Chapitre 5 Dérivée. Table des matières. Chapitre 5 Dérivée TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre Dérivée TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre Dérivée Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I-8 II Cours II- Taux de variation II- Nombre dérivé d une fonction II- Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable en un point II- Fonction dérivée II- Calcul de dérivée II-

2 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I- I Exercices Nombre dérivé et tangente. La fonction f est définie par f(x) = x, sur [, ;, ], et elle est représentée graphiquement ci-contre par la courbe. L objectif de cet exercice est d étudier en détail les variations de cette fonction, pour en arriver à une espèce d «indicateur de variation».. Décrire les variations de cette fonction sur [, ;, ], sans justifier.. En observant la courbe sur l intervalle [ ; ], où peut-on dire qu il y a une faible croissance ; une forte croissance ; une faible décroissance. une forte décroissance ; Nous allons en venir à un nombre dont la valeur nous indiquera si la croissance ou la décroissance est «forte» ou «faible».. Placer sur la courbe les points A, B, C, D, E, F, G, H, K d abscisses respectives ;, ; ; 0, ; 0 ; 0, ; ;, ;. Compléter le tableau ci-dessous (on pourra utiliser la commande table de sa calculatrice). Points A B C D E F G H K x, 0, 0 0,, f(x). Tracer les droites (AB), (CD), (EF), (GH). 6. Calculer leurs coefficients directeurs et compléter ce tableau. Droites (AB) (CD) (EF) (GH) Coefficient directeur Formule 7. À l aide des valeurs du coefficient directeur, comparer : a) la croissance entre A et B avec la croissance entre C et D ; b) la décroissance entre E et F avec la décroissance entre G et H.

3 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I- On considère toujours la fonction f est définie par f(x) = x, et deux points A et B de la courbe d abscisses respectives a et b. A B Écrire un algorithme qui calcule le coefficient directeur de la droite (AB), quand on lui donne les nombres a et b, puis le programmer à la calculatrice. a b On considère toujours la fonction f définie par : f(x) = x, elle est à nouveau représentée graphiquement ci-contre par la courbe. G Les points B et G sont les points d abscisses respectives, et, comme dans l exercice. B. On va considérer un point M de la courbe, d abscisse variable qui se rapproche de, de façon à ce que le point M se rapproche du point G. La droite (GM) va alors se rapprocher de la tangente en G. a) Compléter ce tableau : Abscisse de M,,,0,00 Coefficient directeur de (GM) b) Au fur et à mesure que l abscisse de M se rapproche de (on dit qu elle tend vers ), le coefficient directeur tend vers un nombre. Lequel? Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point G, on l appelle le nombre dérivé de f en. c) Tracer la tangente à la courbe au point G.. Nous allons procéder de la même façon pour déterminer le nombre dérivé de f en,. On va considérer un point N de la courbe, d abscisse variable qui se rapproche de,, de façon à ce que le point N se rapproche du point B. La droite (BN) va alors se rapprocher de la tangente en B. a) Compléter ce tableau : Abscisse de N,,, 9, 99 Coefficient directeur de (BN) b) Lorsque l abscisse de N tend vers, le coefficient directeur de la droite (BN) tend vers le nombre dérivé de f en,. Quel est ce nombre? c) Tracer la tangente à la courbe au point B.

4 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I- Cette façon de déterminer le nombre dérivé d une fonction f en un nombre a est longue et fastidieuse. Dans l exercice suivant, nous allons utiliser la calculatrice pour déterminer chaque fois le nombre dérivé. La fonction f est définie par f(x) = x 0x + 8, et elle est représentée graphiquement cicontre par la courbe Programmer tout d abord la fonction f à la calculatrice et choisir les paramètres de la fenêtre pour obtenir la même chose que ci-dessus.. a) Placer sur la courbe le point A d abscisse. b) Faire afficher la courbe en appuyant sur graphe c) Nous allons obtenir le nombre dérivé de f en : TI 8 TI 89 appuyer sur nde [calculs] appuyer sur F choisir dy/dx en appuyant sur 6 choisir 6:Derivatives, puis on choisit la valeur de x en appuyant sur on voit dy/dx at? ENTER on voit dy/dx=-8 qui est le nombre appuyer sur puis ENTER dérivé de f en CASIO appuyer sur SHIFT [SETUP] descendre jusqu à Derivative et appuyer sur F pour obtenir Derivative : 0n appuyer sur EXE appuyer sur F6 (Draw) : la représentation graphique apparaît. appuyer sur SHIFT F (Trace) on choisit la valeur de x en appuyant sur on voit dy/dx=-8 qui est le nombre dérivé de f en d) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en A est donc 8 (le nombre dérivé). Tracer cette tangente.. Placer les points B, C, D, E d abscisses respectives,, 6, 8.. Compléter ce tableau en procédant comme au (b) et (c). Point A B C D E Abscisse a du point 6 8 Nombre dérivé en a (coefficient directeur de la tangente). Tracer les tangentes à la courbe en B, en C, en D, en E. 8

