Mathématiques Différentielle - Intégrale

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1 Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd Rppels de mthémtiques 1

2 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? Soit 1 fct définie u voisinge de On définit l droite sécnte pssnt pr le pt A t le pt M f f(+ x) y f() A O M x + x Le pt A à pour coordonnées : A(; f()) Le pt M voisin de A à pour coordonnées : M((+ x); f(+ x)) L éqution de l sécnte est l suivnte : Soit 1 pt O dont les coordonnées sont définies entre celles des pts A et M F. Richrd Rppels de mthémtiques 2

3 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? y f() f(+ x) f() = y f() = x x x + x ( f(+ x) f() ( ) f(+ x) f() y = (x ) + f() x L sécnte à 1 limite lorsque x 0 Lorsque cette limite existe, l fct f est dérivble u pt A ( ) f(+ x) f() f () = lim x 0 x Ce nbre s ppelle l dérivée de f en c est l pente de l tngente à f u pt F. Richrd Rppels de mthémtiques 3 )

4 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? L éqution de cette tngente est l suivnte : Générlistion : y = f ()(x )+f() ( ) f(x + x) f(x) f (x) = lim x 0 x Appliction F. Richrd Rppels de mthémtiques 4

5 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? F. Richrd Rppels de mthémtiques 5 Clcul de l dérivée d 1 fonction f(x) = 3x 2 5x + 7 ( ) f(x + x) f(x) f (x) = lim x 0 x f(x + x) f(x) x = 3(x + x)2 5(x + x)+7 3x 2 + 5x 7 x = 3x2 + 6x x + 3 x 2 5x 5 x + 7 3x 2 + 5x 7 x = 6x x + 3 x2 5 x x = 6x 5+3 x

6 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? On urit pu clculer f (x) directement vec les règles de clcul Règles de dérivtion ( ) d u(x)+v(x) = d dx dx u(x)+ d dx v(x) (u + v) = u + v ( ) d u(x).v(x) = v(x) d dx dx u(x)+u(x) d dx v(x) (uv) = u v + uv F. Richrd Rppels de mthémtiques 6

7 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? Règles de dérivtion d dx ( ) u(x) = 1 (v(x) ddx v(x) v(x) 2 u(x) u(x) ddx ) v(x) ( ) u = u v uv v v 2 ) d (u(x) n = n d dx dx u(x).u(x)n 1 (u n ) = nu.u n 1 F. Richrd Rppels de mthémtiques 7

8 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? Règles de dérivtion Remrque : si n = 1/2; n = 1 ) d (u(x) 1/2 = d ( ) u(x) dx dx ( u) = u 2 u = d dx u(x) 2 u(x) = 1 d 2 dx ) d (u(x) 1 = d ( ) 1 = d ( ) u(x) dx dx u(x) dx ( ) 1 = u u u 2 ( ) u(x).u(x) 1/2.u(x) 2 = d dx u(x) u(x) 2 F. Richrd Rppels de mthémtiques 8

9 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? Règles de dérivtion Différentielle logrithmique : df/f Soit α et β, 2 rtionnels Posons f = u α.v β df f = αu u α 1 v β + u α βv v β 1 u α v β = α u v +β u v df f = α du u +β dv v F. Richrd Rppels de mthémtiques 9

10 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? Règles de dérivtion ( ) d sin u(x) = cos u(x) d dx dx u(x) (sin u) = u cos u ( ) d cos u(x) = sin u(x) d dx dx u(x) (cos u) = u sin u ( ) ( ) d d tn u(x) = 1+tn 2 u(x) dx dx u(x) = 1 cos 2 u(x) (tn u) = u cos 2 u d dx u(x) F. Richrd Rppels de mthémtiques 10

11 Différentielle d une fonction : c est quoi ce truc? Règles de dérivtion ( ) d ln u(x) = 1 dx u(x) (ln u ) = u u d dx u(x) ) d (e u(x) = e u(x) d dx dx u(x) ( ) e u(x) = u e u F. Richrd Rppels de mthémtiques 11

