Continuité des apprentissages mathématiques du cycle 2 au cycle 3. IUFM Midi-Pyrénées Madeleine Vaultrin

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1 Continuité des apprentissages mathématiques du cycle 2 au cycle 3 IUFM Midi-Pyrénées Madeleine Vaultrin 1

2 Plan de l animation Nombre et numération consolidation de la numération Évolution des représentations Opérations Construction des techniques opératoires Évolution des problèmes étudiés Géométrie Évolution du vocabulaire utilisé, des méthodes Approfondissement d un des thèmes par groupe scolaire 2

3 Nombre et numération La période du CE1 au CM1 est cruciale pour la connaissance des nombres : -Vers une bonne appréhension du concept d entier - Compréhension de la notion de fraction -Construction des nombres décimaux 3

4 3 registres pour construire les nombres Le concept de nombre (entier, fractionnaire, décimal ) Les systèmes de représentation des nombres (en particulier le système chiffré décimal) Le calcul sur les nombres Un petit point théorique avant de parler de didactique 4

5 Les ensembles de nombres N Z Q R 5

6 L ensemble des entiers naturels N N désigne l ensemble des entiers naturels {0, 1, 2.} Cet ensemble est régi par les axiomes de Peano : l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel : N n est pas vide. Tout entier naturel n a un unique successeur. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur : c est le premier élément (le plus petit). Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N. C est cette propriété qui permet de faire un raisonnement par récurrence. 6

7 Les ensembles Z et Q L ensemble Z est une extension de N dans lequel toutes les équations de la forme x + a = b, a et b étant entiers naturels, ont des solutions. L équation x + 2 = 1 n a pas de solution dans N mais a pour solution -1 dans Z. L ensemble Z contient tous les entiers naturels et tous leurs opposés. N est inclus dans Z. N Z. L ensemble Q des nombres rationnels est une extension de Z dans lequel toutes les équations de la forme ax = b, a et b étant entiers relatifs, ont des solutions. L équation 3x = 1 n a pas de solution dans Z mais a pour solution 1 dans Q. 3 L ensemble Q contient tous les entiers relatifs et tous leurs inverses. Z est inclus dans Q. Z Q. 7

8 Les fractions à l école primaire Cycle 2, CE2 : quelques fractions simples comme un demi ou un quart. CM : début de la construction de la notion de fraction. 2 : on partage l unité en 3 «parts égales», on 3 en prend 2. 8 : on partage l unité en 3 «parts égales», on 3 en prend 8. a : on partage l unité en b «parts égales», on b en prend a. 8

9 L ensemble D L ensemble Ⅾ est une réduction de Q et contient Z. D est constitué des rationnels représentables par : - une fraction dont le dénominateur peut se mettre sous la forme d'une puissance de dix. - une écriture de la forme a avec a élément de Z, m et n éléments de N. 2 n x 5 m - une écriture décimale comportant une partie entière (qui peut être nulle) et une partie décimale (après la virgule). Cette partie décimale est composée d un nombre fini de chiffres. (par convention : on n écrit pas le ou les derniers chiffres de la partie décimale lorsqu ils sont nuls; ainsi le décimal 2,0 est noté 2. 9 cependant quand cela est utile on pourra les écrire). 9

10 Exemples de décimaux 14 représente un nombre décimal : La décomposition en facteurs premiers 40 du dénominateur ne comporte que des 2 et des 5 (40 = 2x2x2x5). C est une condition suffisante pour que 14 soit décimal, mais pas nécessaire = 40 3 = Réduction en fraction irréductible : 7, 42 = 7 = 35, décimal n est pas irréductible. 49 Fraction réduite : 3, ce n est pas un décimal

11 Attention : Ne pas confondre décimal et rationnel - Lorsqu un rationnel non décimal est écrit sous forme décimale, la partie décimale est illimitée (infinie) et périodique (elle comporte un ensemble ordonné de décimales qui se répètent à l'infini). Ainsi 0, C est un rationnel non décimal 7 La machine à calculer ne suffira pas à le prouver! 0, n est qu une valeur approchée de à 10-6 près. C est un décimal - Cas particulier : 0,9999 = 1. C est un entier! 11 11

12 Exemples de décimaux 0, est un nombre décimal car sa partie décimale est finie. x = 0, , la période de la partie décimale est 967, ce n est pas un nombre décimal : c est un nombre rationnel non décimal. x peut s écrire sous forme de fraction 1000 x = x donc 999 x = 967, x = est un nombre décimal