5 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I- Fonction dérivée. Dans l exercice sur fiche n o, le tableau de la question donne pour différentes valeurs de a le nombre dérivé de f en a. En fait, à tout nombre réel a, on peut associer un nombre dérivé de la fonction en a. La fonction qui à tout nombre a associe le nombre dérivé en a s appelle la fonction dérivée de f, et on la note f, ainsi dans le tableau de l exercice, on a : f () = 8 f () = f () = 0 f (6) = f (8) = 6 La fonction f est définie par f(x) = x, représentée par la courbe et on considère le point A de la courbe d abscisse a. Le point M est aussi un point de la courbe d abscisse a + h. Lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche du point A, et le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers le nombre dérivé en a. 6. Le coefficient directeur de (AM) est y M y A x M x A. Écrire ce coefficient directeur en fonction de a et de h, et simplifier cette expression.. Lorsque h tend vers zéro, vers quoi tend le coefficient directeur? L objectif de cet exercice est de «deviner» les fonctions dérivées de deux fonctions usuelles. 7. Compléter ces tableaux Nombre a 0 0 f(a) = a Nombre dérivé de f en a c est à dire f (a) Nombre a 0 0 f(a) = a Nombre dérivé de f en a c est à dire f (a). a) Pour la fonction carré, c est à dire la fonction définie par f(x) = x, il semble que la dérivée f est définie par f (x) =.... b) Pour la fonction inverse, c est à dire la fonction définie par f(x) =, il semble que la x dérivée f est définie par f (x) =.... Remarque : une courbe représente une fonction dérivable en a si on peut tracer une tangente au point de cette courbe d abscisse a. Parmi les courbes suivantes, lesquelles représentent une fonction dérivable en zéro? C C C C

6 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I- 8 Pour chacune des fonctions f définies et représentées graphiquement ci-dessous, écrire f (x) d après le cours (tableau de dérivées des fonctions usuelles) ; calculer le nombre dérivé de f en a c est dire f (a) ; placer le point A d abscisse a sur la courbe ; calculer l équation réduite de la tangente à la courbe en A. tracer la tangente à la courbe en A. () f(x) = x a = () f(x) = x a = () f(x) = x a = () f(x) = x a = () () () ()

7 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I-6 9 Sur chacun des graphiques suivants, une fonction dérivable f est représentée par la courbe, ainsi que la tangente (d) au point A de la courbe d abscisse a. Par lecture graphique, déterminer chaque fois a, f(a), f (a), et l équation réduite de (d).. A (d). A (d). (d) A 0 Dérivée et opérations Pour chacune des fonctions définies ci-dessous calculer la dérivée. () f(x) = x + x () f(x) = 7x () f(x) = x + x () f(x) = x + 7x + 6 () f(x) = x 8x + 9 (6) f(x) = x + x (7) f(x) = 7x x + x (8) f(x) = 6 x 8 x + Pour chacune des fonctions définies ci-dessous calculer la dérivée. () f(x) = 7x x + 6x 8 () f(x) = x + x () f(x) = x + 9x La fonction f est définie sur IR par f(x) = x 6x + 7. Elle est représentée ci-contre par la courbe.. Placer sur la courbe les points A, B, C d abscisses respectives ; ;.. Calculer les coordonnées de A, B, C.. Calculer la dérivée de f.. Calculer f (), f (), f ().. Tracer les tangentes à la courbe en A, en B, et en C 6. Calculer les équations réduites (y = mx + p) de ces tangentes. 0 Calculer les dérivées des fonctions définies ci-dessous. () f(x) = (x + ) x () f(x) = (x + ) x () f(x) = 7x x

8 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I-7 La fonction f est définie par f(x) = ( x+6) x et elle est représentée ci-contre par la courbe.. Calculer la dérivée de f.. Sur la courbe, placer le point A d abscisse.. Calculer f ().. Tracer soigneusement la tangente à la courbe en A. 0 Calculer les dérivées des fonctions définies ci-dessous. () f(x) = () f(x) = () f(x) = x + x x 6 Calculer les dérivées des fonctions définies ci-dessous. () f(x) = x () f(x) = x + 7 () f(x) = 6 x x + x + x 7 La fonction f est définie sur ], ; 0[ par f(x) = x. Elle est représentée ci-contre par la courbe. 8. Placer sur la courbe les points A et B d abscisses respectives et.. Calculer les coordonnées de A et B.. Calculer la dérivée de f.. Calculer f (), f ().. Tracer les tangentes à la courbe en A et en B. 6. Calculer les équations réduites de ces tangentes. 6 0 () f(x) = 8 + x () f(x) = x La fonction f est définie sur ], ; [ par f(x) = x + x +. Elle est représentée ci-contre par la courbe. 9. Placer sur la courbe les points A et B d abscisses respectives et.. Calculer les coordonnées de A et B.. Calculer la dérivée de f.. Calculer f (), f ().. Tracer les tangentes à la courbe en A et en B. 6. Calculer les équations réduites de ces tangentes. La fonction f est définie par f(x) = x sur ] ; [ ] ; + [. x + est la courbe représentative de la fonction f dans un repère.