12 Intégrle : c est quoi ce truc? Fonction bornée Soit f(x) une fonction f(x) est dite bornée si il existe un réel positif M tel que : f(x) < M x [; b] +M -M x [0; 2π] f(x) = sin x sin 0 = 0, sin π/2 = 1 F. Richrd Rppels de mthémtiques 12

13 Intégrle : c est quoi ce truc? Soit f(x) une fonction bornée et continue sur [;b] Désignons pr S = (x 0, x 1,..., x n ) une substitution de [; b] en n intervlles d mplitudes x i On peut choisir x i = cste = (b )/n L mplitude des intervlles tends vers 0 lorsque n soit : S n = n f(c i ) x i i=1 F. Richrd Rppels de mthémtiques 13

14 Intégrle : c est quoi ce truc? Avec les hypothèses fites, on démontre que les sommes du type S n (somme de Riemnn) ont 1 limite lorque n C est un nbre noté : b f(x)dx ou lim n S n Ce nbre est ppelé intégrle de f sur [; b] (subdivision de f(x) en 1 fct en esclier : sens de Riemnn) Ce nombre ou cette limite ne dépend ps de l subdivision mis uniquement de f et des bornes et b F. Richrd Rppels de mthémtiques 14

15 Intégrle : c est quoi ce truc? Interpréttion géométrique Si f ne chnge ps de signe sur [; b], le nbre b f(x)dx mesure l ire du domine pln limité pr le grphe de f(x) et des 2 droites x = et x = b On peut ffecter l ire d un signe qui tient compte de l orienttion du pln On obtient une lgébrique notée b f(x)dx Si f(x) 0 Si f(x) 0 b b f(x)dx 0 f(x)dx 0 F. Richrd Rppels de mthémtiques 15

16 Intégrle : c est quoi ce truc? Interpréttion géométrique Si f(x) chnge de signe sur [; b], l intégrle définie s interprète comme des sommes d ires lgébriques b f(x)dx = x1 x2 b f(x)dx+ x 1 f(x)dx+ f(x)dx x 2 F. Richrd Rppels de mthémtiques 16

17 Intégrle : c est quoi ce truc? Pour l instnt on définie l notion d intégrle comme étnt l ire du domine formée pr l fct f(x) et les 2 droites d équtions x = ; x = b pour l intégrle définie sur [; b] Le clcul d ire n est ps le seul problème qui se résoud pr 1 clcul d intégrle Exemple V(t), l vitesse instntnnée d un véhicule u temps t f(t), l distnce prcourue du véhicule u temps t Clculons f(b) f() : l distnce prcourue entre les temps t = et t = b On découpe l intervlle de temps [; b] en petits intervlles de temps de t 0 = à t 1 puis de t 1 à t 2... jusqu à t n 1 à t n = b substitution de [; b] en n intervlles F. Richrd Rppels de mthémtiques 17

18 Intégrle : c est quoi ce truc? Exemple t 0 t 1 t 2 t i-1 t i t n-1 t n Si [t i 1 ; t i ] petit V(θ i ) : vitesse instntnnée du véhicule θ i est un instnt t quelconque compris entre t i 1 et t i L distnce prcourue pendnt un intervlle de temps est donc : V(θ i ).(t i t i 1 ) Si on étend le risonnement à l totlité de l intervlle de temps [; b] on obtient : f(b) f() = V(θ 1 )(t 1 t 0 )+V(θ 2 )(t 2 t 1 )+...+V(θ n )(t n t n 1 ) Ce résultt n est utre que l somme de Riemnn ssociée à l subdivision [t 0 ; t 1 ;...; t n ] b F. Richrd Rppels de mthémtiques 18

19 Intégrle : c est quoi ce truc? Exemple f(b) f() = n V(θ i ).(t i t i 1 ) = S n i=1 Pour que le risonnement soit vlble, il fut que (t i t u 1 ) soit infiniement petit, cd (t i t i 1 ) 0 donc n f(b) f() = lim n ( En générlisnt, on : n [V(θ i ).(t i t i 1 )]) = i=1 b V(t)dt f(t) = V(t)dt On montré précédemment (dérivée) que : f (t) = V(t) F. Richrd Rppels de mthémtiques 19

