 6 v = et v = 5 Montrer que la famille v, v est libre puis compléter la en une base de R b Même question avec : v = et v = c Même question avec : v = et v = Soit e, e, e la base canonique de R Les vecteurs : v = e + e e, v = e + e e, et v = e e forment-ils une famille libre Et une famille génératrice? Et une base? Exercice : Dans la quatrième dimension On se place dans R On considère la famille constituée des trois vecteurs : v =, v =, v =, Montrer que la famille v, v, v est libre puis compléter la en une base de R Dans chacun des cas suivants, dire si la famille v,, v r est libre, génératrice, puis donner une base de Vectv,, v r Si la famille est libre, compléter la en une base de R ; si la famille est génératrice, en extraire une base de R a v =, v =, v =, v =, v 5 = b v =, v =, v = 5 6 c v =, v =, v =, v = 5

3 Introduisons les vecteurs de R suivants : u =, u =, v =, v = 5 Montrer que les sous-espaces U = Vectu, u et V = Vectv, v sont en somme directe et que R = U V Exercice 5 : Echange de coordonnées Plaçons nous dans R muni de sa base canonique B = e, e et considérons les éléments : e = e + e e = e + e v = e + e w = e + e e = e e e = e e a Vérier que les deux familles B = e, e et B = e, e sont des bases de R b Calculer les coordonnées de v et w dans ces deux nouvelles bases On reprend le même exercice, mais dans R muni de sa base canonique C = f, f, f On considère les vecteurs v = f + f + f et w = f + f + f a Vérier que les deux familles : C = f + f + f, f f f, f + f et C = f + f, f + f, f f f sont des bases de R b Calculer les coordonnées de v et w dans ces deux nouvelles bases Soit : u =, v =, w = trois vecteurs de R écrits dans la base canonique a Prouver que la famille u, v, w est une base de R b Trouver les coordonnées de écrit dans la base canonique sur cette nouvelle base Exercice 6 : Encore une histoire de famille Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie d, disons R d pour xer les idées Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Accompagner la réponse d'un contre-exemple signicatif si l'armation est fausse Toute sous-famille d'une famille génératrice est génératrice Toute sous-famille d'une famille libre est libre Toute famille dont une sous-famille est génératrice est génératrice Toute famille dont une sous-famille est libre est libre 5 Une famille à d + éléments est nécessairement une famille liée 6 Une famille à d + éléments est nécessairement une famille génératrice 7 Une famille telle que toute sous-famille à deux éléments est libre est elle même libre Exercice 7 : Partons sur de bonnes bases Soit E un R-espace vectoriel de dimension d, par exemple R d Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses, là est la question! Toute famille génératrice peut être complétée en une base de E Toute famille libre peut être complétée en une base de E Une famille de vecteurs obtenue en retirant un vecteur d'une base est génératrice Une famille de vecteurs obtenue en retirant un vecteur d'une base est libre 5 Si on ajoute un vecteur à une base on obtient une famille génératrice 6 Si on ajoute un vecteur à une base on obtient une famille liée,

