Le calcul numérique : pourquoi et comment?

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1 Le calcul numérique : pourquoi et comment? 16 juin 2009 Claude Gomez Directeur du consortium Scilab

2 Plan Le calcul symbolique Le calcul numérique Le logiciel Scilab Scilab au lycée

3 Le calcul symbolique ou calcul formel

4 Quelques logiciels de calcul symbolique Professionnels : Maple, Mathematica Parfois utilisé au lycée : Derive Gratuits : Maxima, Xcas, SAGE,

5 Le calcul symbolique c est super! Quelques exemples en Maple

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8 Résolution d équations Trouver x solution de f( x ) = 0 Recherche de zéros de polynômes avec Maple

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11 Mais dès le degré 5, pas de solution analytique générale

12 Résolution d équations différentielles Trouver yx ( ) solution de y'( x) = f( x, y( x)) Résolution avec Maple

13 Là encore pas de solution analytique, même pour de simples équations différentielles La solution est donnée en fonction de fonctions spéciales elles-mêmes solutions d équations différentielles!

14 Système proie prédateur (Lotka Volterra) Sardines : Requins : xt () yt () Le système : x'( t) = ax( t) bx( t) y( t) y'( t) = d y( t) + c y( t) x( t) Résolution avec Maple

15 Le système différentiel proie prédateur le plus simple :

16 Solution générale inutilisable : racine d un polynôme avec une intégrale + fonction spéciale

17 Et si l on met des conditions initiales et des valeurs aux paramètres, plus de solution!

18 Donc le calcul symbolique ne suffit pas Solution Utiliser des algorithmes «approchés» Utiliser des valeurs «approchées» Qu est-ce qu une valeur «approchée»?

19 Le calcul numérique

20 Faire des calculs rapides Utiliser des «mots machine» Comment représenter les nombres dans ces «mots machine»? La norme IEEE-754

21 Double précision = 2 X 32 bits s = signe e = exposant m = mantisse Nombre = Nombre min = s e 1023 ( 1) 2 1.m 2, Nombre max = 308 1, , Précision = soit 16 chiffres max

22 Définition d un arrondi correct pour +,,,,

23 Avantages Toutes les machines ont le même comportement numérique pour l arithmétique Inconvénients Les fonctions élémentaires ne sont pas encore spécifiées Restent les problèmes de précision Exemples en Scilab

24 -->sin(%pi) ans = D-16 -->sin(%pi*10^10) ans = >sin(%pi*10^15) ans = <= équivaut ici à 0 <= ces puissances de πne sont pas assez précises

25 -->%eps %eps = D-16 -->format(20) -->1+%eps ans = >1+%eps/2 ans = 1. -->(1+%eps/2+%eps/2)- (1+%eps) ans = <= précision minimale <= on affiche 20 chiffres <= %eps/2 vaut 0 par rapport à 1 <= ((1+%eps/2)+%eps/2) vaut 1

26 Le numérique en précision arbitraire Exemple : calcul de e π Scilab -->exp(%pi*sqrt(163)) ans = Ce résultat est faux car le calcul de n est pas fait avec assez de précision e π

27 Maple If faut faire un calcul avec 40 chiffres pour arriver à un résultat juste

28 Le calcul numérique en précision arbitraire est donc incontournable dans certains domaines : Résolution de systèmes d équations polynomiales : robotique Arithmétique d intervalles, calcul certifié

29 Le logiciel Scilab

30 Les logiciels de calcul numérique Matlab Scilab : commercial et cher : libre et gratuit Avantages Programmation facile Algorithmes performants Larges domaines d application Tracé de graphiques faciles Ce sont ces logiciels qui sont utilisés par les ingénieurs, les universitaires, les chercheurs

31 Caractéristiques importantes Pas de variables formelles Les objets de base sont les vecteurs et les matrices Tous les calculs sont numériques : ils suivent la norme IEEE-754

32 Le logiciel Scilab : qu est-ce que c est? Librairies de calcul : plus de 1700 fonctions Fonctions mathématiques Calcul matriciel, matrices creuses Polynômes et fractions rationnelles Simulation : systèmes d équations différentielles Commande classique et robuste, optimisation LMI Optimisation différentiable et non différentiable Interpolation, approximation Traitement du signal Statistiques Graphes et réseaux Xcos : simulateur bloc diagramme pour les systèmes dynamiques Utilisateur Graphique 2D/3D Animation Langage Interpréteur Éditeur Aide en ligne

33 Dernière version : Scilab (avril 2009) Statut de Scilab : Gratuit Machines cibles : Windows 2000/XP/Vista Linux MacOSX