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14 Enseignement des nombres Des situations de références : voir le document «nombre au cycle 2» pour - comprendre les groupements et les échanges, le sens de chaque chiffre dans le nombre suivant sa position - comprendre l aspect algorithmique du système de numération, les règles de comparaison des nombres écrits en chiffres - passer du codage d un nombre à un autre codage. Du matériel de numération et des systèmes de représentation des nombres 14

15 Continuité du CE1 au CM1 : Groupements et échanges -voir et revoir des situations de gestion de grandes collections («fourmillions») : utilité des groupements par 10 Le problème des timbres : les timbres sont vendus par carnets de dix timbres. Paul a besoin de 260 timbres. Combien doit-il acheter de carnets? Corinne a besoin de 500 timbres. Combien doit-elle acheter de carnets? 15

16 Continuité du CE1 au CM1: Ecriture des nombres Pour l aspect algorithmique de la numération, il reste à étendre la suite des nombres, rendre les élèves capables de trouver les successeurs et prédécesseurs. Deux Simuler un «compteur manuel» permettant d écrire les nombres avec des mots Un nombre n est écrit avec des mots (cartes), par exemple : Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire avec des mots le prédécesseur n-1 de ce nombre? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le successeur n+1 de ce nombre? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n+10? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n+100? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n+1000? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n+10n? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n x10? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n x100? Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n x1000? mille trois cent vingt quatre Quelle(s) carte(s) faut-il changer pour écrire le nombre n x10n? 16

17 Continuité du CE1 au CM1: Ecriture des nombres utilisation d une calculatrice -On affiche 12 sur la calculatrice puis sans effacer en utilisant les touches opérations on doit afficher 22 puis Ou bien comment passer de 7,23 à 7,33? (même consigne) - Après un jeu de portrait de nombre sur l ardoise, le faire avec une calculatrice. Utilisation d un tableur (activité primtice) A B C D 1 4 2, 7 2 Afficher en B2 le nombre 42,7, de sorte que si l on change un chiffre dans la première ligne, le nombre en B2 change aussi. 17

18 Matériel de numération Doit-on utiliser du matériel de numération pour aider à construire les nombres mais aussi des techniques opératoires? - Le matériel multi-base - La monnaie -Les bouliers ou les abaques; -Les boîtes Picbille -Le matériel de la collection millepâtes. 18

19 Evolution de la représentation de la suite des nombres entiers La bande numérique en GS et CP devient droite numérique au CE Puis la droite graduée sur laquelle on placera les nombres décimaux. 19

20 D autres représentation des nombres Tableau de la suite des nombres ou de la suite des dizaines. Spirale des nombres 20

21 Du CE1 au CM1 : comparer, ranger, encadrer Roland Charnay propose une même règle de comparaison des entiers et des décimaux : - pourquoi 2560 est plus grand que 987 : parce que 2 milliers est plus grand que 987 unités (2 milliers c est 2000). - pourquoi 856 est plus grand que 839 : parce que 5 dizaines est plus grand que 39 unités (5 dizaines c est 50) - pourquoi 7,8 est plus grand que 7, 56 : parce que 8 dixièmes est plus grand que 56 centièmes (8 dixièmes c est 80 centièmes) 21

22 Comparaison On peut donc avoir une seule règle pour comparer décimaux et entiers. Les nombres étant écrits ou imaginés l un sous l autre, on parcourt leurs chiffres à partir de la gauche. Dès qu on trouve 2 chiffres différents, on peut conclure ,7 25, ,368 8,9856 Cela pourrait être enseigné en premier, les règles sur les longueurs des nombres venant après. Les règles sont compliquées à expliquer. C est la volonté d enseigner des règles qui a conduit à ne pas utiliser ces procédures. 22

23 Continuité des apprentissages La compréhension du système de numération des entiers est essentielle pour - Passer de la numération orale à l écriture chiffrée - Construire les nombres décimaux - Comparer les nombres entiers et décimaux - Comprendre les techniques opératoires. 23

24 Opérations Nécessité d une progression réfléchie sur l école : Les techniques opératoires de la soustraction et la multiplication Les problèmes de partage vers la division Le calcul mental et le calcul réfléchi L utilisation de la calculatrice 24

25 Construire une technique opératoire da la soustraction en résolution de problème. Pour la soustraction au CE1 : notre technique usuelle est difficile à construire. Il ne faudrait pas donner priorité à la technique sur le sens. Dans une recherche avec des maîtres formateurs, nous avons expérimenté la construction de notre technique usuelle de la soustraction en résolution de problème : en proposant des comparaisons entre des techniques différentes. 25

26 Technique anglaise ou technique naturelle Utilisation de la droite numérique = 617 Lien avec la numération Addition à trou Lien avec le sens : distance entre 2 nombres Technique usuelle Technique russe Lien avec le sens : complément Propriété des écarts constants 26