4 Exercice 8 : Veau Frais Pour chacune des armations suivantes, dire si elle est Vraie ou Fausse, puis justier Si E est engendré par trois éléments alors toute famille à quatre éléments est liée S'il existe dans E une famille libre à deux éléments alors toute famille à trois éléments est liée Si E est de dimension alors aucune famille à deux élément n'est génératrice Une famille à cinq éléments dans un espace vectoriel de dimension est forcément génératrice 5 Une famille à cinq éléments dans un espace vectoriel de dimension est forcément liée 6 Pour qu'un plan P et une droite D soient supplémentaires dans R il faut et il sut que D P 7 Deux plans peuvent être supplémentaires dans R Exercice 9 : Doubles identités Figure-vous que dans le milieu très fermé des droites et plans de R, il est de coutume d'avoir plusieurs identités ; par exemple les quatres dénominations R x + y =, 8x y + 5 =,, R x + = ne cachent en fait que deux individus, à savoir une droite D et un plan P Trouver les deux identités correspondant à la droites D puis celles correspondant au plan P Montrer que la droite D est contenue dans le plan P Il s'agit maintenant de passer d'une description à l'autre a Donner la seconde identité de la droite et du plan suivants : x y + = x y + = 5x + y + = b Même question avec les droite et plan suivants : R, R Exercice : Visite de l'espace R 5 On se place dans R, muni de sa base canonique e, e, e On considère le plan P d'équation x + 5y + ainsi que la droite D engendrée par le vecteur a Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D b Montrer que R = D P On considère le plan P et la droite D dénis par : P = R D = x y = x + y + = Exercice : Oh surprise des jongleries avec des plans et des droites de l'espace On considère le plan P d'équation x y + = ainsi que la droite D engendrée par le vecteur a Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D b Montrer que R = D P On considère le plan P et la droite D dénis par : P = R x y = D = 7x =

5 Exercice : Oh surprise des jongleries avec des plans et des droites de l'espace On considère le plan P d'équation x y + = ainsi que la droite D engendrée par le vecteur a Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D b Montrer que R = D P On considère le plan P et la droite D dénis par : P = R x + y + = D = x y + = Exercice : Un toujours aussi bon plan On se place dans R, muni de sa base canonique e, e, e On considère le plan P d'équation x y + 5 = ainsi que la droite D engendrée par le vecteur,, a Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D b Montrer que R = D P On considère le plan P et la droite D dénis par : P = R Exercice : Un toujours aussi bon plan vecteur D = y = x + 5 = On se place dans R, muni de sa base canonique e, e, e On considère le plan P d'équation x + y + = ainsi que la droite D engendrée par le a Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D b Montrer que R = D P On considère le plan P et la droite D dénis par : Exercice 5 : Appartenance P = R D = x + y = y + = Les appartenances suivantes sont-elles vraies : 5 R R R + R R + R 5 Vect, 6 P P, 5 où, pour la dernière question, on a posé P = R + R et P = R + R Exercice 6 : Tous égaux? Les égalités suivantes sont-elles vraies? R = R 6, R R = R + R = R + R, 5 R, R = R + R 6 + R = R 6, 9 + R 5

6 Exercice 7 : En direct! La somme de sous-espaces vectoriels F + G est-elle directe quand : F = Vect et G = Vect? F = Vect et G = Vect? F = Vect et G = Vect? F = Vect, et G = Vect? 5 F = Vect, 6 F = Vect, et G = Vect? et G = Vect, Exercice 8 : Supplémentaires! Dans R, posons F = R Ce sous-espace vectoriel et les suivants sont-ils supplémen- taires dans R : a R? b R? c Vect Dans R, posons F = R Ce sous-espace vectoriel et les suivants sont-ils supplémentaires dans R : a R Exercice 9 : = b R d R?,? d Vect,?? c R?? On se place dans R On considère six sous-espaces vectoriels : xy E = R, E = R x y + =, xy E = R + R, E = R 5x = y et y = 5, E 5 = R + R 5, E 6 = R + R 6 8 Après avoir distingué les droites vectorielles des plans vectoriels, répondre aux questions suivantes : a E E? b E E? c E E? d E = E? e E = E 5? f E = E 6? g E = E E? h R = E E? i R = E E E 6? On recommence avec : xy E = R + R, E = R x = y et x =, xy E = R xy 5x y =, E = R x = et y =, E 5 = R + R, E 6 = R + R avec les questions : a E E? b E E? c E E? d E = E 6? e E = E 5? f E = E 5? g E = E E? h R = E E? i R = E E 5? 6