20 Notion de Primitive Soit f, une fct définie sur [; b] On ppelle primitive de f sur [; b], toute fct F, dérivble ou différentible telle que : F (x) = f(x) (théorème fondmentl de l nlyse) F(x) = x f(x)dx (c est l seule primitive qui s nnule u pt ) Toutes les primitives F de f sont du type : Φ(x) = F(x)+C = C : cste d intégrtion x f(x)dx Démonstrtion F. Richrd Rppels de mthémtiques 20

21 Notion de Primitive Jusqu ici, nous vons vu comment clculer 1 intégrle vec les sommes de Riemnn Nous llons voir mintennt comment clculer 1 intégrle vec l primitive F(x)+λ = x f(t)dt b f(x)dx = F(b) F() (théorème fondmentl de l nlyse) Démonstrtion F. Richrd Rppels de mthémtiques 21

22 Appliction de l notion de dérivée Soit 1 véhicule en mvt On définit d, l distnce prcourue en kms u temps t en heures Soit f, l fct qui relie les 2 vribles d et t d = f(t) Pour voir 1 idée de l vitesse du véhicule, on peut mesurer l distnce prcourue en 1 h entre t et t + 1h d 1 = f(t + 1) f(t) Nous pouvons mesurer l vitesse du véhicule sur 1 temps plus court ǫ et fire 1 règle de 3 pour en déduire l distnce prcourue en 1 heure à condition que le véhicule grde toujours l même llure F. Richrd Rppels de mthémtiques 22

23 Appliction de l notion de dérivée On définit donc l vitesse moyenne : V = f(t +ǫ) f(t) ǫ On peut clculer l vitesse sur 1 temps très court de telle sorte que celle-ci n it ps le temps de chnger C est l notion de vitesse instntnnée ( ) f(t +ǫ) f(t) V(t) = lim ǫ 0 ǫ Exemple : Retour F. Richrd Rppels de mthémtiques 23

24 Définition de l primitive : Démonstrtion F(x) = x f(t)dt (t : vrible muette) ( ) F(x + x) F(x) F (x) = lim = Φ (x) x 0 x F(x + x) F(x) x Propriété : F(x + x) F(x) x = 1 ( x+ x x ) f(t)dt f(t)dt x x f(t)dt = x f(t)dt = 1 ( x+ x f(t)dt + x x ) f(t)dt F. Richrd Rppels de mthémtiques 24

25 Définition de l primitive : Démonstrtion Propriété de Chsles : b c c f(t)dt + f(t)dt = f(t)dt b F(x + x) F(x) x ( ) F(x + x) F(x) F (x) = lim x 0 x Théorème de l moyenne : = 1 x+ x f(t)dt x x Soit n nbre C 1, C 2,..., C n, leur moyenne µ est : µ = C 1 + C C n n ( 1 x+ x ) = lim f(t)dt x 0 x x F. Richrd Rppels de mthémtiques 25

26 Définition de l primitive : Démonstrtion µ est l vleur que prendrient tous les nbres C i (même vleur) tout en grdnt l même somme Pr nlogie, l moyenne d une fct f sur l intervlle [; b] est l vleur µ qu urit cette fct si elle devenit cste tout en grdnt l même intégrle sur [; b] b f(x)dx = b µdx = µ(b ) f(x) µ = 1 b f(x)dx b f(x) y b x F. Richrd Rppels de mthémtiques 26

27 Définition de l primitive : Démonstrtion Soit f, 1 fct continue sur [; b] vec M son mximum bsolu Il existe un nbre c dns [; b] tel que : donc f(c) = µ Démonstrtion : m f(x) M b f(c) = 1 b f(x)dx b mdx b f(x)dx En effet si u 1 (x) u 2 (x)) x [; b] lors b u 1 (x) b b u 2 (x) Mdx F. Richrd Rppels de mthémtiques 27

28 Définition de l primitive : Démonstrtion m(b ) b f(x)dx M(b ) m 1 b f(x)dx M b Cel montre que l moyenne est comprise entre l vleur mx et l vleur min de f Comme f est continue sur [; b], µ est l vleur de l fct en 1 pt c Revenons à l expression : F (x) = lim ( 1 x+ x f(t)dt) x 0 x x F. Richrd Rppels de mthémtiques 28