9 Chapitre Dérivée I EXERCICES page I-8 En quels points la courbe admet-elle une tangente de coefficient directeur? Calculer les abscisses de ces points. Conseil : tracer d abord la courbe et la droite d équation y = x sur l écran de la calculatrice 0 Déterminer la fonction f représentée ci-contre sachant que c est une fonction polynôme du troisième degré, c est à dire une fonction définie sous la forme f(x) = ax + bx + cx + d ; les points A et B sont sur la courbe ; la droite (AC) est tangente à en A ; la droite (BD) est tangente à en B ; on donne les coordonnées suivantes : A (0 ; ), B ( ; ), C ( ; ), D ( ; 0). 0 0 A B C La fonction f est définie par f(x) = x 8x + 9. Elle est représentée ci-dessous par la courbe.. Placer le point A est de coordonnées ( ; ).. a) Déterminer graphiquement les tangentes à la courbe qui passent par la point A. b) Donner les abscisses des points de contacts avec la précision permise par le graphique.. Déterminer algébriquement les abscisses de ces points, en utilisant les indications ci-dessous. a) Calculer la dérivée. b) Écrire l équation d une tangente à la courbe en un point K d abscisse k (formule page 66, paragraphe, dans le manuel Hyperbole 0 de re S). c) Sachant que le point A appartient à cette tangente, on peut écrire une équation d inconnue k. d) Résoudre cette équation. D

10 Chapitre Dérivée II COURS page II- II Cours Taux de variation Pour une fonction f représentée par une courbe, et pour deux points A et B de cette courbe, la droite (AB) s appelle une corde de la courbe ; le coefficient directeur de cette corde (AB) est égal à y B y A c est à dire f(x B) f(x A ) ; x B x A x B x A f(x B) f(x A ) est appelé taux de variation de f entre x B x A x A et x B. Nombre dérivé d une fonction Définition Une fonction f est définie sur un intervalle I, et a et h sont deux nombres réels tels que a et a + h soient dans l intervalle I. Dire que la fonction f a un nombre dérivé en a signifie que réel quand h tend vers 0. Ce nombre est appelé le nombre dérivé de la fonction f en a. Exemple A f(a + h) f(a) h B tend vers un nombre La fonction f est définie par f(x) = x. a = h = 0, f(a + h) f(a) f(, ) f() = =, h 0, a = h = 0, f(a + h) f(a) f(, ) f() = =, h 0, a = h = 0, 00 f(a + h) f(a) f(, 00) f() = =, 00 h 0, 00 f( + h) f() En voyant ces résultats successifs, on admet que tend vers quand h tend vers 0, h par conséquent le nombre dérivé de f en est égal à. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable en un point. Le programme de mathématiques de re S indique qu un élève doit savoir tracer une tangente connaissant le nombre dérivé. (d) Pour une fonction f dérivable en a, le nombre dérivé f (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point de cette courbe d abscisse a. f(a) A a Pour une fonction f dérivable en a, l équation réduite de la tangente est y = f (a)(x a) + f(a)

11 Chapitre Dérivée II COURS page II- Fonction dérivée. Définition Dire qu une fonction f est dérivable sur un intervalle signifie que f est définie sur cet intervalle et que pour tout nombre a de cet intervalle f admet un nombre dérivé en a. Définition Pour une fonction f dérivable sur un intervalle la fonction qui à tout nombre a de cet intervalle associe le nombre dérivé en a s appelle la fonction dérivée de f, et on la note f. Remarque et exemple Une courbe représente une fonction dérivable en a si on peut tracer une tangente au point de cette courbe d abscisse a. Par exemple, la fonction f représentée à droite n est pas dérivable en 0. Calcul de dérivée Le programme de mathématiques de re S indique qu un élève doit savoir calculer la dérivée de fonctions. Tableau Dérivées des fonctions usuelles f(x) = f (x) = f dérivable sur k constante 0 IR x IR x x IR x n nx n IR si n 0, IR si n x x IR x x ]0 ; + [ Tableau Dérivée d une somme, d un produit et d un quotient. Dans le tableau ci-dessous, u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Dérivée (u + v) = u + v (ku) = k u ( v ) = v v (uv) = u v + v u ( u v ) = u v v u v Condition v ne s annule pas sur I v ne s annule pas sur I

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