34 Le nouveau consortium Scilab Le nouveau consortium au sein de la fondation Un soutien fort de l Un consortium de partenaires Participation à des projets collaboratifs et industriels Une structure adaptée Une équipe de R&D pérenne en fort développement et complètement dédiée au développement et à la promotion de scilab Nombre de personnes de l équipe R&D

35 Le consortium Scilab aujourd hui Académiques Organismes publics Industriels

36 Scilab au lycée

37 Les outils de calcul actuels dans les lycées La calculatrice Le tableur : Excel ou Calc Autres Derive, Maple, Mathematica, Géométrie dynamique Geoplan, Geospace, Geogebra

38 Avantages La calculatrice C est pas cher Bien adapté aux programmes de lycées Inconvénients C est cher car en général pas utilisée après le lycée Pas toujours performant Graphique peu lisible Langage peu facile à manipuler Tout le calcul numérique fait avec une calculatrice peut être fait «en mieux» avec Scilab

39 Le tableur : Excel ou Calc Un tableur doit être utilisé comme un tableur : Pour «voir» des valeurs évoluer en fonction de paramètres Pour gérer une petite base de données Un tableur «n est pas fait» pour faire : Du calcul numérique De la programmation numérique => pas de «vrai langage» Tout le calcul numérique fait avec un tableur peut être fait «en mieux» avec Scilab

40 Scilab utilisé en classes de BCPST Scilab utilisé dans les classes de STS CIRA Utilisation de Scilab dans le secondaire en mathématiques Expérimentation en 2007 dans l académie de Lille Dans le cadre de l épreuve pratique de mathématiques du bac S Sujets et solutions sur Formations Scilab depuis cette année e dans l acadl académie de Versailles

41 Avantages de Scilab Logiciel gratuit : peut être installé partout Par les enseignants et les élèves au lycée Par les enseignants et les élèves à la maison Logiciel puissant : Super calculateur graphique simple et rapide Programmation facile Logiciel utilisé dans la vie professionnelle À l université et dans les écoles d ingénieur, dans la recherche, dans les entreprises Réforme des lycées? instaurer une continuité entre le lycée e et l universitl université

42 Les structures de base pour la programmation Fonction : notions de variables function y=f(x); y=sin(x^2)+x; endfunction Test : if x>10 then else end y=x; y=x^2; Boucle : for i=1:10 end x(i)=i^2;

43 Une version Scilab pour les lycées Des activités à montrer aux élèves Encadrement d une intégrale : Valeur approchée par la somme des aires des rectangles Ajustement affine interactif : Trouver la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés pour une série statistique et calcul de la somme des carrés des distances

44 La courbe de régression correspondante : Le curseur qui donne la pente et l erreur correspondante

45 Les fonctions Scilab adaptées au lycée Analyse : ln Arithmétique : pair, impair quotient, reste pgcd, ppcm premier, liste_premiers, numero_premiers, factorise, diviseurs Graphique : orthornorme, quadrillage, graduations cliquer

46 -->l=liste_premiers( ); -->pgcd( , ) ans = >factorise( ) ans = >diviseurs(12456) ans = column 1 to column 15 to Exemples d arithmétique

47 Probabilités et statistiques : factorielle, arrangement, combinaison tirage_entier, tirage_reel, frequence, frequence_tirage_entier, moyenne, moyenne_ponderee, ecart_type, ecart_type_pondere, mediane, mediane_ponderee, quartiles, quartiles_ponderes, deciles, deciles_ponderes loi_exp, loi_normale regression_y_en_x histogramme

48 -->a=[0,10,15,20,40] a = Exemple de statistiques >n=[8,6,13,10] n = >histogramme(a,n,"r")

49 Ensembles : ensemble, ajouter, enlever inclus, appartient difference, intersection, union tirage_ensemble valeur

50 -->p=ensemble("a(20)","b(20)","a(50)","a(100)","b(100)","a(200)"); -->n=1000; f=0; -->for i=1:n --> t=tirage_ensemble(2,p); --> if sum(valeur(t))>150 then f=f+1; end -->end -->f/n Exemples de calculs sur les ensembles : ans = On tire au hasard 2 billets parmi un ensemble de 2 billets de 20 euros, 1 billet de 50 euros, 2 billets de 100 euros et 1 billet de 200 euros - On calcule la probabilités pour que la somme des billets tirés soit supérieur à 150 euros - Simulation sur 1000 tirages

51 Le CDROM Scilab pour les lycées Scilab 5.0 avec les fonctions pour les lycées : Utilisation directe à partir du cédérom sous Windows Installation sous Windows, Linux et Max OS X Un document de familiarisation à Scilab Un document d exemples sur l utilisation en mathématiques dans le secondaire Une page Web dédiée : Une mailing list :

52 Conclusion

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