29 Définition de l primitive : Démonstrtion soit x+ x x f(t)dt, il existe un nbre c tel que : f(c) = 1 x+ x f(t)dt x + x x x vec f(c) : moyenne d ou f(c) = 1 x+ x f(t)dt x x Il fut démontrer que lim x 0 = f(x) = F (x) On sit que c [x; x + x] Qund x 0 on x + x x Comme f est continue sur [x; x + x] on lim x 0 f(c) = f(x) F (x) = f(x) Retour F. Richrd Rppels de mthémtiques 29

30 Définition de l primitive : Démonstrtion Théorème de Rolle : Soit une fct f continue sur [; b], si f() = f(b) et si f (x) existe pour tout x ]; b[ lors il existe u moins 1 pt c ]; b[ tel que : f (c) = 0 f()=f(b) c b F. Richrd Rppels de mthémtiques 30

31 Définition de l primitive : Démonstrtion Théorème des ccroissements finis : Lorsque f() f(b) il n existe ps forcément de pt sur l courbe représenttive de f ou l tngente est horizontle Cependnt, on peut interpréter différemment le théorème de Rolle Il existe 1 pt c de l courbe ou l tngente est prllèle à l droite pssnt pr A et B, les 2 pts extremes de l intervlle de définition de l fct f(b) f() A C B c b F. Richrd Rppels de mthémtiques 31

32 Définition de l primitive : Démonstrtion Théorème des ccroissements finis : L pente de l droite pssnt pr AB est f(b) f() b Il fut prouver qu il existe 1 nbre c tel que : f (c) = f(b) f() b Pr nlogie u théorème de Rolle, on peut dire qu il existe 1 fct g(x) dépendnte de f(x) tel que g (c) = 0 Posons g (c) = f (c) f(b) f() b g (x) = f (x) f(b) f() b F. Richrd Rppels de mthémtiques 32

33 Définition de l primitive : Démonstrtion Théorème des ccroissements finis : g (c) = 0 si g() = g(b) g(x) = f(x) f(b) f().x b g(x) = f(x) f(b) f().x b g() = f() f(b) f(). b g() = f() f(b) f() b g() = (b )f() f(b)+f() b F. Richrd Rppels de mthémtiques 33

34 Définition de l primitive : Démonstrtion Théorème des ccroissements finis : g() = bf() f() f(b)+f() b g() = bf() f(b) b g(b) = f(b) f(b) f().b b = (b )f(b) bf(b)+bf() b = bf(b) f(b) bf(b)+bf() b = bf() f(b) b F. Richrd Rppels de mthémtiques 34

35 Définition de l primitive : Démonstrtion Théorème des ccroissements finis : donc g() = g(b) Soit f, 1 fct dérivble sur ]; b[ lors et b, il existe 1 nbre c ]; b[ tel que : f (c) = f(b) f() b F. Richrd Rppels de mthémtiques 35

36 Définition de l primitive : Démonstrtion Revenons u théorème fondmentle de l nlyse Soit F, 1 fct continue sur [; b] et dérivble sur ]; b[ On note f s dérivée Considérons 1 subdivision de l intervlle [; b] Le théorème des ccroissements finis dit que : pour tout i = 1,..., n il existe x i ] i 1 ; i [ tel que : F( i ) F( i 1 ) = f(x i ).( i i 1 ) Considérons l subdivision en entier : S n = n i=1 ( ) F( i ) F( i 1 ) = n f(x i )( i i 1 ) i=1 S n = F(b) F() = f(x i )( i i 1 ) F. Richrd Rppels de mthémtiques 36

37 Définition de l primitive : Démonstrtion ) b lim i i 1 0( f(xi )( i i 1 ) = f(x)dx ( ) lim i i 1 0 F(b) F() lim i i 1 0 ) = lim i i 1 0( f(xi )( i i 1 ) ( ) b F(b) F() = f(x)dx b f(x)dx = F(b) F() Retour F. Richrd Rppels de mthémtiques 37