27 La division Privilégier le sens : travailler sur des problèmes de partage dès la maternelle. Le matériel de numération présent depuis le CP permet de construire la technique opératoire basée sur la numération c -1 0 c 2 4 7, 2 2c=20d c d u dixièmes 23 d -20 d 3d=30u 36 u 35u 1u=10 dixièmes 27

28 Priorité au calcul mental : six raisons Calcul d usage, utile dans la vie ordinaire Indispensable pour le calcul posé Moyen privilégié de contrôle Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée), utilisation de connaissances sur les nombres et les opérations sur les nombres Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement. Roland Charnay

29 Du CE1 au CM : des outils pour le calcul mental Continuité dans l apprentissage des tables Un cahier aide-mémoire qui suit l élève avec - des règles - des exemples de calcul Des utilisations de logiciels paramétrables (voir le site abuledu.org) Un travail sur le vocabulaire : double et moitié, triple et tiers, quart et quadruple, multiple. 29

30 Evaluations 2010 CE1 Connaître la moitié de 30 et la moitié de 100 : 48,6% de réussite sur l académie Connaitre le double de 300 et le double de 40 : 55,7% de réussite sur l académie 30

31 Vocabulaire en calcul mental : variations sur ou Calculer 100 moins 77 ; Effectuer la somme de 100 et de 17. Soustraire 77 à augmenté de 77 donne Calculer la différence (l écart) entre 100 et 77. Combien faut-il ajouter à 77 pour obtenir 100? Combien faut-il enlever (ôter) à 100 pour obtenir 77? Quel est le complément à 100 de 77? Trouver le nombre manquant : 77 + = 100 J avais 77 points, j en ai maintenant 100. Combien en ai-je gagné? (calculer le bilan de mes gains.) Un mur haut de 77 cm doit être relevé jusqu à 1 m de hauteur. Calculer le rehaussement nécessaire. Un arbuste de 77 cm mesure 3 ans après 1 m de hauteur. Calculer sa poussée durant cette période? 31

32 Activités mentales et lexique géométrique Compléter «AGEC est un» C D B A F E G Quel quadrilatère prend en compte toutes les propriétés codées ci-contre?

33 Continuité des apprentissages sur la résolution de problèmes Qu est ce que faire un problème : le contrat est construit en CE1 Fabriquer des énoncés pour mieux comprendre ce qu est un problème. Quelle rédaction attendre d un élève en début de CE2? Continuer à résoudre des problèmes du champs additif. 33

34 Un débat pour clarifier la communication de la solution en CE1 Sébastien et François comparent leurs collections de voitures. Sébastien en a 17, François en a 22. Combien de voitures François a-t-il de plus que Sébastien? 34

35 Evaluations 2010 CE1 -Une démarche qui convient, quelle qu elle soit, est mise en œuvre et la trace est laissée : 61,4% - la réponse est rédigée et l unité est indiquée : 70,4% - la réponse est exacte (il reste 1 euro) : 39,5% Maman veut acheter des gâteaux. Elle a dans son porte-monnaie : - un billet de 10 - un billet de 5 - deux pièces de 2 - trois pièces de 1. Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d argent lui reste-t-il après avoir payé? 35

36 Il lui reste 15 dans son porte-monnaie. Avant elle avait 22 dans son porte-monnaie. 36

37 Elle a la maman 22 argent ( ) 37

38 Evaluations 2010 CE1 A la récréation, Dimitri joue aux billes. Au début de la partie, il possède 37 billes. A la fin, il a 72 billes. Combien a-t-il gagné de billes? 30,7% de réussite sur l académie Pour une fête, Louise a acheté 12 paquets de gâteaux. Chaque paquet contient 4 gâteaux. Combien Louise a-t-elle de gâteaux? 56,3% de réussite sur l académie Un jardinier a planté 45 salades. Il a fait trois rangées. Il a mis le même nombre de salades dans chaque rangée. Combien y-a-t-il de salades dans chaque rangée? 31,2% de réussite sur l académie 38

39 Continuité des apprentissages sur la géométrie Nécessité de résoudre des problèmes de géométrie dès le cycle 2 Quel matériel de géométrie dans l espace dans l école? Quel matériel de géométrie plane dans l école? Favoriser le développement des compétences géométriques à travers des jeux : tangram, blokus, structuro, rumis 39

40 Quelques pistes de réflexions par école sur la continuité des apprentissages du CE1 au CM1 Le matériel pour la manipulation : en géométrie, en numération Evolution des problèmes dans le champ addition/soustraction Le vocabulaire exigible en fin de chaque niveau : relations arithmétiques entre les nombres, géométrie Continuité des apprentissages en calcul mental 40