7 Exercice : Sans complexe! Montrer que C, le corps des nombres complexes, est un R-espace vectoriel Donner une R-base de C En déduire la dimension de C en tant que R-espace vectoriel Montrer que pour tout C \ R, la famille, est une R-base de C a Soit,, C Pourquoi existe-t-il des réels λ, λ, λ R, non tous nuls, tels que λ + λ + λ = b En déduire que pour C, il existe P R[X] tel que degp et P = c Que peut-on choisir pour P quand vaut i, j, + i? Exercice : Un petit peu plus complexe Les vecteurs u =, i, i, v =, + i, + i et w =,, de C sont-ils linéairement indépendants? Exercice : A un certain degré Plaçons nous dans R 5 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 5 Considérons les sous-espaces vectoriels : E = P R 5 [X] P =, E = P R 5 [X] P = P =, E = P R 5 [X] x P x est une fonction paire, E = P R 5 [X] P X = XP X Au fait quelle est la dimension de l'espace vectoriel R 5 [X]? En donner une base Assure vous que les sous-espaces vectoriels annoncés en sont bien Déterminer une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels, puis compléter la base obtenue en une base de R 5 [X] Exercice : L'espace vectoriel des polynômes Pour n N, on désigne par R n [X] le sous-ensemble de R[X] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n : R n [X] = P R[X], degp n Qu'est-ce que R [X]? Montrer que pour tout n N, l'ensemble R n [X] est un sous-espace vectoriel de R[X] Donner sa dimension et exhiber une de ses bases Soient P, P,, P n R n [X] des polynômes tels que pour tout i, degp i = i Montrer que la famille P i, i n est une R-base de R n [X] Soient P R n [X] et r R a Montrer qu'il existe a, a,, a n R tels que : P X = a + a X r + + a n X r n Ces réels sont-ils déterminés de façon unique et si oui pourquoi? b Vérier que pour i n, a i = P i r i! c N'est-ce pas une formule célèbre? Si oui, quel est son petit nom? Exercice : Et si on sortait de R n Nous allons étudier certaines familles de FR le R-espace vectoriel constitué des fonctions de R dans R La famille f, f, f de FR est-elle libre a quand f x = x, f x = e x et f x = sinx? b quand f x = sinx + a, f x = sinx et f x = cosx? La famille f, f, f de FR +, R, avec f x = lnx, f x = lnx et f x =, est-elle libre? Soient f, f, f, f, f 5 les fonctions de FR dénies par : f x =, f x = x, f x = sin x, f x = cos x, f 5 x = e x Quelle est la dimension du sous-espace de FR engendré par f, f, f, f, f 5 7

8 Exercice 5 : Vive la parité! Plaçons nous le R-espace vectoriel FR, R constitué des fonctions de R dans R Considérons les deux sous-ensemble : F = f FR, R f est paire et G = f FR, R f est impaire Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de FR, R Vérier que FR, R = F G Exercice 6 : Somme toute Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie d et soit F et G deux sous-espaces vectoriels Rappeler la formule reliant les dimensions de F + G et de F G Supposons que dimf + dimg > d Que peut-on dire de dimf G? Supposons F et G de dimension d Que peut-on dire de dimf G? Et s'ils sont distincts, peut-on être plus précis? Exercice 7 : HyperBonPlan Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie d On appelle hyperplan un sous-espace vectoriel de dimension d ; on rappelle qu'une droite vectorielle est un sous-espace vectoriel de dimension Qui sont les hyperlan du plan? de l'espace? Montrer que pour tout x H, on a E = H x Soit H un hyperlan et D une droite Montrer les équivalences : H et D sont supplémentaires D H = D H Montrer que deux hyperplans H et H admettent un supplémentaire commun 5 Montrer que la dimension de l'intersection de k hyperplans de E est supérieure ou égal à d k 6 a Soit F un sous-espace strict de E Montrer que F est une intersection d'un nombre ni d'hyperplans b Quel est le nombre minimal d'hyperplans vériant la question précédente Exercice 8 : Réunionite Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E La réunion F G est-elle un sous-espace vectoriel de E? Montrer l'équivalence : F G est un sous-espace vectoriel de E F G ou G F 8